黎曼假设
黎曼猜想等价命题
黎曼猜想是数论领域的一项重要问题，它涉及到黎曼ζ函数的零点分布。
虽然目前尚未得到最终证明，但根据黎曼猜想，可以得出许多等价的命题和数学结论。
以下是几个与黎曼猜想等价的命题：
1. 黎曼猜想与素数分布：黎曼猜想表明黎曼ζ函数的非平凡零点都位于复平面上的直线Re(s) = 1/2 上。
而黎曼ζ函数与素数密切相关，因此黎曼猜想与素数的分布有关。
2. 黎曼猜想与素数定理：素数定理是一个关于素数分布的重要定理，它表明当自然数 n 趋向无穷大时，小于或等于 n 的素数的个数约等于 n/ln(n)。
黎曼猜想是素数定理的一个推广和加强，可以说黎曼猜想蕴含了素数定理。
3. 黎曼猜想与黎曼假设：黎曼假设是复数域上的一种推广，与黎曼猜想是等价的。
黎曼假设表明复数域上的所有埃尔米特型函数的非平凡零点都位于复平面上的直线Re(s) = 1/2 上，包括黎曼ζ函数。
4. 黎曼猜想与模形式：黎曼猜想与模形式有密切联系，特别是与椭圆模形式的零点有关。
黎曼猜想是椭圆模形式零点分布的一个推广。
需要注意的是，尽管这些命题与黎曼猜想等价，但至今仍未有人成功证明黎曼猜想。
黎曼猜想是数学领域一个尚未解决的难题，其证明仍然是数学界的重要挑战。
黎曼猜想定义
黎曼猜想定义
黎曼猜想又称黎曼假设，是数论和复分析领域的一项重要猜想，由德国数学家黎曼于1859年提出。
它关于黎曼ζ函数的非平
凡零点的分布性质的猜测。
黎曼猜想表明，所有黎曼ζ函数的
非平凡零点的实部均为1/2，即它们都在直线 Re(s) = 1/2 上分布。
黎曼ζ函数是数论中一种重要的数学函数，定义为复变量s的
对数级数和：
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... = ∑(1/n^s)
其中，s是复数，实数部分Re(s)大于1。
黎曼猜想认为，在
1/2 + ti这条直线上（其中t是实数，i是虚数单位），黎曼ζ
函数的非平凡零点集中分布。
这一猜想的验证对于解决许多与素数分布和数论相关的问题具有重要意义。
尽管黎曼猜想在数学界已经有150多年的历史，然而到目前为止还没有得到严格的证明或反例。
黎曼猜想的证明对于数论领域的发展具有深远影响，因此仍然是未解决的数学难题之一。
黎曼猜想的简单理解
黎曼猜想的简单理解黎曼猜想，又叫黎曼假设，是由19世纪德国数学家哥廷根黎曼发表的一个重要猜想，它期望着为任意大于3的自然数N，寻找一组相同大小的整数，可以组成数学上著名的定理：黎曼假设成立时，每个大于3的自然数都能够表示为两个素数（质数）的和。
黎曼假设和定理可以用以下等式来描述：黎曼假设：对于任意大于3的自然数N，存在两个素数p和q，使得N=p+q黎曼定理：对于任意大于3的自然数N，都存在两个素数p和q，使得N=p+q。
黎曼猜想是一个有着悠久历史的数学问题，它有着深远的影响，并在研究者中引发了巨大的兴趣。
自从黎曼发表这个猜想以来，数学家们就从事着它的研究，可惜的是，迄今为止，这个猜想仍未得到令人满意的证明。
黎曼假设的研究很受欢迎，因为它涉及了抽象和复杂的数学结构，以及计算机科学的许多概念。
它也与代数、几何、概率论和组合数学有着深刻的关系，这些都是数学的重要分支。
此外，黎曼猜想也有重要的实用价值。
它关于数字解密的实际应用，它曾被利用过，用于破解密码，然而，由于种种原因，它不总是有效的。
在研究黎曼猜想的历史上，研究者们一直写出了大量的论文和文章，提出了许多解决问题的可能性论点，但到目前为止，黎曼猜想仍未得到证明，也没有任何很好的解决方案。
虽然黎曼猜想尚未解决，但这不妨碍数学家们对它的研究和讨论。
它也在一定程度上促进了数学研究的发展，特别是在质数与素数理论方面，成为全球数学家研究的重点领域。
因此，可以认为黎曼猜想以及它的定理，是数学领域的一个重要议题。
它的影响一直深入到抽象数学及计算机科学等其他领域，而且，它也为数学研究者们带来了挑战和机会。
未来，黎曼猜想仍将成为当今众多数学家研究的焦点，他们将继续探索和发现，最终找到有用的解决方法。
黎曼假设题目
黎曼假设是关于黎曼Zeta函数的数学难题，其题目大致如下：黎曼Zeta函数被定义为以下复数全纯函数（complex holomorphic function）：请注意，这个Zeta函数的定义只对实部大于1的复数有效，这是为了确保数列的收敛性。
然而，通常当我们谈论黎曼Zeta函数时，我们指的是解析延拓黎曼Zeta函数，它的域是所有的复数，除了1（这是一个简单极点）。
