中考专题-- 平行线、相交线

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中考一轮复习数学专题11 几何图形初步与相交线、平行线(老师版)

专题11 几何图形初步与相交线、平行线一、单选题1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】A【解析】【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,故选：A．【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线，其中最短的路线是（）A．①B．①C．①D．①【答案】B【解析】【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．【详解】解：①两点之间线段最短，①从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线中，最短的路线是①，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．【详解】解：由题意可知：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．故选：B【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配①C．搭配①D．搭配①【答案】D【解析】【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．【详解】解：搭配①、①、①两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配①不能，故选：D．【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．6．（2020·山东东营）如图，直线AB CD 、相交于点,O 射线OM 平分,BOD ∠若42AOC ∠=︒，则AOM ∠等于（）A ．159B ．161C ．169D ．138【答案】A【解析】【分析】先求出①AOD =180°-①AOC ，再求出①BOD =180°-①AOD ，最后根据角平分线平分角即可求解．【详解】解：由题意可知：①AOD =180°-①AOC =180°-42°=138°，①①BOD =180°-①AOD =42°，又①OM 是①BOD 的角平分线，①①DOM =12①BOD =21°，本号资料皆来源#于微信：数学①①AOM =①DOM +①AOD =21°+138°=159°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为AB ，高为AC ，一只蚂蚁在C 处，沿圆柱的侧面爬到B 处，现将圆柱侧面沿AC “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：①AB为底面直径，①将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，①两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．∥，①1＝70°，则①2的度数是（）8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a bA．50°B．60°C．70°D．110°【答案】C【解析】【分析】∥，①1＝70°，可得2170,从而可得答案．由a b【详解】∥，①1＝70°，解：①a b①2170,故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若①1＝142°，则①2的度数是()A．142°B．132°C．58°D．38°【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【详解】∥，解：①a b①21142∠=∠=︒，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【解析】【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．11．（2022·甘肃兰州）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（）A ．52°B ．45°C ．38°D ．26°【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质可得①ABC =52°，根据垂直定义可得①ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【详解】解：①a ∥b ，①①1=①ABC =52°，①AC ①b ，①①ACB =90°，①①2=90°-①ABC =38°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2022·辽宁营口）如图，直线,DE FG Rt ABC 的顶点B ，C 分别在,DE FG 上，若25BCF ∠=︒，则ABE ∠的大小为（）A ．55︒B ．25︒C ．65︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】先根据平行线的性质得到①EBC =①BCF =25°，再利用互余得到①ABE =65°．【详解】解：①DE FG ∥，25BCF ∠=︒，①①EBC =①BCF =25°①①ABC =90°，①①ABE =①ABC -①EBC =90°-25°=65°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当35ABM∠=︒时，DCN∠的度数为（）A．55︒B．70︒C．60︒D．35︒【答案】A【解析】【分析】根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，然后平行线的性质可得①BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，①①ABM=35°，①①OBC=35°，①①ABC=180°-①ABM-①OBC=180°-35°-35°=110°，①CD①AB，①①ABC+①BCD=180°，①①BCD=180°-①ABC=70°，①①BCO+①BCD+①DCN=180°，①BCO=①DCN，①1(180)552DCN BCD︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C【解析】【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，可求出①5，由l //m 可得①6=①5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，①14010'∠=︒①24010'∠=︒①518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒①l //m①659940'∠=∠=︒故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 15．（2022·山西）如图，Rt ABC △是一块直角三角板，其中90,30C BAC ∠=︒∠=︒．直尺的一边DE 经过顶点A ，若DE CB ∥，则DAB ∠的度数为（）A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B【解析】【分析】先根据平行线的性质可得90DAC C ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】解：,90C DE CB ∠=︒，90DAC C ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，120DAB D C AC BA ∠=∠+=∴∠︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则①1的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°【答案】C【解析】【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．【详解】如图：①①2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，①AB①CD，①①1＝①2＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．17．（2021·四川德阳）如图，直线AB①CD，①M＝90°，①CEF＝120°，则①MPB＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．【详解】解：①AB①CD，①①EFP=①CEF=120°，①①MPF=①EFP-①M=120°-90°=30°，①①MPB=180°-①MPF=180°-30°=150°，故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．本号资料皆来源于微信：数学第*六感18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD①平面镜，垂足为G，根据EF①平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD①平面镜，垂足为G，①EF①平面镜，①CD//EF，①①CDH＝①EFH＝α，根据题意可知：AG①DF，①①AGC＝①CDH＝α，①①AGC＝α，①①AGC12=∠AGB12=⨯60°＝30°，①α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分①AG B．19．（2020·四川广元）如图，//a b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（）A．180︒B．270︒C．360︒D．540︒【答案】C【解析】【分析】首先过点P作P A①a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【详解】解：过点P作P A①a，则a①b①P A，①①1+①MP A=180°，①3+①NP A=180°，①①1+①MPN+①3=360°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC①DE，如图①所示，则旋转角①BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质可得①CF A＝①D＝90°，由外角的性质可求①BAD的度数．【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，①BC①DE，①①CF A＝①D＝90°，①①CF A＝①B+①BAD＝60°+①BAD，①①BAD＝30°故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．21．（2020·湖北孝感）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】已知OE CD ⊥，40BOE ∠=︒，根据邻补角定义即可求出AOC ∠的度数．【详解】①OE CD ⊥①90COE ∠=︒①40BOE ∠=︒①180?180904050AOC COE EOB ∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，过点B 作BG EF ⊥于点G ，已知150∠=︒，则B ∠=（）．A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒【答案】C【解析】【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到①1=①2，再依据平行线的性质得到①B=①BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.【详解】解：延长BG，交CD于H，①①1=50°，①①2=50°，①AB①CD，①①B=①BHD，①BG①EF，①①FGH=90°，①①B=①BHD=180°-①2-①FGH=180°-50°-90°=40°.故选C.【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则ABC ∠与DEF ∠的关系是（）A ．互余B ．互补C ．同位角D ．同旁内角【答案】A【解析】【分析】利用平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图，过点G 作GH 平行于BC ，则GH DE ∥，ABC AGH ∴∠=∠，DEF FGH ∠=∠，90AGH FGH ∠+∠=︒，90ABC DEF ∴∠+∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．24．（2022·湖北荆州）如图，直线12l l ∥，AB ＝AC ，①BAC ＝40°，则①1＋①2的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【答案】B【解析】【分析】由AB ＝AC ，①BAC ＝40°得①ABC =70°，在由12l l ∥得12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒即可求解；【详解】解：①AB ＝AC ，①BAC ＝40°，①①ABC =12（180°-①BAC ）＝12（180°-40°）=70°， ①12l l ∥①12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒①12180180704070ABC BAC ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．（2021·湖南娄底）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】C【解析】【分析】取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，50EFG ∴∠=︒，180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，////MN CD AB ，,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，,ED BF 相交于点G ，60EGF BGD ∴∠=∠=︒，60B D ∴∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【解析】【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，①//BC EF ，①45FDB F ∠=∠=︒，①180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线//,AB CD AE CE ⊥于点E ，若120EAB ︒∠=，则ECD ∠的度数是（）A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°【答案】C【解析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出①AFC的度数，再利用外角的性质求出①ECF，从而求出①EC D．【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，①AB①CD，①①A+①F=180°，①120∠=︒，EAB①①F=60°，①AE①CE，①①AEC=90°，而①AEC=①F+①ECF，①①ECF=①AEC-①F =30°，①①ECD=180°-30°=150°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB①DE，△ABC是等腰三角形，①ABC＝124°，①CDE＝72°，则①ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°【解析】【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A ，本号资料皆来源于*#微信公*众号：数学【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28A ACB ，//AB DE ，28CFD A ，72CDECFD ACD ， 722844ACD ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】A【解析】根据三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°，根据//EF BC可知①CEF=①ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．【详解】解：由三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°①//EF BC①①CEF=①ACB=45°，①①CED=①CEF-①DEF=45°-30°=15°．故答案为A．【点睛】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若①ABC＝54°，则①1的大小为（）A．36°．B．54°．C．72°．D．73°．【答案】C【解析】【详解】①l1①l2，①ABC=54°，①①2=①ABC=54°，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，①AC=AB，①①ACB=①ABC=54°，①①1+①ACB+①2=180°，故选C．二、填空题31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．本号资料皆来源于微信：数@学【答案】4【解析】【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．32．（2022·广西玉林）已知①α=60°，则①α的余角等于____度．【答案】30【解析】【详解】①互余两角的和等于90°，①α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3033．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD∠=︒，则COB∠= _________．【答案】72.︒【解析】由①AOB =①COD =90°，①AOC =①BOD ，进而①AOC =①BOD =108°-90°=18°，由此能求出①BO C ．【详解】解： ①AOB =①COD =90°，∴ ①AOC =①BOD ，又①AOD =108°，∴ ①AOC =①BOD =108°-90°=18°，∴ ①BOC =90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．34．（2020·四川雅安）如图，//a b c ，与a b ，都相交，150∠=︒，则2∠=_________．【答案】130°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①1=①3，再用补角的定义得出①2.【详解】解：①a ①b ，①①1=①3=50°，①①2=180°-50°=130°，故答案为130°.【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么①BAC 的大小为______【答案】135°##135度【解析】【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯ 20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 37．（2021·湖南益阳）如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度．本号资料皆来源于微#信：数@学@【答案】60【解析】【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=，OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 38．（2022·山东济宁）如图，直线l 1，l 2，l 3被直线l 4所截，若l 1∥l 2，l 2∥l 3，①1＝126o 32'，则①2的度数是___________．【答案】5328'︒【解析】【分析】根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠=∠，进而根据邻补角性质即可求解．【详解】解：如图l1∥l 2，l 2∥l 3，23∴∠=∠，34∠=∠，24∴∠=∠，①1＝12632'︒，2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，故答案为：5328'︒．【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 39．（2022·湖北宜昌）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【解析】【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】解：C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C岛在B岛的北偏西35︒方向，∴∠=︒，35CBE∥交AB于F，如图所示：过C作CF DA∴∥∥，DA CF EB∴∠=∠=︒∠=∠=︒，FCA DAC FCB CBE50,35∴∠=∠+∠=︒，85ACB FCA FCB故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a①b，①BAC=90°，①1=50°，则①2=______．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据平行线的性质可以得到①3的度数，进一步计算即可求得①2的度数．【详解】解：①a①b，①①1=①3=50°，①①BAC =90°，①①2+①3=90°，①①2=90°-①3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，①①E =60°，①①F =30°，180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．42．（2021·四川绵阳）如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．43．（2021·辽宁阜新）如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，30CEG FEG ∴∠=∠=︒，60CEF CEG FEG ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，160CEF ∴∠=∠=︒．故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB 、CD 与EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，①EGB ＝100°，①EHD ＝80°，将木棒AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 ___°．【答案】20【解析】【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当①EHD ＝①EGN =80°，MN //CD ，再得出旋转角①BGN 的度数即可得出答案．【详解】解：过点G 作MN ，使①EHD ＝①EGN =80°，①MN //CD ，①①EGB ＝100°，①①BGN=①EGB -①EGN =100°-80°=20°，①至少要旋转20°．【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．45．（2021·湖北恩施）如图，已知//AE BC ，100BAC ∠=︒，50DAE ∠=︒，则C ∠=__________．【答案】30°【解析】【分析】由题意易得50B DAE ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和可进行求解．【详解】解：①//AE BC ，50DAE ∠=︒，①50B DAE ∠=∠=︒，①100BAC ∠=︒，①18030C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒；故答案为30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键． 46．（2020·广西贵港）如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．【答案】62°【解析】【分析】根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．【详解】解：如图：∵//m n∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠180124AOC AON ∴∠=-∠=∵OB 平分AOC ∠1622BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=故答案为62°【点睛】本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线//a b ，ABC 的顶点A 和C 分别落在直线a 和b 上，若160∠=︒，40ACB ∠=︒，则2∠的度数是__________．【答案】20°【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可得到12ACB ∠=∠+∠，从而计算出2∠的度数．【详解】解：①直线//a b ，①12ACB ∠=∠+∠，又①160∠=︒，40ACB ∠=︒，①220∠=︒，故答案为：20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．48．（2021·青海）如图，AB ①CD ，FE ①DB ，垂足为E ，①1＝50°，则①2的度数是_____．【答案】40°【解析】【分析】由EF ①BD ，①1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出①D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【详解】解：在①DEF 中，①1=50°，①DEF =90°，①①D =180°-①DEF -①1=40°．①AB ①CD ，①①2=①D =40°．故答案为40°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出①D =40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．49．（2020·湖北恩施）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．【答案】40︒【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得到①C =①4=30︒，利用平行线的性质得到①1=①3=80︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】如图，延长CB 交2l 于点D ，①AB =BC ，①C =30︒，①①C =①4=30︒，①12//l l ，①1=80︒，①①1=①3=80︒，①①C +①3+①2+①4 =180︒，即3080230180︒+︒+∠+︒=︒，①240∠=︒，故答案为：40︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．50．（2020·湖南张家界）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．【答案】76°【解析】【分析】根据平行线的性质可得①ADC 的度数，由光线的反射定理可得①ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：①DC ①OB ，①①ADC =①AOB =38°，由光线的反射定理易得，①ODE =①ACD =38°，①DEB =①ODE +①AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．本号资料皆来源#于@微信：数学三、解答题51．（2021·湖北武汉）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：①//AB CD ，①DCF B ∠=∠．①B D ∠=∠，①DCF D ∠=∠．①//AD BC ．①DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．【答案】25°【解析】【分析】使用平行线的性质得到45GFB FED ∠=∠=︒，再根据GFH GFB HFB ∠=∠-∠得到结果．【详解】解：①//AB CD①45GFB FED ∠=∠=︒①20HFB ∠=︒①GFH GFB HFB ∠=∠-∠452025=︒-︒=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．53．（2020·四川内江）如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．（1）求证：AB CD =；（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【解析】【分析】（1）根据角角边求证ABE DCF △≌△即可；（2）根据已知可得CD CF =，根据等边对等角可得结果．【详解】解：（1）证明：①//AB CD ，①B C ∠=∠，在ABE △和DCF 中，B C A D AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ABE DCF AAS △≌△，①AB CD =；（2）①AB CD =，AB CF =，①CD CF =，①D CFD ∠=∠，①ABE DCF △≌△，①40C B ∠=∠=︒， ①18040702D ︒-︒∠==︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．54．（2020·江苏镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，①1＝①B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：①D ＝①2；（2）若EF ①AC ，①D ＝78°，求①BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证①BEF ①①CDA ，可得①D ＝①2；（2）由（1）可得①D ＝①2＝78°，由平行线的性质可得①2＝①BAC ＝78°．本号资料皆来源于@@微信公#众号：数学【详解】证明：（1）在①BEF 和①CD A 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEF ①①CDA （SAS ），①①D ＝①2；（2）①①D ＝①2，①D ＝78°，①①D ＝①2＝78°，①EF ①AC ，①①2＝①BAC ＝78°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明①BEF ①①CDA 是解题的关键55．（2020·湖北武汉）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ①FN ．求证：AB ①CD ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得11,22MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．【详解】 EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠11,22MEF BEF NF CFE E ∠=∠∠∠=∴EM //FNMEF NFE ∠=∠∴1122BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 56．（2021·西藏）如图，AB ①DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，①A ＝90°，EC ①BD ，且AB ＝C D ．求证：AC ＝CE ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由平行线的性质得出①B ＝①D ，再由垂直的定义得到①DCE ＝90°＝①A ，即可根据ASA 证明①ABC ①①CDE ，最后根据全等三角形的性质即可得解．【详解】证明：①AB ①DE ，①①B ＝①D ，①EC ①BD ，①A ＝90°，①①DCE ＝90°＝①A ，在①ABC 和①CDE 中，B D AB CD A DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①ABC ①①CDE （ASA ），①AC ＝CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明①ABC ①①CDE 是解题的关键． 57．（2021·浙江温州）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出①ADE ，再利用平行线的性质求出① ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，B E ∠=∠，BC EF =．求证：AD CF =．【答案】见解析【解析】【分析】根据AB DE ∥，可得A EDF ∠=∠，根据AAS 证明ABC DEF △≌△，进而可得AC DF =，根据线段的和差关系即可求解．【详解】证明：①AB DE ∥，①A EDF ∠=∠，在ABC 与DEF 中，A EDFB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()AAS ABC DEF ≌△△， ①AC DF =，①AC DC DF DC -=-，①AD CF =．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．本号资料皆来源@于微信：数学59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．本号@@资料皆来源于微信：数学。

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。

2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。

3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即c b b a ∥，∥，则c a ∥。

4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④垂直于同一直线的两直线平行。

即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。

5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。

练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。

2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)

在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一互逆命题
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分真命题如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题假命题如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线，该点与垂足之间的线段

