抛物线中的最值问题
抛物线中的最值问题
解：设 = P (x, y ) ∴ y
2 2
Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， PA = = = (x − 3)2 + y x 2 − 6x + 9 + x x 2 − 5x + 9 5 2 11 (x − ) + 2 4
例三、 例三、 已知定点M ），F是抛物线y =2x的焦点 的焦点， 已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P |PM|+|PF|取得最小值 取得最小值， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P 求点P的坐标
分析： ，由抛物线的定义： 如图， 分析： 如图 由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。 与到准线的距离相等。 即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。 线时距离之和最小。
N F F
M
P M
解： 如图所示 在抛物线 y2 = 2x上任取一点 上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线 ，作MN 准线L， 作 交抛物线于P（ ， ） ⊥L ，MN交抛物线于 （x，y） 交抛物线于 由抛物线的定义得： 由抛物线的定义得： |P’F|= |P’N’|
练习： 练习：
1.已知M(a,0) 为抛物线y = 2px(p> 0)的对称轴
2
上的一个定点在抛物线上求一点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 、求抛物线 上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 距离最小值， 时抛物线上的点的坐标
过抛物线焦点弦的最小值问题
高三数学总复习资料过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线)0(22>=p px y ,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。
解法一：当斜率k 存在时,设直线AB 为y=k(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2 得 04)2(22222=++-k p x p p k x k 即：4221p x x = ， 过焦点弦|AB|=p x x ++21 由题意可知,0,021>>x x 21212x x x x ≥+由于积是定值，当且仅当21x x =时即为2p 时能取等号,所以当斜率k 不存在, 此时这条直线就垂直于x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。
最小值为2p.解法二：设直线的倾斜角为θ，斜率存在时,则直线为 y= tan θ(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2θ 得 0tan 4)2tan (tan 22222=++-θθθp x p p x θθ2221tan 2tan p p x x +=+代入 过焦点弦|AB|=p x x ++21 =2p(1+θ2tan 1) = θ2sin 2p 当sin θ2=1时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在,倾斜角2πθ=，即线段AB 为通径。
评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。
这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。
解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。
这是两种不同方法来分析最值问题的。
这种方法是建立函数关系式来求最值问题。
在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。
（如解法一型），二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。
这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。
《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》PPT课件
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20 m；②足球飞行路 线的对称轴是直线 t＝92； ③足球被踢出 9 s 时落地； ④足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是 11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照 图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y＝ax2＋bx(a≠0) 表示．已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为34 m，到墙 边 OA 的距离分别为12 m，32 m.
A．此抛物线对应的解析式是 y＝－15x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是 2 m 【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， ∴可设抛物线对应的函数解析式为 y＝ax2＋3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是 2.25 m．故本选项错误．
7．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢 出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球 距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单 位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
*4.(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最 后 4 s 滑行的距离是___2_4____m.
【点拨】当 y 取得最大值时，飞机停下来．因为 y＝60t－32t2＝－32(t －20)2＋600，所以 t＝20 时，飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来．
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合(五)
