高等数学12.1常数项无穷级数的概念与性质

n

lim sn s 则称无穷级数 un 收敛,
n 1
s即
n


当级数收敛有 余项 rn s
s u1 u2 u3
n 1
lim sn s
i 1
sn un1 un 2 un i
误差为
(lim rn 0)
n
证明
s un , un sn sn1 ,
n 1

n
sn lim sn 1 lim un lim n n
n
s s 0.
注意 1. 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n 1 例如： ( 1) 2 3 4 n1
和为 原级数收敛，
1 2
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散 例4 试把循环小数 2.317 2.3171717
n
表示成分数的形式.
例5
解
17 17 17 2.317 2.3 3 5 7 10 10 10
17 2.3 3 10
收敛,则
kun 亦收敛. n 1

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质3 设两收敛级数 s un ,
n 1
v
n 1

n
则级数
(u
n 1

n
v n ) 收敛, 其和为
s
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减，新级数收敛
例5
5 1 求级数 n 的和. 2 n 1 n( n 1)
n
这时极限
s u1 u2 u3
s 叫做级数 u
n 1
的和. 并写成

如果 s n 没有极限, 则称无穷级数 un 发散. n 1 即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在) n
2. 级数的收敛与发散 如果级数 un 的部分和数列 s n 有极限
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n
lim un 0. 级数收敛
n
1 有 lim u n lim 0, 但级数不收敛 2. 必要条件非充分. n n n
讨论 s2 n sn
1 1 1 n1 n 2 2n
1 n , 2n 2
sn s
rn
无穷级数收敛性举例： Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3,
3 ; 4
P2 4 P1 , 3 1 A2 A1 3 9 A1;
n 2 1 n 1 A 面积为 n An1 3{4 [( ) A1 ]}
4 n 1 ( ) P1 3
, n 1, 2,
9 1 n 1 1 2 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9 n 2, 3,
1 , 2
和为S 设调和级数收敛，
lim( s2 n sn )
nHale Waihona Puke Baidu
s s 0,
un 0
s2 n sn
lim( s2 n sn ) 0 与级数收敛矛盾, 级数发散
n
即 un 收敛
n 1

三、收敛级数的基本性质
性质2 如果级数
u
n 1

n
n 1
n
的和. 并写成
s u1 u2 u3
u
n 1

n

u1 u2 u3 un
un n 1

2. 级数的收敛与发散 当 n 无限增大时, 如果级数 有极限
的部分和数列 s n
n 1
lim sn s s即 n
则称无穷级数 un 收敛,
解
1 un (2n 1)(2n 1)
sn
1 1 1 1 3 3 5 (2n 1) (2n 1)
1 1 1 ( ), 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2n 1 2n 1 2 3 2 3 5 1 1 1 1 1 (1 ), lim sn lim (1 ) , n 2 n 2n 1 2 2n 1 2
3 ; 4
第一次分叉： 4 P2 P1 , 3
1 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3, 面积为： A1
3 ; 4
第一次分叉： 4 P2 P1 , 3
1 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
周长为： P1 3, 面积为： A1 第n次分叉： 周长为 Pn
1 lim An A1 (1 3 ) A (1 3 ) 2 3 . 1 n 4 5 5 1 9
雪花的面积存在极限（收敛）． 而面积有限． 雪花的周长是无限的， 结论：
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n n 2 aq a aq aq aq (a 0) 的收敛性. n 0
3 ; 4
第一次分叉： 4 P2 P1 , 3
1 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3, 面积为： A1
3 ; 4
第一次分叉： 4 P2 P1 , 3
1 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3, 面积为： A1
级数的部分和 部分和数列
sn u1 u2 un ui
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , sn u1 u2 un ,
i 1
u
n 1

n

u1 u2 u3 un (常数项)无穷级数
无限！再没有其他的问题如此深 刻地打动过人类的心灵。 希尔伯特（德国数学家） 数学和诗歌都具有永恒的性 质。历史上，诗歌使得通常的交 际语言完美，而数学则在创造描 述精确思想的语言中起了主要作 用。 卡迈克尔（美国数学家）
第十二章 无穷级数
§1. 常数项无穷级数的概念与性质
一、问题的提出 1. 计算圆的面积A 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 a 2 正 3 2 n 形的面积 a1 a 2 a n
等比级数 1 100 1 公比 q n 0 100 1147 17 1 2.3 3 1 495 . 1 10 100
n
三、收敛级数的基本性质 性质1（级数收敛的必要条件）: 如果级数收敛， 当n无限增大时， 它的一般项 un 趋于0
级数收敛 lim un 0.
3 面积为： A1 ; 4
播放 播放
观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3, 面积为： A1
3 ; 4
第一次分叉： 4 P2 P1 , 3
1 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
观察雪花分形过程 设有一个三角形， 周长为： P1 3, 面积为： A1
即 A a1 a2 an
R
A a1 a2 an
二、常数项级数的概念 3 3 1 3 3 2. n 10 3 10 100 1000 1. 数项级数的定义 一般项
u
n 1

n
u1 u2 u3 un (常数项)无穷级数
性质1（级数收敛的必要条件）: 如果级数收敛， 当n无限增大时， 它的一般项 un 趋于0
级数收敛 lim un 0.
n
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 2. 必要条件非充分. 例如调和级数
1 1 1 1 2 3 n
1 有 lim u n lim 0, 但级数不收敛 n n n
n
综上
aq
n 0

n
q 1, 收敛 q 1 发散
例2
判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
n 1

当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
n
解
un 2 3
2 n 1 n 4 4
n 1
部分和数列
s1 u1 ,
s2
u1 u2 ,
sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散 当 n 无限增大时, 如果级数 un 的部分和数列 sn
n1
有极限
s 即 lim s
n
n
s 则称无穷级数 un 收敛,


这时极限
s 叫做级数 u
n 1
1 5 5 1 n n 2 n1 n( n 1) n1 2 n 1 n( n 1)


解
1 5 1 5 ( 1) n n n1 n 1 n 1 n


1 1 1 5(1 ), 令gn 5 n1 k 1 k 1 k 1 lim gn 5 lim(1 ) 5, n n1 n
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n n 2 aq a aq aq aq (a 0) 的收敛性. n 0
当q 1时, 收敛 当q 1时, 发散 如果 q 1时 当q 1时, sn na 发散
当q 1时, 级数变为 a a a a lim s n 不存在 原级数发散
4 公比 q , 已知级数为等比级数， 3
3
,
| q | 1, 原级数发散
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在) n 例 3 判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
解 如果 q 1
sn a aq aq aq
2
n 1
a aq n a aq n , 1 q 1 q 1 q
当q 1时, 当q 1时,
lim q
n
n
0
lim q n
n
a lim sn 收敛 n 1 q lim sn 发散
n
例5

5 1 求级数 n 的和. 2 n 1 n( n 1)

5 1 1 5 n n 2 n1 n( n 1) n1 2 n 1 n( n 1) 1 lim gn 5 lim (1 ) 5, n n n1 1 1, 首项是 1 1 公比q n 是等比级数， 2 2 1 n 1 2
2. 级数的收敛与发散 4 周长为 Pn ( )n1 P1 3 面积为 于是有
n 1,2,
n 2
lim Pn
n

1 n 1 An An1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 4 n 2 1 1 4 1 4 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9