中考100课30相交线与平行线

中考100课第30课时相交线与平行线基础知识点：一．平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

5、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。

当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。

二.垂直1.两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

2、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

3、垂线的性质:（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

简单说：垂线段最短。

三、距离1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。

课堂练习1．如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E＝( )A．70° B．80° C 90° D 100°2．如图，若AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP与∠EFP的平分线相交于点P 且∠FEP＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝________度．3．如图，已知直线AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝________.4．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是________．5．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A＝110°，则∠D＝________.6.如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( )A 70°B 100°C 110°D 120°7.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC.若∠C＝50°∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于( ) A 70° B 100° C 110° D 120°8.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝________.9.如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝________.10．如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝______.11．如图，直线DE交∠ABC的边于点D，若DE∥BC，∠B＝70°，则∠ADE的度数是________．12．如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B.已知∠1＝35°，则∠2的度数为( ) A 165° B 155° C 145° D 135°13.如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是( ) A 125° B 135° C 145° D 155°14．如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝ ( )A 120°B 130°C 140°D 150°16．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )A ∠1B ∠2C ∠4D ∠516．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A 35° B．55° C 70° D 110°17．如图，已知AB∥ED，∠B＝58°，∠C＝35°，则∠D的度数为________．18．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．19．如图，直线l1∥l2，∠1＝120°，则∠2＝________.20．如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数是________．21．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝____度22．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．23．如图所示，当∠BED与∠B、∠D满足_____ ___时，可以判定AB∥CD.(1)在横线上填上一个条件；(2)试说明你所填条件的理由．课堂检测1．（2013•大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）A．35°B．70°C．110° D．145°2．（2013•遵义）如图，直线l 1∥l 2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（）3、(2010年山东聊城)如图，l ∥m ，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝( )A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4.（2010年宁德市）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ∠1=35°，那么∠2是_______°．5、(2010年滨州)如图,已知AB ∥CD,BE 平分∠ABC,且CD 于D 点, ∠CDE=150°, 则∠C 为( )A.120°B.150°C.135°D.110°E D CB A6. （2013•新疆）如图，AB ∥CD ，BC ∥DE ，若∠B=50°，则∠D 的度数是．7．（2013•六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个8．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2．题图。

初中数学第五章相交线与平行线知识点-+典型题附解析

初中数学第五章相交线与平行线知识点-+典型题附解析一、选择题1．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°2．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 3．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数为（）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°4．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．∠BCD= ∠DCE;B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D ．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180︒.5．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短6．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠47．下列语句是命题的是 ( )（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）8．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（）已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD证明：延长BE交__※__于点F，则∠BEC＝__⊙__+∠C又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝▲∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行）A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB 9．下列各命题中，属于假命题的是（）A．若0a b-＞，则a b＞B．若0a b-=，则0ab≥C．若0a b-＜，则a b＜D．若0a b-≠，则0ab≠10．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④二、填空题11．如图，//AB CD，GF与AB相交于点H，与CD 于F，FE平分HFD∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．12．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D 重合，若固定三角形AOB ，将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周，共有 _________次出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行．13．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；（3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．14．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___15．如图，直线a ∥b ∥c ，直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上，两边分别与直线a ，c 相交于点B ，C ，则∠1＋∠2的度数是___________．16．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．17．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．18．如图，AD ∥BC ，∠D=100°，CA 平分∠BCD ，则∠DAC=________度．19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．三、解答题21．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.22．已知：直线l 分别交AB 、CD 与E 、F 两点，且AB ∥CD ．（1）说明：∠1=∠2；（2）如图2，点M 、N 在AB 、CD 之间，且在直线l 左侧，若∠EMN +∠FNM =260°， ①求：∠AEM +∠CFN 的度数；②如图3，若EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ，求∠P 的度数；（3）如图4，∠2=80°，点G 在射线EB 上，点H 在AB 上方的直线l 上，点Q 是平面内一点，连接QG 、QH ，若∠AGQ =18°，∠FHQ =24°，直接写出∠GQH 的度数．23．问题情境：如图1，AB CD ，130PAB ∠=，120PCD ∠=．求 APC ∠ 度数．小明的思路是：如图2，过 P 作 PE AB ，通过平行线性质，可得5060110APC ∠=+=．问题迁移：（1）如图3，AD BC ，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出 CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 间的数量关系．24．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．25．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ，并简要说明理由.26．如图1，已知直线PQ ∥MN ，点A 在直线PQ 上，点C 、D 在直线MN 上，连接AC 、AD ，∠PAC ＝50°，∠ADC ＝30°，AE 平分∠PAD ，CE 平分∠ACD ，AE 与CE 相交于E ．（1）求∠AEC 的度数；（2）若将图1中的线段AD 沿MN 向右平移到A 1D 1如图2所示位置，此时A 1E 平分∠AA 1D 1，CE 平分∠ACD 1，A 1E 与CE 相交于E ，∠PAC ＝50°，∠A 1D 1C ＝30°，求∠A 1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD 沿MN 向左平移到A 1D 1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A 1EC 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考点：平行线的性质2．B解析：B【解析】分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.详解：(1)因为点B ，E 是对应点，且BE ＝2，所以△ABC 平行的距离是2，则①错误； ②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG ，解得EG ＝4.5，则②正确；③因为A ，D 是对应点，C ，F 是对应点，所以AD ∥CF ，则③正确；④平行四边形ADFC 的面积为AB ·CF ＝AB ·BE ＝6×2＝12，则④错误.故选B .点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.3．D解析：D【分析】由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.【详解】∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，∴70DEB ∠=︒∴270140BEF ︒=∠=⨯︒∵//EF BC∴180B BEF ∠+∠=︒∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选D【点睛】此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用4．D解析：D【解析】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.详解：延长DC 到H∵AB ∥CD ，EF ∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故选D.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.5．D解析：D【解析】根据真假命题的概念，可知：A 、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；B 、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．C 、射线是直线的一部分，选项错误；D 、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；故选：D ．6．C解析：C【解析】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD ∥BC ，由∠1=∠4，得到AB∥CD.故选C.7．A解析：A【分析】根据命题的定义对四句话进行判断．【详解】解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．所以，是命题的为（1）（2），故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．C解析：C【分析】延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．【详解】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝∠EFC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B＝∠EFC 是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、正确，符合不等式的性质；B、正确，符合不等式的性质．C、正确，符合不等式的性质；D、错误，例如a=2，b=0；故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．10．D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．二、填空题11．65°【分析】由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．【详解】∵∴∠EHF+∠HFD=180°∵∴∠HFD=130°∵平分，∴∠HFE=∠HFD=解析：65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵//AB CD∴∠EHF+∠HFD=180°∵50EHF ∠=︒∴∠HFD=130°∵FE 平分HFD ∠，∴∠HFE=12∠HFD=1130652⨯︒=︒ 故答案为：65°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．12．【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD＝45°；（2）如图2，解析：8【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°；（2）如图2，当AC 边与OB 平行时，∠BAD ＝90°+45°＝135°；（3）如图3，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝60°+90°＝150°，（4）如图4，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝135°+30°＝165°，（5）如图5，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°﹣30°＝15°；（6）如图6，DC 边与AO 边平行时，∠BAD ＝15°+90°＝105°（7）如图7，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝30°，（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．13．平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由，得出a∥c；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平解析：平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）． 14．130cm2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S 阴影=S 梯形MGHD =12（DM+GH ）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm 2）．故答案是130cm 2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．15．270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC 是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵解析：270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵b∥c∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，∵∠BAC是直角，∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，∴90°=360°-（∠1+∠2），∴∠1+∠2=270°．故答案为：270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．16．70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：，∴∠解析：70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：12DCF DCE ∠=∠，∴∠α=70°．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．17．48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°解析：48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．18．40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∴解析：40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∴∠ACB=12∠BCD=40°，∴∠DAC=∠ACB=40°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．19．60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答. 【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80解析：60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80°，又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.20．【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵，，∴，∴∠4=90°−∠3=55°，∵，∴∠2解析：55︒【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵//a b ，135∠=︒，∴335∠=︒，∴∠4=90°−∠3=55°，∵////a b c ，∴∠2=∠4=55°.故答案为：55°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题21．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.【分析】感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；【详解】解：理由如下，【感知】过E点作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°【应用】过点F作FH∥AB.∵AB ∥CD ，∴FH ∥CD ，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．22．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．【分析】（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．【详解】（1）//AB CD1EFD ∴∠=∠，2EFD ∠=∠12∠∠∴=；（2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠， ∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，即40P ∠=︒；（3）分四种情况进行讨论：由已知条件可得80BEH ∠=︒，①如图：118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒182HPQ EPG ∴∠=∠=︒11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒ ②如图：104 BPH FHP BEH∠=∠+∠=︒，22122BQ H BPH AGQ∴∠=∠+∠=︒；③如图：56BPH BEH FHP∠=∠-∠=︒，3338BQ H BPH AGQ∴∠=∠-∠=︒；④如图：104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ，4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；综上所述，∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．23．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β【分析】（1）过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，根据题意得出AD ∥PE ∥BC ，从而利用平行线性质可知α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，据此进一步证明即可；（2）根据题意分当点P 在A 、M 两点之间时以及当点P 在B 、O 两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.【详解】（1）∠CPD=αβ∠+∠，理由如下：如图3，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE +∠CPE=αβ∠+∠；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=βα∠-∠，理由如下：如图4，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠EPD ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠CPE −∠EPD=βα∠-∠；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=αβ∠-∠，理由如下：如图5，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE −∠CPE=αβ∠-∠，综上所述，当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.24．110︒；（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠．【分析】问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ．（1）过点P 作PQ AD ，得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠，即可得到CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．【详解】解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE AB∴PE ∥AB ∥CD ， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠过点P 作PQ AD .又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC则ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）情况1:如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β情况2：如图所示，当点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．25．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.【详解】解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，∴3180αα+=︒，∴45α=，∴3135BCD α∠==︒；（3）分两种情况：①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒，又90DCE ∠=︒，∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.26．（1）∠AEC ＝130°；（2）∠A 1EC ＝130°；（3）∠A 1EC ＝40°．【解析】【分析】(1)由直线PQ ∥MN ，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；(2)如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；(3)如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。

中考数学第五章相交线与平行线(讲义及答案)附解析

中考数学第五章相交线与平行线(讲义及答案)附解析一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（）A．∠B与∠2是同旁内角B．∠A与∠1是同位角C．∠3与∠A是同旁内角D．∠3与∠4是内错角2．下列说法：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④两点之间直线最短，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ；④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )A．、1个B．2个C．3个D．4个4．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°6．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短7．下列说法中,错误的有( )①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;②若a∥b,b∥c,那么a∥c;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°9．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61°B．58°C．48°D．41°10．下列说法中不正确的个数为（）．①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．②有且只有一条直线垂直于已知直线．③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠B＝∠5，③∠3＝∠4，④∠5＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AD∥BC的条件是______(填序号)；能够得到AB∥CD 的条件是_______．(填序号)12．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝_____（度）．13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．14．如图，已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________15．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）16．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是．17．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．18．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．19．如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．20．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．三、解答题EF MN，点,A B分别为EF，MN上的点．21．已知直线//（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN ∠与ADB ∠的度数；（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒；（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠”改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）22．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=，求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）23．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF //CD ．∴∠FED ＝∠D ．∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．即∠BED ＝∠B +∠D ．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数；（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．24．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；（问题迁移）（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．25．（1）①如图1，//AB CD ，则B 、P ∠、D ∠之间的关系是；②如图2，//AB CD ，则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是；（2）①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3)．证明：123BPD ∠=∠+∠+∠②将图2中AB 绕点A 顺时针旋转一定角度交CD 于H (如图4)证明：360E C CHA A ∠+∠+∠+∠=︒（3）利用（2）中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=26．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．【详解】解：A ．∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；B ．∠A 与∠1不是同位角，故本选项错误；C ．∠3与∠A 是AE 、DE 被AD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；D ．∠3与∠4是内错角AD 、CE 被ED 所截而成的内错角，故本选项正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．2．A解析：A【分析】据平行线的性质可判断①③错误；根据对顶角相等，可判断②错误；据线段的性质可判断④错误；即可得出结论．【详解】解：①在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故①错误；②对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故②错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；④两点之间线段最短；故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了平行公理、平行线的性质、相等的性质、对顶角相等的性质；熟记有关性质是解决问题的关键．3．C解析：C【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.4．B解析：B【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进行判断．详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；两点之间，线段最短，所以③正确；有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．故选B．点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．B解析：B【解析】因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．6．D解析：D【解析】根据真假命题的概念，可知：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．C、射线是直线的一部分，选项错误；D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；故选：D．7．B解析：B【解析】①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交或平行，故本小题错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；④在平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种，故不正确.因此只有②③正确.故选：B.8．D解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．9．B解析：B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【详解】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；∴不正确的有①②④⑤四个．故选：C．【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．二、填空题11．①④ ②③⑤【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：∵①∠1=∠2，∴AD∥BC；②∵∠B=∠5，解析：①④ ②③⑤【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：∵①∠1=∠2，∴AD∥BC；②∵∠B=∠5，∴AB∥DC；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD；④∵∠5=∠D，∴AD∥BC；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，∴能够得到AD∥BC的条件是①④，能够得到AB∥CD的条件是②③⑤，故答案为①④，②③⑤．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．14．90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析：90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D―∠B=90°故答案为：90°【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．15．n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵解析：n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．16．6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解析：6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC 内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线解析：50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=12（180°﹣∠4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18．80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80解析：80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.19．40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.解析：40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.故答案为：40.20．45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC ∥AD 时,∠DAE=∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD =∠DAE =45°；当BC ∥AD 时,∠DAE =∠B =60°；当BC ∥AE 时,∵∠EAB =∠B =60°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；当AB ∥DE 时,∵∠E =∠EAB =90°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°.故答案为45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.三、解答题21．（1）120º，120º；（2）160；（3）()1360n m n -⋅- 【分析】（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠求解即可；（3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠求解即可；【详解】解：（1）如图示，分别过点,C D 作CGEF ，DH EF ，∵EFMN ， ∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒，∵1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．故答案为：160；（3）同理（1）的求法∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴ACG FAC m ∠=∠=︒，∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-︒∠-∠=-=∠︒，又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-=︒， ∴()1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=-︒︒-︒︒-+︒．故答案为：()1360n m n-⋅-．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．22．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．【详解】解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，∵//AB CD ，∴//GH CD ，∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．（2）如图，过点G 作//GP AB ，180BEG EGP ∴∠+∠=︒，180EHG HGP ∠+∠=︒，90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，90EHG EGP ∴∠+∠=︒，//AB CD ，DFG EHG ∴∠=∠，180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，90EGF ∴∠=︒，90GFT ERT ∴∠+∠=︒，90KFT ERT ∴∠+∠=︒，ERT TEB ∠=∠，90KFT TEB ∴∠+∠=︒，//AB CD ，FKT TEB ∴∠=∠，90KFT FKT ∴∠+∠=︒，90FTK ∴∠=︒，KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．∴FR 与HK 的位置关系是垂直．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．23．（1）65°；（2）1118022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据∠ABC =60°，∠ADC =70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED 的度数；（2）如图2，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的右侧时，∠ABC =α，∠ADC =β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED 的度数．【详解】（1）如图1，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF =∠EBA ．∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ．∴∠FED =∠EDC ．∴∠BEF +∠FED =∠EBA +∠EDC ．即∠BED =∠EBA +∠EDC ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ， ∴∠EBA =12∠ABC =30°，∠EDC =12∠ADC =35°， ∴∠BED =∠EBA +∠EDC =65°．答：∠BED 的度数为65°；（2）如图2，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=12α，∠EDC=12∠ADC=12β，∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣12α +12β．答：∠BED的度数为180°﹣12α +12β．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．24．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PE ∥CD ，∴∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图所示，当P 在BD 延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；如图所示，当P 在DB 延长线上时，∠CPA=∠β-∠α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．25．（1）①B D P ∠+∠=∠，②360A E C ∠+∠+∠=︒；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）540︒．【分析】（1）①如图1中，作//PE AB ，利用平行线的性质即可解决问题；②作//EH AB ，利用平行线的性质即可解决问题；（2）①如图3中，作//BE CD ，利用平行线的性质即可解决问题；②如图4中，连接EH ．利用三角形内角和定理即可解决问题；（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和540︒即可解决问题；【详解】解：（1）①如图1中，作//PE AB ，//AB CD ，//PE CD ∴，1B ∴∠=∠，D 2∠=∠，12B D BPD ．②如图2，作//EH AB ，//AB CD ，//EH CD ，1180A ∴∠+∠=︒，2180C ， 12360A C ， 360A AEC C ．故答案为B D P ∠+∠=∠，360A E C ∠+∠+∠=︒．（2）①如图3中，作//BE CD ，3EBQ，1EBP EBQ ， 2132BPD EBP ．②如图4中，连接EH ．180AAEH AHE ，180C CEB CBE ， 360A AEH AHE CEH CHE C ，360A AEC C AHC ．（3）如图5中，设AC 交BG 于H ．AHB A B F ，AHB CHG ∠=∠，在五边形HCDEG 中，540CHG CD E G ， 540A B F C D E G【点睛】本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．26．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．【分析】(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；【详解】解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠180BAM BAN ∠+∠=︒，∴60BAN ∠=︒，∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）故结果为：60︒；（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，①当090t <<时，如图，//PQ MN ，PBF BFA ∴∠=∠，//AE BF ，EAM BFA ∴∠=∠，EAM PBF ∴∠=∠，21(30)t t ∴=⋅+，解得30t =；②当90180t <<时，如图，//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，解得110t =，综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，理由：设射线AM 转动时间为m 秒，作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，而120ACD ∠=︒，()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，1802CAN m ∠=︒-，()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，:2:1BAC BCD ∴∠∠=，即2BAC BCD ∠=∠，BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．【点睛】本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．。

