第五章 时变电磁场

Sa
B(t） dS
t
Sa
B t
dS
B(t t) dS Sc
Sc
B(t） dS
t
Sc
B t
dS
第五章 时 变 电 磁 场
由于侧面积Sc上的面积元dS=dl×vΔt, 当Δt→0 时，
B(t t) dS t B(t） (dl v) t2 B (dl v)
Sc
如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总 电场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是，
E dl l
l Ec dl
El ind dl El ind dl
所以式(5 - 3)也可改写为
E dl d d B dS (5 - 4)
l
dt dt S
引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应
J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
第五章 时 变 电 磁 场
ey E0
sint
z
0
t
(exH x
eyH
y
ez H z
)
由上式可以写出： H x 0, H z 0
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
第五章 时 变 电 磁 场
强度B随时间的变化， 也可以是闭合回路l自身的运动(大小、
形状、 位置的变化)。
第五章 时 变 电 磁 场
式(5 - 4)变为
l
E
dl
d dt
SB
dS
S
B t
dS
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为
S
(
E)
dS
S
B t
dS
上式对任意面积均成立，所以
E B t
第五章 时 变 电 磁 场 图 5-2 磁场中的运动回路
S
00
r 1mm
40r0.5
3.9738A
r 1mm
(2) 因为
J
1 r2
d (r2 10r1.5) 5r2.5 dr
由电流连续性方程式， 得
J
1.58 108 ( A / m2 )
t r1mm
r 1m m
第五章 时 变 电 磁 场 (3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：
dQ I 3.97A dt
第五章 时 变 电 磁 场 磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
n (B1 B2 ) 0
或者如下的标量形式的边界条件：
由于B=μH，所以
B1n B2n
1H1n 2H2n
第五章 时 变 电 磁 场 图 5-4 切向分量边界条件将麦克斯韦方程
第五章 时 变 电 磁 场
设n(由媒质 2 指向媒质 1)、l分别是Δl中点处分界面的法向 单位矢量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺 旋关系的单位矢量，三者的关系为
位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面内每单位时
间所减少的电荷量-dQ/dt。
第五章 时 变 电 磁 场
利用散度定理(也称为高斯公式)
V AdV SA dS
将式(5 - 18)用体积分表示， 对静止体积有
SJ
dS
V JdV
t
V
dV
V
t
dV
上式对任意体积V均成立， 故有
J
在承认
SD dS Q V dV , D
也适用于时变场的前提下，则有
(
H
)
J
t
(
D)
J
D t
H J D t
Jd
D t
第五章 时 变 电 磁 场
由于 所以位移电流
Dwenku.baidu.com 0E P
D t
0
D t
P t
l
H
dl
S
J
D t
dS
Jt Jc Jv Jd
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时 变 电 磁 场
第五章 时 变 电 磁 场
5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 5.5 时变电磁场的能量与能流 5.6 5.7 5.8 时变电磁场中的位函数
第五章 时 变 电 磁 场
5.1 法拉第电磁感应定律
d dt
d dt
SB dS
(5 - 1)
图 5-1 法拉第电磁感应定律
第五章 时 变 电 磁 场
(
E
)
B t
( B) 0 t
如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点上都为 零，则▽ ·B在任何时刻处处为零， 所以有
B 0
J
t
第五章 时 变 电 磁 场
5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
lc
lc t
t (B v) dl t2 B (dl v)
lc
lc t
B(t t) dS B(t) dS
Sb
Sa
t
B dS Sa t
la
(
B
v
)
dl
t的高次项
第五章 时 变 电 磁 场
因此，l由la的位置运动到lb的位置时，穿过该回路的磁通量 的时变率为
d dt
(E) ( E) 0
t
t
由于
D , (E) , E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
例 5 – 6 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即
第五章 时 变 电 磁 场
穿过该回路的磁通量的变化率为
d
dt
lim
t0
t
lim
t0
1 t
Sb
B(t
t) dS
Sa
B(t)
dS
式中B(t+Δt)是在时间t+Δt时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感应强度， B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。
若把静磁场中的磁通连续性原理∮SB·dS=0推广到时变场，
l
E
dl
S
B t
dS
或
E B t
第五章 时 变 电 磁 场
5.2 位 移 电 流
电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：
J dS dQ (5 - 18)
S
dt
式中J是电流体密度， 它的方向就是它所在点上的正电荷流动的
方向，它的大小就是在垂直于电流流动方向的单位面积上每单位
时间内通过的电荷量(单位是A/m2)。因此，式(5- 18)表明，每单
(A/ m2)
第五章 时 变 电 磁 场
5.3 麦克斯韦方程组
5.3.1 麦克斯韦方程组
H J D t
全电流定律
E B t
法拉第电磁感应定律
B 0
磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l
H
dl
S
J
D t
dS
l
H
dl
S
B t
dS
SB dS 0
S D dS V dV
