北京四中---高中数学高考综合复习专题二十二抛物线

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高考数学抛物线复习

抛物线复习【高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．考点梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【助学·微博】一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．六个常见结论直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． ①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 考点自测1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )． A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x2．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.743．(四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 54．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．(新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【训练2】(郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【训练3】若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．方法优化——有关抛物线焦点弦的解题技巧【真题探究】► (安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )．A.22B. 2C.322 D ．2 2【试一试】已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是()．A．4 B．8 C．12 D．16A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )． A.34 B ．1C.54D.742．(东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为 ( )．A ．2B ．18C ．2或18D ．4或163．(全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )．A.45B.35C ．－35D ．－454．(山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )． A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y二、填空题(每小题5分，共10分)5．(郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．6．(陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．(13分)(温州十校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( )．A ．9B ．6C ．4D ．32．(洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )．A. 3B. 5 C ．2 D.5－1二、填空题(每小题5分，共10分)3．(北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．4．(重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.三、解答题(共25分)5．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP→＝λAQ →. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．6．(13分)(新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．。

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

第1课时抛物线的简单几何性质最新北京四中备战高考精品课件

x∈R,y≤0 _________
范围对称轴
顶点性质焦点
x≥0,y∈R _________ x≤0,y∈R _________ x∈R,y≥0 _________ x轴 __ O(0,0) _______
y轴 __
准线
离心率
p F( ,0) 2 ______ p x 2 ______
p F( ,0) 2 ________ p x 2 ______
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响
因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p
越大,开口越大.
3.抛物线的图象具有的特征
Hale Waihona Puke 抛物线是轴对称图形,其焦点F和准线与对称轴的交点关于原
点O对称,即若准线与对称轴的交点为M,则O为MF的中点.
4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系
【解析】若抛物线开口向右,如图.
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
1 p. 2 设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则直线方程为y=-x+ 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1+

高考数学抛物线必背知识点

高考数学抛物线必背知识点高考考查的不仅仅是一些基础知识，要想学好数学，一定要掌握一定的数学思想和数学思维，学会用数学思维解决问题。

今天小编在这给大家整理了一些高考数学抛物线必背知识点，我们一起来看看吧！高考数学抛物线必背知识点抛物线：y = ax _ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca >0时开口向上a< 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)_+ k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py关于圆的公式体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径_半径_AI_学数学的方法技巧有哪些1、重视课堂的学习效率课堂的学习效率非常重要，因为大多数的新知识和数学能力的培养都是在课堂上进行的。

所以在上课的时候要紧跟着老师的思路来开展思维。

北京四中高考数学总复习函数的图象(提高)知识梳理教案

【考纲要求】1.结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图象并能进行图象变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a+=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图象可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点．(2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

高三抛物线知识点归纳总结

高三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种曲线，它在高三数学课程中占据着重要的地位。

掌握抛物线的相关知识，对于高三学生来说至关重要。

本文将对高三抛物线的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、抛物线的基本定义和性质抛物线是一条平面曲线，其定义为到一个定点距离与到一条直线距离相等的点的轨迹。

抛物线具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。

2. 定点和定线：抛物线上的每个点到焦点的距离与到直线（准线）的距离相等。

3. 焦距和准线：焦距是定点到准线的距离，准线是焦点垂直平分切线的直线。

4. 弧长和面积：抛物线的弧长和面积计算可以通过积分得到。

二、抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

通过标准方程我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程。

一般方程是经过对标准方程的平移、旋转、伸缩等变换得到的，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。