中考数学专项练习相交线与平行线(含解析)

中考数学专项练习相交线与平行线（含解析）一、单选题1.下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（）A.B. C.D.2.下列说法：（1）同角的余角相等（2）相等的角是对顶角（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短中，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A.120°B.130°C.140°D.40°4.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=（）A.10°B.15°C.20°D.30°5.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，若∠EOD= 110°，则∠AOC的度数是（）A.35°B.55°C.70°D.110°6.如图，在△ABC中，∠CAB＝70º，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB, 则∠BAD的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.50°7.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于点H,EF⊥AB于点F，则下列结论中，不正确的是（）A.ACD=B B.CH=CE=EF C.AC=AF D.CH=HD8.如图，以下推理正确的是（）A.若AB∥CD，则∠1=∠2B.若AD∥BC，则∠1=∠2C.若∠B=∠D，则AB∥CDD.若∠CAB=∠ACD，则AD∥BC9.如图，下列说法中，正确的是（）A.因为∠A+∠D=180°，因此AD∥BC B.因为∠C+∠D=18 0°，因此AB∥CDC.因为∠A+∠D=180°，因此AB∥CD D.因为∠A+∠C=18 0°，因此AB∥CD10.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（）A.3B.4C.4D.2二、填空题11.填写理由AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?什么缘故?解:BE∥/DF∵AB⊥BC,∠ABC=________即∠3+∠4=________又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3∴________=________理由是：________∴BE∥DF理由是:________12.如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3等于________．13.如图，直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3 = 25°，转动直线a，当∠1=________,时，a∥b14.如图一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD，是依照________15.如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F=40°，则∠E=________度．16.如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________．17.如图，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE ⊥AC于E，OE=2，则点O到AB与CD的距离之和为________．18.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，O D∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长________cm．三、运算题19.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，若BC∥DE，求∠B的度数．20.如图在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠BA D和∠BCD．试问直线AE、CF的位置关系如何？请说明你的理由．21.如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=68°，求∠AGD的度数．22.已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．四、解答题23.如图,直线l1∥l2,∠BAE=125°,∠ABF=85°,则∠1+∠2等于多少度?24.如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．25.已知：如图，a//b，∠1=55°，∠2=40°，求∠3和∠4的度数．五、综合题26.如图，点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y= x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PC﹣PA的最大值．（3）CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，CE交OA于点D，求O E所在直线的函数关系式．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】对顶角、邻补角【解析】【解答】解：依照对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角，故选C．【分析】依照对顶角的定义来判定，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，如此的两个角叫做对顶角．2.【答案】C【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线段最短【解析】【解答】解：同角的余角相等，故（1）正确；如图：∠ACD=∠BCD=90°，但两角不是对顶角，故（2）错误；在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故（3）正确；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；即正确的个数是3，故选C．【分析】依照余角定义，对顶角定义，垂线段最短，平行线定义逐个判定即可．3.【答案】C【考点】平面中直线位置关系【解析】【解答】解：如图，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故答案为：C．【分析】第一依照同位角相等，两直线平行可得a∥b，再依照平行线的性质可得∠3=∠5，再依照邻补角互补可得∠4的度数．4.【答案】B【考点】平行线的性质【解析】【解答】过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，∴45°+α=（60°-α)+（30°-α)，解得α=15°．故选B．【分析】过点P作一条直线平行于AB，依照两直线平行内错角相等得：∠APC=∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解即可．注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．5.【答案】B【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角【解析】【解答】解：∵∠EOD=110°，OB平分∠EOD，∴∠BOD = ∠EOD=55°，∴∠AOC=∠BOD=55°，故选：B．【分析】依照角平分线定义可得∠BOD= ∠EOD，由对顶角性质可得∠A OC=∠BOD．6.【答案】C【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】因为△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转得到的，因此△ADE≌△ABC，因此∠CAB＝∠EAD=70º，AE=AC，因为EC∥AB，因此∠CAB＝∠ECA=70°，因为AE=AC，因此∠AEC=70°，因此∠EAC=180°-70°×2=40°，因此∠CAD=∠EAD-∠EAC=70º-40°=30°，因此∠BAD=∠CAB-∠CAD =70º-30°=40°.【点评】该题是常考题，要紧考查学生对图形旋转的意义，以及对全等三角形性质和角的等量代换的应用。