因此，我们可以把上述定义看作是给出了限定在半平面Re(s) > 1的黎曼ζ函数的表达式。
欧拉表明，这个函数在素数上有一个无限的乘积展开式：这里用ℙ表示素数的集合。
这种关系贯穿了整个理论，并将zeta函数的解析性质与素数的分布联系起来（在这种情况下被视为自然数的有序子集）。
这使得黎曼zeta函数理论就像数论和复分析之间的交集。
如需更多黎曼假设相关的题目，可以查阅各大数学论坛或数学竞赛网站，那里有很多关于黎曼假设的题目可供练习。
数学中最著名的48个问题
数学中最著名的48个问题，是一系列由著名数学家希尔伯特提出的数学难题，又称希尔伯特23个问题。
这些问题旨在推动数学的发展和研究，其中大部分问题至今尚未被完全解决，成为数学史上的经典之一。
下面，我们就来了解一下其中几个问题。
1.希尔伯特基本定理希尔伯特基本定理是希尔伯特23个问题中的第一问题，这个问题与函数的连续性和多项式方程的解的属于有关。
虽然在19世纪的代数学和函数论中已完成了大量相关工作，但当时没有得到完整的解决方案。
希尔伯特在1900年的巴黎数学家大会上提出了这个问题，希望证明任意域上的多项式方程组的解，可以经由有限次多项式运算、<!——没有出现识别——>开方和求逆元得到，或者无解。
该问题在20世纪50年代被数学家E. Artin完全解决。
2.黎曼假设黎曼假设是希尔伯特23个问题中的第八个问题，涉及黎曼数学中的黎曼ζ函数，该函数曾发挥重要角色，解决了数论的许多问题。
黑格-法洛猜想（Hodge conjecture）的证明前，数学家们一直期望这个假设能被证明。
黎曼假设的精髓在于涉及一些数学领域的灵敏部分，包括素数的分布规律和高阶求和公式的形成，目前还没有被证明的理论或定理与这个假设有关。
3.费马猜想费马猜想是希尔伯特23个问题中的第十一个问题，是整数论中著名的猜想。
这个猜想曾被称为世界上最简短、最富魅力、最难解答的数学问题之一，但在1994年安德鲁·怀尔斯证明了这个猜想，将之成为定理。
费马猜想表述为：对于大于2的整数n，存在无限个正整数a、b和c，使得$a^n+b^n=c^n$。
4.希尔伯特熵基本定理希尔伯特熵基本定理是希尔伯特23个问题中的第十四个问题。
熵是从物理学中引入数学的一个概念，它被用来测量概率分布的不确定性度量。
希尔伯特熵基本定理涉及到了对于分治结构（而没有限制）的遗传系统，从一组独立等碘和重叠不氧化物的状态出发，进化的熵密度存在且是物理的。
这个问题在20世纪70年代得到了完全解决。
黎曼定理的证明
黎曼定理的证明黎曼定理是数论中的重要定理，它的历史可以追溯到古希腊时代。
黎曼定理阐述了一个因数分解的基本原理，即在自然数范围内，每个大于一的正整数都可以写成两个质数的乘积，这被称为黎曼定理。
历史上黎曼定理最早是被希腊数学家厄拉多塞在公元前300年左右提出的，但当时他没有对其进行证明。
后来，17世纪的英国数学家黎曼正式提出了黎曼定理，并给出了一个经典的证明，这个证明又被称为“黎曼的正式证明”。
黎曼的正式证明是基于以下假设：1、任何一个大于1的数都可以由若干个数的乘积形成；2、存在一个最小的数（称为最小素数或最小质数），使得它不可以再被分解成其他数的乘积。
基于这两个假设，可以得出黎曼定理：任何一个大于1的整数都可以写成至少一对质数的乘积，且这个质数对可能不唯一。
首先，假设所有正整数都可以写成若干个数的乘积，也就是说，每个正整数都可以由它的素因数相乘而得到。
那么，如果任意一个大于1的数都可以写成质数的乘积，就有可能出现一个数，它不能再被分解成其他数的乘积（即最小的质数，即p）。
因此，若存在最小的质数，那么每一个大于1的正整数都可以写成质数的乘积，即：N=p^a_1*p^a_2*...*p^a_n (其中p^a_i 为质数，而a_i是一个正整数)所以，证明黎曼定理的正式证明，应该分两步走：（1）证明每个正整数都可以写成若干个数的乘积；（2）证明存在一个最小的质数，使得它不可以再被分解成其他数的乘积。
首先，来看（1），每个正整数都可以写成若干个数的乘积。
关键在于这些数要满足素数分解定理，即：任一大于1的正整数，都可以拆分成多个质因子的乘积，其中这些质因子可以是该数本身，也可以是其他质数。
显然，如果验证素数分解定理就可以证明由若干个数的乘积可以得到每个正整数。
素数分解定理的验证，需要用到数学归纳法。
假设所有的自然数都能满足一定的假设条件，则需要证明这一假设条件是成立的。