通过一般方程可以确定抛物线的具体形状和位置。

三、抛物线的性质和应用1. 高考重点：掌握抛物线的性质对于应对高考数学考试非常重要。

在高考中，抛物线相关的题目通常包括求焦点、顶点、对称轴、切线等问题，也可能涉及到与其他图形的求交点等问题。

2. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，描述了自由落体、抛体运动等过程。

理解抛物线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与自由落体和抛体运动相关的物理问题。

3. 工程应用：抛物线的形状具有美学上的优点，因此在建筑和设计中经常被应用。

例如，拱桥的形状和抛物线非常相似，这是因为抛物线形状具有均匀分散应力的特点，是一种力学上最优的形状。

四、抛物线的图像绘制和计算1. 使用计算机软件绘制抛物线的图像可以辅助我们更好地理解抛物线的形式和变化规律。

常用软件如Geogebra、MATLAB等都可以绘制抛物线的图像。

北京四中高考数学总复习函数及表示知识梳理教案

【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．【知识网络】【考点梳理】1、映射的定义设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →。

映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。

2、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：)(x f y =.其中x 叫做自变量，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。

3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。

4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

映射函数及其表示函数三要素函数的表示5、区间的概念和记号设,a b R ∈，且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。

（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。

（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),[b a 和],(b a 。

这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。

(完整word版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案,推荐文档

抛物线专题复习焦点弦长 AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k ox ()22,B x yFy ()11,A x y设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r 为5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK∆的面积为7、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是。