中考数学相交线与平行线专题训练50题-含答案

中考数学相交线与平行线专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．一副直角三角板如图所示摆放，它们的直角顶点重合于点O，//CO AB，则∠=（）BODA．30︒B．45︒C．60︒D．90︒2．∠1与∠2是一组平行线被第三条直线所截的同旁内角，若∠1=50°，则（）A．∠2=50°B．∠2=130°C．∠2=50°或∠2=130°D．∠2的大小不一定3．如图，AB//CD，如果∠B＝30°，那么∠C为（）A．40°B．30°C．50°D．60°4．如图，已知∠1＝50°，要使a∠b，那么∠2等于（）A．40°B．130°C．50°D．120°5．在同一平面内不重合的三条直线的交点个数（）A．可能是0个，1个，2个B．可能是0个，1个，3个C．可能是0个，1个，2个，3个D．可能是0个，2个，3个6．在下图中，1∠是同位角的是（）∠和2A ．（1）、（2）B ．（1）、（3）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4） 7．在平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，5），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为（）A ．6，（﹣3，5）B ．6，（3，2）C ．3，（3，0）D ．3，（3，2） 8．下面四个图形中，1∠与2∠是同位角的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，直线l ∠m ，将Rt △ABC (∠ABC =45°)的直角顶点C 放在直线m 上，若∠2=24°，则∠1 的度数为( )A ．23︒B ．22︒C ．21︒D ．24︒ 10．如图，已知1130∠=︒，250∠=︒，3115∠=︒，则4∠的度数为（）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．50︒11．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，则∠AGE 的同位角是（）A ．∠BGEB ．∠BGFC ．∠CHED ．∠CHF 12．下列四个选项中不是命题的是（）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =13．如图，直线AB 、直线CD 交于点E ，EF AB ⊥，则CEF ∠与BED ∠的关系是（）A ．互余B ．相等C ．对顶角D ．互补 14．下列命题是真命题的是（）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．同旁内角互补，两直线平行D ．同位角相等15．如图，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E ，F 在DB 上两点且BF ＝DE ，若∠AEB ＝120°，∠ADB ＝30°，则∠BCF ＝（）A ．150°B ．40°C ．80°D ．90° 16．如图，直线a //b ，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55° 17．如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点M ，N ，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若80EMB ∠=︒，则PNM ∠等于（）A ．15°B ．25°C ．35°D ．45° 18．如图，∠1=∠2=22°，∠C=130°，则∠DAC = （）A ．28°B ．25°C ．23°D ．22° 19．如图，∠ADB ＝∠ACB ＝90°，AC 与BD 相交于点O ，且OA ＝OB ，下列结论：∠AD ＝BC ；∠AC ＝BD ；∠∠CDA ＝∠DCB ；∠CD ∠AB ，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 20．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（）A ．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B ．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C ．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°二、填空题a b∠=︒，则∠2=_________．21．如图，已知直线//,17022．如图，AB∠CD，CE∠GF，若∠1＝60°，则∠2＝_____°．23．如图，直线AC和FD相交于点B，下列判断：∠∠GBD和∠HCE是同位角；∠∠ABD和∠ACH是同位角；∠∠FBC和∠ACE是内错角；∠∠FBC和∠HCE是内错角；∠∠GBC和∠BCE是同旁内角．其中正确的是____．（填序号）24．如图，直线a，b交于点O，若138∠=︒，则2∠=__°．25．如图，四边形ABCD，点E是AB的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定∥．这个条件是______．AD BC26．如图，AB 、BC 是∠O 的弦，OM ∥BC 交AB 于点M ，若∠AOC =100°，则∠AMO =___.27．检验直线与平面平行的方法：（1）______________只能检验直线与水平面是否平行；（2）______________可以检验一般的直线与平面是否垂直；28．如图，AB//CD ，点E 在线段BC 上，若140∠=，230∠=，则3∠的度数是______．29．命题：“两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角”是_____命题（填“真”或“假”）30．如图，AB∠CD ．EF∠AB 于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=58°12'，则∠2=______．31．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数解：因为∠DOB=∠______ ( )_________=80° （已知）所以，∠DOB=____°（等量代换）又因为∠1=30°( )所以∠2=∠____- ∠_____ = _____ - _____=_____ °32．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠．图中∠1=100°，则∠2=____°．33．已知，如图，在△ABC 中，BO 和CO 分别平分△ABC 和△ACB ，过O 作DE△BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若BD+CE=5，则线段DE 的长为________．34．如图，在四边形ABCD 中，AB ∠CD ，连接AC ，BD ．若∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝BD ，AD ＝AE 则∠ADC ＝_____°．35．如图，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥,若1=25∠．，则2∠的度数为______.36．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，90A ∠=︒，4AB =，3BC =，点E 为BCD ∠的平分线上一点，连接BE ，且3BE =，连接DE ，则CDE 的面积为________．37．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在点C ′、D ′处，若∠AFE=65°，则∠C ′EB =________度.38．已知 ∠1 的两边分别平行于 ∠2 的两边，若 ∠1 = 40°，则 ∠2 的度数为__． 39．如图，在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF∠BC 交AB 于E ，交AC 于F.若BE=2，CF=3，则线段EF 的长为________.40．如图，在t R ABC ∆中，90︒∠=C ，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是________.三、解答题41．如图，∠A=∠1，∠1=∠2，CD 平分∠ADE ，试说明∠C=∠ADC ．42．如图．BA DE ∥，30B ∠=︒，40D ∠=︒，求∠C 的度数．43．如图所示，已知12180,3,B DE ∠+∠=︒∠=∠和BC 平行吗？如果平行，请说明理由．44．如图，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AF ∠CE 于点O ，∠1=∠B ，∠A +∠2=90°，求证∠AB ∥CD ．请填空．证明∠∠AF ∠CE （已知），∠∠AOE =90°(___)又∠∠1=∠B （已知）∠CE ∥BF (_____)，∠∠AFB =∠AOE (___)∠∠AFB =90°(_)又∠∠AFC +∠AFB +∠2=180°（平角的定义）∠∠AFC +∠2=(________)又∠∠A +∠2=90°（已知）∠∠A =∠AFC (_____)∠AB ∥CD (_____)45．如图，在∠ABC 中，AB ＝BC ，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且DE ∠AC ，AD ＝DE ，点F 在边AC 上，且CE ＝CF ，连接FD ．(1)求证：四边形DECF是菱形；(2)如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．46．已知：如图，B、D分别在AC、CE上，AD是∠CAE的平分线，BD∠AE，AB＝BC．求证：AC＝AE．47．如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．（1）求证：AB∠DE；（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．∠如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；∠直接写出∠DPG的度数为（结果用含α的式子表示）．48．完成下面的证明．已知：如图，BC∠DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．求证：∠1＝∠2．证明：∠BC∠DE，∠∠ABC＝∠ADE（）．∠BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∠∠3＝12∠ABC，∠4＝12∠ADE．∠∠3＝∠4．∠∠（）．∠∠1＝∠2（）．49．如图所示，∠ABC∠∠DEF，试说明AB∠DE，BC∠EF．50．(1)填空：如图∠，AB∠CD，猜想∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．解：过点P作EF∠AB，如图所示∠∠B＋∠BPE=180°（______________________________）．∠AB∠CD，AB∠EF∠EF∠CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么（_____________________）．∠∠EPD＋∠D=180°∠∠B＋∠BPE＋∠EPD＋∠D=________，即∠BPD＋∠B＋∠D=360°(2)仿照上面的解题方法，观查图∠，已知AB∠CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．(3)观查图∠和∠，已知AB∠CD，猜想图中∠BPD与∠B，∠D的关系，不需要说明理由．参考答案：1．C【分析】由AB //CO 得出∠BAO =∠AOC ，即可得出∠BOD ．【详解】解：//AB CO ，60OAB AOC ∴∠=∠=︒6090150BOC ∴∠=︒+︒=︒90AOC DOA DOA BOD ∠+∠=∠+∠=︒60AOC BOD ∴∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查两直线平行内错角相等的知识点，掌握这一点才能正确解题． 2．B【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得．【详解】根据题意有：∠1+∠2=180°，∠∠1=50°，∠∠2=130°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的知识，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．3．B【分析】根据两直线平行内错角相等即可解决．【详解】解：//30AB CD B ∠=︒，，30C ∴∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；题目较简单，能正确识别角的类型是解题的关键．4．C【分析】先假设a ∠b ，由平行线的性质即可得出∠2的值．【详解】解：假设a ∠b ，∠∠1=∠2，∠∠1=50°，∠∠2=50°．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．5．C【分析】在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,平行和相交,三条直线互相平行无交点,两条直线平行,第三条直线与它相交,有2个交点,三条直线两两相交,最多有3个交点,最少有1个交点．【详解】解：由题意画出图形，如图所示：故选C.【点睛】本题考查了直线的交点个数问题,此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况,需要运用分类讨论思想,解答时要分各种情况解答,要考虑到可能出现的所有情形,不要遗漏,否则讨论的结果就不全面．6．B【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可．【详解】解：∠∠1和∠2是同位角；∠∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角；∠∠1和∠2是同位角；∠∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角．故选：B．【点睛】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F “形．7．D【分析】由AC x ∥轴，A （-3，2），根据坐标的定义可求得y 值，根据线段BC 最小，确定BC ∠AC ，垂足为点C ，进一步求得BC 的最小值和点C 的坐标．【详解】解：∠AC x ∥轴，A （-3，2），(),C x y ，()3,5B ，∠y =2，当BC ∠AC 于点C 时，点B 到AC 的距离最短，即：BC 的最小值为：5−2=3， ∠此时点C 的坐标为(3，2)，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标，根据题意，画出图形，掌握“直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短”，是解题的关键．8．D【分析】根据同位角的定义和图形逐个判断即可．【详解】A 、不是同位角，故本选项错误；B 、不是同位角，故本选项错误；C 、不是同位角，故本选项错误；D 、是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．9．C【分析】过点B 作直线b∠l ，再由直线m∠l 可知m∠l∠b ，得出∠3=∠1，∠2=∠4，由此可得出结论．【详解】解：过点B 作直线b∠l ，如图所示：∠直线m∠l ，∠m∠l∠b ，∠∠3=∠1，∠2=∠4．∠∠2=24°，∠∠4=24°，∠∠3=45°-24°=21°，∠∠1=∠3=21°；故选择：C.【点睛】本题考查的是平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．10．A【分析】如图，由题意易得a ∠b ，则有∠3+∠5=180°，∠4=∠5，然后问题可求解．【详解】解：如图，∠1130∠=︒，250∠=︒，∠12180∠+∠=︒，∠a ∠b ，∠∠3+∠5=180°，∠3115∠=︒，∠4565∠=∠=︒；故选A ．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．11．C【分析】根据同位角的定义进行分析解答即可，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做同位角．【详解】解：∠直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠只有∠CHE 与∠AGE 在截线EF 的同侧，且在AB 和CD 的同旁，即∠AGE 的同位角是∠CHE ．故选：C ．【点睛】本题考查同位角概念，解题的关键在于运用同位角的定义正确地进行分析． 12．B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．13．A【分析】根据邻补角的定义由90BEF ∠=︒得到90FEA ∠=︒，即90CEA AEF ∠+∠=︒，再根据对顶角相等得到CEA BED ∠=∠，所以90CEF BED ∠+∠=︒．【详解】解：90BEF ∠=︒，90FEA ∴∠=︒，即90CEA CEF ∠+∠=︒，CEA BED ∠=∠，90CEF BED ∴∠+∠=︒，即CEF ∠与BED ∠互余．故选：A ．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角：解题的关键是：知道有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．14．C【分析】根据两直线的位置关系、平行线的性质与判定分别进行判断即可．【详解】A：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；B：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；C：平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，正确；D：平行线的性质：两直线平行，同位角相等，错误．故答案选：C【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行线的性质与判定，掌握两直线的位置关系以及平行线的性质与判定是解题关键．15．D【详解】解：∠AB=DC，AD=BC，∠四边形ABCD为平行四边形，∠∠ADE=∠CBF，∠BF=DE，∠∠ADE∠∠CBF，∠∠BCF=∠DAE，∠∠DAE+∠ADB=∠AEB∠∠BCF=∠DAE=∠AEB-∠ADB=90°故选D．16．C【分析】根据平行线的性质可得同位角相等，再根据三角形的外角性质可求出∠3，即可求出结果．a b【详解】解：//∴∠=∠︒14=85∠=∠∠，由三角形外角性质知，42+3∠=︒又235∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，342853550故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．C【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论．【详解】解：∠AB∠CD，∠∠DNM=∠BME=80°，∠∠PND=45°，∠∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．18．A【详解】因为∠1=∠2=22°，所以AB//CD，所以∠DAC+∠CAB=180°.由于∠C=130°，则︒-︒-︒=︒.故选A.∠DAC=180130222819．D【分析】由△ABC∠∠BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故∠∠正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故∠正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∠AB，故∠正确；【详解】解：∠OA＝OB，∠∠DAB＝∠CBA，∠∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∠∠ABC∠△BAD（AAS），∠AD＝BC，AC＝BD，故∠∠正确，∠BC＝AD，BO＝AO，∠CO＝OD，∠∠CDA＝∠DCB，故∠正确，∠∠COD＝∠AOB，∠∠CDO＝∠OAB，∠CD∠AB，故∠正确，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活的选择判定方法证明三角形全等.20．B【详解】A. 如图：∠∠1=38°,∠2=142°，∠∠3=180°−∠2=38°，∠∠4=∠1+∠3=76°≠∠1，∠AB与CD不平行；故本选项错误；B. 如图：∠∠1=∠2=38°，∠AB∠CD，且方向相同；故本选项正确；C. 如图：∠∠2=142°，∠∠3=180°−∠2=38°，∠∠1=38°，∠∠1=∠2，∠AB∠CD，但方向相反；故本选项错误；D. 如图：∠∠2=40°，∠∠3=180°−∠2=140°≠∠1，∠AB与CD不平行，故本选项错误.故选：B.21．110°【详解】解：根据a∠b得∠1=∠3=70°，∠∠2+∠3=180°，∠∠2=180°-70°=110°．故答案为110°．22．60【分析】根据AB∠CD得出：∠1＝∠CEF，又CE∠GF得出：∠2＝∠CEF，根据等量代换∠=∠=︒．即可得出：1260【详解】解：∠AB∠CD，∠∠1＝∠CEF，∠CE∠GF，∠∠2＝∠CEF，∠∠2＝∠1，∠∠1＝60°，∠∠2＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查平行线的性质，注意两直线平行，内错角相等、同位角相等． 23．∠∠∠【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可.【详解】∠中∠GBD 和∠HCE 没有任何关系，故∠错；∠中∠ABD 和∠ACH 是直线FD 与直线CH 被直线AC 所截形成的同位角，故∠对； ∠中∠FBC 和∠ACE 是直线FD 与直线CE 被直线AC 所截形成的内错角，故∠对； ∠中∠FBC 和∠HCE 没有任何关系，故∠错；∠中∠GBC 和∠BCE 是直线BG 与直线CE 被直线AC 所截形成的同旁内角，故∠对；综上正确的有：∠∠∠.【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，解题的关键是能够熟练地掌握同位角、内错角、同旁内角的定义即可.24．38【分析】根据对顶角相等进行解答即可．【详解】解：∠图中1∠和2∠是对顶角，138∠=︒，∠2138∠=∠=︒．故答案为：38．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，是解题的关键． 25．A CBE ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定方法结合图形进行补充条件即可．【详解】解：补充：,A CBE由同位角相等，两直线平行可得,AD BC ∥补充：180,A ABC根据同旁内角互补，两直线平行可得,AD BC ∥故答案为：A CBE ∠=∠或180A ABC ∠+∠=︒（任写一个即可）【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行”是解本题的关键．26．50°##50度【分析】先由圆周角定理求出∠B 的度数，再根据平行线的性质即可求出∠AMO 的度数【详解】∠∠AOC =2∠B ，∠AOC =100°，∠∠B =50°，∠OM ∥BC ，∠∠AMO =∠B =50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理，并找到∠AMO 与∠B 的关系，已知角与∠B 的关系，从而求出角的度数．27．铅垂线合页型折纸【分析】根据平行线的判定，以及“铅垂线”、“合页型折纸法”、“长方形纸片法”的方法分析判断即可得解．【详解】（1）根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，与铅垂线垂直的直线则与平面平行，故填：铅垂线；（2）合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，故填：合页型折纸．【点睛】本题考查了平行线的判定与垂线，利用物理力学原理是最好的检验方法． 28．70【分析】先根据平行线的性质求出C ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：AB//CD ，140∠=，230∠=，C 40∠∴=，3∠是CDE 的外角，3C 2403070∠∠∠∴=+=+=．故答案为70．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．29．假．【分析】根据邻补角的定义来分析：既要其和是个平角（或180°），也要满足位置关系．【详解】解：根据邻补角的定义可知，两个角的度数和是180度，且有一条公共边称这两个角互为邻补角，∴如果两个角的和是平角时，那么这两个角不一定是邻补角.故答案为：假．【点睛】本题主要考查了邻补角的概念，比较简单．30．31°48′【分析】先由平行线的性质求出∠3的度数，再由∠AEF=90°，即可求出∠2．【详解】∠AB ∠ CD，∠1=58°12'，∠∠3=∠1=58°12'，∠EF∠AB，∠∠AEF=90°，∠∠2=90°-∠3=90°-58°12'=31°48′，故答案为31°48′．【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键. 31．∠AOC，对顶角相等，∠AOC, 80°，已知BOD，1，80°，30°，50【详解】解：因为∠DOB=∠AOC （对顶角相等），∠AOC=80° （已知），所以，∠DOB=80°（等量代换），又因为∠1=30°（已知），所以∠2=∠BOD- ∠1 = 80°-50°=30°，故答案为：∠AOC，对顶角相等，∠AOC，80°，已知，BOD，1，80°，30°，50. 32．50.【详解】试题解析：如图：∠FED，根据折叠得出∠2=∠DEM=12∠是一张宽度相等的纸条，∠AE∠BM，∠1=100°，∠∠FED=∠1=100°，∠∠2=50°考点：1.平行线的性质；2.翻折变换（折叠问题）．33．5【详解】∠在△ABC 中，BO 和CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∠∠DBO=∠OBC ，∠ECO=∠OCB ，∠DE∠BC ，∠∠DOB=∠OBC=∠DBO ，∠EOC=∠OCB=∠ECO ，∠DB=DO ，OE=EC ，∠DE=DO+OE ，∠DE=BD+CE=5．故答案为5．34．105【分析】先根据90,ACB AC BC ∠=︒=判断出ACB ∆是等腰直角三角形，再根据AB BD =，AD DE =利用等腰三角形两底角相等的性质求算．【详解】∠90,ACB AC BC ∠=︒=∠45CAB ∠=︒又∠,AB BD AD AE ==∠,ADE AED BAD BDA ∠=∠∠=∠设=ADE AED x ∠=∠︒∠1802DAE x DAB ADB x ∠=︒-︒∠=∠=︒，∠180245x x ︒-︒+︒=︒∠75x =︒∠75DAB x ∠=︒=︒又∠//AB CD∠18075105ADC ∠=︒-︒=︒故答案为：105【点睛】本题考查平行线、等腰三角形、等腰直角三角形的性质，转化相关的角度是解题关键．35．50．【分析】先由角平分线的定义即可得出∠ABC 的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．【详解】∠BE 平分∠ABC ，∠∠ABC=2∠1=50°．∠DE∠BC，∠∠ABC=∠2=50°．故答案为50°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．36．6【分析】过点D作DF∠BC，连接BD，根据平行线的判定和性质得出DF=AB=4，再由等边对等角确定∠BEC=∠BCE，利用各角之间的关系及平行线的判定及性质得出BE∠DC，∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，结合图形求解即可．【详解】解：过点D作DF∠BC，连接BD，如图所示，∠AD∠BC，∠A=90，∠∠ABC=90，∠DF∠BC，∠∠DFB=90，∠DF∠AB，∠四边形ABFD为平行四边形，∠DF=AB=4，∠BE=BC=3，∠∠BEC=∠BCE，∠CE平分∠BCD，∠∠DCE=∠BEC，∠BE∠DC，∠∆CED与∆CDB的边CD上的高相等，∠1·62CDE BCDS S BC DF===，故答案为：6．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的计算，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．37．50【详解】试题解析：∠AD∠BC∠∠FEC=∠AFE=65°又∠沿EF折叠∠∠C′EF=∠FEC=65°，∠∠C'EB=180°-65°-65°=50°．【点睛】本题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是掌握折叠前后图形的对应边和对应角相等，另外要熟练运用平行线的性质，难度一般．38．40°或140°【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 根据题意, ∠1=∠2或∠1和∠2互补.【详解】解:根据题意,得∠1=∠2=40°或∠2=180°-∠1=180°-40°=140°故答案为40°或140°.【点睛】本题考查了平行线的性质，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.39．5【分析】利用角平分线和平行可证得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，可得到DE=BE，DF=FC，可得到EF=BE+FC．【详解】∠BD平分∠ABC，∠∠EBD=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EDB=∠DBC，∠∠EBD=∠EDB，∠DE=BE=2，同理DF=3，∠EF=DE+DF=2+3=5.【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．40．1.2【分析】过点F 作FG ∠AB ，垂足为G ，过点P 作PD ∠AB ，垂足为D ，根据垂线段最短，得当PD 与FG 重合时PD 最小，利用相似求解即可．【详解】∠90︒∠=C ，6AC =，8BC =，∠AB =10，∠2CF =，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，∠CF =PF =2，AF =AC -CF =6-2=4，过点F 作FG ∠AB ，垂足为G ，过点P 作PD ∠AB ，垂足为D ，根据垂线段最短，得当PD 与FG 重合时PD 最小，∠∠A =∠A ，∠AGF =∠ACB ，∠△AGF ∠△ACB ， ∠AF GF AB CB =， ∠4108GF =， ∠FG =3.2，∠PD =FG -PF =3.2-2=1.2，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最短，准确找到最短位置，并利用相似求解是解题的关键．41．见解析.【分析】根据平行线的判定可得AD∠BE ，然后求出∠2=∠E ，结合已知条件可证明AC∠DE ，进而得到∠C=∠CDE ，再根据角平分线的定义求出∠ADC=∠CDE ，等量代换即可证明结论.【详解】证明：∠∠A=∠1，∠AD∠BE ，∠∠2=∠E ，∠∠1=∠2，∠∠1=∠E ，∠AC∠DE ，∠∠C=∠CDE ，∠CD 平分∠ADE ，∠∠ADC=∠CDE ，∠∠C=∠ADC.【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线的判定和性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键.42．70°【分析】过点C 作//CF BA ，根据平行线的性质及可求解；【详解】解：过点C 作//CF BA ，∠30BCF B ∠=∠=︒，∠//BA DE ，∠//CF DE ，∠40FCD D ∠=∠=︒，∠70BCD BCF FCD ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．43．DE ∠BC ，理由见解析【分析】由条件可得到∠2+∠DFH =180°，可证得AB//EH ，可得到∠3+∠BDE=180°，结合条件可证明DE//BC【详解】DE ∠BC ，理由如下：∠∠1+∠2=180°，∠1=∠DFH ，∠∠2+∠DFH =180°，∠AB ∠EH ，∠∠3+∠BDE =180°，∠∠B =∠3，∠∠B +∠BDE =180°，∠DE ∠B C ．【点睛】本题主要考查平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行． 44．垂直的定义；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90°；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【分析】根据垂直的定义，平行线的判定与性质即可得．【详解】证明∠∠AF ∠CE （已知），∠∠AOE =90°(垂直的定义)，又∠∠1=∠B （已知），∠CE BF ∥ (内错角相等，两直线平行)，∠∠AFB =∠AOE (两直线平行，同位角相等)，∠∠AFB =90°(等量代换)，又∠∠AFC +∠AFB +∠2=180°（平角的定义），∠∠AFC +∠2=(90°)，又∠∠A +∠2=90°（已知），∠∠A =∠AFC (同角的余角相等)，∠AB CD ∥ (内错角相等，两直线平行)，故答案为：垂直的定义；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90°；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 45．(1)证明见解析；(2)四边形DECF 的面积＝8【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到BDE BED ∠=∠，求得BD BE =，推出四边形DECF 是平行四边形，于是得到结论；（2）过点F 作FG BC ⊥交BC 于G ，根据菱形的性质得到4CF =，根据等腰三角形的性质得到A C ∠=∠，根据直角三角形的性质得到122FG FC ==，于是得到结论．【详解】（1）解：AB BC =，A C ∴∠=∠，//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，BED C ∠=∠，BDE BED ∴∠=∠，BD BE ∴=，BA BD BC BE ∴-=-，AD CE ∴=，AD DE =，DE EC ∴=，CE CF =，DE CF ∴=，//DE FC ，∴四边形DECF 是平行四边形，CE CF =，∴四边形DECF 是菱形；（2）解：过点F 作FG BC ⊥交BC 于G ，四边形DECF 是菱形，4CE =，4CF ∴=，AB BC =，A C ∴∠=∠，30A ∠=︒，30C ∴∠=︒，90FGC ∠=︒，30C ∠=︒，122FG FC ∴==， ∴四边形DECF 的面积428EC FG ==⨯=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确的识别图形．46．见解析【分析】根据角平分线和平行线的性质以及等腰三角形的判定解答即可．【详解】证明：∠AD 是∠CAE 的平分线，∠∠BAD ＝∠DAE ，∠BD ∠AE ，∠∠BDA ＝∠DAE ，∠∠BAD ＝∠BDA ，∠AB ＝BD ，∠AB ＝BC ，∠BC ＝BD ，∠∠C ＝∠CDB ，∠BD ∠AE ，∠∠E ＝∠CDB ，∠∠C ＝∠E ，∠AC ＝AE ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质与判定，关键是根据角平分线和平行线的性质得出BC=BD ．47．（1）见解析；（2）∠见解析，∠DPG ＝65°；∠（90°﹣12a ）或（90°+12a ）【分析】（1）利用邻补角的意义，得出∠D ＝∠AFD ，根据内错角相等，两直线平行即可得结论；（2）∠根据题意画出图形结合（1）即可求出∠DPG 的度数；∠结合∠即可写出∠DPG 的度数．【详解】（1）证明：∠∠AFC +∠AFD ＝180°，∠AFC +α＝180°，∠∠AFD ＝α＝∠CDE ，∠AB∠DE；（2）解：∠如图即为补齐的图形，∠∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，∠∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，由（1）知AB∠DE，∠∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，∠∠DGB＝∠FDG+∠DFG，∠2∠DGQ＝2∠GDP+130°，∠∠DGQ＝∠GDP+65°，∠∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，∠∠DPG＝65°；∠由∠知∠DPG＝12∠DFB＝12（180°﹣α）＝90°﹣12a．当点G在AF上时，∠DPG＝180°﹣（∠GDP+∠DGP）＝180°﹣12（∠GDC+∠DGB）＝180°﹣12∠DFB＝180°﹣12（180°﹣α）＝90°+12 a．故答案为：（90°﹣12a）或（90°+12a）．【点晴】考查了平行线的判定与性质，解题关键是灵活运用其性质．48．两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠ADE，根据角平分线定义得出∠3＝12∠ABC，∠4＝12∠ADE，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定得出DF∠BE，根据平行线的性质得出即可．【详解】证明：∠BC∠DE，∠∠ABC＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）．∠BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∠∠3＝12∠ABC，∠4＝12∠ADE．∠∠3＝∠4，∠DF∠BE（同位角相等，两直线平行），∠∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故答案是：两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．49．见解析.【分析】根据∠ABC∠∠DEF，得到∠A=∠D，∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行即可判定．【详解】解：证明：∠∠ABC∠∠DEF∠∠A=∠D，∠AB//DE；∠∠ABC∠∠DEF，∠∠1=∠2，∠BC//EF.【点睛】考查全等三角形的性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键.50．(1)两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°(2)∠BPD=∠B+∠D；理由见解析(3)图∠：∠D=∠B+∠BPD；图∠：∠B=∠BPD+∠D【分析】（1）利用平行线的性质解答；（2）作平行线，根据内错角相等可证∠BPD=∠B+∠D；（3）同样作平行线，根据内错角相等可证∠B=∠BPD+∠D．【详解】（1）过点P作EF∥AB，如图所示：∠∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠AB∥CD，EF∥AB，∠CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∠∠EPD+∠D=180°，∠∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∠∠B+∠BPD+∠D=360°．故答案为：两直线平行，同旁内角互补；这两条直线互相平行；360°．（2）猜想∠BPD=∠B+∠D；理由：过点P作EP∥AB，如图所示：∠EP∥AB，∠∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），∠AB∥CD，EP∥AB，∠CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∠∠EPD=∠D，∠∠BPD=∠B+∠D．（3）图∠结论：∠D=∠BPD+∠B，。