即，我们需要证明，所有自然数都满足：n（n>1）可以拆分成多个质因子的乘积，其中这些质因子可以是该数本身，也可以是其他质数。
世界上最美丽的十个公式
世界上最美丽的十个公式在数学的世界里，有许多令人叹为观止的公式。
它们可能因为简洁的形式、深刻的含义或华丽的证明而脱颖而出。
以下是世界上最美丽的十个公式，试图以1200字以上对其进行介绍。
1. 欧拉恒等式 (Euler's Formula)2. 傅立叶变换 (Fourier Transform)傅立叶变换是一种将一个函数表示为一系列频率的技术。
它被广泛应用于信号处理、图像处理和量子力学等领域。
傅立叶变换的数学表达式是一个积分公式，通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦波的组合来描述该函数的频谱。
3. 黎曼假设 (Riemann Hypothesis)黎曼假设是数论中最重要的未解问题之一，它描述了素数分布的规律。
黎曼假设的数学表达式涉及到黎曼 zeta 函数，具体公式为ζ(s) = 0.5 + 14i，其中s是一个复数。
尽管黎曼假设至今未被证明，但它仍然引发了许多数学家的兴趣和探索。
4. 普朗克公式 (Planck's Formula)普朗克公式是量子物理学中的重要公式之一，用于描述黑体辐射的功率谱密度。
它的数学表达式为E = hf，其中E是能量，h是普朗克常量，f是频率。
普朗克公式揭示了能量的离散性和光的粒子性质，为量子理论的发展做出了重要贡献。
5. 狄拉克方程 (Dirac Equation)狄拉克方程是描述自旋为1/2的粒子的量子力学方程，如电子。
它的数学表达式是一个线性偏微分方程，包含了时空的导数和质量项。
狄拉克方程是量子场论和相对论的基础，在粒子物理学中有广泛的应用。
6. 诺特定理 (Noether's Theorem)诺特定理是理论物理学中的一个基本原理，描述了连续对称性与守恒定律之间的关系。
它由艾米丽亚·诺特于20世纪初提出，对物理学的发展产生了深远的影响。
诺特定理的数学表达式是一个关于拉格朗日量和对称变换的方程。
7. 帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle)帕斯卡三角形是一个充满美丽规律的数字三角形，由数学家布莱斯·帕斯卡在17世纪发现。
黎曼猜想内容
黎曼猜想内容黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。
9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。
已经知道，黎曼猜想是一个二阶逻辑问题，属于无法一次性证明的工作。
黎曼猜想的主项是一个集合概念的命题，所以只能一个个地验证。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
作为数学中最著名的未决问题，黎曼假设有若干种等价的表达形式，其中一种涉及素数定理给出的估计的精度。
高尔斯在《数学》（牛津通识读本）里介绍说，素数定理告诉我们在某数附近素数的近似密度。
素数是大于1且不能被其他整数——1和自身显然除外——整除的整数。
自从古希腊时期以来，素数就一直困扰着数学家们，因为它们表面上多多少少是随机分布的，但又并非全然随机。
从没有人找出一种简单的规则，能够告诉我们第 n个素数是多少。
和小素数比起来，大素数的出现越来越稀疏。
但它们稀少到何种具体程度？如果你在 1 000 001和 1 010 000之间随机取一数，那么这个数有多大的机会是素数？换言之,1 000 000附近的素数“密度”是多大？它是极其小还是仅仅比较小？有许多关于素数的著名问题。
例如，哥德巴赫猜想断言，任意大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
这个猜想看起来比维诺格拉多夫所解答的三素数猜想要难得多。
黎曼猜想的简单理解
黎曼猜想的简单理解黎曼猜想是一个深奥的数学问题，这一猜想被乔治黎曼在几百年前提出，直到现在仍是一个未解决的问题。
在黎曼猜想之前，人们对数学的理解是比较小规模的，也更精细一些。
然而，随着科学的发展和发现，黎曼猜想的出现以及它的全局性的概念，就像机器一样，改变了人们对数学的理解方式。
黎曼猜想的提出很大程度上要归功于19世纪的德国数学家乔治黎曼，他是现代几何学的创始人，对于数学的研究有着重大的贡献。
