第一章张量初步及应力应变基本方程PPT课件

合集下载

《应力与应变》课件

《应力与应变》PPT课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上所承受的力，用于描述物体受力状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之间的相互作用，是物体抵抗变形和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的实验方法。在实验中，我们将物体的一端固定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计算出物体的应力和应变。通过观察和记录实验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示垂直于受力面的力，剪应力表示与受力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示使物体拉伸的力，压应力表示使物体压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指标，了解材料在受压状态下的性能表现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束

应力应变概念PPT课件

当长方体伸长时，横向收缩：
y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表示为：
x=x/E－ y/E － z/E= [x－（y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－（x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－（x＋ y ）] /E
层状硅酸盐
黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5 白云母KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6 金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 ×1012达因/厘米2
对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要，因为它们寻求零温度系数材料。
温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正的），补偿一般材料的负Tc值.且压电偶合因子大。
MgO
Tc11=－2.3
SrTiO3 Tc11=－2.6
－SiO2 Tc11=－0.5
Tc44=－1.6
其中：Tc×10-4/oC
2. 应变
(u/y)dy y
(v/y)dy
B
B
dy
yx
C
C
xy
A
(v/x)dx
0
A
x
dx
(u/x)dx
XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变
应变为：u/x ，用偏微分表示： u/ x 在O点处沿x方向的正应变是： xx = u/x 同理： yy= v/y

固体物理--应力、应变、胡克定律 ppt课件

S xx

lim

ux
x 0

ux dx x
x
ux
ux x
PB线段的正应变
S yy

uy y
ppt课件
11
坐标轴间夹角的变化：
从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:
PA转过的角度为

lim
uy

uy x
dx uy
ppt课件
1
张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单
位基矢量为 e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tijeie j (i, j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量的9个基。
张量的9个分量写为 T11 ,T12 ,T13;T21 ,T22 ,T23;T31 ,T32 ,T33
§2.8 应力、应变、胡克定律
固体的弹性性质：固体的范性性质：假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；--------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡位置所产生的内应力也随方向不同。显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。
ppt课件
z
TxS x n
TnSn y
TzSz
4
此处 i, j = x, y, z
第一下标i表示应力的方向，第二下标j表示应力所作用的面的法向。
例如作用在垂直于X轴的单位面
积上沿X方向的应力是Txx 。这类应

应力张量的概念及其应用PPT课件

广义胡克定律，应变能密度应变能密度
vd
1 6 E (1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2
v v
16 E 2(123)2
vd vv v
重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
重要应用实例
m t l
m
m(p D)
Ｄ
m
p
pp D 2
４
Ｄ
pDl
p
t t (2 l ) t
应力张量的概念及其应用
1。应力张量及其不变量 2。应变张量及其不变量 3。广义胡克定理
1。应力张量及其不变量
一、张量的概念
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在，不受描述它的方法的影响。
数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标系的选择，会使问题简单化或复杂化。
希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆脱具体坐标系的影响。
应力和应变是二阶张量
1。应力张量及其不变量
二、一点的应力状态表示
用二阶张量在x, y, z 坐标系表示
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
或写成：
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
1。应力张量及其不变量
仍选用直角坐标系，坐标轴写成 x1, x2, x3 采用张量下标记号法：
)
广义胡克定律，应变能密度
应变能密度
广义胡克定律，应变能密度应变能密度
1、微元应变能(Strain Energy)
2
1dydz~1dx
dy
1 2dxdz~2dy
dz 3 dx
3dydx~3dz
广义胡克定律，应变能密度应变能密度

高等地震学-第一章-应力应变

定义：简单震源引起的位移场。 G（x，t；ξ，τ）
单位脉冲，点源
观测场点的位置坐标和观测时间
脉冲点源的位置坐标和发生时间
作业： 1.
3.
4、在平面应力情况下，
取一截面，外法线n及平面切线τ 的方向余弦为：
n τ
求该平面上的正应力，切应力，主应力，主方向，最大切应力，最大切应力方向
第一章作业时间节点： 10月13日22:00之前
弹性体内的应变能等于变形过程中外力所做之
功；
（2）功的互易(等)定理
• 又称位移互等定理（reciprocal theory of displacement）：
•
公式：
•
物理意义：两组力（包括体力与面力）作用在同一物体上，第一组力在第二组位移上所做之功，等于第二组力在第一组位移上所做之功；
（3）动力学方程的Green函数
罗伯特· 虎克（Robert Hooke）
柯西（Cauchy，Augustin Louis）
西莫恩· 德尼· 泊松
弹性常数之间的关系：
注意：由于应变是无量纲的，因此λ ，μ ，E 和K均为应力的量纲
§1.3
弹性力学一般定理
（1）. 应变能定理–克拉贝龙定理,即功能互等定理: 又俗称为 “功能互等定理” 。
2、应力张量：
（1）应力分量符号的规定：
（2）证明：应力张量可以确定任意方向面上的应力矢量
3、应力有切应力的面主应力：主平面上的正应力
特殊的应力状态：单轴应力
1
3
平面应力
1
1
1
纯剪应力
各向同性应力
P
1
3
1
P
P
P