初中数学专题讲义-相交线、平行线

初中数学专题讲义-相交线、平行线一、课标下复习指南1．直线、射线和线段(1)表示直线AB(BA)或直线l，如图9－1．图9－1射线OA或射线l，如图9－2．图9－2线段AB(BA)或线段a，如图9－3．图9－3(2)性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简称两点确定一条直线．在所有连接两个点的线中，线段最短，简称两点之间，线段最短．(3)线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点．2．角(1)角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．(2)角的度量以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．把周角分成360等份，每一份叫1°的角．1°＝60′，1′＝60″．1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°．(3)角的计算①度、分、秒的换算．②计算角度的和、差、积、商．(4)角的比较可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们叠合在一起比较大小．如图9－4(a)中∠AOB＜∠A′O′B′，图9－4(b)中∠AOB＝∠A′O′B′，图9－4(c)中，∠AOB＞∠A′O′B′．图9－4(a) 图9－4(b) 图9－4(c)(5)角的分类：锐角：大于0°而小于90°的角．直角：等于90°的角．钝角：大于90°而小于180°的角．(6)角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．(7)有关的角及其性质余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．邻补角：有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角．对顶角：若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．对顶角相等．3．垂线(1)垂直的定义若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，则这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂直是相交的一种特殊情形．(2)垂线性质①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短．4．平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．(1)直线平行的条件如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．(2)平行线的性质两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．5．同一平面内两条直线的位置关系相交、平行．6．距离(1)两点的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．(2)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离．(3)两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．7．基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)按指令语言画角及角的和、差；(4)作已知角的平分线；(5)作线段的垂直平分线；(6)用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；(7)过直线外一点画这条直线的平行线．二、例题分析例1 解答下列问题：(1)过一个已知点可以画多少条直线?(2)同时过两个已知点可以画多少条直线?(3)过三个已知点可以画出直线吗?(4)经过平面上三点A，B，C中的每两个点可以画出多少条直线?(5)借鉴(4)的结论，猜想经过平面上四点A，B，C，D中的任意两点画直线会有什么样的结果?如果不能画，请简要说明理由；如果能画，画出图形．分析画图的依据是直线性质，(3)、(4)、(5)中没有明确平面上三点、四点是否在同一直线上，解答时要分各种可能情况解答，这种解答方法叫分类讨论．运用这种方法时，要考虑到可能出现的所有情形，不能丢掉一种．解(1)过一点可以画无数条直线．(2)过两点可以画唯一的一条直线．(3)过三个已知点不一定能画出直线，当三点不共线时，不能作出直线；当三点共线时，能画一条直线．(4)当A，B，C三点不共线时，过其中的每两个点可以画一条直线，所以共有3条直线；当A，B，C三点共线时，上面画的3条直线就重合了，因而只能画1条直线．即经过平面上三点A，B，C中的每两点可以画1条或3条直线．(5)经过平面内四个点中的任意两点画直线有三种情况：①当A，B，C，D四点在同一直线上时，只可以画出1条直线，如图9－5(a)所示．②当A、B、C、D四个点中有三个点在同一直线上时，可画出4条直线，如图9－5(b)所示．③当A，B，C，D四个点中任意三个点都不在同一直线上时，可画出6条直线，如图9－5(c)所示．图9－5说明这个例题用到分类思想，这种分类能力对于今后学习也是很有用的．分类要注意不重不漏．例2 把一段弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是( )．A．两点之间，线段最短B．两点确定一直线C．线段有两个端点D ．线段可以比较大小分析此题是应用几何知识解释生活中现象的问题，由于这是两点之间距离的比较，符合“两点之间线段最短．”解选A ．例3 如图9－6，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线．图9－6(1)如果∠AOB ＝130°，那么∠COE 是多少度?(2)若∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，求∠BOE 的度数．解 (1)∵OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOD ，,21AOD COD ∠=∠∴ .21BOD DOE ∠=∠ ∴∠COE ＝∠COD ＋DOE+∠=∠+∠=AOD BOD AOD (212121.21)AOB BOD ∠=∠∵∠AOB ＝130°，.6513021οο=⨯=∠∴COE(2)∵∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，∴∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝65°－20°＝45°． ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE ＝∠DOE ． ∴∠BOE ＝45°．说明角的平分线的性质是进行角度计算常用的重要依据，必须熟练掌握角平分线及其相关的各种几何表达式．例4 (1)已知：如图9－7(a)，点C 在线段AB 上，线段AC ＝6，BC ＝4，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；图9－7(a)(2)根据(1)的计算过程和结果，设AC ＋BC ＝a ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗?请用一句简洁的话表述你发现的规律．(3)当点C 在线段AB 的延长线上或点C 在线段AB 所在的直线外时，(2)中的结论是否仍然成立?画出图形并说明理由．解 (1)∵AC ＝6，BC ＝4， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1 0．又∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，.21,21BC CN AC MC ==∴ BC AC CN MC MN 2121+=+=∴ .521)(21==+=AB BC AC (2)根据(1)中已知AB ＝10，求出MN ＝5．由(1)的推算过程可知，AB MN 21=，故当AB ＝a 时，a MN 21=，从而可得到：线段上任一点把线段分成的两部分中点间的距离等于原线段长度的一半．(3)答：(2)中的结论仍然成立．理由如下：①当点C 在AB 的延长线上时，如图9－7(b)所示，图9－7(b)⋅==-=-=221)(21a AB BC AC CN CM MN ②当点C 在AB 所在的直线外时，如图9－7(c)所示，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，由三角形中位线定理可得.2121a AB MN ==图9－7(c)说明本题向我们提示了从特殊事例中观察、猜测、发现一般规律的过程．总结出规律，以后遇到同类问题就容易解了．本题还启示我们，一般规律包含在特殊事例之中．这就要求同学们在解题时，不要停留在表面上，要运用运动变化的观点多思考，就会发现新问题，得到新收获．例5 填空：(1)已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，若∠1＝63°，则∠3＝______度；若∠1＝α，则∠3＝______度．(2)已知∠1与∠2互为余角，∠1的补角等于∠2的余角的2倍，则∠1＝______度，∠2＝______度．分析 (1)由∠1和∠2互余，∠1已知，可求出∠2的度数，再由∠2和∠3互补，即求出∠3的度数．解 (1)∵∠1和∠2互余，∠1＝63°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－63°＝27°． ∵∠2和∠3互补，∴∠3＝180°－∠2＝180°－27°＝153°．当∠1＝α时，∠3＝180°－∠2＝180°－(90°－∠1)＝90°＋α．说明正确理解余角和补角的概念是本章的重点之一，也是一个重要的考点，它们与角的大小有关而与两角的位置无关．分析 (2)题目所给条件可以理解为关于∠1，∠2两个未知量的两个等量关系，列方程(组)是解决这类问题的有效办法．解 (2)设∠1的度数为x ，∠2的度数为y ，则⎩⎨⎧-=-=+).90(2180,90y x y x 解得⎩⎨⎧==.30,60y x答：∠1的度数为60，∠2的度数为30．说明有关余角和补角数量关系的这类问题，通常考虑用列方程和方程组的方法来解决．例6 如图9－8，小华参加运动会的跳远比赛，他从地面的A 处起跳，落到沙坑点B 处，怎样测量他的跳远成绩?图9－8分析这是点到直线的距离的实际应用．解作BC ⊥l 于点C ，则线段BC 的长即为小华的跳远成绩．例7 如图9－9所示，已知∠1＝∠2，再添加什么条件可使AB ∥CD 成立?图9－9分析解题前先回忆平行线的判定，再添条件时要用上原来题目已给条件，否则不合要求．解可分别添加以下条件： (1)∠MBE ＝∠MDF ； (2)∠EBN ＝∠FDN ；(3)∠EBD ＋∠BDF ＝180°； (4)BE ∥DF ；(5)BE ⊥MN ，DF ⊥MN 等等．三、课标下新题展示例8 (安徽)如图9－10，若直线l 1∥l 2，则∠α等于( )．图9－10A ．150°B ．140°C ．130°D ．120° 解选D ．例9 (长春)如图9－11，l ∥m ，矩形AB －CD 的顶点B 在直线m 上，则α＝______°．图9－11解 25．四、课标考试达标题 (一)选择题1．如图9－12，O 是直线AB 上一点，OC ，OD ，OE 是3条射线，OC ⊥AB ，OD ⊥OE ，则图中互余的角有( )．图9－12A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 2．如图9－13所示，若OD 平分∠BOC ，则( )．图9－13A ．∠COD ＝∠AOB －∠BOC B ．)(21BOC AOB COD ∠-∠=∠ C ．AOB BOC AOD ∠-∠=∠21D ．)(21AOC AOB AOD ∠+∠=∠ 3．两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判定这两条直线平行的是( )． A ．同位角相等 B ．内错角相等 C ．同旁内角互补 D ．同旁内角互余4．如图9－14，l 1∥l 2，若∠1＝105°，∠2＝140°，则∠α等于( )．图9－14A．55°B．60°C．65°D．70°(二)填空题5．用度、分、秒表示：56.625°＝______．6．已知∠α＝31°，若∠β的两边分别与∠α的两边平行，则∠β＝______；若∠γ的两边分别与∠α的两边垂直，则∠γ＝______．7．如图9－15，已知AB∥EF，BC⊥CD于C，若∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE ＝______．图9－15(三)解答题8．一个角的补角的一半比这个角的余角的二倍小3°，求这个角．9．求证：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．10．点C，D在直线AB上，线段AC，CB，AD，DB的长满足AC∶CB＝5∶4，AD∶DB＝2∶1，且CD＝2cm，求线段AB的长．参考答案相交线、平行线1．C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．56°37′30″． 6．31°或149°，31°或149°． 7．105． 8．58°． 9．略．10．解：由AC ∶CB ＝5∶4，设AC ＝5k ，CB ＝4k ，可知点C 只能在线段AB 上或线段AB的延长线上．答图9－1(1)当点C 在线段AB 上时，D 点的位置只有两种可能性：①点D 1在线段AB 上，此时AD 1＝6k ，D 1B ＝3k ，CD 1＝k ＝2，则AB ＝9k ＝18； ②点D 2在线段AB 的延长线上，此时BD 2＝AB ＝9k ，CD 2＝13k ＝2，则132=k ，AB ＝9k 1318=； (2)当点C 在线段AB 的延长线上时，D 点的位置也只有两种可能性：答图9－2①点D 3在线段AB 上，此时33,32BD k AD =2313,33===k CD k ，则k AB k ==,136;136=②点D 4在线段AB 的延长线上，此时AD 4＝2k ，BD 4＝AB ＝k ，CD 4＝CB －BD 4＝3k ＝2，则⋅==32k AB。