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合（五）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC 于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．2．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；，（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1 S，求的最大值；2（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．4．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M 作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物线y ＝+bx +c 经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，设其横坐标为a ．当a 为何值时，△APC 的面积最大，并求出其最大值．（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．7．如图1，已知抛物线y ＝ax 2﹣12ax +32a （a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）连接BC ，若∠ABC ＝30°，求a 的值．（2）如图2，已知M 为△ABC 的外心，试判断弦AB 的弦心距d 是否有最小值，若有，求出此时a 的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P （t ，t ）在第一象限，t 为常数．问：是否存在一点P ，使得∠APB 达到最大，若存在，求出此时∠APB 的正弦值，若不存在，也请说明理由．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．（1）求抛物线的解析；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣；（2）如图1，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∵，∴当△PDE和△BOC相似时，∴＝或，∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，4m2﹣8m＝0，m＝0（舍）或2，∴P（2，4），②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，解得：m＝0（舍）或，∴P（，）；综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，∵FQ⊥AC，∴k FQ＝﹣＝﹣，同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，则，解得：x＝﹣t，∴G（﹣t，0），∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，∴FG的最小值是，此时Q（，）．2．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣2），则点H（x，x﹣2），S＝S△PHB +S△PHC＝PH•（x B﹣x C）＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点C作SC⊥BC交x轴于点R，交BQ于点S，过点S作SK⊥x 轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RSB为等腰三角形，则点C是RS的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝＝＝tan∠ROC＝，则设RC＝x＝SB，则BC＝2x，则RB＝＝x＝BS，＝×SR•BC＝BR•SK，即2x•2x＝KS•x，解得：KS＝，在△SRB中，S△RSB∴sin∠RBS＝＝＝，则tan∠RBH＝，在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×＝，则点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝（x﹣4）②，联立①②并解得：x＝4（舍去）或，当x＝时，y＝﹣，故点Q（，﹣）；②当点Q在BC上方时，同理可得：点Q的坐标为（﹣，）；综上，点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．3．解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+2；（2）如图1，令y＝0，∴﹣x2﹣x+2＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴＝＝＝﹣（a+2）2+；∴当a＝﹣2时，的最大值是；（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k﹣k＝k，∴＝＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣，∴点D的横坐标为﹣2或﹣．4．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），①当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，故点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）；②当CD为对角线时，由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；综上，点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）．5．解：（1）令x＝0，得y＝x2+2x﹣6＝﹣6，∴C（0，﹣6），令y＝0，得y＝x2+2x﹣6＝0，解得，x＝﹣6或2，∴A（﹣6，0），点B（2，0），设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∵y＝x2+2x﹣6＝（x+2）2﹣8，∴D（﹣2，﹣8），过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图1，则N（﹣2，﹣4），∴，∴△ACD的面积＝；（2）如图1，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣12，故tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，而∠HFD＝∠PFG，∴∠FPG＝∠FDH，在Rt△PGF中，PF＝＝＝FG，则EF+FG＝EF+PF＝EP，设点P（x，x2+2x﹣6），则点E（x，﹣x﹣6），则EF+FG＝EF+PF＝EP＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x，∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