第五章 时变电磁场
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电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
第五章随时间变化的电磁场
R 2 x
2 R
Rb
ox x
根据法拉第电磁感应定律，
dm
dt
0a ln R b dI 2 R dt
0aJ0 ln R b 2 R
若电流增长，ε 实际方向 为逆时针
16
例题2 （P210例5.1—3）
一长直密绕螺线管，长度L，截面积S，绕有N1匝导线，通有电流I。螺 线管外绕有N2匝线圈，其总电阻R。当螺线管中电流反向时，通过外线圈导 线截面上的总电量为多少？
▲1、动生电动势的非静电力是 洛仑兹力
b
ab (v B) dl
a
说明：
b
B
- fe – fm
v
a
d l方向：沿所在处的切线方向；其指向由积分路线方向确定；
电动势参考方向：沿积分路线方向。
结果的正负会告知ε 的真实方向。 如果整个导体回路都在磁场中运动,那么回路中的总的动生电动势：
1833 ～ 1834年，他发现了两条电解定律，这是电化学的 开创性工作。从1834年起，法拉第对伏打电池、静电、电容和电 介质的性质进行了大量实验研究。为了纪念他在静电学方面的工 作，电容的SI单位称为法拉。
1845年8 月，法拉第发现原来没有旋光性的重玻璃在强磁 场作用下产生旋光性，使偏振光的偏振面发生偏转。磁致旋光效 应后来称为法拉第效应。同年发现大多数物质具有抗磁性。 6
法拉第 Faraday，Michael
（1791～1867）
法拉第热心科普工作，每年圣诞节都特别对儿 童作一系列科学演讲。他的科普讲座深入浅出，配 以丰富的演示实验，深受欢迎 。
法拉第专心从事科学研究，许多大学欲赠予名誉学位，均遭 拒绝。他不愿主持伦敦的皇家研究院和皇家学会，也谢绝封爵。 他1867年 8 月25日卒于维多利亚，逝世前拒绝安葬在威斯敏斯 特教堂牛顿墓旁边 。法拉第著有《电学实验研究》、《化学和 物理学实验研究》等著作。
时变电磁场
E(r,t) Re(E m(r)ej t )
无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与 时间无关。
只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方 法进行运算。
已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式 表示麦克斯韦考方虑程到。正弦时间函数的时间导数为
E(r, t) Re( j E (r)e j t )
因此
D1n D2n
可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。
对于各向同性的线性介质，上式又可写为 1E1n 2E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律， 只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
H1t H2t
t
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。
在电导率较低的媒质中， Jd Jc 在良导体中， Jd Jc
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为
H dl l
S (J Jd ) dS
即
H
l
dl
S
(J
D ) dS t
H J D t
场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷
守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
J
t
D E
BH
J E J
式中 J代 表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。
麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。
第5章时变电磁场
2
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
第五章时变电磁场
图 5-1 法拉第电磁感应定律
第五章 时 变 电 磁 场
当回路线圈不止一匝时，例如一个N匝线圈，可以把它看成 是由N个一匝线圈串联而成的， 其感应电动势为
d dt
d dt
N i1
i
如果定义非保守感应场Eind沿闭合路径l的积分为l中的感应 电动势，那么式(5 - 1)可改写为
如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点上都为 零，则▽ ·B在任何时刻处处为零， 所以有
B 0
J
t
第五章 时 变 电 磁 场
5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
D 0E P
B 0(H M )
dt
lim
t0
t
lim
t0
1 t
B(t t) dS
Sb
Sa B(t) dS
式中B(t+Δt)是在时间t+Δt时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感应强度， B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。
若把静磁场中的磁通连续性原理∮SB·dS=0推广到时变场，
l
E
dl
S
B t
dS
或
E B t
第五章 时 变 电 磁 场
5.2 位 移 电 流
电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：
J dS dQ (5 - 18)
S
dt
式中J是电流体密度， 它的方向就是它所在点上的正电荷流动的
方向，它的大小就是在垂直于电流流动方向的单位面积上每单位
第5章时变电磁场(电磁场与电磁波)
H1
29
麦克斯韦方程组的积分形式
B l E dl S t d S BdS 0
S
D J dS l H d l S t
S
D d S dV
V
30
D (H1 sin 1 H 2 sin 2 )l lim J d S dS h 0 t S S
D S H d S S ( J c t ) d S
D 广义安培环路定律 H J c t 物理意义：随时间变化的电场能产生磁场
19
Id + + + + -
Ic
全电流
Is Ic Id
位移电流和传导电流的比较 1）全电流是连续的；
2）位移电流和传导电流一样激发磁场；
23
注意
时变电磁场的源： 真实源（变化的电流和电荷） 变化的电场和变化的磁场
二、麦克斯韦方程组的积分形式
B l E dl S t d S BdS 0
S
D J dS l H d l S t
S
D d S dV
出现的感应电流，总是使
它自己所激发的磁场反抗
任何引发电磁感应的原因 （反抗相对运动、磁场变 化或线圈变形等）.