高三数学抛物线专题复习

高三数学抛物线专题复习抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质第二部分考点解析抛物线的定义及应用题型一．高三数学抛物线专题复习已知例12的最小值，并求出＋|PF|F的焦点是，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|抛物线y＝2x. P的坐标取最小值时点2x上的一个动点，则点P到点(0,2)变式练习1.已知点P是抛物线y 点P 2的距离与＝到该抛物线准线的距离之和的最小值为) (917 5B.3C. A.D.22抛物线的标准方程和几何性质题型二抛物例222的长为259＝相交，公共弦MN，求该抛物线的方程，x线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆＋y并写出它的焦点坐标与准线方程.OAF(O若△A.轴交于点y，且和F的焦点0)≠ax(a＝y过抛物线l的直线2设斜率为2. 变2为坐标式练习．高三数学抛物线专题复习)( ，则抛物线方程为原点)的面积为4228x A.y＝± B.y＝±4x228xD.y ＝C.y＝4xM，射线FA与抛物线CA(2,0)已知点，抛物线C：x＝4y的焦点为F变式2，与其准线相相交于点练习 3.)( ∶|MN|等于交于点N，则|FM|∶5 D.1∶∶2 C.1A.23∶5 B.1题型三抛物线焦点弦的性质例3 设抛2物线y＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.Fy)是过，A(xF，，y)、B(x2px(p>0)4.变式练习已知抛物线y＝的焦点2的直线与抛物线的两个为2112交点，求证：2p2 xx＝；py(1)y＝－，2211411(2)＋为定值；|AF||BF|(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.直线与抛物线的位置关系题型四高三数学抛物线专题复习例4 已知2抛物线C：y＝mx(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(x2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存R,(3)在，说明理由.变式练习 5.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；→→(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB ＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.例5设抛N，M交于C且与抛物线F过l，直线F的焦点为2px(p>0)＝y：C物线2两高三数学抛物线专题复习). 2(O为坐标原点轴垂直时，△OMN的面积为点，已知当直线l与x 的方程；C(1)求抛物线的方l为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线(2)是否存在直线l，使得以MN. 程；若不存在，请说明理由方法与技巧小结 1.认真区分四种形式的标准方程22. ，前者不是抛物线的标准方程(1)区分y＝ax与y＝2px (p>0)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可(2)220). my(m≠＝y＝mx或x设为2 B(x，y)，则：2px (p>0)2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y＝的焦点的直线与抛物线交于A(x，y)，21122p2；，(1)yy＝－pxx＝221142p (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；2θsin211. F若为抛物线焦点，则有＝＋(3)p|AF||BF|巩固练习第三部分专项基础训练 A组一、选择题12)1.抛物线y＝－x的焦点坐标是 ( 211110)， ) B.(－， 0) C.(0 ，－ D.(－ ) A.(0，28822y22)( y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是抛物线2.3313A.B. D.C.1 222的中点的纵坐、B两点，若线段AB已知抛物线y＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A3.)( 2标为，则该抛物线的准线方程为2A.x＝1D.x＝－B.x＝－ 1 C.x ＝2yy212)则的值一定等于( B(xA(x，y)，，y)，的两端点坐标分别为＝4.已知抛物线y2px(p>0)的焦点弦AB2121xx2122 C.p pD.－B.4A.－42ppp>0，直线l＝＋(x：和圆＝：C5.如图，抛物线y2pxC－)y经过C11242．222，其中高三数学抛物线专题复习→→) 四点，则AB·CD的值为( C的焦点，依次交C，于A，B，C，D21222ppp2 D.C. B.A.p 324 二、填空题__________. 的轨迹方程是，则点，(03)的距离小2P 若点6.P到直线y＝－1的距离比它到点2________.＝|BF||AF|A的焦点F的直线交该抛物线于、B两点，＝2，则4x7.已知过抛物线y＝C相交于点A，与，过M(1,0)且斜率为3的直线与l2px(p8.已知抛物线C：y＝＞0)2的一个交的准线为l→→________. ＝，则p＝，若AMMB点为B 三、解答题2有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角＝2px (p>0)9.如图，已知抛物线y.，求抛物线的方程的长分别为1和8OA边与OBCA.点x的焦点为F，准线l与轴的交点为y10.如图，抛物线E：＝4xN. ，M与准线l2在抛物线交于不同的两点CCE上，以为圆心，|CO|为半径作圆，设圆 |MN|；，求若点(1)C的纵坐标为22. 的半径C，求圆|AN|·|AM|＝|AF|若(2)高三数学抛物线专题复习专项能力提升组 B→→→→→→2等||FB|＋|FC＋B，C为该抛物线上三点，若FA＋FBFC＝0，则|FA|＋，设1.F为抛物线y＝4x的焦点，A)( 于D.3B.6C.4 A.9，若△l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，已知抛物线2.C：y＝4x的焦点2AMF为F准线为) 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为( 与△AOF(其中O2) 22) B.(2，－ 2) D.(2，±2 2)C.(22若为坐标原点.的直线交该抛物线于的焦点FA，B两点，O3.过抛物线y＝4x的面积为 |AF|＝3，则△AOB)(2322C. D.2 A. B.22224.已知直线l：4x－3y＋11＝0和直线l：x＝－1，抛物线y＝4x到P上一动点21________.l直线l和直线的距离之和的最小值是212，A2px(p>0)5.如图，过抛物线y＝的焦点F的直线交抛物线于点，则此抛物线的方程为2BFBCClB，交其准线于点，若＝，且＝AF3________.。

2024年高考数学---抛物线及其性质

基础篇
考点一抛物线的定义及标准方程 1.定义:把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 2.标准方程:焦点在x轴上:y2=±2px(p>0); 焦点在y轴上:x2=±2py(p>0).
标准方程图形
考点二抛物线的几何性质
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
范围准线焦点对称性
x≥0,y∈R
x=- p
2
p 2
,
0
关于x轴对称
x≤0,y∈R
x= p
2
p 2
,
0
x∈R,y≥0
y=- p
2
0,
p 2
关于y轴对称
x∈R,y≤0
y= p2Βιβλιοθήκη 0,p 2顶点
过点P作PH⊥l于点H,则|PH|=m,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以m+| PA|=|PH|+|PA|=|PF|+|PA|≥|FC|-r=|FC|-2= (3 2)2 (4)2 -2= 41-2,当且仅当P,F,C(P在线段FC上)三点共线时等号成立,所以m+|PA|的最小值为
41 -2. 答案 41-2
为定值;
6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切. 3.弦中点 AB为抛物线的一条弦,其中点为M(x0,y0).
1)若抛物线为y2=2px,则kAB= p ;
y0
2)若抛物线为x2=2py,则kAB= x0 .