1823年，他提出了一个假设，即任何一个质数都可以写成两个平方数之和，称为“黎曼猜想”。
黎曼猜想有一定的复杂度，它涉及到两个平方数，如果不能满足条件，只能根据具体的情况重新证明。
然而，从数学的解释来看，这一猜想的核心思想可以用简单的数学语言来表达。
它更多的是涉及到数学的基础概念，比如平方数，及质数和合数之间的关系。
在最简单的描述来说，黎曼猜想是指任何一个质数都可以分解成两个平方数之和，即质数可以表示成m2+n2的形式。
为什么黎曼猜想这么有名？其一，它涉及到数学最基础的概念，极大地拓宽了人们对数学的认知；其二，它并未得到解决，它的神秘性加深了人们的兴趣；最后，黎曼猜想激发了许多学者的研究水平，给数学界带来了很多新的思考。
经过几百年的努力，然而黎曼猜想仍未解决，虽然有一些想法和假设可以帮助理解这一问题，但这些都属于理论领域，尚未有任何实质性的研究成果。
从实际的角度来看，随着科学的发展，计算机科学的出现，许多研究者尝试用计算机语言来证明黎曼猜想，但是到目前为止，仍未成功，黎曼猜想仍是一个未解决的问题。
因此，黎曼猜想被誉为“古今未解之谜”，它激发了数学界的众多学者研究，给出了许多有用的假设和理论，但最终只能是谜题，直到未来有人能使用数学和计算机科学的方法找到解决方案才能得到解答。
总之，黎曼猜想是一个深奥的数学问题，它的出现大大改变了人们对数学的理解方式，同时也激发了许多研究者探索这一问题的决心，然而到目前为止，却依然一无所获，它仍然是一个未解之谜，期待着未来有人能够解开它。
4.黎曼假设
黎曼假设黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。
现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
[1]与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要，最期待解决的数学难题。
[2]中文名黎曼猜想外文名Riemann Hypothesis 别称黎曼假设表达式函数ζ(s)的非平凡零点的实部都是1/2[3] 提出者波恩哈德·黎曼提出时间1859年应用学科数学目录.1猜想来源.2了解猜想.▪猜想内容.▪猜想验证进展.3人物简介.4等价定理猜想来源黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
[2]黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。
素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。
这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。
从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。
素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
[2]黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。
世界上十大数学难题
世界上十大数学难题摘要：一、前言二、费尔马大定理三、四色问题四、哥德巴赫猜想五、庞加莱猜想六、黎曼假设七、杨-米尔斯存在性和质量缺口八、纳维叶斯托克斯方程的存在性与光滑性九、贝赫和斯维讷通戴尔猜想十、总结正文：数学是科学中最基本、也是最深入的一个领域，其中存在着许多未解决的难题。
这篇文章将介绍世界上十大数学难题。
一、前言数学是科学中最基本、也是最深入的一个领域，其中存在着许多未解决的难题。
这些难题涉及到数学的各个分支，包括几何、代数、数论、微积分等等。
本文将介绍世界上十大数学难题。
二、费尔马大定理费尔马大定理是数学领域中最著名的未解决问题之一。
它是由法国数学家皮埃尔·德·费尔马在17世纪提出的，他声称对于任意大于2的整数n，不存在三个正整数x、y、z，使得x^n + y^n = z^n 成立。
费尔马大定理的证明历经了几百年的努力，最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯于1994年成功证明。
三、四色问题四色问题是一个关于平面图着色的数学问题。