B
N
F
S
v
4
用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向
B
B
v
S
I
I
N
N
S
v
5
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电 流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁 感应的原因. 楞次定律是能量 守恒定律的一种表现 机械能 焦耳热
第五章 时变电磁场
e E dl (v B) dl (dl v ) B L L L d d dl ) B (dl ) B ( L L dt dt
地球物理场论II
第五章 时变电磁场
d dl e ( ) B L dt L dt
解释
麦克斯韦第一假设：变化的磁场在其周围激发起涡旋电场
地球物理场论II
第五章 时变电磁场
三、动生感应
动生感应——S 的变化引起的感应电动势 a
ab 左右滑动 时,电流计指 针偏转。
b
地球物理场论II
动生感应电动势是由导体中的电子受洛仑兹力而形成
地球物理场论II
第五章 时变电磁场
四、 综合感应
当线圈在随时间变化的磁场中运动时，线圈中的感应 电动势应该是动生电动势和感生电动势的代数和。
B d e E dl (v B) dl dS L L S t dt
特点
在导体、电介质均存在
共同点
都能激发磁场
返 回
地球物理场论II
第五章 时变电磁场
麦克斯韦方程组
D D LH dl S ( j t ) dS 全电流定律 H j t B E的环流和旋度 B E d l d S E L S t 的普遍表达式 t 推广的磁场高斯定 B 0 SB dS 0 理——磁场是涡旋场 D dS dV 推广的电场高斯定理 D
L
导线穿过 S1 导线不穿过 S 2
电磁场理论(第五章)时变电磁场
t
H E E D E H
t
F G GF F G
－
E
H
H
B t
E
D t
＋f
v
上式表示闭合区域V 内电磁场能量守恒
和转化的关系式，称为Poynting定理
Sr,t Er,t H r,t
| E
r
,t
（t
边界部分
t0）
| H
r
,t
（t
边界其余部分
t0）
35
2、唯一性定理的证明
仍用反证方法，假设有两组解
E1r,t，H1r,t E2 r,t，H2 r,t
应用Poynting定理：
Er,t E1r,t E2r,t H r,t H1r,t H2r,t 在区域的边界上：Er,t和H r,t均为零
第五讲 （一）
第五章 时变电磁场
随时间变化的电磁场称为 时变电磁场；波动是时变 电磁场运动的基本特征。
变化的磁场产生涡旋电场 变化的电场产生涡旋磁场
H
2
现代物理学证明，电磁波以光速传播， 是运动物体速度的最高极限。
电磁波信号可以通过运动的电荷产生， 易于产生、控制、放大、调制、处理； 广泛用作信息的载体，实现信息的快速 传悌，广泛用于通信、广播、电视等。
Байду номын сангаас
r
,t
2
H
r
,t
2
H r
t 2
五章时变电磁场
密度和电流密度为零，电场和磁场仍然可以相互激
发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁
波。所以，麦克斯韦方程组实际上已经预言了电磁 波的存在，而这个预言已被事实证明。
♠
在无源空间中，两个旋度方程分别为
E B t
和 H D 。可以看到两个方程的右边相差一个负号， 而正是这t个负号使得电场和磁场构成一个相互
5.1 法拉第电磁感应定律 一、 法拉第电磁感应定律
感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁 通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明 此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时
比值。 解:设电场是正弦变化的，表示为
EEmcostex
则位移电流密度为
Jd D t r0Emsintex
其振幅值为
J d m r0 E m 2 1 0 6 8 1 4 9 1 1 0 9 E m 4 .5 1 0 3 E m
传导电流密度的振幅值为 JcmEm4Em 故 Jdm 1.125103
Ein
B t
(5-6)
这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克
斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律
的解释：
♠ 式中的电场强度 E in是因磁场随时间变化而 激发的，称为感应电场。
♠ 感应电场是有旋场，其旋涡源为 B ，即磁场随
时间变化的地方一定会激发起电场，并t 形成旋涡状
的电场分布。故又称 E in 为涡旋电场。
t
得 J0（这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而
电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这
五章节时变电磁场 共106页
由上式可以写出： H x 0 , H z 0
0
H t
y
E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方 向的两个分量。 因为矢量恒等式
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