高考数学复习抛物线复习

基础训练 1．抛物线
y
2x2
的焦点坐标_(_0_,_18_)__。
2.抛物线 y2 4x上一点M到焦点的距离
为2，则M到y轴的距离为___1_______。 3.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为坐
标轴，焦点在直线3x 4y 12 0 上，则抛物线的方程为x 2____1_2_y_或__y_2__1_6__x 。
之和的最小值为_______。
变式1：已知抛物线 y2 2x 的焦点
是F，点P是抛物线上的动点，又
有点A(3,3)，则PA＋PF的最小
值
61 .
变式2：2已知直线 l1 : 4x 3y 6 0
和直线l2 : x 1 ，则抛物线 y2 4x
上一动点P到直线l1和直线 l2的距离
之和的最小值为____2___。
例2．抛物线的顶点在原点，对称轴
为y轴，它与圆 x2 y2 9 相交，公
共弦MN的长为 2 5 求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标，准线方程.
解：由题意，设抛物线方程为 x2＝2ay(a≠0)．设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则|MA|＝|AN|，且 AN＝ 5.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝ 32－（ 5）2＝2， ∴N( 5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即 2a＝±52，故抛物线的方程为 x2＝52y 或 x2＝－52y.
有点A(3,3)，则PA＋PF的最小
值
61 .
2
变式1：已知抛物线 y2 2x 的焦点
是F，点P是抛物线上的动点，又
有点A(3,3)，则PA＋PF的最小
值
61 .
变式2：2已知直线 l1 : 4x 3y 6 0
和直线l2 : x 1 ，则抛物线 y2 4x

高中数学抛物线知识点

高中数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个非常重要的知识点，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一下抛物线的相关知识。

一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。

如果抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；如果焦点在 x 轴的负半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；若焦点在 y 轴的正半轴上，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2；焦点在 y 轴的负半轴上时，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2。

这里的 p 叫做焦准距，是焦点到准线的距离。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），其焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右。

2、＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左。

3、＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上。

4、＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下。

对于给定的抛物线方程，我们可以通过其形式迅速确定抛物线的开口方向、焦点位置和准线方程。

三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。

例如，＼（y^2 ＝2px\）关于x 轴对称，＼（x^2 ＝ 2py\）关于 y 轴对称。

2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。

在标准方程中，顶点坐标分别为：＼（y^2 ＝ 2px\）的顶点为（0, 0)；＼（x^2 ＝ 2py\）的顶点也为（0, 0)。

3、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。

4、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。

若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（y^2 ＝ 2px\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ x_0 ＋p/2\）；若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（x^2 ＝ 2py\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ y_0 ＋ p/2\）。