；当x＝﹣3时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（﹣3，﹣）；（3）存在，理由：设点M的坐标为（m，n），则n＝m2+2m﹣6①，点N（0，s），（Ⅰ）当点M在x轴下方时，①当∠MNB为直角时，如图2，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即n﹣s＝2且﹣m＝﹣s②，联立①②并解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；②当∠NBM为直角时，如图3，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即n＝﹣2，当n＝﹣2时，m2+2m﹣6＝﹣2，解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；（Ⅱ）当点M在x轴上方时，同理可得：m＝﹣﹣或﹣3﹣；综上，点M的横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2或﹣﹣或﹣3﹣．6．解：（1）直线l：y＝x+m过点B（0，﹣1），则m＝﹣1，则直线l：y＝x﹣1，将点C（4，n）代入上式并解得：n＝2，故点C（4，2），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1；（2）如图1，过点P作PD∥y轴交AC于点D，点D在线段AC上，由题意得P（a，a﹣1），则D（a，a﹣1），A（，0），∴PD＝＝﹣+2a，∵A（，0），C（4，2），∴△APC 的面积＝S △PAD +S △PDC ＝×PD ×（4﹣）＝××＝﹣（a ﹣2）2+，∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．同理当点D 在线段AB 上时，S △APC ＝S △PDC ﹣S △PAD ＝×PD ×（4﹣）＝﹣（a ﹣2）2+， ∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．综合以上可得a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为． （3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°， ∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，设点A 1的横坐标为x ，①如图2，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x +1，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1， 解得x ＝，②如图3，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x +1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1+， 解得x ＝﹣，综上所述，点A 1的横坐标为或﹣．7．解：（1）连接BC ，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x 交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．8．解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，∴点B（5，0），C（0，﹣5），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5①；（2）①如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5），∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m＝﹣，△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，）；∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC②如图2，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，∵P 的坐标为（，）； ∴点P ′的坐标为（﹣，）， ∵抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5交x 轴于A ，B 两点，且B （5，0），点A 的坐标为（1，0）， ∴直线P ′A 的解析式为y ＝﹣x +， ∴点M 的坐标为（0，）；③在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝＝，则tan ∠P ′BO ＝2tan ∠ACO ＝， 如图3，当点P ′位于第一象限时，过点B 作直线BE 交抛物线于点P ′、交y 轴于点E ，∵tan ∠P ′BO ＝＝，∴， ∴OE ＝2，∴E （0，2），设直线BP ′的表达式为：y ＝kx +2，将点B 的坐标代入上式并计算得：k ＝﹣， 故直线BP ′的表达式为：y ＝﹣x +2②，联立①②并解得：x 1＝0（不合题意值舍去），x 2＝， 则点P ′的坐标为（，）； 当点P ″位于第四象限时，同理可得P ″（，﹣）； 综上，点P 的坐标为（，）或（，﹣）．9．解：（1）∵直线y＝x+3经过A、B两点．∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，∴直线y＝x+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）．分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，b＝﹣，c＝3，（2）由（1）得y＝﹣x2﹣x+3，设点P（m，﹣m+3），则D（m，m+3），∴PD＝﹣＝﹣，∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是．（3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为或或；∵y＝﹣x2﹣x+3，∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2，∴C（2，0），由（2）可知D（﹣2，），抛物线的对称轴为x＝﹣1，设G（n，﹣n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点，①当CD为对角线时，n+（﹣1）＝0，∴n＝1，此时G（1，）．②当CD为边时，若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，﹣）．若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，﹣）．综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为或或；10．解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．。