B 0
全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l H
dl
S
J
D t
dS
l H
dl
S
B t
dS
S B dS 0
S D dS V dV
第五章 时 变 电 磁 场
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
0
H t
y
E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方 向的两个分量。 因为矢量恒等式
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
B 0
全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l H
dl
S
J
D t
dS
l H
dl
S
B t
dS
S B dS 0
S D dS V dV
第五章 时 变 电 磁 场
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时变电磁场
2、在 r = 1mm的球面上电荷密度的增加率； 3、在 r = 1mm的球内总电荷的增加率。
解：1、 I J dS 2 10r 1.5 r 2 sin d d
S
00
40 r0.5
3.9738A
r 1mm
2、因为
J
1 r2
d dr
r 2 10r 1.5
dS
H dS
S
上式右边应用散度定理可以写为
S H dS V H dV 0
左边为
D
S
J
c
t
dS
Ic
Id
I
0
证毕
例5-3 坐标原点附近区域内传导电流为 J er 10r 1.5( A / m2 ) 试求：1、通过半径 r = 1mm的球面的电流值；
B
E
l
dl
S
t
dS
B
S
dS
0
D
S
dS
q
微分形式 H J D
t E B
t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
四、麦克斯韦方程组的辅助方程—本构关系 》一般媒质本构关系 》各向同性线性媒质本构关系
D B
0E 0 ( H
P M
)
J
E
D E
解：1、 I J dS 2 10r 1.5 r 2 sin d d
S
00
40 r0.5
3.9738A
r 1mm
2、因为
J
1 r2
d dr
r 2 10r 1.5
dS
H dS
S
上式右边应用散度定理可以写为
S H dS V H dV 0
左边为
D
S
J
c
t
dS
Ic
Id
I
0
证毕
例5-3 坐标原点附近区域内传导电流为 J er 10r 1.5( A / m2 ) 试求：1、通过半径 r = 1mm的球面的电流值；
B
E
l
dl
S
t
dS
B
S
dS
0
D
S
dS
q
微分形式 H J D
t E B
t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
四、麦克斯韦方程组的辅助方程—本构关系 》一般媒质本构关系 》各向同性线性媒质本构关系
D B
0E 0 ( H
P M
)
J
E
D E
第5章时变电磁场
电场强度复矢量
E ( z ) e y E0e
(1) 磁场强度复矢量；
(2) 坡印廷矢量的瞬时值； (3) 平均坡印廷矢量。
jkz
(V / m)
式中k、E0为常数。求：
第五章 时 变 电 磁 场
解： (1) 由 E j 0 H 得
jkz H ( z) E( z) e z ( e y E0 e ) j 0 j 0 z 1 1 ex
jt
1 ] [ Ee jt E * e jt ] 2 1 jt jt ] [ He H * e ] 2
jt
第五章 时 变 电 磁 场
复坡印廷矢量
1 S EH* 2
复坡印廷矢量S与时间t无关，表示复功率流密度。
式中的电场强度和磁场强度是复振幅值； H* 是 H 的共
B E ，两边取散度，则有： t ( B ) 0 t
如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点 上都为零，则▽ ·B在任何时刻处处为零， 所以有
B 0
因此可认为有三个独立方程（一、二、四），两个旋度 方程和一个散度方程，共七个独立的标量方程。
Jd H x
0
e x 2.63 10 4 sin(3 109 t 10z ) ( A / m 2 )
第五章 时 变 电 磁 场
三、 麦克斯韦方程组
D H J t
D J d S l H d l S t
0
k E0
e
jkz
第五章 时 变 电 磁 场
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E ( z, t ) Re[ E ( z )e
E ( z ) e y E0e
(1) 磁场强度复矢量；
(2) 坡印廷矢量的瞬时值； (3) 平均坡印廷矢量。
jkz
(V / m)
式中k、E0为常数。求：
第五章 时 变 电 磁 场
解： (1) 由 E j 0 H 得
jkz H ( z) E( z) e z ( e y E0 e ) j 0 j 0 z 1 1 ex
jt
1 ] [ Ee jt E * e jt ] 2 1 jt jt ] [ He H * e ] 2
jt
第五章 时 变 电 磁 场
复坡印廷矢量
1 S EH* 2
复坡印廷矢量S与时间t无关，表示复功率流密度。