(完整word版)高三专题复习抛物线经典练习题.docx

高三专题复习 ----抛物线一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分。

请把选择答案填在答题卡上。

）1．抛物线x2 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（）(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52．抛物线 y=4 x2上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是（）17157( D ) 0( A )( B )( C )161683．抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x 2 y40 上，则抛物线的方程为（）（ A ）y216x（ B）x28 y（ C）x28y 或 y216x（D ）x28 y 或 y216x 4．过抛物线y24x 的焦点作直线交抛物线于点P x1, y1,Q x2 , y2两点，若x1x2 6 ，则PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为（）（ A ） 5（B ） 4（ C）3（ D） 2 5．设抛物线 y2=8 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）（ A） [－1，1]（ B ）[ － 2， 2]（ C） [－ 1， 1]（ D） [－ 4， 4] 226．已知点A(2,0)、 B(3,0)uuur uuurx2，则点P的轨迹是（，动点 P( x, y)满足 PA PB）（ A ）圆（ B）椭圆（ C）双曲线（ D）抛物线7.若抛物线的顶点在原点,对称轴在坐标轴上,且焦点在直线x － y+1=0上,则此抛物线方程为（）(A)x 2=2y,y 2=－2x (B) x2=－2y,y 2=2x(C) x 2 =－ 4y,y 2=4x(D) x2=4y,y 2 =－4x8．如果方程y=kx+3 表示倾斜角为钝角的直线,那么方程kx 2+3y2=1 表示的曲线是（）(A) 圆 ;(B) 抛物线 ;(C)椭圆 ;(D) 双曲线 .9．过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （ x1，y1），B（ x2， y2）两点，如果x1+x 2=6 ，那么|AB|=（）(A)10;(B)8;(C)6;(D)4.10．定点 P(0,2)到曲线 y=| 1x2－1|上点的最短距离为（）2(A)5(B)1(C)2(D)611．一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a,b,c ∈ R，且 a≠ 0)的判别式是1，两根之积为－8， .则（ b， c）的轨迹是（）(A) 椭圆(B) 双曲线(C)抛物线(D) 两个点12．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A 、 B 两点，若 A 、 B 在抛物线的准线上的射影分别是 A 1， B1，则∠ A 1FB 1等于（）(A)45 0;(B)60 0 ;(C)900 ;(D)120 0.题号123456789101112答案D B C B C D D D B B A C 二 .填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20 分） .13．抛物线x8y2的准线方程为x=﹣ 1/3214．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线y 2x291 上，则抛物线的标准方程4为x2 =± 12Y15．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，在抛物线上有一点M ( a,4) 到焦点F的距离5，抛物的准方程x 2=-4Y， a 的a=± 416.抛物y 2=－ 12x 的一条弦的中点M （－ 2，－ 3），此弦所在直的方程是2x-y+1=0.三、解答：解答写出文字明、明程或演算步（本大共6 个大，共72 分） .17.（本小分12 分）已知抛物点在原点，焦点在x 上，又知此抛物上一点A （ 4，m ）到焦点的距离 6. 不同的两点 A 、 B ，且（ 1）求此抛物的方程；AB 中点横坐2，求（ 2）若此抛物方程与直 k的 .y kx2 相交于解：（ 1）由意抛物方程y 22 px，其准方程xP，⋯⋯⋯⋯2 分2∵ A （ 4， m ）到焦点的距离等于A 到其准的距离4P6p4 ∴此抛物的方程y 28x ⋯⋯⋯⋯ 6 分2（ 2）由y 2 8x 消去 y 得 k 2 x 2 (4k 8)x40 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y kx 2∵直 ykx 2 与抛物相交于不同两点k 0⋯⋯⋯⋯ 10 分A 、B ，有解得 k 1且k 0 解得 k 2或 k1（舍去）∴所求 k 的 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18. （本小分12 分）在ABC 中，角 A 、B 、C 所的分1a 、b 、c ，且 cos A.3（Ⅰ）求 sin 2BCcos2 A 的；（Ⅱ）若 a3 ，求 bc 的最大 .2解析 : ( Ⅰ)sin 2 B Ccos 2A1[12=cos(BC )] (2 cos 2 A 1)2=1(1 cos A)(2cos 2A 1) =1(1 1 ) ( 21) =122 399( Ⅱ) ∵ b 2c 2 a 2cos A12bc3∴2bc b2c2a22bc a 2,又∵ a3∴ bc9 . 34当且当 b=c= 3,bc=9, 故 bc 的最大是9.24419.（本小分12 分）正方形的一条 AB 在直 y=x+4 上，点 C、 D 在抛物 y2=x 上，求正方形的 .解： CD的方程 y=x+b, 由y x b消去 x 得 y2 -y+b=0 ， C(x 1,y 1 ),D(x 2,y 2),y1+y2=1,y 1y2=b,y2x∴｜ CD｜ =11( y1y1 ) 24y1 y2=24b8b ，又AB与CD的距离d=, 由 ABCD正k 22方形有 28b =4b2 或5 2 ., 解得 b=-2 或 b=-6. ∴正方形的 3220. （本小分12 分）已知等差数列 { a n} 中， a2=8,前 10 和 S10=185.（ 1）求数列 { a n} 通；（2）若从数列 { a n} 中依次取第 2 、第 4 、第 8 ，⋯，第2n，⋯，按原来的序成一个新的数列{ b n} ，求数列 { b n} 的前 n和 T n.a1 d8【解】（ 1） { a n } 公差 d,有10 910a1 d 1852解得 a1=5,d=3∴ a n=a1+(n－1)d=3n+2(2)∵ b n=a 2n =3×2n+2∴ T n 1 2n12n1+22n n=b +b +⋯+b =(3×2 +2)+(3×2 +2)+⋯ +(3 ×2+2)=3(2+⋯ +2 )+2 n=6×2 +2 n－6.21.（本小分 12 分）在斜三棱柱 ABC — A B C中，111AC=BC ， D AB 的中点，平面 A B C ⊥平面ABB A，11111B1异面直 BC1与 AB 1互相垂直 .C1 A 1（ 1）求： AB 1⊥平面 A 1CD ；B（ 2）若 CC1与平面 ABB 1A1的距离1，且 A 1C=37 ，C AAB 1=5，求三棱 A 1— ACD 的体三棱 A 1— ACD 的体 =5/322. （本小分12 分）函数 f (x) ( x 1)ln( x 1) ，若所有的x 0 ，都有 f ( x)ax 成立，求数 a 的取范 .令g（x） =（ x+1） ln（ x+1 ） -axg ' ( x) =ln（x+1）+1-a令g' ( x) =0，得x=e a-1-1（ 1）当a≤1，所有x>0, 有g'(x) >0∴g(x) 在 [0,+ ∞)上是增函数⋯⋯数 a 的取范 (- ∞ ,1 ]。