初中数学相交线与平行线专题训练50题含答案

初中数学相交线与平行线专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，如果104AOD ∠=︒，那么MOC ∠等于（）A ．38°B ．37°C ．36°D ．52° 2．如图，在直线l 外一点P 与直线上各点的连线中，P A =5，PO =4，PB =4.3，OC =3，则点P 到直线l 的距离为（）A ．3B ．4C ．4.3D ．5 3．如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为3，则满足条件的格点C 的个数是（）A ．2 个B ．4个C ．5个D ．6个 4．如图，直线a ，b 穿过正五边形ABCDE ，且//a b ，则αβ∠-∠=（）A ．95°B ．84°C ．72°D ．60° 5．如图，某沿湖公路有三次拐弯，如果第一次的拐角120A ∠=︒，第二次的拐角155B ∠=︒，第三次的拐角为C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C ∠的度数是（）A ．130︒B ．140︒C ．145︒D ．150︒ 6．如图，下列条件：①①C ＝①CAF ，①①C ＝①EDB ，①①BAC +①C ＝180°，①①GDE +①B ＝180°，①①CDG ＝①B ．其中能判断AB //CD 的是（）A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①① 7．如图，与①α构成同旁内角的角有（）A ．1个B ．2个C ．5个D ．4个 8．如图，下列说法中错误的是（）A ．①1与①A 是同旁内角B ．①3与①A 是同位角C ．①2与①3是同位角D ．①3与①B 是内错角9．如图，为判断一段纸带的两边a ，b 是否平行，小明在纸带两边a ，b 上分别取点A ，B ，并连接AB ．下列条件中，能得到a b ∥的是（）A ．12∠=∠B ．13∠=∠C ．14180∠+∠=︒D ．13180∠+∠=︒ 10．如图，//DE BC BE ,平分ABC ∠，若170=︒∠，则AEB ∠的度数为（）A ．20︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒ 11．用“垂线段最短”来解释的现象是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分①AOC ，若①BOD =70°，则①DOE 的度数是（）A ．70°B ．35°C ．120°D ．145° 13．下列说法错误的是（）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．旋转不改变图形的形状和大小C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．菱形的对角线互相垂直14．（1）如果直线a b ，b c ，那么a c ；（2）相等的角是对顶角；（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（4）在同一平面内如果直线a b ⊥，c b ，那么a c ；（5）两条直线平行，同旁内角相等；（6）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．其中真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①若a>b ，则-2a>-2b ；①如果三条直线a 、b 、c 满足：a①b ，b①c ，那么直线a 与直线c 必定平行；①对顶角相等，其中真命题有（）个.A ．1B ．2C ．3D ．416．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；①若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（）A ．只有①B ．只有①C ．①①都正确D ．①①都不正确 17．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，6BC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线与AB 相交于点D ，则AD 的长是( )A ．3B ．1.5CD ．18．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O.若①AOD ＝50°，则①BOC 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．130° 19．将一块直角三角板ABC 按如图方式放置，其中①ABC ＝30°，A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，①1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m①n( )A ．①2＝20°B ．①2＝30°C ．①2＝45°D ．①2＝50° 20．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①~BDE DPE ，①35FP PH =，①2DP PH PB =⋅，①tan 2DBE ∠=序号是（）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①二、填空题21．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，50EOD ∠=︒，则AOC ∠的度数为______.22．如图，直线，则的度数为=______．23．如图所示,A ,B 之间有一座山,一条笔直的铁路要通过A ,B 两地,在A 地测得铁路的走向是北偏东68°20',如果A ,B 两地同时开工,那么在B 地按____方向施工才能使铁路在山中准确接通.24．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若①AOC =20°，则①BOD 的大小为___________（度）．25．下列三个日常现象：其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是 _____ （填序号）．26．如图，直线AB 与直线CD 交于点O ，OE 平分AOC ∠，已知①100AOD =︒，那么EOB ∠=__度．27．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE AB ⊥于O ，140∠=︒，则2∠=______．28．如图，已知平行线AB ，CD 被直线AE 所截，AE 交CD 于点F ，连接CE ，若20E ∠=︒，CF EF =，则A ∠的度数为______．29．如图，直线a①直线b ，且被直线c 所截，若①1=（3x+70）度，①2=（2x+10）度，则x 的值为________.30．如图，六边形ABCDEF 是正六边形，若l 1①l 2，则①1﹣①2＝_____．31．如图，直线a ①b ，在Rt①ABC 中，点C 在直线a 上，若①1＝56°，①2＝29°，则①A 的度数为______度．32．如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果ABD △的面积是BCD △面积的2倍，那么DOC △与BOC 的面积之比是______．33．如图，在Rt①ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点P 是AC 边的中点，点D 和E 分别是边BC 和AB 上的任意一点，则PD+DE 的最小值为_____．34．如图，AC BC ⊥，90CDA ∠=︒，4,3,5AC BC AB ===，点C 到AB 的距离是______．与ACD ∠相等的角是_________．35．如图，直线a ，b ，c 两两相交于A ，B ，C 三点，则图中有________对对顶角；有________对同位角；有________对内错角；有________对同旁内角．36．如图，在长方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，沿直线EF 折叠后，C 、D 两点分别落在平面内的C '和D 处，若①1＝70°，则①2＝______．37．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A ，B 分别落在点A '，B '的位置．若155∠=︒，则2∠的度数是__________．38．如图，在①ABC 中，①ABC 与①ACB 的平分线交于点D ，EF 经过点D ，分别交AB ，AC 于点E ，F ，BE =DE ，DF =5，点D 到BC 的距离为4，则①DFC 的面积为_____39．如图，已知AB①CD ，垂足为点O ，直线EF 经过O 点，若①1=55°，则①COE 的度数为______度．40．如图，在ABCD 中，105ABC ∠=︒，对角线,AC BD 交于点,30,4O DAC AC ∠=︒=，点P 从点B 出发，沿着边BC CD 、运动到点D 停止，在点P运动过程中，若OPC 是直角三角形，则CP 的长是___________．三、解答题41．如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF EC =，AB DE =，DE AB ∥．求证：A D ∠=∠．42．如图，已知AM ①CN ，且①1＝①2，那么AB ①CD 吗？为什么？解：因为AM ①CN （已知）所以①EAM ＝①ECN又因为①1＝①2所以①EAM +①1＝①ECN +①2即① ＝①所以．43．如图，在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若80A ∠=︒，40C ∠=︒，求BDE ∠的度数.44．按要求画图：已知点P 、Q 分别在AOB ∠的边OA ，OB 上（如图所示）：(1)①画线段PQ ；①过点P 作OB 的垂线PE ，垂足为E ；①过点Q 作OA 的平行线MN （M 在上，N 在下）．(2)在（1）的情况下，若40MQB ∠=︒，求OPE ∠．（不使用三角形的内角和为180°） 45．如图，在ΔABC 中，CD 是高，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AC 上且EF①AB ，DG①BC ，试判断①1与①2的大小关系，并说明理由.46．（1）如图1，在①ABC 中，BD 是①ABC 的角平分线，点D 在AC 上，DE①BC ，交AB 于点E ，①A ＝50°，①ADB ＝110°，求①BDE 各内角的度数；（2）完成下列推理过程．已知：如图2，AD ①BC ，EF ①BC ，①1＝①2，求证：DG ①AB ．推理过程：因为AD ①BC ，EF ①BC （已知），所以①EFB ＝①ADB ＝90°（________）．所以EF①AD （同位角相等，两直线平行）．所以①1＝①BAD （________）．因为①1＝①2（已知），所以________=________（等量代换）．所以DG①AB （内错角相等，两直线平行）．47．如图，点A 为直线外一点，点B 是直线l 上一定点，点P 是直线l 上一动点，连接AB ，AP ，若要使2PA PB 1+的值最小，确定点P 的位置，并说明理由．48．如图，在三角形ABC 中，点D ，F 在边BC 上，点E 在边AB 上，点G 在边AC 上，EF 与GD 的延长线交于点H ，1B ∠=∠，23180∠+∠=︒．(1)判断EH 与AD 的位置关系，并说明理由(2)若58DGC ∠=°，且410H ∠=∠+︒，求H ∠的度数．49．已知：直线AB 与直线PQ 交于点E ，直线CD 与直线PQ 交于点F ，∠PEB +∠QFD ＝180°．（1）如图1，求证：AB ∥CD ；（2）如图2，点G 为直线PQ 上一点，过点G 作射线GH ∥AB ，在∠EFD 内过点F 作射线FM，∠FGH内过点G作射线GN，∠MFD＝∠NGH，求证：FM∥GN；（3）如图3，在（2）的条件下，点R为射线FM上一点，点S为射线GN上一点，分别连接RG、RS、RE，射线RT平分∠ERS，∠SGR＝∠SRG，TK∥RG，若∠KTR+∠ERF＝108°，∠ERT＝2∠TRF，∠BER＝40°，求∠NGH的度数．50．如图，四边形ABCD与四边形CEFH均为正方形，点B、C、E在同一直线上，连接BD，DF，BF．（1）观察图形,直接写出与线段CH平行的线段．（2）图中与线段CH垂直的线段共有_______条．（3）点B到点F的最短距离为线段____的长，点B到线段EF的的最短距离为线段____的长．（4）若正方形ABCD的边长为a, 正方形CEFH的边长为2,则线段HD=___,线段BE=___,此时请你求出三角形DBF的面积，你有什么发现？参考答案：1．A【分析】先根据已知条件求出①AOC 的度数，再根据OM 平分①AOC ，即可得到①MOC 的值【详解】解：①104AOD ∠=︒①①AOC =180°−104°=76°①OM 平分①AOC ①①MOC=12AOC ∠ 1762=⨯︒ =38°故选：A【点睛】本题主要考查了领补角及角平分线的定义，熟练掌握定义是解题的关键 2．B【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【详解】解：由于OP ①直线l ，根据题意知：点P 到直线l 的距离等于PO 的长，即点P 到直线l 的距离PO =4，故选：B ．【点睛】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．3．D【分析】利用格点的性质和三角形的面积公式即可得．【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C ，如图所示：（格点C 均在平行于AB 的直线上）其中，由点12345,,,,C C C C C 与点,A B 分别构成的5个三角形的面积显然是36ABC 的面积为3663AC C BDC ABDC S S S --直角梯形1114633(36)1222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯ 991222=--故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键． 4．C【分析】延长EA 与直线b 交于点F ，由平行线的性质得①AFG =∠β，再由多边形的内角和定理求出108EAB ∠=︒，进一步得出72GAF ∠=︒，最后由三角形的外角关系可得结论．【详解】解：延长EA 与直线b 交于点F ，如图，①//a b①AFG β∠=∠①五边形ABCDE 是正五边形， ①(52)1801085EAB -⨯︒∠==︒ ①180********GAF EAB ∠=︒-∠=︒-︒=︒又=72AFG GAF αβ∠∠+∠=∠+︒①72αβ∠-∠=︒故选：C【点睛】本题考查的是多边形内角与外角，正五边形的性质，三角形外角的性质，利用数形结合求解是解答此题的关键．【分析】过点B作BH①AM，则BH①CD，利用平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，过点B作BH①AM，①AM①CD，①BH①CD，①①ABH=①A=120°，①HBC+①C=180°，①①HBC=①ABC-①ABH=35°，①①C=180°-①HBC=145°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键．6．A【分析】根据平行线的判定定理逐一排除得出即可．【详解】解：①①C＝①CAF，①AB//CD；故①符合题意；∠=∠C EDB//∴AC BD故①不符合题意；①①BAC+①C＝180°，①AB//CD；故①符合题意；①①GDE+①B＝180°，①GDE+①EDB＝180°，①①EDB＝①B，①AB//CD；故①符合题意；①①CDG＝①B，①AB//CD，故①符合题意；符合题意的有：①①①①故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．7．C【详解】试题分析：根据题意可知与①α构成同旁内角的角有如图5个．考点：三线八角点评：本题难度较低，主要考查学生对三线八角的掌握．分析这类题型是，主要抓住已知角两边与第三边相交的构成三线基础，为解题关键．8．B【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，可得答案．【详解】A. ①1与①A 是同旁内角，故A 正确；B. ①3与①A 不是同位角，故B 错误；C. ①2与①3是同位角，故C 正确；D. ①3与①B 是内错角，故D 正确；故选B.【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握其性质9．D【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．【详解】解：A 、12∠=∠，1∠和2∠邻补角，不能证明a b ∥；B 、13∠=∠，1∠和3∠是同旁内角，同旁内角相等不能证明a b ∥；C 、14180∠+∠=︒，1∠和4∠属于内错角，内错角互补不能证明a b ∥；D 、①13180∠+∠=︒，①a b ∥（同旁内角互补两直线平行）；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．10．B【分析】先根据平行线的性质求得①ABC=70°，①CBE=①AEB，再运用角平分线即可求得①AEB的度数．【详解】解：①//DE BC，①170ABC∠=∠=︒，CBE AEB∠=∠，①BE平分①ABC，①1352CBE AEB ABC∠=∠=∠=︒．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线，灵活应用相关性质定理是解答本题的关键．11．A【分析】根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案．【详解】解：A．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了垂线段最短，故A符合题意；B．木板上弹墨线，利用了两点确定一条直线，故B不符合题意；C．用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故C不符合题意；D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键．12．D【分析】根据对顶角相等求出①AOC，根据角平分线的定义计算，得到答案．【详解】解：①①BOD＝70°，①①AOC＝①BOD＝70°，①OE平分①AOC，①①COE＝12①AOC＝12×70°＝35°，①DOE＝①COD-①COE＝145°故选：D．【点睛】本题考查的是对顶角、角平分线的定义、平角定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．13．A【分析】依次分析各选项即可得出说法错误的选项．【详解】解：因为同旁内角互补，两直线平行，因此A选项错误；根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，因此B选项内容正确；根据矩形的判定，C选项内容正确；根据菱形的性质，D选项内容正确．故选：A．【点睛】本题综合考查了平行线的判定、旋转的性质、矩形的判定、菱形的性质等内容，解决本题的关键是理解并能灵活运用相关概念，本题考查的是概念基础题，因此侧重考查学生对教材基础知识的理解与掌握等．14．A【分析】分别利用平行线的性质，以及对顶角的定义等分析得出答案．【详解】解：（1）如果直线a b，b c，那么a c，正确，是真命题，（2）相等的角是对顶角，错误，不是真命题；（3）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，错误，不是真命题；（4）在同一平面内如果直线a①b，c b，那么a c，错误，不是真命题；（5）两条直线平行，同旁内角互补，错误，不是真命题；（6）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角，错误，不是真命题；故选：A．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握平行线的性质是解题关键．15．C【详解】试题分析：根据基本的数学概念依次分析各小题即可作出判断.解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，①如果三条直线a、b、c 满足：a①b，b①c，那么直线a与直线c必定平行，①对顶角相等，均正确；①若，则，错误；故选C.考点：真假命题点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握基本的数学概念，即可完成.16．A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得①错误．【详解】解：①若a①b，b①c，则a①c，说法正确；①若a①b，b①c，则a①c，说法错误，应为同一平面内，若a①b，b①c，则a①c；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．17．C【分析】利用勾股定理求出AB，证明BD＝AD即可解决问题．【详解】解：在Rt①ABC中，AC＝3，BC＝6，①AB=由作图可知，直线DE垂直平分线段BC，①①BED＝①C＝90°，①DE①AC，①BE＝EC，DE①AC，①BD＝AD，故选：C．【点睛】本题考查作图−基本作图，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．B【分析】根据对顶角相等，可得答案．【详解】解；①①BOC与①AOD是对顶角，①①BOC=①AOD=50°，故选B．【点睛】本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键．19．D【分析】根据平行线的性质即可得到①2=①ABC+①1，即可得出结论．【详解】①直线EF①GH ，①①2=①ABC+①1=30°+20°=50°，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．20．C【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到30PCD ∠=︒，于是得到75CPD CDP ∠=∠=︒，证得15EDP PBD ∠=∠=︒，于是得到BDE DPE ∆∆，故①正确；由于FDP PBD ∠=∠，60DFP BPC ∠=∠=︒，推出DFP BPH ∆∆，得到PF DF DF PH PB CD ===①错误；由于30PDH PCD ∠=∠=︒，DPH DPC ∠=∠，推出DPH CPD ∆∆，得到PD PH CD PD=，PB CD =，等量代换得到2PD PH PB =⋅，故①正确；过P 作PM CD ⊥，PN BC ⊥，求得30PCD ∠=︒，根据三角函数的定义得到CM PN ==2PM =，由平行线的性质得到EDP DPM ∠=∠，等量代换得到DBE DPM ∠=∠，于是求得tan 2DBE ∠=①正确．【详解】解：①BPC ∆是等边三角形，BP PC BC ∴==，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=︒，在正方形ABCD 中，①AB BC CD ==，A ADC BCD 90∠=∠=∠=︒30ABE DCF ∴∠=∠=︒，75CPD CDP ∴∠=∠=︒，15PDE ∴∠=︒，①604515PBD PBC HBC ∠=∠-∠=︒-=︒︒，EBD EDP ∴∠=∠，①DEP DEB ∠=∠，BDE DPE ∴∆∆；故①正确；①=PC CD ，=30PCD ∠︒=75PDC ∴∠︒15FDP ∴∠=︒①45DBA ∠=︒60PBD BPC ∴∠=∠=︒①DFP BPH ∆∆PF DF DF PH PB CD ∴===①错误； ①30PDH PCD ∠=∠=︒，DPH DPC ∠=∠，①DPHCPD ∆∆， ∴PD PH CD PD=， 2PD PH CD ∴=•，①PB CD =，2PD PH PB =∴⋅，故①正确；如图，过P 作PM CD ⊥，PN BC ⊥，设正方形ABCD 的边长是4，BPC △为正三角形，60PBC PCB ︒∴∠=∠=，4PB PC BC CD ====，30PCD ∴∠=︒sin 604CM PN PB ︒∴==⋅==，sin302PM PC =︒⋅=， ①//DE PM ，EDP DPM ∴∠=∠，DBE DPM ∴∠=∠，tan tan 2DM DBE DPM PM ∴∠=∠===①正确；故选：C．【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的长．21．40︒∠的度数，根据对顶角相等可得解.【分析】由余角的定义可得BOD⊥【详解】解：EO AB90∴∠=BOE︒∴∠=∠-∠=-=905040BOD BOE EOD︒︒︒∴∠=∠=AOC BOD︒40故答案为：40︒【点睛】本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键.22．120°.【详解】试题分析：①①①1=50°①①=70°+①1=120°.考点: 1.平等线的性质；2.对顶角.23．南偏西68°20'【分析】根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等进行解答．【详解】如图所示：由于是相向开工．故角度相等，方向相反．而①1与①2为内错角，所以对B来说是南偏西68°20′．故答案是：68°20′．【点睛】考查了平行线的性质和方向角，注意此类题的结论：角度不变，方向相反．24．20【分析】直接利用“对顶角相等”即可解答．【详解】解：①①AOC 和①BOD 是对顶角①①BOD=①AOC=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了对顶角的定义和性质，正确识别对顶角是解答本题的关键． 25．①．【分析】利用线段的性质进行解答即可．【详解】解：图①利用垂线段最短；图①利用两点之间线段最短；图①利用两点确定一条直线；故答案为：①．【点睛】本题主要考查了线段的性质，熟悉相关性质是解题的关键．26．140【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质解答即可．【详解】解：①100AOD ∠=︒，①18010080AOC ∠=︒-︒=︒，①OE 平分AOC ∠， ①1402COE AOC ∠=∠=︒， ①100BOC AOD ∠=∠=︒，①10040140EOB BOC COE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：140．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键．27．50°【分析】先根据垂直的定义、角的和差求出BOD ∠的度数，再根据对顶角相等即可得．【详解】OE AB ⊥90BOE1904050BOE BOD ∠∠=∴=∠-︒-︒=︒由对顶角相等得：520BOD ∠=∠=︒故答案为：50︒．【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角相等等知识点，熟记对顶角的性质是解题关键． 28．40°【分析】根据等腰三角形性质，得到20C E ∠=∠=︒，再根据三角形外交定理求得40DFE C E ∠=∠+∠=︒，最后根据平行线的性质求出①A 的度数．【详解】：CF EF =，20E ∠=︒，20C E ∴∠=∠=︒，40DFE C E ∴∠=∠+∠=︒．//AB CD ，40A DFE ∴∠=∠=︒．故答案为40°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形和三角形外角等有关知识，属于常考基础题型．29．20【分析】因为两直线平行，所以①2与①1的补角互为内错角，通过两直线平行内错角相等，建立一个关于x 的方程，解方程即可.【详解】①直线a①直线①21801∠=︒-∠即210180(370)x x +=-+解得20x故答案为20【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质并利用方程的思想列出方程是解题的关键.30．60°【分析】首先根据多边形内角和180°•（n -2）可以计算出①F AB =120°，再过A 作l ①l 1，进而得到l ①l 2，再根据平行线的性质可得①4=①2，①1+①3=180°，进而可以得出结果．【详解】解：如图，过A 作l ①l 1，则①4＝①2，①六边形ABCDEF是正六边形，①①F AB＝120°，即①4+①3＝120°，①①2+①3＝120°，即①3＝120°﹣①2，①l1①l2，①l①l2，①①1+①3＝180°，①①1+120°﹣①2＝180°，①①1﹣①2＝180°﹣120°＝60°，故答案为60°．【点睛】此题主要考查了正多边形和平行线的性质，关键是掌握两直线平行、内错角相等，同旁内角互补．31．27【分析】如图，①3＝①1，由①3＝①2+①A计算求解即可．【详解】解：如图①a①b，①1＝56°①①3＝①1＝56°①①3＝①2+①A，①2＝29°①①A＝①3﹣①2＝56°﹣29°＝27°故答案为：27．【点睛】本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系．32．1:2【分析】先根据∥DC BA 得到BN DM =，根据=2ABD BCD S S 得到1=2DO BO ，再根据12DOC S DO CH =，12BOC S BO CH =可得到1==2DOCBOC S DO BO S ．【详解】解：过点D 作DM AB ⊥，垂足为M ，过点B 作BN DC ⊥，交DC 的延长线于点N ，过点C 作CH DB ⊥与点H ，①∥DC BA ，①BN DM =，①=2ABD BCD SS ， ①11=222AC DM DC BN ⨯⨯⨯， ①2AB DC =，①∥DC BA ，①==CDO OBA DCO OAB ∠∠∠∠，， ①DCO AOB ∽，①1==2DC DO AB BO ， ①12DOC SDO CH =，12BOC S BO CH =， ①1==2DOCBOC SDO BO S ，故答案为：1:2．【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．33．365【分析】作点P 关于BC 的对称点F ，过F 作FE①AB 于E 交BC 于D ，则此时，PD+DE 的值最小，且PD+DE 的最小值＝EF ，求得AF ＝9，根据勾股定理得到AB ＝10，根据相似三角形的性质得到EF ＝365，于是得到结论．【详解】解：作点P 关于BC 的对称点F ，过F作FE①AB 于E 交BC 于D ，则此时，PD+DE 的值最小，且PD+DE 的最小值＝EF ，①CF ＝CP ，①点P 是AC 边的中点，①AP ＝PC ＝3，①AF ＝9，①在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，①AB ＝10，①①AEF ＝①ACB ＝90°，①①A+①B ＝①A+①F ，①①B ＝①F ，①①ABC①①AFE ， ①AF AB ＝EF BC ， ①910＝8EF ， ①EF ＝365， ①PD+DE 的最小值为365，答案为：365．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．34． 125B ∠ 【分析】根据等面积法求得线段CD 的长度，即可求得点C 到AB 的距离，再根据三角形内角和定理即可求得与ACD ∠相等的角．【详解】解：①90CDA ∠=︒，①CD AB ⊥．点C 到AB 的距离为线段CD 的长度．由题意可得：1122ABC SAC BC AB CD =⨯=⨯ ①125AC BC CD AB ⨯==， ①AC BC ⊥，①90ACB ∠=︒，①90180DCB B CDB DCB B ∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒，①90ACD DCB DCB B ∠+∠=︒=∠+∠，①ACD B ∠=∠．故答案为：125，B ∠．【点睛】此题考查了点到直线的距离，三角形内角和的性质，以及等面积法求三角形的高，解题的关键是掌握相关基础知识．35．6；12；6；6【详解】每两条直线的交点处有两对对顶角，共有对顶角有6对．①两条直线被第三条直线所截，可得到4对同位角，2对内错角，2对同旁内角， ①三条直线两两相交于三点，可分解成三个“三线八角”的基本图形，则同位角共有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．36．125︒【分析】根据矩形的性质可得AD ①BC ，再利用平行线的性质可得①BFC ′=70°，从而利用平角定义求出①CFC ′=110°，然后根据折叠的性质可求出①CFE 的度数，最后利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：①由题意可知：AD ①BC ，①①1=①BFC ′=70°，①①CFC ′=180°-①BFC ′=110°，由折叠得：①CFE =①C ′FE =12①CFC ′=55°，①AD ①BC ，①①2=180°-①CFE =125°，故答案为：125°【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．37．70°【分析】首先根据折叠可得①1＝①EF B'＝55°，再求出①B'FC的度数，然后根据平行线的性质可得①2＝①B'FC＝70°．【详解】解：根据折叠可得①1＝①EF B'，①①1＝55°，①①EF B'＝55°，①①B'FC＝180°－55°－55°＝70°，①AD//BC，①①2＝①B'FC＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．38．10【分析】过点D作DG①BC于G，DH①AC于H，根据等腰三角形的性质得到①EBD=①EDB，根据角平分线的定义得到①EBD=①DBC，进而得到①DBC=①EDB，证明EF BC，求出DF=FC，根据角平分线的性质求出DH，根据三角形的面积公式计算，即可求出结果．【详解】解：如图，过点D作DG①BC于G，DH①AC于H，①BE=DE，①①EBD=①EDB，①BD平分①ABC，①①EBD=①DBC，①①DBC=①EDB，①EF BC，①①FDC=①DCB，①CD平分①ACB，①①FCD=①DCB，①①FDC=①FCD，①FC=DF=5，①CD平分①ACB，DG①BC，DH①AC，①DH=DG=4，①①DFC的面积=12FC·DH=12×5×4=10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．39．125【分析】根据邻补角的和是180°，结合已知条件可求①COE的度数．【详解】①①1=55°，①①COE=180°-55°=125°．故答案为125．【点睛】此题考查了垂线以及邻补角定义，关键熟悉邻补角的和是180°这一要点．40【分析】在平行四边形ABCD中，①ABC=105°，①DAC=①ACB=30°，故①BAC=①ACD=45°，OA=OC=2，P点一共有三种情况，①当①OP1C=90°时，①当①OP2C=90°时，①当①P3OC=90°时，根据三角函数的值即可求得CP的长度．【详解】解：如图所示，P点可以有以下三种情况，在平行四边形ABCD中，①ABC=105°，①DAC=①ACB=30°，故①BAC=①ACD=45°，OA=OC=2，①当①OP 1C=90°时，①ACB=30°，OC=2，①1P C=OC cos30=2⋅︒①当①OP 2C=90°时，①ACD=45°，OC=2，①2P C=OC cos45=2⋅︒①当①P 3OC=90°时，①ACB=30°，OC=2，①3OC P C==2cos30︒【点睛】本题主要考查了平行四边形的动点问题、平行线的性质、三角形内角和为180°、三角函数，解题的关键在于进行分类讨论，并用三角函数求出最后的答案．41．见解析【分析】先根据平行线的性质证得E B ∠=∠，再根据线段和求得EF BC =，然后SAS 证明EDF BAC △△≌，即可由全等三角形的性质得出结论．【详解】证明：①DE AB ∥，①E B ∠=∠①BF EC =，①BF CF EC CF +=+①EF BC =在EDF 与BAC 中，ED BA E B EF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS EDF BAC ≌①A D ∠=∠【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．42．两直线平行，同位角相等；已知；等式性质；BAE ；DCE ；AB ①CD ．【分析】利用两直线平行，同位角相等即可得到一对同位角相等，利用等式的性质得到另一对同位角相等，最后利用同位角相等，两直线平行即可得证．【详解】解：因为AM //CN （已知），所以①EAM ＝①ECN （两直线平行，同位角相等），又因为①1＝①2（已知），所以①EAM +①1＝①ECN +①2（等式性质），即①BAE ＝①DCE ，所以AB //CD ．故答案为：两直线平行，同位角相等；已知；等式性质；BAE ；DCE ；AB //CD ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．43．30°##30度【分析】由三角形内角和可得60ABC ∠=︒，然后根据角平分线的定义可得1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒，进而根据平行线的性质可求解．【详解】解：①80A ∠=︒，40C ∠=︒，①60ABC ∠=︒，①ABC ∠的角平分线交AC 于点D ， ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒， ①DE BC ∥，①30EDB CBD ∠=∠=︒，故BDE ∠的度数为30°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．44．(1)①见解析；①见解析；①见解析(2)50°【分析】（1）①连接PQ即可；①利用直角三角板画垂线即可；①利用直尺和直角三角板画OA的平行线MN即可；∥，根据平行线的性质求出①APF=①AOE=①MQB=40°，（2）过点P作PF OB①FPE=①PEO=90°，然后根据平角定义即可求解．(1)解：①连接PQ，如图，线段PQ即为所求．①如图，直线段PE即为所求．①如图，直线MN即为所求．(2)∥解：①MN OA①①AOE=①MQB，又①MQB=40°，①①AOE=40°，∥，如图，过点P作PF OB①①APF=①AOE=40°，①FPE=①PEO，又PE①OB，①①PEO=①FPE=90°，①①OPE=180°-①APF-①FPE=180°-40°-90°=50°．【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质等，添加辅助线PF是解第2问的关键．45．见解析【分析】由DG①BC，根据“两直线平行，内错角相等”得到①1=①DCE，由CD是高，EF①AB，得到①CDB=①EFB=90°，根据平行线的判定得到CD①EF，由平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得到①DCE=①2，即可得到①1=①2．【详解】解：相等，理由如下：①CD 是高，①CD ①AB ，①①CDB=90°① EF①AB, ①①EFB=90°①①CDB=①EFB ，①EF①CD①①2= ①DCB① DG①BC ①①1= ①DCB①①1=①2【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及垂直的定义，熟练掌握相关的定理和定义是解题的关键．46．（1）①ABD ＝20︒，BDE ∠＝20º，BED ∠＝140º；（2）垂直的定义；两直线平行，同位角相等；BAD ∠，2∠【分析】(1)由①BDC-①A 求出①ABD 的度数，由BD 为角平分线得到①DBC 的度数，再由DE 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等求出①BDE 的度数，利用三角形的内角和定理即可求出①BED 的度数；(2)由AD 垂直于BC ，EF 垂直于BC ，利用垂直的定义得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到EF 与AD 平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知一对角相等，利用等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）因为50A ∠=︒，70BDC ∠=︒，所以20ABD BDC A ∠=∠-∠=︒，因为BD 是ABC ∆的角平分线，所以20DBC ABD ∠=∠=︒．因为//DE BC ，所以20BDE DBC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等），所以180140BED EBD EDB ∠=︒-∠-∠=︒（三角形内角和定理）；（2）因为AD ①BC ，EF ①BC （已知），所以①EFB ＝①ADB ＝90°（垂直的定义）．所以EF①AD （同位角相等，两直线平行）．所以①1＝①BAD （两直线平行，同位角相等）．因为①1＝①2（已知），所以BAD ∠=2∠（等量代换）．。