它问的是：是否存在一种方法，能够用四种或更少的颜色为任何平面图着色，使得相邻的顶点颜色不同？四色问题的解决经历了数十年的努力，最终由美国数学家凯尔·普兰克和挪威数学家奥拉夫·海姆达尔于1976年成功证明。
四、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论领域中的一个著名问题。
它由哥德巴赫于1742年提出，他猜测每个大于2的偶数都可以表示成三个质数的和。
尽管哥德巴赫猜想在数学家中引起了广泛的讨论，但它至今仍未得到证明。
五、庞加莱猜想庞加莱猜想是拓扑学领域中的一个重要问题。
它由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出，他猜测每个单连通的三维流形都可以通过一次连续的变形，变成一个圆柱。
庞加莱猜想在数学家中引起了长达一个世纪的关注，最终由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年成功证明。
六、黎曼假设黎曼假设是数论领域中的一个重要问题。
黎曼关于几何基础中的假设原文
黎曼《关于几何基础中的假设》--学习笔记(1)研讨的方案方为民胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。
关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。
这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。
张海潮李文肇译(学习笔记：典型的数学思维方法：遇到问题，首先将问题中涉及的概念进行分类，那些概念数学给了明确、严谨的定义，那些没有。
那些没有给出明确严谨的定义的概念，往往是创新突破口。
黎曼可能是发现“空间”概念“只有叙述性的定义”或是“仅给出它们名称上的定义”，还没有明确严谨的数学定义。
这样，在当时的几何学“空间”中的一切建构就都不可靠了。
由此，黎曼就从此点入手准备大动干戈了。
方为民胥鸣伟译(数学珍宝__历史文献精选)从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。
这无疑是因为大家对于「多元延伸量」（multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。
因此我首先要从一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。
我将指出，「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。
所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。
然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。
张海潮李文肇译(学习笔记：1.首先明确前人“从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre）”都没有搞清楚此问题。
2. 于是黎曼抛出自己的思想方法。
重点在于，黎曼的思想方法是怎样产生的：这一段张、李译的“多元延伸量”似乎比方、胥译的“多重广义尺度”好些。
黎曼猜想被证明了吗
黎曼猜想被证明了吗？
黎曼猜想至今尚未被成功证明。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。
9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但这一证明的正确性尚待验证。
起源：
黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。
1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。
作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。
这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
关于几何基础中的假设 - 黎曼
(Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.)