高考抛物线知识点总结.doc

高考抛物线知识点总结抛物线是高考数学的一个重要考点。

抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹。

下面我为大家带来了高考抛物线知识点总结，仅供参考，希望能够帮到大家。

1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当02. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。

说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明.抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。

高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：d 2=AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++考点1 抛物线的定义[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为考点2 抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上考点3 抛物线的几何性质[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2π=∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→→FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+||1||1QF PF （）（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （） A.45 B.60 C.90 D.1207．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（） A ．1(0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4-8．抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（）A ．33B ．34C ．36D ．389．已知抛物线C ：212x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. 2(,(,)-∞+∞ C ．(,(22,)-∞-+∞ D ．(,(2,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．911．设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为．12．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =13．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程．16．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标．17．设抛物线22y px =(0p >)的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．18．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程．19．椭圆12222=+b y a x 上有一点)59,4(-在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求||||NQ MN +的最小值.20．椭圆C 1：2221(04x y b+=＜b ＜2)的离心率e=抛物线C 2：22(x py p =＞0)的焦点在椭圆C 1的顶点上． (1)求抛物线C 2的方程；(2)若过(1,0)M -的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．21．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：，点F 在直线BD 上；(2)设8.9FA FB →→⋅=求BDK ∆的内切圆M 的方程．20．(文)[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.21．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. 例4（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x x y x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，216x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+．同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．。

高三抛物线定理知识点归纳总结

高三抛物线定理知识点归纳总结高三学生在学习数学的过程中，会接触到抛物线这一重要的数学概念。

抛物线是数学中的一个曲线，具有许多特殊的性质和定理。

本文将对高三抛物线定理的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用抛物线定理。

一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一点到定点和定直线的距离之差等于常数的轨迹。

2. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二、顶点与对称轴1. 顶点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。

2. 对称轴的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/(2a)。

三、焦点与准线1. 焦点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦点的坐标为(-b/(2a), f(-b/(4a)))。