中考数学知识点(相交线、平行线)

七年级下册相交线、平行线9. （分类）9.1. 相交线（包含题目总数：4）七年级下册相交线、平行线两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．如图1中的1∠与3∠就是对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．如图1中的1∠与2∠就是邻补角．这样可以得到邻补角和对顶角的重要性质：邻补角互补，对顶角相等．图1 图2 如图2，直线AB 、CD 与EF 相交(或者说两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角．其中像1∠与5∠，这两个角分别在AB 、CD 的上方，并且在EF 的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．如2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠都是同位角；3∠与5∠，这两个角都在AB 、CD 之间，并且3∠在EF 的左侧，5∠在EF 的右侧，像这样的角叫做内错角．如4∠与6∠是内错角；3∠与6∠在直线AB 、CD 之间，并且在EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角．如4∠与5∠是同旁内角．七年级下册相交线、平行线9.2. 垂线（包含题目总数：3）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图，直线AB、CD互相垂直，记作“CDAB ”(或CD⊥AB)，读作“AB垂直于CD”．如果垂足是O，记作“AB垂直于CD，垂足为O”．七年级下册相交线、平行线垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．七年级下册相交线、平行线空间里也有垂直的情况．空间中垂直的判定方法有下面两种：(1)直线与平面垂直的判定方法：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直．(2)平面与平面垂直的判定方法：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两平面互相垂直．9.3. 平行线（包含题目总数：8）008020；008030；008040；008050；008070；008090；008160；008170；9.3.1. 平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“//”表示，如图，直线AB 与CD是平行线，记作“AB//CD”，读作“AB平行于CD”．在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．七年级下册相交线、平行线注意：①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交．②今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行．9.3.2. 平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即：如果ba//，a//．c//，那么cb七年级下册相交线、平行线9.3.3. 平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，简单的说成：同位角相等，两直线平行．平行线的两个判定定理：1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．注意：上面的判定是由角的等量关系得到两直线的位置关系，判定直线平行还有下面三种判定方法：(1)平行于同一直线的两直线平行；七年级下册相交线、平行线(2)垂直于同一直线的两直线平行；(3)平行线的定义．9.3.4. 平行线的性质(1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．9.3.5. 空间中的平行关系在空间里，既不相交也不平行的直线是异面直线．在空间里，如果一条直线与一个平面没有公共点，就说这条直线与这个平面互相平行．在空间里，如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行．直线与平面、平面与平面平行的判定：七年级下册相交线、平行线①不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．②如果一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行．9.4. 命题、定理、证明（包含题目总数：2）008140；008150；命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．注意：命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等”，“相等的角是对顶角”等七年级下册相交线、平行线都是命题．“连结P、Q两点”、“过点p作直线l”等都不是命题．命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果……，那么……．”有时也写成：“若……，则……．”“倘若……，那么……．”命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．七年级下册相交线、平行线命题的分类(按正确、错误与否分)：()()⎩⎨⎧错误的命题假命题正确的命题真命题命题所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题．注意：对于假命题并不要求：在题设成立时，结论一定错误，事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了，因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了．公理：七年级下册相交线、平行线人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等．注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理而都承认的真命题．②公理可以作为判定其它命题真假的根据．定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”等等．注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以用它们为根据推证其它命题，这些被选作定理的真命题，在教科书中是用七年级下册相交线、平行线黑体字排印的．证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“对顶角相等”这个命题，如果只采用测量的方法，只能测量有限个对顶角是相等的，但采用推理方法证明了对顶角相等，那么就可以确信一切对顶角相等．证明的一般步骤：(1)根据题意，画出图形；(2)根据题设、结论、结合图形，写出已知求证；七年级下册相交线、平行线(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．注意：①在一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时，只要写出“证明”一项就可以了．②证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理，在初学证明时，要求把根据写在第一步推理后面的括号内，其中像等量代换，利用等式性质加减乘除等代数运算可不注理由．。

2023年中考数学一轮专题练习相交线与平行线(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习一、单选题（本大题共13小题）1. （2022年西藏）如图，l 1∥l 2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A ．46°B ．90°C ．96°D ．134° 2. （辽宁省大连市2022年）如图，平行线AB ，CD 被直线EF 所截，FG 平分EFD ∠，若70EFD ∠=︒，则EGF ∠的度数是（）A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒ 3. （山东省泰安市2021年）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠等于（）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120° 4. （江苏省常州市2022年）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行5. （吉林省2022年）如图，如果12∠=∠，那么AB CD ∥，其依据可以简单说成（）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．同位角相等，两直线平行 6. （湖南省岳阳市2022年）如图，已知l AB ∥，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是（）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 7. （湖南省长沙市2022年）如图，75AB CD AE CF BAE ∠=︒∥，∥，，则DCF ∠的度数为（）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．105︒8. （湖南省湘潭市2022年）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒9. （湖南省娄底市2022年）一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒10. （湖南省郴州市2022年）如图，直线a b ∥，且直线a ，b 被直线c ，d 所截，则下列条件不能．．判定直线c d ∥的是（）A ．34∠=∠B ．15180∠+∠=︒C ．12∠=∠D ．14∠=∠ 11. （四川省雅安市2022年）如图，已知直线a ∥b ，直线c 与a ，b 分别交于点A ，B ，若∠1＝120°，则∠2＝（）A ．60°B ．120°C ．30°D ．15° 12. （四川省自贡市2022年）如图，直线,AB CD 相交于点O ，若130∠=，则2∠的度数是（）A ．30°B ．40°C ．60°D ．150°13. （四川省泸州市2022年）如图，直线a b ∥，直线c 分别交,a b 于点,A C ，点B 在直线b 上，AB AC ⊥，若1130∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．70︒二、填空题（本大题共6小题）14. （湖南省湘西州2022年）1.如图，直线a ∥b ，点C 、A 分别在直线a 、b 上，AC ⊥BC ，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____．15. （四川省眉山市2022年）如图，已知a b ∥，1110∠=︒，则2∠的度数为．16. （2022年四川省乐山市）如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2= ．17. （湖北省咸宁市2022年）如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝度．18. （广西桂林市2022年）如图，直线l 1，l 2相交于点O ，∠1＝70°，则∠2＝ °．19. （湖北省宜昌市2022年）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是．三、解答题（本大题共1小题）20. （湖北省武汉市2022年）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．参考答案1. 【答案】C【分析】由题意易得∠1+∠3+∠2＝180°，然后问题可求解．【详解】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2. 【答案】A【分析】先根据角平分线的性质可得∠GFD＝35︒，再由平行线的性质可得∠EGF＝∠GFD＝35︒．【详解】解：∵∠EFD＝70︒，且FG平分∠EFD∴∠GFD＝1∠EFD＝35︒2∵AB∥CD∴∠EGF＝∠GFD＝35︒故选A3. 【答案】C【分析】如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．【详解】解：如图，由题意得DE∥GF，∴∠1=∠3=50°，∴∠4=180°-∠3=130°，∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．故选：C4. 【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．5. 【答案】D【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．【详解】解：因为1∠与2∠是一对相等的同位角，得出结论是AB CD ，所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，故选：D ．6. 【答案】C【分析】根据直角三角形的性质求出CED ∠，再根据平行线的性质解答即可．【详解】解：在Rt CDE △中，90CDE ∠=︒，40DCE ∠=︒，则904050CED ∠=︒-︒=︒，∵l AB ∥，∴150CED ∠=∠=︒，故选：C ．7. 【答案】C【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】如图，设,AE CD 交于点G ，AB CD ∥，75BAE ∠=︒，∴75DGE BAE ∠=∠=︒AE CF ∥75DCF DGE ∴∠=∠=︒故选：C ．8. 【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD∴∠DCA ＝∠CAB ，∵BCD ∠=∠DCA +∠ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒∴BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．9. 【答案】C【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，180,BCD218080100,10. 【答案】C【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．【详解】解：A 、当34∠=∠时，c d ∥；故A 不符合题意；B 、当15180∠+∠=︒时，c d ∥；故B 不符合题意；C 、当12∠=∠时，a b ∥；故C 符合题意；D 、∵a b ∥，则12∠=∠，∵14∠=∠，则24∠∠=，∴c d ∥；故D 不符合题意；故选：C11. 【答案】A【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3=120°，∵直线a ∥b ，2=180360,故选：A ． 12. 【答案】A【分析】根据对顶角相等可得2=1=30∠∠︒．【详解】解：∵130∠=，1∠与2∠是对顶角，∴2=1=30∠∠︒．故选：A ．13. 【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∠CAD =∠1=130°，再根据AB ⊥AC ，可得∠BAC =90°，即可求解．解：因为a ∥b ，所以∠1=∠CAD =130°，因为AB ⊥AC ，所以∠BAC =90°，所以∠2=∠CAD -∠BAC =130°-90°=40°．故选：B ．14. 【答案】40°【分析】利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．【详解】如图，∵AC ⊥BC ，∴∠2+∠3＝90°，∵a ∥b ，∴∠1＝∠3＝50°．∴∠2＝90°﹣∠3＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15. 【答案】110︒##110度【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知3=1∠∠，再借助3∠与2∠为对顶角即可确定2∠的度数．【详解】解：如下图，∵a b ∥，1110∠=︒，∴3=1110∠∠=︒，∵3∠与2∠为对顶角，∴2=3110∠∠=︒．故答案为：110︒．16. 【答案】40°##40度【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a ∥b ，∴∠1=∠3=50°，∵∠BAC =90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．17. 【答案】54【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a ∥b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角，所以12∠=∠，所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．18. 【答案】70【分析】根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：∵∠1和∠2是一对顶角，∴∠2＝∠1＝70°，故答案为：70．19. 【答案】85︒##85度【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】解：C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，35CBE ∴∠=︒，过C 作CF DA ∥交AB 于F ，如图所示：DA CF EB ∴∥∥，50,35FCA DAC FCB CBE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 85ACB FCA FCB ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：85︒．20. 【答案】(1)100BAD ∠=︒(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．(1)解：∵AD BC ∥， ∴180B BAD ∠+∠=°， ∵80B ∠=︒， ∴100BAD ∠=︒．(2)证明：∵AE 平分BAD ∠， ∴50DAE ∠=︒． ∵AD BC ∥， ∴50AEB DAE ∠=∠=︒． ∵50BCD ∠=︒， ∴BCD AEB ∠=∠． ∴AE DC ∥．。

中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

中考数学复习：相交线与平行线

中考数学复习：相交线与平行线中考数学温习：相交线与平行线一、知识框架二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边区分是另一个叫的两边的反向延伸线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相反位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判别一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后失掉的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后失掉的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：性质1：过一点有且只要一条直线与直线垂直。

性质2：衔接直线外一点与直线上各点的一切线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只要一条直线与直线平行。

平行公理的推论：假设两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

本章使先生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研讨了两条直线相交时的构成的角的特征,两条直线相互垂直所具有的特性,两条直线平行的临时共存条件和它一切的特征以及有关图形平移变换的性质,应用平移设计一些优美的图案.?重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.?难点:探求平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探求图形之间的平移关系,以及停止图案设计。

