三角形中两角平分线夹角的计算方法

三角形中两角平分线夹角的计算方法

在学习“三角形”这一章时，遇到了三角形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，在解决这类问题时，我发现了三角形（内、外）角平分线的夹角的度数总与三角形的一个内角有关。

例：如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D。求∠BDC的度数。

解答本题时，利用三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，经过推理，我发现了∠BDC与∠A之间存在一定的数量关系。解答过程如下：

由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB可知，

∠DBC=∠ABC,∠DCB= ∠ACB.

又根据三角形内角和为180°可知

∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)

=180°- (∠ABC+∠ACB)

=180°- (180°-∠A)

=90°+ ∠A

=90°+ ×60°

=120°

通过以上问题的解答，我发现了这样一个结论：三角形的两内角平分线的夹角的度数等于90°加上第三个内角的度数的一半。我把这个结论告诉了老师，老师笑着点点头说：“不错，你能发现这点太棒了！老师还想考考你，如果把两个内角的平分线变为两个外角的平分线，你还能有新的发现吗？”

如图２,在△ABC中，外角∠EBC、∠BCF的平分线交于点D。此时∠BDC 又与哪个角有关系呢？是否也与∠A有关呢？经过我的探索，我得出了这样的结论：

∠BDC=90°- ∠A.

推理过程如下：

由BD、CD分别平分∠EBC、∠BCF可得,

∠DBC= ∠EBC,

∠DCB= ∠BCF,

由三角形内角和定理及推论可知,

∠DBC + ∠DCB=∠EBC+ ∠BCF,

=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC),

=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),

=(180°+∠A),

=90°+ ∠A.

所以∠BDC=180°-(∠DBC + ∠DCB),

=180°-(90°+ ∠A)

=90°- ∠A

我兴奋地跑到老师的办公室，向老师说出了我的发现：三角形的两个外角的平分线的夹角的度数等于90°减去第三个内角的一半。老师对我清晰简洁的推理过程和精练的表述大加赞赏，并鼓励我进一步去探索三角形一内一外角平分线的夹角的规律。

如图3,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D。我作出了大胆的猜想∠BDC一定与∠A有关，我决定在∠A上找突破口。前两次的成功使我大受鼓舞，我很快便找到了答案：

∠BDC＝∠A。

理由如下：在△BDC中,

∠BDC=∠DCE-∠DBC,

= ∠ACE- ∠ABC,

= (∠ACE-∠ABC),

= ∠A.

我把我的又一个发现告诉了老师：三角形一内一外角平分线的夹角的度数等于第三个内角的度数的一半。并对我以上的三个发现做了如下概括：通过以上结论可以发现三角形的两内角、两外角、一内一外角平分线的夹角都与第三个内角（∠A）有着直接关系，而与∠Ｂ、∠Ｃ的大小无关，也就是说当∠A的度数确定，无论△ABC的形状、大小如何，上述三个结论中的结果都是唯一确定的。

听了我的陈述，老师拍手叫好，并让我把这三个结论介绍给全班同学。同学们惊奇地发现利用这三个结论解决三角形的角平分线的夹角的度数计算、证明问题时方便、简捷多了。

数学真是个奇妙的世界，只要善于发现，勤于思索，一定会其乐无穷。（作者单位系山东省东营市河口区实验学校；指导教师：刘晓华）