n (D1 D2 ) S
第五章 时 变 电 磁 场 或者如下的标量形式：
D1n D2n S
若分界面上没有自由面电荷， 则有
然而D=εE，所以
D1n D2n
1E1n 2E2n
综上可见，如果分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D的
法向分量Dn越过分界面时不连续，有一等于面电荷密度ρS的突 变。 如ρS=0，则法向分量Dn连续；但是，分界面两侧的电场强 度矢量的法向分量En不连续。
f
第五章 时 变 电 磁 场
例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量 为零。
解： 根据麦克斯韦方程
H J D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
S
Jc
D t
dS
( H ) dS
S
( H ) dS S
( H )dV
V
0
S
Jc
D t
l bn
将麦克斯韦方程
l
H
dl
S
J
D t
dS
l H dl H1 ll H2 (ll) l (H1 H2 )l
b n (H1 H2 )l b n (H1 H2 )l
第五章 时 变 电 磁 场
因为 D / t 有限而h→0，所以
D dS lim D bhl 0
dS
Ic
Id
I
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J er10r1.5 ( A / m2 )
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
I
2
J dS
10r1.5 r2sindd
上式第一项沿n方向，称为法向分量；第二项垂直于n方向，切 于分界面，称为切向分量。
第五章 时 变 电 磁 场
5.4.1
S D dS D1 Sn D2 (Sn) n (D1 D2 )S
如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为
Q
dV
V
lim hS h0
SS
由上面两式，得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为
(Jc Jv Jd) 0
对任意封闭曲面S有
S (Jc Jv Jd ) dS V (Jc Jv Jd ) dV 0
即
Ic Iv Id 0
穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零，这就是全电流连续 性原理。 将其应用于只有传导电流的回路中，可知节点处传导电 流的代数和为零(流出的电流取正号，流入的电流取负号)。这就 是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)电流定律：∑I=0 。
F q(E v B)
如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电磁场力 密度为
f (E v B) E J B
上式称为洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力 公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。
第五章 时 变 电 磁 场
例5-5 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解： 将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
D 0E P
B 0(H M )
(5 - 30)
J E
对于各向同性的线性媒质， 式(5 - 30)可以写为
D E
B
H
J E
第五章 时 变 电 磁 场
5.3.3 洛仑兹力
电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作
用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q
所受的力为
第五章 时 变 电 磁 场
例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设 铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m, ε≈ε0。
解： 铜中的传导电流大小为
Jc E E0 sint
Jd
D t
E t
E0
cost
Jd Jc
2f 1 109 36
5.8 107
9.6 1019
t
上式是电流连续性方程的微分形式。
第五章 时 变 电 磁 场 静态场中的安培环路定律之积分形式和微分形式为
l H dl SJ dS
和
H J
此外， 对于任意矢量A， 其旋度的散度恒为零， 即
( A) 0
( H ) 0 J
( H ) 0 J
t
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方向 的两个分量。 因为矢量恒等式
n (n F) n(n F) F(n n)
所以
F n(n F) n (n F)
第五章 时 变 电 磁 场
例 5 – 4 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度Jd 。
解：无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为
ex ey ez
Jd
D t
H
H D t
x y z
ex
H y z
ex 2.63104 sin(3109 t 10z)
第五章 时 变 电 磁 场
当回路线圈不止一匝时，例如一个N匝线圈，可以把它看成 是由N个一匝线圈串联而成的， 其感应电动势为
d dt
d dt
N i1
i
如果定义非保守感应场Eind沿闭合路径l的积分为l中的感应 电动势，那么式(5 - 1)可改写为
l
Eind
dl
d dt
(5 - 3)
第五章 时 变 电 磁 场
S
B t
dS
l ( B
v) dl
S
B t
dS
S
(B
v) dS
这样运动回路中的感应电动势可表示为
d dt
l E'dl
S
B t
dS
l(v
B) dl
式(5 - 14)可改写为
l ( E 'v
B)
dl
S
B t
dS
第五章 时 变 电 磁 场
设静止观察者所看到的电场强度为E，那么E=E′-v×B。因 此，运动回路中，
那么在时刻t+Δt通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零，因此
B(t t) dS B(t t) dS B(t t) dS
S
Sb
Sa
B(t t) dS 0 Sc
第五章 时 变 电 磁 场
将B(t+Δt)展开成泰勒级数，有
B(t t) B(t) B t t
B(t t) dS Sa
S t
h0 t
如果分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上，