工程结构可靠度常用的概率分布

极大值、极小值分布
• 设Xi（i=1，2，· · · · · · ，n）是独立的随机变量，它 们有相同的分布函数F(X)。 • 极大值分布函数为：
FM ( z ) P{M z} P{ X 1 z , X 2 z , , X n z} P{ X i z} [ F ( z )]n
正态分布
• 设连续型随机变量X的概率密度为：
1 2 2 f ( x) e , x 2 其中，， 0为常数 ( x )2
• 称X服从参数为μ，σ的正态分布或高斯分布。 记为X~N(μ,σ2)。
正态分布
• 其分布函数为：
1 2
x (t )2 2 2
标准正态随机变量“上100α百分位 点”
• 对于正态分布，当μ=0，σ=1时，称X服从 标准正态分布。 • 设X~N(0,1)。若zα满足条件：P{X>zα}=α， 0<α<1。则称点zα为标准正态分布的上 100α百分位点。
对数正态分布
• 当研究对象的随机性，是由很多不相干的 随机因素的乘积引起 ，且每一个随机因素 的影响都很小，则可以认为该随机变量服 从正态分布。在工程结构可靠度分析中， 抗力和恒荷载常假定为对数正态分布。
F ( x)

e
dt
正态分布f(x)， F(x)的图形
正态分布f(x)及 F(x)的性质
• • 函数值大于0，且具有各阶连续的导函数。 f(x)，在（－∞，μ）严格单调上升，在点 μ达到极大值，在（μ，＋∞）严格单调下 降。 f(x)关于点μ对称。 F(μ-x)=1- F(μ+x)。
• •
对数正态分布
• 其分布函数为：
1 2 1 e t
x (ln t ) 2 2 2
F ( x)
dt
对数正态分布f(x)， F(x)的图形
• 自学
极值Ⅰ型分布
• 在工程结构可靠的分析中，对结构抗力特 别要研究其极小值分布，而对荷载效应要 研究其在设计基准期内的最大值分布。例 如五十年最大风压分布、楼面活荷载最大 值分布等。
极值Ⅰ型分布
• 设连续型随机变量X的概率密度函数为：
f ( x) e ( xu ) exp[e ( x u ) ], x 其中，，u为两参数
• 称X服从参数为α，u的极值Ⅰ型分布, • 且 0.5772

6 x ,u m

极值Ⅰ型分布
i 1 n
如F（z）相应的密度函数为 f ( z ),则FM ( z )相应的 密度函数为：f M ( z ) n[ F ( z )]n 1 f ( z )
• 其分布函数为：
F ( x) exp{ exp[ ( x u)]}
极大值、极小值分布
• M=max(X,Y)，N=min(X,Y)。极大值及极小 值分布在许多实际问题中，起着重要的作 用。例如，在工程结构可靠度分析中，一 般假定地震作用、可变荷载的分布为极值 Ⅰ型分布。而极值Ⅰ型分布就是用极大值 分布在一些假定下导出的。
工程结构可靠度常用的概率分 布
正态分布
• 正态分布是高斯在研究误差理论中最先发 现的，所以也称高斯分布。当研究对象的 随机性，是由很多不相干的随机因素之和 引起 ，每一个随机因素都不起主导作用， 则该随机变量就服从正态分布。例如在工 程结构可靠度分析中，材料的强度、构件 的重量、几何尺寸常服从正态分布；有时， 抗力和恒荷载也假定为正态分布。
对数正态分布
• 设连续型随机变量X的概率密度为：
(ln x ) 1 2 2 e , x 0 f ( x) x 2 0, x 0
2
其中，， 0为常数
• 称X服从参数为μ，σ的对数正态分布。设 Xபைடு நூலகம்N(μ,σ2)，令Y=lnX，则X就服从对数正态分布。