黎曼 (Riemann)
研究大纲
张海潮、李文肇
大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些 概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸如空间的概念及 其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的 关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。 从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此 问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于「多元延伸量」（multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般「量 」（quantity）的概 念中建立「多元延伸量」的概念。我将指出，「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。 所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几何学中的定 理并不能由「量」的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其他易知的三元量属 性区分出来。因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。 这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看， 最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻 辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的是研究这类数据关系的 可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦 即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。
一个式子来代表与这个「线元素」的起点等距的所有点所形成的 n-1 维流形；亦即找到一
数学中的黎曼猜想
数学中的黎曼猜想黎曼猜想是一个引人入胜的研究领域，它的核心问题在于判断自然数序列的素数分布规律。
这个问题被认为是数学中尚未解决的难题之一，因为它涉及到深奥的数学知识和复杂的算法。
尽管经过多年来的研究，许多学者已经提供了数个假设和证明，但是黎曼猜想的正确性仍然没有得到严格证明。
接下来，我们将从黎曼猜想的历史、数学表达、应用价值等方面进行探讨。
一、黎曼猜想的历史黎曼猜想最初是由19世纪德国数学家Bernhard Riemann所提出的。
在其研究热力学中的问题时，他引入了复变函数理论，从而创立了复变函数的初步理论。
随后，他开始探索素数的规律性，并提出了著名的黎曼假设：所有非零的复数的黎曼zeta函数的零点必然在直线Re z=1/2上。
这个假设的提出，引起了数学界的热烈讨论和激烈争议，从而推动了数学研究的深入。
在随后的几十年里，许多学者都致力于研究和验证黎曼猜想。
其中，最具代表性的是英国数学家Harold Cramer和Norwegian数学家Atle Selberg的工作。
Cramer证明了黎曼猜想在某些情况下是正确的，并推导出了素数分布的渐近函数；Selberg也通过不断精巧的数学技巧，有所突破，并发展出了判别黎曼假设的新方法。
然而，总体而言，黎曼猜想仍然难以被证明。
这个问题的复杂性在于，黎曼猜想的证明需要涉及大量的数学理论和计算机模拟。
尽管数学家们取得了一系列成果，但是黎曼猜想的开放性仍然困扰着人们，并成为了数学中一个长期困难的难题。
二、黎曼猜想的数学表达黎曼猜想是用复变函数的形式定义的，这个函数被称为黎曼Zeta函数。
该函数的表达式为：Zeta(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...+1/N^s+…其中，s是一个复数，N是一个正整数。
Zeta(s)的性质与自然数序列中的素数分布有关，因为Zeta(s)中的每一项都是由自然数的倒数组成的。
根据数学定理，当Re(s)>1时，Zeta(s)是无限的；当s取值为2时，数列的总和为一个特殊的无限值pi^2/6，其中pi为圆周率。
黎曼假设
其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)
ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1)
在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
内容
方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
最厉害的数学公式(一)
在数学领域中，有许多公式被认为是最厉害的，它们被广泛应用于各种领域，包括科学、工程、经济和金融等。
下面将列举一些最厉害的数学公式，并举例解释说明它们的应用。
1. 费马大定理费马大定理是数论领域中的一个重要定理，它断言不存在满足n>2的整数解的n次幂a^n + b^n = c^n。
这个定理由皮埃尔·德·费马在17世纪提出，直到1994年才由安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理在密码学和计算机科学中有重要应用，特别是在设计和分析加密算法时。
2. 黎曼假设黎曼假设是数论中一个未解决的问题，它涉及到黎曼 zeta 函数的非平凡零点的分布。
这个假设在数论和分析中扮演着重要角色，它对整数的分布和素数的性质有深远的影响。
黎曼假设在密码学和计算机科学中也有重要应用，特别是在设计和分析密码算法时。
3. 泰勒级数泰勒级数是一个非常重要的数学工具，它可以用来表示函数在某一点附近的近似值。
泰勒级数在物理学、工程学和计算机科学中有广泛应用，特别是在数值分析和近似计算中。
4. 高斯-狄拉克方程高斯-狄拉克方程是量子力学中描述费米子的一个重要方程，它用来描述自旋为1/2的粒子的运动和性质。
高斯-狄拉克方程在粒子物理学和凝聚态物理学中有广泛应用，特别是在描述电子、质子和中子等基本粒子的行为时。
5. 黑-斯科尔定理黑-斯科尔定理是微分几何中的一个重要定理，它断言了一种曲率与拓扑性质的联系。
这个定理在通用相对论和引力理论中有重要应用，特别是在描述时空的性质和结构时。
以上列举的数学公式和定理在各个领域都有重要的应用，它们不仅在理论研究中发挥作用，还在实际问题的求解和应用中发挥重要作用。
随着科学技术的不断发展，这些数学公式和定理的应用范围将会进一步扩大，成为人类认识和改造世界的重要工具。
十个数学难题
十个数学难题当提到数学难题时，有许多问题可能被认为是挑战性巨大的。
以下列举了十个经典和具有挑战性的数学难题：费马大定理（Fermat's Last Theorem）：著名的费马大定理声称对于任何大于2的整数n，不存在满足a+b=c的正整数解。
黎曼假设（Riemann Hypothesis）：描述了复平面上所有非平凡零点的位置，它认为黎曼zeta 函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。
庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）：描述了三维球面的拓扑性质，指出任何没有边界且处处曲率相同的闭曲面都是同胚于三维球面。
七桥问题（Seven Bridges of Königsberg）：最早的图论问题之一，涉及一个城市的七座桥，是否可以走遍每座桥一次且只走一次而回到起点。
哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）：要证明任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
纽曼-康宁猜想（Newman–Conway Sequence Conjecture）：描述了一种数字序列，但关于此序列的递归性质是否会在某一点停止尚未确定。
圆周率π的性质：尽管π已被计算到数百万位小数，但圆周率的性质仍然是一个丰富且有挑战性的数学领域，比如π的无理性和无重复性。
图的四色定理（Four Color Theorem）：声称地图的任何一种分割都可以用四种颜色来使相邻的区域颜色不同。