初中数学最值问题总结
初中数学最值问题总结初中数学中的最值问题主要涉及到以下知识点：1. 一次函数的最值：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值。
当 k > 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递增，最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；当 k < 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递减，最小值为 f(b)，最大值为 f(a)。
2. 二次函数的最值：二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的最值主要出现在顶点处。
对于开口向上的抛物线（a > 0），最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线（a < 0），最大值出现在顶点处。
3. 反比例函数的最值：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）在 x > 0 的范围内单调递减，所以最大值为 k/x = k/x₁，最小值为 k/x = k/x₂。
在 x < 0 的范围内单调递增，所以最小值为 k/x = k/x₁，最大值为 k/x = k/x₂。
4. 对数函数和指数函数的最值：对数函数和指数函数都有其定义域和值域，因此在定义域内求解最值需要考虑函数的性质和定义域的限制。
5. 利用基本不等式求最值：基本不等式如算术平均数大于等于几何平均数等，可用于求解一些特定形式的最值问题。
解决最值问题的一般步骤包括：1. 分析问题：明确最值是在什么条件下取得，以及这个最值是最大值还是最小值。
2. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的方法来求解最值，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 建立数学模型：根据问题的要求建立相应的数学模型，利用适当的公式和不等式来求解最值。
4. 解方程或不等式：解方程或不等式得到最值的取值范围或具体数值。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其符合问题的实际情况。
通过以上知识点和解题步骤的总结，学生可以更好地理解和掌握初中数学中的最值问题，提高解决这类问题的能力。
抛物线的性质与定理应用
抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。
作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。
这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。
2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。
3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。
这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。
二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。
这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。
2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。
这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。
3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。
通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。
这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。
我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。
这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。
2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。
抛物线中的阿基米德三角形最值问题
抛物线中的阿基米德三角形最值问题抛物线中的阿基米德三角形最值问题，说实话，这听起来像是个超级复杂的数学题，简直让人头大。
不过别急，听我慢慢讲，咱们一个个搞懂它！阿基米德三角形是什么玩意儿？别看名字那么高大上，其实它只是一个从抛物线中截取出来的三角形。
你想，抛物线就像个大嘴巴，吃东西的速度快慢不一，三角形就是我们从它的嘴巴里拿到的一块“菜”，它的面积、形状、大小等等这些，就成了我们关注的重点。
你可能会好奇，抛物线和阿基米德三角形有什么神奇的联系？好吧，抛物线，大家应该不陌生吧！想象一下，抛物线就像是一个神奇的抛石头轨迹，飞起来的物体刚好落下来，形成了一个弯弯的形状。
那阿基米德三角形呢？其实就是抛物线上的某一点、某一段截成的一个三角形，而我们要做的事，就是研究这个三角形的面积，看看它怎么变化，什么时候达到最大或者最小值。
简单来说，我们就在问：“在哪个点，三角形的面积最合适，最‘美’？”我们做题就像是在寻宝，翻来覆去找那颗闪闪发光的宝石。
比如说，咱们得找出这个三角形的最值问题，搞清楚当三角形的面积达到最大或最小时，它的“姿态”是什么样的。
有人可能会说，啥叫“最值”？这不就意味着最大值和最小值嘛！对呀，没错，最值问题其实就是在讲，这个三角形在抛物线的影响下，最可能“优雅地站在舞台”的时刻——既不太小，也不太大，而是恰到好处。
再说说怎么解决这个问题。
哦，这里其实有点像我们生活中的那些小技巧。
比如你做饭的时候，总是希望菜做得刚好——不焦不生。
做数学题也一样，关键就在于“平衡”。
你要通过一些公式，找出这个三角形的面积表达式，然后让它“去最大化”或者“去最小化”，就像一场数学界的拔河比赛。
最终，你会发现，某个特定的位置上，三角形的面积会达到顶峰或者谷底，而这一点，正是我们要寻找的“宝贵时刻”。
我们可以从几何图形入手，也可以通过代数手段来求解。
别担心，虽然听上去复杂，其实一步一步来，仔细琢磨，就能慢慢找出规律。
很多时候，做题就像解谜一样，不是一下子就能知道答案，而是要一步步摸索、推理，直到那个“Ahha!”的时刻出现。
例谈抛物线中三角形面积最值问题的解法