应力、应变的张量描述方程

自由指标和哑标举例：
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
3 i 1 3
aij b j aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3b3
aij bi c j aij bi c j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
力状态可以用应力张量σ( )表示，它具有二重方向性，是
二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。
x3=z u3(uz)
矢量可以在参考直角坐标系下分解，以位移矢量 u 为例，它可以表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的乘积之和的形式：
e3 ( k ) u ( u ) 1 x e1 ( i ) o e ( j ) 2 x1=x
1.1 张量初步
力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( )
和力 r F( )等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为 F 张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应
ij n j ni ij ij n j 0
(1-9) (1-10)
式(1-9)有零解的条件是： ij ij 0
x xy xz ij ij 0 yx y yz 0 zx zy z
(1-11)
I1 x y z ii y yz x xz x xy I2 z zx z yx y zy 1 2 2 2 x y y z z x xy yz zx ij ij ii jj 2 (1-12) x xy xz I 3 yx y yz 或 ij zx z ii ui,i

第一章-场论及张量初步分析

全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等
定常场：场内函数值不随时间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc

应力和应变状态分析PPT课件

0.469MPa
第7页/共62页
C 1.04MPa(压) C 0.469MPa
⑶ 作出点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 xy 0.469MPa
40o
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
0
tan 20
2 xy x
y
代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
第9页/共62页
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
0 0
σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面， σmax、σmin为主应力。
max min
x
y
2
(
x
2
CE sin20 cos 2 CE cos 20 sin2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
第23页/共62页
2. 确定主应力的大小及主平面的方位 A1、B1点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
⑴ A1、B1点对应正应力的极值
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x

《应力与应变》PPT课件

2
e
l1
l0
l0
8 5 0.6 5
2021/3/26
2
l1 l0
(1 e)2
构造地质学—郝建民主讲
11
线应变实例
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
12
线应变计算的地质实例
箭石原来长度（l0）82mm 拉长箭石长度（ l1）185mm e=1.25 伸长率125％
λ=(1+e)2=5.06
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
22
伸展盆地的两种动力学模型
a. 纯剪切模型（Mckenzie模型）；
b. 简单剪切模型（Wernicke模型）
纯剪盆地从形态上看是对称的，下地壳和上地幔中没有剪切滑脱面。而简单剪切伸展模式则以一条穿透上地幔或下地壳的滑脱面为特征，盆地的构造形态不对称，软流圈物质的上涌不像纯剪模式那样位于盆地的正下方，而是偏移到了盆地的一侧。
非旋转变形又称无旋转变形， 1和3质点线方向在变形前后
保持不变。如果体积不变而且2=0，则称为纯剪应变。
旋转应变的1和 3质点线方向将 A 会改变。
C 56 20'
O
简单剪
切a
c 33 40'
（单剪）
40
O'
B
最典型的情况是
D
b
d
c
单剪应变，是由物质中质点沿着彼此平行的方向
刚体旋转＝＝22 40'
A
O' 纯剪
b
相对滑动而成。
单剪与纯剪应变
2021/3/26
构造地质学—郝建民主讲
21
2
1

张量和应力张量PPT课件

1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表示成组的符号或数组。
• 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
a11b32
x13
a12b32 x23
a13b32
x33
y13
y33
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为标量。例如距离、时间、温度等。
• 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称为矢量。例如位移、速度、力等。
• 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等，需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。
• 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合称为张量。
• 物理量P
– 在j=1空，间2，坐3标)；系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i，
– 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该点的应力分量之间应该存在一定的关系。
• 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)；
– 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’，

应力分析与应变分析PPT课件

（4）初应力为零假设。物体在受力之前是处于自然平衡
状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。
（5）体积力为零假设。体积力如重力、磁力、惯性力等
与面力相比十分微小，可忽略不计。
（6）体积不变假设。物体在塑性变形前后体积不变。
2019/11/20
7
在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理学等角度考虑。静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发、根据静力平衡条件导出应力平衡微分方程。几何学角度是根据变形体的连续性和匀质性假设，用几何的方法导出小应变几何方程。物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体内应力与应变之间的关系式，即本构方程。此外，还要建立变形体由弹性状态进入塑性状态并使继续进行塑性变形时所具备的力学条件，即屈服准则。
内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的，可化为坐标的连续函数。
（2）匀质性假设。变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀
且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。
（3）各向同性假设。变形体内各质点在各个方向上的物理性
能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
应力：单位面积上的内力。
2019/11/20
14
2019/11/20
lim S
P dP
F 0 F dF
S为截面C-C上点Q的全应力。全应力为矢量，可分解成两个分量，一个垂直于截面 C-C，即C-C截面外法线N上的分量，称为正应力，一般用σ 表示；另一个平行于截面 C-C，称为切应力，用τ 表示。则：
应力分析与金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方法。这是塑性加工的力学基础。