连续统假设（Continuum Hypothesis）：关于集合论中连续集合的基本性质，它假设不存在介于可数集合和不可数集合之间的集合。
哥德尔不完备定理（Gödel's Incompleteness Theorems）：哥德尔证明了在任何包含基本算术的形式系统中，必然存在无法证明真假的命题。
这些难题都是数学界中的经典问题，吸引着数学家们长期的研究和探索。
一些问题已经被证明，而一些问题至今仍是未解之谜，成为数学发展史中的挑战。
黎曼猜想
概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。
每个问题的奖金均为100万美元。
其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。
黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。
即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
编辑本段理论形成来源来源几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。
除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。
）1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。
(1)时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。
(2)其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。
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黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。
即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。
方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。
这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。
在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。
著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。
他在读博士学位期间，研究的是复变函数。
他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。
他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。
几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。
除了1及本身之外就
没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德
证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。
1730年，欧拉在研究调和级数：
Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。
(1)
时，发现：
Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。
(2)
其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。
如果黎曼假设正确：
Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。
(3)
证明了上式，即证明了黎曼猜想。
在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。
他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。
但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。
而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。
在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。
若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。
这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数。
这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。
但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。
后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。
黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为
critical line。
运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数
的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。
从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
哈代证明（哈代斗上帝）
英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。
英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。
哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。
他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。
”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。
哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。
每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（Harald Bohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。
每一次见面时哈代在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！”
可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教
书才作罢。
第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。
哈代。
”
他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。
但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。
这样这个明信片就是他的救命护身符了。
你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。
可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。
哈代逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。
近年研究成果
荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter 利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》
宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No
（T）>0.3474N（T）。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。