知识导航三角形面积的最值问题一般比较简单，但抛物线中的三角形面积最值问题却较为复杂，这类三角形的面积常与动点的坐标有关，因而此类问题的难度一般较大.解题时需灵活运用平面几何知识、函数的图象和性质、基本不等式、三角形的性质和面积公式、抛物线的定义和性质等知识.那么，如何解答此类问题呢？一般可运用构造法和分割法来求解.下面我们结合实例来进行探讨.一、构造法构造法是指通过添加辅助线，构造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面积公式求得问题的答案.通常，可过三角形的一个顶点作x 轴或y 轴的垂线，使其与三角形的一条边相交，从而确定三角形的底或高，这样就可以根据三角形的面积公式进行计算了.例1.如图1所示，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（-3，-4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为A ，如果点P 是抛物线上的一个动点且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？解析：由于点P 是抛物线上的一个动点，所以我们无法确定△PAB 的形状，也就无法确定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面积公式来求解，需要构造出三角形的高和底.可过点P 作PE 垂直x 轴交AB 于点E ，则S △ABP =S △APE +S △BPE ，此时△APE 的底为PE ，高为A 到PE 的距离；△BPE 的底为PE ，高为B 到PE 的距离，而A 、B 到PE 的距离之和为A 、B 的横坐标之差.当|PE |最大时，△PAB 的面积最大.借助两点间的距离公式和二次函数的性质便可顺利求得△PAB 面积的最值.解：过P 点作PE ⊥x 轴交AB 于点E ，如图1所示，设点P 坐标为(m ，-16m 2+56m )，可得到点E 的坐标为（m ，-12m -52）.所以S △ABP =S △APE +S △BPE =12|PE |×8=4|PE |=4×(-16m 2+56m -12m +52)=-23m 2+43m +10，当m =-b 2a=1，S △ABP 取最大值，即S △ABP =（43）2-4×(-23)×104×(-23)=323.所以，当P 点坐标为（1，23）时，S △ABP 取最大值，且最大面积是323.一般地，当三角形底边的长为定值时，三角形的高与面积成正比，高越大其面积越大，只要求得高的最大值，便可求得面积的最大值.二、分割法当求三角形的面积遇到困难时，我们可以运用分割法，将三角形分割为两个或者两个以上的简单几何图形，借助简单几何图形的面积公式求得三角形的面积.当求抛物线中三角形面积的最值时，我们也可以将三角形分割为几个小三角形、平行四边形、梯形等，然后分别利用三角形、平行四边形、梯形面积公式求出各图形的面积，最后综合所得的结果即可求得三角形面积的表达式，借助函数的性质、基本不等式来求得最值.例2.如图2，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ，若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，试求△APC 面积的最大值.解：，如图2，过点P 作PQ 垂直x 轴于点H ，交AC 于点Q ，过点C 作CG 垂直x 轴于点G .设Q （x ,x +1），则P （x ,-x 2+2x +3），则S △APC =S △APE +S 直角梯形PHGC -S △AGC=12(x +1)(-x 2+2x +3)+12(-x 2+2x +3)(2-x )-12×3×3=-32(x -12)2+278所以△APC 面积的最大值为278.由于点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，所以我们无法确定△APC 的形状，可以采用分割法来求解.将△APC 分割成两个小三角形△APE 、△AGC 和一个直角梯形形PHGC ，从而把三角形分割成几个规则的简单几何图形，运用三角形的面积公式和梯形的面积公式便可快速求得△APC 面积的表达式，将其视为关于x 的二次函数，借助二次函数的性质就能求得△APC 面积的最大值.总之，同学们在解答抛物线中三角形面积最值问题时，可根据三角形的特点和已知条件合理添加辅助线，构造出三角形的底或高，也可以将三角形分割为几个简单的几何图形，借助简单几何图形的面积公式来求解.在求得三角形面积的表达式后，可借助函数的性质或基本不等式来求得最值.（作者单位：江苏省盐城中学）陈巧巧图1图238。
抛物线的最值公式
抛物线的最值公式抛物线是数学中常见的曲线，其最值是解决优化问题和求最大最小值的重要工具。
抛物线的一般方程可以写为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线开口方向和最值取决于系数a的正负性。
下面将介绍抛物线的最值情况及对应的公式。
1. 抛物线的最值问题给定抛物线方程y=ax^2+bx+c，若a大于0，则抛物线开口朝上；若a小于0，则抛物线开口朝下。
在求解抛物线的最值时，需要确定最值点的横坐标。
2. 抛物线的最值公式1.当抛物线开口朝上（a>0）时，最值出现在抛物线的顶点处。
抛物线的顶点横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
2.当抛物线开口朝下（a<0）时，最值出现在抛物线的底部。
抛物线的底部横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
综上所述，抛物线的最值公式可以总结如下：•当a>0时，最大值为f(-b/(2a))，最小值为负无穷；•当a<0时，最小值为f(-b/(2a))，最大值为正无穷。
3. 案例分析以一个具体的抛物线方程为例：y=x^2-4x+3。
首先根据系数a=1>0，确定抛物线开口朝上。
然后利用最值公式，顶点横坐标为x=2，纵坐标为y=1。
因此，该抛物线在x=2处取得最小值1。
通过以上分析，可以看出抛物线最值的计算是通过抛物线的顶点或底部来确定的。
这是优化问题和最大最小值问题中常用的方法，也对解决实际问题具有重要意义。
以上是关于抛物线最值的公式及应用的介绍。
希望对理解抛物线性质和应用有所帮助。
初三数学辅导(2)二次函数中面积最值问题探究
初三数学辅导(二)
抛物线中的面积最值问题的探究
1、引例：如图，已知平面直角坐标系中三点A(1，0)、B(0，3)、C （2，2），求ABC S .（用多种方法解决，做出各种方法的辅助线，不计算）
备用图1 备用图2
例1、如图，已知抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-3，0）， B （1，0） ．点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称.
（1）求抛物线的解析式和直线BD 的解析式； （2）若点M 是线段BD 上方的抛物线上一动点， 过点M 作直线平行于y 轴，交线段BD 于点N ，设点M 的横坐标为m ，
求线段MN 的长关于m 的函数关系式. （3）若点M 是线段BD 上方的抛物线上一动点，当点M 运动到什么位置时，四边形ABMD 的面积S 最大? 求出此时S 的最大值和点M 的坐标.
变式：例1中的抛物线，将线段BD 向上平移3个单位得到对应线段''B D ， 线段BD 上方的抛物线上一动点P ，是否存在点P 使得''PBD PB D S S ∆∆-的值最大。
例1中的抛物线, 若点N是线段AC上方的抛物线上一动点N运动到什么位置时，⊿ACN的面积S最大? 求出此时S的最大值.