1张量及应力应变概念同济大学弹塑性力学

E
2 1
zx
G zx
2 G zx
采用张量，则物理方程可表示：
ij 2Gij kkij
(1-3)
i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系
式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：
11 x,22 y,33 z 12 xy,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy,13 xz
注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。
自由指标和哑标举例：
3
aibi aibi a1b1a2b2a3b3 i1
3
aijbj aijbj ai1b1ai2b2ai3b3 j1
33
aijbicj aijbicj a11b1c1a12b1c2a13b1c3 i1j1
a21b2c1a22b2c2a33b2c3a31b3c1a32b3c2a33b3c3
11 x,22 y ,33 z 12 xy ,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy ,13 xz
k为哑标， k k1 12 23 3xyz
δij为克罗内克(Kronecher)符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据场论，δij可以表示两个基矢的点积：δij =ei·ej
3
ai2i ai2i a121a222a323 j1
ii 23
2
ii
(
11
22
33)2
i1
33
ij ij
ij ij 1111 1212 1313
i1j1
2121 2222 2323 3131 3232 3333
i j 的应用与计算示例如下：
u y y
z

应力张量应变张量与应力应变关系PPT学习教案

应力张量应变张量与应力应变关系
会计学
1
§5-7 主应变应变张量不变量 §5-8 广义Hooke定律的一般形式 §5-9 弹性体变形过程中的能量 §5-10 应变能和应变余能 §5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 §5-12 各向同性弹性体应力-应变关系 §5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的
2 3
3
1
I3 1 2 3
对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故
也不会因坐标系的变换而改变。这种不因坐标系变换而改变的量，称为不变量.
I1、I 2、I 3
第26页/共179页
I1、I 2、I 3 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
第36页/共179页
、、 (1)
(2)
(3)
称为主剪应力。
如果
，则最大剪应力为
1
2
3
max
1
3
2
即最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差的一半，它作用在过oy轴（
1 轴）和oz轴（
轴）夹角的微分平面上。
3
2
轴）而平分ox轴（
第37页/共179页
第38页/共179页
（2）两主应力相等
基矢量为
e、e、e 1
2
3
，相应的应力分量:
x xy
ij
yx zx
y zy
xz
yz z
新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为
第5页/共179页
x
y
z
x l1 11 m1 12 n1 13 y l2 21 m2 22 n2 23 z l3 31 m3 32 n3 33

塑性力学课件应力应变状态考试必备

因此，已知一点的应力张量，求该点的主应因此，已知一点的应力张量，力和主方向的步骤为：力和主方向的步骤为：（1）将各应力分量代入（2—11），求出应力不变量。（2）将应力不变量代入（2—10），解方程求出三个主应力。（3）以任一个主应力σj（j = 1，2，3） 1，代入（三个方程只有两个独立，代入（ 2—7），三个方程只有两个独立，利用其中 7 三个方程只有两个独立的任意两个方程与（ 2—8 ）联立可解出主应力 j 的任意两个方程与（ 8 联立可解出主应力σ 解出主应力（j = 1，2，3）的方向余弦，从而确定σj 所在的，，）的方向余弦，主平面的方位。主平面的方位。
（2—18）
J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第应力偏张量的第一、应力偏张量的第一第二、三不变量。三不变量。
轴方向和主轴重合时有：当x，y，z轴方向和主轴重合时有，，轴方向和主轴重合时有
J1 = 0 1 2 2 2 J 2 = [(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ] 6 J 3 = s1s2 s3
I 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ τ − σ τ − σ τ
2 z yz 2 y zx
2 z xy
= 0。
主应力方程为： σ 3 − I1σ 2 − I 2σ − I 3 = 0。主应力方程为： σ 3 − 2τ 2σ = 0。即分解因式得：分解因式得： σ (σ + 2τ )(σ − 2τ ) = 0。解得：解得： σ 1 = 0, σ 2 = 2τ , σ 3 = − 2τ。
（2—22） 20） 21） 22）将（2—20）、（2—21）、（2—22）代入（2— 20 21 22 代入（ 18） 18）得：