式中的电场强度和磁场强度是复振幅值； H* 是 H 的共
B E ，两边取散度，则有： t ( B ) 0 t
如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点 上都为零，则▽ ·B在任何时刻处处为零， 所以有
B 0
因此可认为有三个独立方程（一、二、四），两个旋度 方程和一个散度方程，共七个独立的标量方程。
Jd H x
0
e x 2.63 10 4 sin(3 109 t 10z ) ( A / m 2 )
第五章 时 变 电 磁 场
三、 麦克斯韦方程组
D H J t
D J d S l H d l S t
0
k E0
e
jkz
第五章 时 变 电 磁 场
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E ( z, t ) Re[ E ( z )e
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(A/ m2)
第五章 时 变 电 磁 场
5.3 麦克斯韦方程组
5.3.1 麦克斯韦方程组
H J D t
全电流定律
E B t
法拉第电磁感应定律
B 0
磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l
H
dl
S
J
D t
dS
l
H
dl
S
B t
dS
SB dS 0
S D dS V dV
J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
第五章 时 变 电 磁 场
ey E0
sint
z
0
t
(exH x
eyH
y
ez H z
)
由上式可以写出： H x 0, H z 0
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
第五章 时 变 电 磁 场
如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总 电场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是，
E dl l
l Ec dl
El ind dl El ind dl
所以式(5 - 3)也可改写为
E dl d d B dS (5 - 4)
l
dt dt S
引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应
S t
h0 t
如果分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上，
第五章 时 变 电 磁 场
例 5 – 4 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度Jd 。
解：无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为
ex ey ez
Jd
D t
H
H D t
x y z
ex
H y z
ex 2.63104 sin(3109 t 10z)
上式第一项沿n方向，称为法向分量；第二项垂直于n方向，切 于分界面，称为切向分量。
第五章 时 变 电 磁 场
5.4.1
S D dS D1 Sn D2 (Sn) n (D1 D2 )S
如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为
Q
dV
V
lim hS h0
SS
由上面两式，得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为
Sa
B(t） dS
t
Sa
B t
dS
B(t t) dS Sc
Sc
B(t） dS
t
Sc
B t
dS
第五章 时 变 电 磁 场
由于侧面积Sc上的面积元dS=dl×vΔt, 当Δt→0 时，
B(t t) dS t B(t） (dl v) t2 B (dl v)
Sc
l
E
dl
S
B t
dS
或
E B t
第五章 时 变 电 磁 场
5.2 位 移 电 流
电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：
J dS dQ (5 - 18)
S
dt
式中J是电流体密度， 它的方向就是它所在点上的正电荷流动的
方向，它的大小就是在垂直于电流流动方向的单位面积上每单位
时间内通过的电荷量(单位是A/m2)。因此，式(5- 18)表明，每单
第五章 时 变 电 磁 场 磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
n (B1 B2 ) 0
或者如下的标量形式的边界条件：
由于B=μH，所以
B1n B2n
1H1n 2H2n
第五章 时 变 电 磁 场 图 5-4 切向分量边界条件将麦克斯韦方程
第五章 时 变 电 磁 场
设n(由媒质 2 指向媒质 1)、l分别是Δl中点处分界面的法向 单位矢量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺 旋关系的单位矢量，三者的关系为
第五章 时 变 电 磁 场
例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设 铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m, ε≈ε0。