如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
(1) 求A 、B 两点的坐标及直线l 的解析式；
(2) P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求⊿ACE 的面
积S 最大值；以及此时点P 的坐标.。
抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。
求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。
抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。
因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。
在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。
最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。
抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。
海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。
抛物线顶点在x轴上的特点
抛物线顶点在x轴上的特点
抛物线是一种二次函数图像，它的形状向下开口或向上开口。
抛物线有一个特殊的点，称为顶点，它位于抛物线的对称轴上。
在抛物线中，如果顶点位于x轴上，那么它具有以
下特点：
一、顶点对应的x坐标是抛物线的对称轴。
因为顶点位于对称轴上，所以对称轴也就
是x轴。
二、顶点的纵坐标是抛物线的最值。
如果抛物线向下开口，那么顶点是最高点，纵坐
标为极小值；如果抛物线向上开口，顶点是最低点，纵坐标为极大值。
当顶点在x轴上时，抛物线的最值为0。
这是因为抛物线的顶点位于x轴上时，其左右两侧的函数值都为正数，当函数值达到最值（最大值或最小值）时，抛物线与x轴的交点即为0。
三、顶点为抛物线的最值点。
顶点是一个重要的点，因为抛物线在顶点处的函数值为
最大值或最小值，而这个最值点对应的函数是平稳的，即导数等于0，因此在求解最值问
题时，我们可以通过求解导数等于0的方程来求解。
四、抛物线的左右两侧有两段相等的函数值。
当抛物线的顶点位于x轴上时，抛物线
左右两侧的函数值恰好相等。
这是因为当函数值为最值时，其左右两侧的函数值相等。
因此，在顶点位于x轴的抛物线图像中，该抛物线图像呈现一种对称性。
抛物线中的最值、定值、定点问题
狓２ ＋１求导得狔′＝２狓，所以犽１ ＝２狓１，犽２ ＝２狓２．
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教学
２０２０年１２月 解法探究
评注：通过本题的求解，有利于提高学生运用“设 而不求”技巧的解 题 能 力，也 有 利 于 培 养 学 生 数 学 运 算的核心素 养，进 一 步 强 化 字 母 形 式 的 代 数 运 算 能 力．
类型三、处理有关“定点”问题
抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起，
处理有关定点问题时，一般需要灵活运用“设而不求”
犘犇
，所以 犘犉 犘犃
犘犇 ＝ 犘犃
＝ｓｉｎ∠犘犃犇．
过两 点 的 直 线 斜 率 公 式 得 犽犘犃
＝
１ ４狓２ ０
＋１ ，所
以
狓０
１ ４狓２ ０ ＋１ 狓０ ＝
１ ２狓０，解得狓０
＝±２．
由于抛物线具有对称性，不妨取点 犘（２，１），则可
得 犃犇 ＝２，犘犇 ＝１－（－１）＝２，所以在Ｒｔ△犘犃犇
类型二、处理有关“定值”问题
灵活运用“设而不求”技巧，可巧妙处理抛物线中 有关定值 问 题，其 关 键 是 设 出 相 关 点 的 坐 标，根 据 题 意实施字 母 形 式 的 代 数 运 算，进 而 化 简，可 获 得 结 果 为定值．特 别 提 醒：化 简 运 算 基 本 功 必 须 过 关，否 则， 对目标问题的求解很难顺利获得．
＞狔１），由犗犕 ⊥犗犖，得狔１狔２ ＝－１６．
由
于犽犕犖
＝ 狔１
４ ，因此，直线 ＋狔２
犕犖
的方程是狔－
抛物线与线段和差最值问题(含答案)
抛物线与线段和差最值问题(含答案)线段和差最值问题是数学中常见的优化问题，需要运用一些基本的数学知识和技巧来解决。
下面分别给出四道相关的例题。
一、如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx-2$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$A(-1,\frac{1}{2})$。
1）求抛物线的解析式以及顶点$D$的坐标；2）判断$\triangle ABC$的形状，证明你的结论；3）点$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，当$MC+MD$的值最小时，求$m$的值。
二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-2,-4)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$三点。
1）求抛物线$y=ax^2+bx+c$的解析式；2）若点$M$是该抛物线对称轴上的一点，求$AM+OM$的最小值。
三、如图，已知直线$y=\frac{1}{12}x+1$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$D$，抛物线$y=x+bx+c$与直线交于$A$、$E$两点，与$x$轴交于$B$、$C$两点，且$B$点坐标为$(1,0)$。
1）求该抛物线的解析式；2）在抛物线的对称轴上找一点$M$，使$|AM-MC|$的值最大，求出点$M$的坐标。
四、已知抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx$经过点$A(4,\frac{5}{2})$，设点$C(1,-3)$，请在抛物线的对称轴上确定一点$D$，使得$AD-CD$的值最大，则$D$点的坐标为。