2. 准线的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，准线的方程为y = (1 - 1/(4a))。

四、判别式与图像开口方向1. 判别式的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，判别式的值Δ = b^2 - 4ac。

a) 当Δ > 0时，抛物线开口向上。

b) 当Δ < 0时，抛物线开口向下。

c) 当Δ = 0时，抛物线开口朝上或朝下，具有最小值或最大值。

五、焦距与准线的关系1. 焦距的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦距的值为f = |1/(4a)|。

2. 焦距与准线的关系：焦距的值为准线到焦点的距离，即f = d(P,D)/2，其中P为焦点，D为准线。

六、渐近线1. 抛物线的渐近线：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，纵坐标趋势无限增大时，横坐标趋势无穷大或无穷小，即y趋于∞时，如果a ≠ 0，则直线y = 0为横渐近线；如果a = 0，则不存在横渐近线。

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高中数学高考综合复习专题二十二抛物线一、知识网络二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。

三、知识要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设为抛物线上任意一点，则设为抛物线上任意一点，则其它情形从略。

（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：①②③④认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.2.几何性质对于抛物线（1）范围：这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于x轴对称轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率：（抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；（2）顶点在，对称轴垂直y轴的抛物线方程为：，其焦点参数；顶点在，对称轴垂直x轴的抛物线方程为：，其焦点参数；2.抛物线的焦点弦设且PQ为抛物线的一条经过焦点的弦.（1）弦端点同名坐标的关系（课本P119）（推导上述命题的副产品：，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式（Ⅰ）（课本P118例3引申）。

（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为，则故有：（3）的面积公式：；（4）焦点半径与的关系（定值）（5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。

（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交四、抛物线经典例题例1、（1）抛物线的焦点坐标为；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为；（3）经过抛物线的对称轴上一点作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为.分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为.（2）这里.注意到焦点半径在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。

①注意到点A在x轴下方，因此，（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为，则①又点A在抛物线上，则②∴由①，②得：或∴由①得：p=9或p=1∴抛物线方程为：或（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，且仿（Ⅰ）解得p=1或p=9∴抛物线方程为或（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，∴p=4∴此时抛物线方程为于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为或或.（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级经过抛物线的对称轴上一定点作抛物线的弦AB，若设，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。

设弦AB所直线方程为①由①与联立，消去x ：∴②∴③（Ⅱ）应用上述结论，当a=p，时，由②得∴B的纵坐标为—4p例2 、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得∴∴，解得p=2或p=6。

注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。

（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N，，得∴∴，解得易验证抛物线符合此时情形。

于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。

事实上，在这里不论是A在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.例3、经过抛物线的焦点作弦AB.（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.解：（1）设由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为①将①代入消去x得：由韦达定理得：②又由题意得（或）∴③∴由③得：④∴将②代入④解得：∴所求直线方程为：或.（2）证明：由题意抛物线焦点，准线；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则⑤注意到C，D两点在抛物线上∴过C，D分别作于G，于H则又有⑥∴由⑤、⑥知，即四边形CDHG为矩形∴轴∴轴∴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。

于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。

点评：（Ⅰ）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或）；二是以为基础构造并寻觅出和的关系式，从而为利用①式创造了条件.（Ⅱ）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.例4、如图，已知抛物线的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。

（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；（2）在（1）的条件下，若，求动点R的轨迹方程。

分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。

解：（1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为①把①代入抛物线方程得由题意：恒成立且②∴③由题设得④∴②、③代入④得：∴此时p=2当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4，将x=4代入抛物线方程得：.∴由得∴此时亦p=2于是综合以上讨论得p=2.（2）解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y），由（1）知p=2，F(1,0)∴∴由得：⑤∴由②、⑤得：⑥⑦由⑥、⑦消去参数得：当直线l垂直于x轴时，有，从而点满足因此，所求动点R的轨迹方程为.解法二（设而不解）：由（1）所设.得：⑧又∴两式组合得：，即∴当时得：⑨注意到得四边形PRQF为平行四边形.∴线段PQ与FR互相平分设FR中点为M，由⑧得再注意到P、Q、M、A四点共线∴∴⑩∴由⑨、⑩得：而当时，适合⑩式于是可知，所求动点R的轨迹方程为.点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件几何意义，便可导出动点R 的条件，的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。