解： 铜中的传导电流大小为
Jc E E0 sint
Jd
D t
E t
E0
cost
Jd Jc
2f 1 109 36
5.8 107
9.6 1019
强度B随时间的变化， 也可以是闭合回路l自身的运动(大小、
形状、 位置的变化)。
第五章 时 变 电 磁 场
式(5 - 4)变为
l
E
dl
d dt
SB
dS
S
B t
dS
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为
S
(
E)
dS
S
B t
dS
上式对任意面积均成立，所以
E B t
第五章 时 变 电 磁 场 图 5-2 磁场中的运动回路
l bn
将麦克斯韦方程
l
H
dl
S
J
D t
dS
l H dl H1 ll H2 (ll) l (H1 H2 )l
b n (H1 H2 )l b n (H1 H2 )l
第五章 时 变 电 磁 场
因为 D / t 有限而h→0，所以
D dS lim D bhl 0
S
00
r 1mm
40r0.5
3.9738A
r 1mm
(2) 因为
J
1 r2
d (r2 10r1.5) 5r2.5 dr
由电流连续性方程式， 得
J
1.58 108 ( A / m2 )
t r1mm
r 1m m
第五章 时 变 电 磁 场 (3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：
dQ I 3.97A dt
第五章 时 变 电 磁 场
(
E
)
B t
( B) 0 t
如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点上都为 零，则▽ ·B在任何时刻处处为零， 所以有
B 0
J
t
第五章 时 变 电 磁 场
5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
(Jc Jv Jd) 0
对任意封闭曲面S有
S (Jc Jv Jd ) dS V (Jc Jv Jd ) dV 0
即
Ic Iv Id 0
穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零，这就是全电流连续 性原理。 将其应用于只有传导电流的回路中，可知节点处传导电 流的代数和为零(流出的电流取正号，流入的电流取负号)。这就 是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)电流定律：∑I=0 。
位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面内每单位时
间所减少的电荷量-dQ/dt。
第五章 时 变 电 磁 场
利用散度定理(也称为高斯公式)
V AdV SA dS
将式(5 - 18)用体积分表示， 对静止体积有
SJ
dS
V JdV
t
V
dV
V
t
dV
上式对任意体积V均成立， 故有
J
那么在时刻t+Δt通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零，因此
B(t t) dS B(t t) dS B(t t) dS
S
Sb
Sa
B(t t) dS 0 Sc
第五章 时 变 电 磁 场
将B(t+Δt)展开成泰勒级数，有
B(t t) B(t) B t t
B(t t) dS Sa
在承认
SD dS Q V dV , D
也适用于时变场的前提下，则有
(
H
)
J
t
(
D)
J
D t
H J D t
Jd
D t
第五章 时 变 电 磁 场
由于 所以位移电流
D 0E P
D t
0
D t
P t
l
H
dl
S
J
D t
dS
Jt Jc Jv Jd
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时 变 电 磁 场
穿过该回路的磁通量的变化率为
d
dt
lim
t0
t
lim
t0
1 t
Sb
B(t
t) dS
Sa
B(t)
dS
式中B(t+Δt)是在时间t+Δt时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感应强度， B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。
若把静磁场中的磁通连续性原理∮SB·dS=0推广到时变场，
F q(E v B)
如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电磁场力 密度为
f (E v B) E J B
上式称为洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力 公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。
第五章 时 变 电 磁 场
例5-5 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解： 将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时 变 电 磁 场
5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 5.5 时变电磁场的能量与能流 5.6 5.7 5.8 时变电磁场中的位函数
第五章 时 变 电 磁 场