解题思路：1、对于第一题，先求出抛物线的解析式，再通过求导得到顶点的坐标，最后利用勾股定理求出最小值点的坐标。
2、对于第二题，先利用三点求解得到抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴，最后利用距离公式求解最小值。
3、对于第三题，先求解抛物线的解析式，再通过求导得到对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
4、对于第四题，先求解抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
初中知识 抛物线上一点到直线距离最大
初中知识：抛物线上一点到直线距离最大一、概述在初中数学学习中，抛物线和直线是常见的图形，在实际问题中，我们经常需要求解抛物线上某一点到直线的距离。
在这篇文章中，我们将探讨如何求解抛物线上一点到直线距离的最大值，这个问题涉及到数学分析知识中的极值问题。
通过本文的学习，读者将了解到如何运用基本的数学知识解决复杂的实际问题。
二、基本概念1. 抛物线：抛物线是二次函数图像的一种特殊情况。
其一般方程为y=ax^2 +bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
抛物线开口方向由系数a的正负来决定，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
2. 直线：直线是一种线性函数图像，其方程一般为y=kx+b，其中k 和b为常数。
3. 距离公式：点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离可以利用公式d = |Ax+By+C| / √(A^2+B^2)来计算。
三、问题提出假设有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一条直线y=kx+d，现在需要求解抛物线上一点到直线的距离的最大值。
四、问题分析为了求解这个问题，我们可以依次进行以下步骤：1. 我们需要确定抛物线上一点的坐标。
假设抛物线上一点的坐标为(x,ax^2+bx+c)。
2. 我们利用距离公式计算点(x,ax^2+bx+c)到直线y=kx+d的距离。
3. 我们需要对距离进行求导，找到距离函数的极值点。
4. 我们判断极值点是距离函数的最大值还是最小值，从而求得抛物线上一点到直线距离的最大值。
五、问题求解1. 确定抛物线上一点的坐标假设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，直线的方程为y=kx+d。
设抛物线上一点的坐标为(x,ax^2+bx+c)。
2. 计算点到直线的距离利用距离公式d = |Ax+By+C| / √(A^2+B^2)，其中A、B、C分别为直线的系数，可以计算出抛物线上一点到直线的距离。
3. 对距离进行求导我们得到点到直线的距离函数为f(x) = |ax^2+bx+c-kx-d| /√(a^2+k^2)。
抛物线最值问题求法
F' x
4 AF 9
问题二：求点Ａ(３,０)到抛物线ｙ２＝４ｘ上点距离的最小值，
并求此时抛物线上点的坐标 解：设点Ｍ(ｘ,ｙ)是抛物线ｙ２＝４ｘ
y M
上任一点,则y2 = 4x
AM = (x - 3)2 + y2
F Ax
= (x - 3)2 + 4x = x2 - 2x + 9
= (x - 1)2 + 8 Q x ³ 0
Fx
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｍ１三点共线时，
MA MM１ 最小４，此时Ｍ（１，２）
变式训练1、已知抛物线ｙ２＝４ｘ和定点Ａ（７，８），
抛物线上有一动点Ｍ，Ｍ到点Ａ的距离为ｄ１，Ｍ到抛物
线准线距离ｄ２，求ｄ１＋ｄ２的最小值及此时Ｍ点坐标A
解、由抛物线定义ｄ１＋ｄ２ ＝ ＭＡ＋ ＭＦ
y
M1
M
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线 ＭＡ＋ＭＦ最小是 ＡＦ＝１０
4 2 - 10
4 2 + 10
dmin =
2
, dmax =
2
三、课时小结
抛物线最值问题常用求法：
1、利用定义求最值；
2、构造二次函数，利用配方法求最值； 3、利用作切线法求最值；
四、课堂练习
1、定长是3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x 上移动，求线段AB的中点M到y轴距离d的最小值
抛物线中常见最值问题求法
一、复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程和性质:
二、典例分析
问题一、在抛物线y2 4x上找一点M ,
使 MA MF 最小，其中，A(3,2),F（1，0）
求M点的坐标及此时的最小值。
解：如图，由抛物线定义
抛物线最大值点的公式
抛物线最大值点的公式
在数学中，抛物线是一个常见的二次方程图形，其一般形式可以表示为ax2+ bx+c。
而抛物线的最大值点是指在抛物线上使得这个二次方程取得最大值的点。
这个最大值点的坐标可以通过一定的公式求解得出。
对于一般形式的抛物线ax2+bx+c，其中a eq0，其最大值点的横坐标可以通过公式$x = -\\frac{b}{2a}$ 求得。
代入这个横坐标到原方程中，即可得到最大值点的纵坐标。
举例来说，如果有一条抛物线的方程为2x2−4x+3，那么根据上述公式，最大值点的横坐标为$x = -\\frac{-4}{2*2} = 1$。
将x=1代入方程，可以求得最大值点的纵坐标为2∗12−4∗1+3=1。
这个公式的推导可以通过求解二次函数的导数为0的点来得到。
导数为0的点即为函数的极值点，而抛物线的最大值点就是其中的一个极值点。
因为导数表示曲线的斜率，当斜率为0时，曲线在该点的切线水平，即为极值点。
在实际应用中，抛物线最大值点的公式可以用于优化问题、物理问题以及工程计算中等多个领域中。
通过求解抛物线的最大值点，可以找到一个使得函数达到最大值的输入值，有助于优化问题的求解。
综上所述，抛物线最大值点的公式为$x = -\\frac{b}{2a}$。