例5、直线l与抛物线交于A、B两点，O为原点，且有.（1）求证：直线l恒过一定点；（2）若，求直线l的斜率的取值范围.（3）设抛物线焦点为F，，试问：角能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，试说明理由。

分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入.解：（1）设，则有由得①∴②注意到这里，由①得：，故由②得，③（Ⅰ）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为，将其与抛物线方程联立，消去x得：由题意：④且⑤∴由③，⑤得：∴直线l的方程为，可见直线l过定点(2,0)。

（Ⅱ）当轴时可得，直线l方程为，亦过定点(2,0)。

综上可得，直线l恒过定点(2,0)。

（2）由（1）得：∴由得：∴所求k的取值范围为（3）设，则有⑥又⑦而由抛物线定义知：，⑧∴将⑦，⑧代入⑥解得：，这与且矛盾。

并注意到当轴时，综上可知，。

点评：若直线与抛物线交于不同两点A、B，且，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：（Ⅰ）弦端点同名坐标之积为定值：（Ⅱ）直线AB经过抛物线的轴上一定点.例6、已知抛物线.设AB是抛物线上不重合的两个任意点，且，（O为坐标原点）（1）若，求点M的坐标；（2）试求动点M的轨迹方程。

分析：注意到这里解题头绪的繁多，故考虑对A、B坐标“既设又解”或“解而不设”，以“求解”来化解解题的难度。

解：设，则且.∴由得①解法一（既设又解）：由得又故得②∴由①、②得∴③∴（或）④于是再由已知条件得∴此时点M坐标为(4p,0).（2）设动点M(x,y)，则由得⑤又由①得：∴⑥∴由⑤、⑥得：整理得：∴所求动点M的轨迹方程为.解法二（对A、B坐标解而不设）：由题意，设直线OA的方程为，则直线OB ：.设M(x,y)，得由解得由解得∴由得⑦（1）由得：∴，即∴当时或时，均由⑦得点；（2）注意到，由⑦得∴消去参数k，得即∴所求动点M的轨迹方程为.点评：（1）本题已知条件：，四边形OAMB为矩形.（2）对解法一、解法二进行比较：（Ⅰ）对交点坐标“解而不设”思路简捷，过程明朗，通俗易懂。

因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。

（Ⅱ）细细品味，解法一中对A、B坐标的“既设又解”，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的“只设不解”有着明显不同。

其中，前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交点坐标之后，解“直线方程与曲线方程联立的方程组”，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B坐标之后，解的是“关于所设交点坐标的等式所成的方程组”，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的“既设又解”，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。

五、高考真题（一）选择题（1）（2005·全国卷）已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.分析：抛物线的准线为∴对于双曲线有：①∴②∴由①，②得：∴由②得于是：，应选D.（2）（2004·全国卷）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A. B. [-2，2] C. [-1，1] D. [-4，4]分析：抛物线的准线方程为∴点Q坐标为（-2，0）由题意，设直线l的方程为代入得：①可知，k=0符合已知条件；②∴当时，由①得③∴由②，③得应选C.（3）（2005·上海卷）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有无穷多条D.不存在分析：抛物线的焦点F（1，0）.若直线轴，则A、B横坐标之和等于2，与题意不合，故AB不垂直于x轴，于是由抛物线关于x轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B.（二）解答题1.（2005·全国卷）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.分析：从线段AB的垂直平分线的性质切入（1）直线l经过F又l为弦AB的垂线平分线，问题由此可以突破（2）以A、B关于直线l对称的条件突破难点。