中考数学总复习资料相交线平行线

相交线、平行线
[知识要点]
一、相交线
1.线段的垂直平分线：
（1）定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。

2.角
（1）定义
（2）角的分类：平角、周角、直角、锐角、钝角
（3）角的度量：1°=60' 1'=60"
（4）相关的角：对顶角、余角、补角、邻补角
（5）角的平分线
1）定义
2）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

二、平行线
1.定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线。

2.性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
（4）平行线间的距离相等
（5）平行线截相交两条直线，对应线段成比例。

3.判定：（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行
（4）平行于同一直线的两直线平行。

（5）垂直于同一直线的两直线平行。

专题34相交线与平行线(1) 中考数学真题分项汇编系列2(学生版)

专题34相交线与平行线（1）（全国一年）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·浙江衢州中考真题）过直线l 外一点P 作直线l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（） A ． B ．C ．D ．2．（2020·广西河池中考真题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，则∠1与∠2的位置关系是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角3．（2020·贵州黔西中考真题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（）A ．37°B ．43°C ．53°D ．54°4．（2020·山东临沂中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒5．（2020·辽宁大连中考真题）如图，ABC 中，60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=，则AED ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6．（2020·辽宁鞍山中考真题）如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°，则∠1的大小为（）A ．36°．B ．54°．C ．72°．D ．73°．7．（2020·浙江金华中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ∥b ，理由是（）A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8．（2020·辽宁朝阳中考真题）如图，四边形ABCO 是矩形，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B 、点C不重合），则BAD DOC ADO∠+∠∠的值为（）A ．1B ．12C ．2D ．无法确定9．（2020·内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，直线//,AB CD AE CE ⊥于点E ，若120EAB ︒∠=，则ECD ∠的度数是（）A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°10．（2020·山东滨州中考真题）如图，AB//CD ，点P 为CD 上一点，PF 是∠EPC 的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD 的大小为（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°11．（2020·四川绵阳中考真题）在螳螂的示意图中，AB ∥DE ，△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝124°，∠CDE ＝72°，则∠ACD ＝（）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°12．（2020·四川绵阳中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE 交DF 于点G ，GH ⊥DF ，点E 恰好为DH 的中点，若AE ＝3，CD ＝2，则GH ＝（）A ．1B ．2C ．3D ．413．（2020·江苏宿迁中考真题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A ．40°B ．50°C ．130°D ．150°14．（2020·辽宁沈阳中考真题）如图，直线//AB CD ，且AC CB ⊥于点C ，若35BAC ∠=︒，则BCD ∠的度数为（）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°15．（2020·四川眉山中考真题）一副三角板如图所示摆放，则α∠与β∠的数量关系为（）A ．180αβ∠+∠=︒B ．225αβ∠+∠=︒C ．270αβ∠+∠=︒D ．αβ∠=∠16．（2020·江苏南通中考真题）如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝54°，∠E ＝18°，则∠C 的度数是（）A ．36°B ．34°C ．32°D ．30°17．（2020·辽宁营口中考真题）如图，AB ∥CD ，∠EFD ＝64°，∠FEB 的角平分线EG 交CD 于点G ，则∠GEB 的度数为（）A ．66°B ．56°C ．68°D ．58°18．（2020·山东淄博中考真题）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°19．（2020·甘肃金昌中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒20．（2020·四川雅安中考真题）下列四个选项中不是命题的是（）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =21．（2020·山东威海中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（）A ．38B ．34C ．52D ．151522．（2020·山东东营中考真题）如图，直线AB CD 、相交于点,O 射线OM 平分,BOD ∠若42AOC ∠=︒，则AOM ∠等于（）A ．159B ．161C ．169D ．13823．（2020·海南中考真题）如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒24．（2020·湖南永州中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．225．（2020·湖北荆州中考真题）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若30CAB ︒∠=，则ACB ∠的度数是（）A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒26．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，3045F C ∠=∠=，，AB 与DE 相交于点G ，当//EF BC 时，EGB ∠的度数是（）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°27．（2020·贵州毕节中考真题）将一幅直角三角板（90A FDE ∠=∠=︒，45F ∠=︒，60C ∠=°，点D 在边AB 上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF ，BC ，且//EF BC ，则ADF ∠等于（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒28．（2020·广西玉林中考真题）下列命题中，其逆命题是真命题的是（）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角相等29．（2020·广西玉林中考真题）如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形30．（2020·湖南郴州中考真题）如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=C ．45∠=∠D ．12∠=∠31．（2020·广东深圳中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°32．（2020·湖南娄底中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为（）A ．62°B ．56°C ．28°D ．72°33．（2020·四川宜宾中考真题）如图，M ，N 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，若65,45A ANM ∠=︒∠=︒，则B =（）A ．20︒B ．45︒C ．65︒D ．70︒34．（2020·湖北省直辖县级单位中考真题）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°35．（2020·湖南长沙中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A 与直角顶点C 分别在平行线,FD GH上，斜边AB 平分CAD ∠，交直线GH 于点E ，则ECB ∠的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．25︒36．（2020·江苏常州中考真题）如图，直线a 、b 被直线c 所截，//a b ，1140∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°37．（2020·辽宁抚顺中考真题）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120∠=︒，则∠2的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．40°38．（2020·四川内江中考真题）如图，已知直线//a b ，150∠=︒，则2∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．50︒D ．40︒39．（2020·湖北随州中考真题）如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160︒∠=，则2∠的度数是（）A ．60︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒40．（2020·黑龙江齐齐哈尔中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°41．（2020·湖北孝感中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒42．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线m 的垂线，可作垂线的条数有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条43．（2020·北京中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1＞∠4+∠5D ．∠2＜∠544．（2020·湖北鄂州中考真题）如图，//a b ，一块含45︒的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若165︒∠=，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．55︒D ．65︒45．（2020·贵州贵阳中考真题）如图，直线a ，b 相交于点O ，如果1260∠+∠=︒，那么3∠是（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3046．（2020·江西中考真题）如图，1265,335︒∠=∠=∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．//AB CD B ．30B ∠=︒C ．2C EFC ∠+∠=∠D ．CG FG >47．（2020·湖北襄阳中考真题）如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，若64EFG ∠=︒，则EGD ∠的大小是（）A ．132︒B ．128︒C ．122︒D ．112︒48．（2020·河南中考真题）如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒49．（2020·湖南岳阳中考真题）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒50．（2020·湖南岳阳中考真题）下列命题是真命题的是（） A ．一个角的补角一定大于这个角 B ．平行于同一条直线的两条直线平行 C ．等边三角形是中心对称图形D ．旋转改变图形的形状和大小51．（2020·湖南怀化中考真题）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α︒∠=，则β∠的度数为（）A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒52．（2020·四川广元中考真题）如图，a ∥b,M 、N 分别在a,b 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）.A ．180°B ．360°C ．270°D ．540°53．（2020·山东聊城中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°54．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE △的面积为18，则k 的值为（）A ．6B ．12C ．18D ．2455．（2020·四川自贡中考真题）如图，a ∥b ，150∠=，则2∠的度数为（）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60°56．（2020·四川攀枝花中考真题）如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，过点B 作BG EF ⊥于点G ，已知150∠=︒，则B ∠=（）．A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒二、填空题57．（2020·辽宁大连中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 与D 在函数(0)ky x x=>的图象上，AC x ⊥轴，垂足为C ，点B 的坐标为(0,2)，则k 的值为______．58．（2020·云南中考真题）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若a ∥b ，154∠=︒，则2∠=___________度．59．（2020·四川绵阳中考真题）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．60．（2020·四川凉山中考真题）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积为32π，则半圆的半径OA 的长为__________．61．（2020·云南昆明中考真题）如图，点C 位于点A 正北方向，点B 位于点A 北偏东50°方向，点C 位于点B 北偏西35°方向，则∠ABC 的度数为_____°．62．（2020·四川雅安中考真题）如图，//a b c ，与a b ，都相交，150∠=︒，则2∠=_________．63．（2020·吉林中考真题）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处，他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．64．（2020·湖南益阳中考真题）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=，则ACD ∠的度数为__________．65．（2020·湖南永州中考真题）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．66．（2020·内蒙古通辽中考真题）如图，点O 在直线AB 上，531728AOC ︒'''∠=，则BOC ∠的度数是______．67．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，2,AB ABC =∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点E ，若点E 恰好在边AD 上，则22BE CE +的值为______．68．（2020·陕西中考真题）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是_____．69．（2020·江苏盐城中考真题）如图，直线,a b 被直线c 所截，//,160a b ∠=．那么2∠=_______________________．70．（2020·湖北恩施中考真题）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．71．（2020·四川内江中考真题）如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．72．（2020·湖南邵阳中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，斜边2AB =，过点C 作//CF AB ，以AB 为边作菱形ABEF ，若30F ∠=︒，则Rt ABC 的面积为________．73．（2020·湖北黄冈中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．74．（2020·湖北咸宁中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴//a b ．75．（2020·湖南湘西中考真题）如图，直线AE ∥BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠=___________度．76．（2020·湖南张家界中考真题）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．77．（2020·湖南湘潭中考真题）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为________．78．（2020·湖南衡阳中考真题）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．79．（2020·山东临沂中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．80．（2020·四川南充中考真题）如图，两直线交于点O ，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．81．（2020·江苏连云港中考真题）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五形12345B B B B B ，且3344//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α=________︒．三、解答题82．（2020·江苏镇江中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．83．（2020·江苏宿迁中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD 中，∠C =∠D =90°，点E 在边CD 上，∠AEB =90°，求证：AE EB =DECB．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠C =∠ADC =90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG =∠AEB =90°，且EF EG =AEEB，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH =GH ．（拓展）（3）如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB +∠DEC =180°，且AE EB =DEEC，过E 作EF 交AD于点F ，若∠EFA =∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG =CG ．84．（2020·四川凉山中考真题）如图，AB 是半圆AOB 的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分BAC ∠交半圆于点D ，过点D 作DH AC ⊥与AC 的延长线交于点H ．（1）求证：DH 是半圆的切线；（2）若25DH =，5sin 3BAC ∠=，求半圆的直径． 85．（2020·黑龙江大庆中考真题）如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）86．（2020·山东东营中考真题）如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口A 的北偏东60方向上，与港口A 相距602海里，一艘摩托艇从A 出发，自西向东航行至B 时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC 方向行进，此时C 位于B 的北偏西45方向，则从B 到达C 需要多少小时？87．（2020·湖北荆州中考真题）如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．（1）求证：//BC AD ；（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．88．（2020·湖北黄石中考真题）如图，,//,70,40AB AE AB DE DAB E =∠=︒∠=︒．（1）求DAE ∠的度数；（2）若30B ∠=︒，求证：AD BC =． 89．（2020·山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）90．（2020·四川内江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD ∆的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．91．（2020·广东中考真题）如图，点B 是反比例函数8y x=（0x >）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．（1）填空：k =_________；（2）求BDF ∆的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．92．（2020·湖北宜昌中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．93．（2020·湖北孝感中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足BE DF =．连接EF ，分别与BC ，AD 交于点G ，H ．求证：EG FH =．94．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长． 95．（2020·湖北武汉中考真题）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ∥FN ．求证：AB ∥CD ．96．（2020·北京中考真题）已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC ， ∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （）（填推理依据） ∴∠ABP=12∠BAC97．（2020·江苏南京中考真题）如图，在ABC 和A B C '''中，D 、D 分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC ABC D A C A B ==''''''时，求证：~ABC A B C '''△△ 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格 E '（2）当CD AC BCC D A C B C==''''''时，判断ABC 与A B C '''是否相似，并说明理由 98．（2020·江西中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，22OA =．（1）求反比例函数的解析式；（2）求EOD ∠的度数．99．（2020·山东菏泽中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若⊙O 的半径为5，16BC =，求DE 的长．。

专题01 平行线与相交线

专题01 平行线与相交线【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：对顶角与邻补角对顶角：如图，∠1与∠3是对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

即∠1＝∠3邻补角：如图，∠1与∠2或∠3与∠2是邻补角。

邻补角的性质：邻补角互补注意：对邻角与邻补角不仅存在位置关系，还存在数量关系。

【考试题型1】判断对顶角与邻补角【解题方法】根据这两种角的位置关系进行判断。

例题讲解：1．（2022春•尧都区期中）下列示意图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：A、∠1的两边分别是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；B、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；D、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意．故选：A．2．（2022春•横县期中）下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．【分析】根据邻补角的定义（具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为邻补角）解决此题．【解答】解：A．根据邻补角的定义，A中∠1与∠2不是邻补角，那么A不符合题意．B．根据邻补角的定义，B中∠1与∠2是对顶角，那么B不符合题意．C．根据邻补角的定义，C中∠1与∠2是邻补角，那么C符合题意．D．根据邻补角的定义，D中∠1与∠2不是邻补角，那么D不符合题意．故选：C．【考试题型2】计算【解题方法】利用对顶角与邻补角的性质进行角度计算。

例题讲解：3．（2022春•虞城县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝35°，则∠DOE等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°【分析】根据对顶角求得∠AOC＝∠1＝35°，根据∠AOE＝2∠AOC＝70°，根据平角的定义即可求解．【解答】解：∵∠1＝35°，∴∠AOC＝∠1＝35°，∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝70°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠1＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故选：C．考点二：垂直垂直的定义：两条直线相交形成的四个角中，若有一个角是直角时，则说着两条直线相互垂直，其中一条是另一条的垂直，交点为垂足。

初三数学直线相交线平行线重点知识点

初三数学直线相交线平行线重点知识点
初三数学直线相交线平行线重点知识点
除了课堂上的学习外，数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初三数学直线相交线平行线知识点，希望对大家的学习有一定帮助。

直线、相交线、平行线
1、线段、射线、直线三者的区别与联系
从图形、表示法、界限、端点个数、基本性质等方面加以分析。

2、线段的中点及表示
3、直线、线段的基本性质（用线段的基本性质论证三角形两边之和大于第三边）
4、两点间的`距离（三个距离：点—点；点—线；线—线）
5、角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6、互为余角、互为补角及表示方法
7、角的平分线及其表示
8、垂线及基本性质（利用它证明直角三角形中斜边大于直角边）
9、对顶角及性质
10、平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11、常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）；
②同垂直于一条直线的两条直线平行。

专题20相交线与平行线(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考数学真题

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】专题20相交线与平行线（优选真题60道）一．选择题（共40小题）1．（2023•日照）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（）A．23°B．53°C．60°D．67°2．（2023•鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是（）A．60°B．30°C．40°D．70°3．（2023•长沙）如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2023•大连）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠D＝20°，则∠E的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2023•贵州）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（）A．39°B．40°C．41°D．42°6．（2023•深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（）A．70°B．65°C．60°D．50°7．（2023•辽宁）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝108°，则∠2的度数为（）A．52°B．62°C．72°D．82°8．（2023•张家界）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．70°B．50°C．40°D．140°9．（2023•东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED ＝60°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．40°D．60°10．（2023•菏泽）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．（2023•齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（）A．135°B．105°C．95°D．75°12．（2023•绥化）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．55°B．65°C．70°D．75°13．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．50°C．60°D．80°14．（2023•济宁）如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．65°B．55°C．45°D．35°15．（2023•兰州）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°16．（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160°B．150°C．140°D．130°17．（2023•广东）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（）A．43°B．53°C．107°D．137°18．（2023•岳阳）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°19．（2023•荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G 的度数是（）A．80°B．76°C．66°D．56°20．（2023•陕西）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（）A．36°B．46°C．72°D．82°21．（2023•随州）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（）A．30°B．60°C．120°D．150°22．（2023•邵阳）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．40°B．50°C．70°D．130°23．（2023•金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120°B．125°C．130°D．135°24．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55°B．45°C．35°D．25°25．（2023•枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（）A．14°B．16°C．24°D．26°26．（2023•宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．110°B．70°C．40°D．30°27．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°28．（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（）A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQC．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ29．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°30．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°31．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°32．（2022•辽宁）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°33．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行34．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40'B．99°80'C．99°40'D．99°20'35．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°36．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°37．（2021•宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°38．（2021•娄底）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B+∠D 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°39．（2021•包头）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80°B．70°C．60°D．50°40．（2021•营口）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠3＝60°C．FG=12FC D．GF⊥CD二．填空题（共20小题）41．（2023•通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝度．42．（2023•永州）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝度．43．（2023•杭州）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝．44．（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．45．（2023•威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝°．46．（2023•烟台）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为．47．（2022•镇江）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝°．48．（2022•扬州）将一副直角三角板如图放置，已知∠E ＝60°，∠C ＝45°，EF ∥BC ，则∠BND ＝ °．49．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线AB ∥CD ，则∠α的度数是．50．（2022•湖北）如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝度．51．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点，作直线EF ；（2）以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点G ，H ，再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在∠BAC 的内部相交于点O ，画射线AO ，交直线EF 于点M ．已知线段AB＝6，∠BAC ＝60°，则点M 到射线AC 的距离为．52．（2022•乐山）如图，已知直线a ∥b ，∠BAC ＝90°，∠1＝50°．则∠2＝．53．（2022•绵阳）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE 与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为．54．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为．55．（2022•济宁）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是．56．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是．57．（2021•大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点．58．（2021•长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为度．59．（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD ＝度．60．（2020•张家界）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是度．。