这个公式可以通过求解二次函数的导数为0的点得出，用于求解抛物线函数在最大值点的坐标。
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-
M F
P M
F
9
解： 如图所示
在抛物线 y2 = 2x上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线L，作MN ⊥L ，MN交抛物线于P（x，y） 由抛物线的定义得：
N’
P’
N
M
P
F
|P’F|= |P’N’| 即：|P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M| 当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线，
11 。
2
-
2
2
法二、判别式法
过Ａ作同心圆,当圆与抛物线相切 时,Ｐ到Ａ点的距离最小,设为r
则 由 (y2x3x2)y2 r2
x 2 5 9 x r 2 0
可 得 :Δ( - 52 )41( 9r2)0
r
11 2
-
3
练习：
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上
∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF|
又∵点P的纵坐标等于点M的纵坐标，即y=2
所以，点P的坐标为（2，2）
-
10
练习、
P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,求 P到x轴与到点A的距离之和的最小值 9
y P A
F
O
x
y P A
所求p
F
点位置
O
x
Q
-
L y
A(4,4)
P
分析2：我们可以连接AB，作平 行AB的直线L与抛物线相切，求 出直线L的方程，即可求出直线L 与AB间的距离，从而求出△ABP 面积的最大值和点P的坐标。
o
x
B(1,-2)
-
7
小结：
对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值 问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的 距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判 断方程的判别式寻求题目的答案。
-
14
11
小结：
几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化，使最值问题得以求解
-
12
练习：
1.已知M为 (a抛 ,0物 )2线 2ypx(0p)的对称 上的一个定点在 上抛 求物 一线 点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 时抛物线上的点的坐标
-
13
课堂小结：
在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要 有以下几种： 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，
再探求目标函数的最值方法。
判别式法：利用已知条件构造一个含有某一变量的一 元二次方程，通过判断方程的判别式寻求 题目的答案。
几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。
b 9 16
L 与 L 1的距离是
d
6
(
9 16
)
32 (4)2
87 80
为所求 .
-
y o
y=x2
L1 L
x
6
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点
A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P
在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积
及此时点P的坐标。
分析1：动点在弧AB上运动，可以 设出点P的坐标，只要求出点P到线 段AB所在直线AB的最大距离即为 点P到线段AB的最大距离，也就求 出了△ABP的最大面积。
8
16
5
当 x 3 时，ห้องสมุดไป่ตู้d 有最小值为 8
87 。 8-0
P(x,y)
o
x
5
法二、判别式法
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的 直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。
3x-4y+b=0
①
y=x2
②
②代入①可得：4x2 -3x+b=0
∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可得
-
8
例三、
已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P的坐标
分析：如图，由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。
即|PF| = |PN|
∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN|
N
∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。
一动点，求|PQ|的最小值
11 1 2
-
4
例二、 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。
法一、目标函数法
解：设 P ( x, y )
y
y=x2
P 点在抛物线上，
y x2
3x 4y 6 d
5
3x 4x 2 6
5
4 ( x 3 ) 2 87
-
1
例一、 点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),求|PA|的最小值。
法一、目标函数法
解：设 P ( x , y ) P 点在抛物线上，
y2 x
PA ( x 3 ) 2 y 2
x 2 6x 9 x
x 2 5x 9
( x 5 ) 2 11
2
4
当 x 5 时， PA 取最小值