第三章集中量数 - 心理统计学!

（二）计算公式 1、未分组数据计算平均数方法
公式一：X X i N
例3-1：现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29， 30，34，32，33。计算它们的平均数。
： 解：根据题意，已知N=10，根据公式
X 25 27 ... 33 290 29
10
10
公式二：
X AM x' N
中数所在的组。因为本例累积次数36包含了
35.5，所以中数所在组为75-77。
④ 确定公式中各符号的内容，有
Lb 74.5，Fb 22 ，f Md 14 ，i 3
⑤代入公式计算中数
Md
Lb
i fMd
(N 2
Fb )
74.5 3 (35.5 22) 14
=77.4
二、众数
(一)众数的定义 众数（Mode）是指一群数据中出现次数最多的那 个数值，又称范数，用符号 Mo表示。众数的确定 方法
第三章 集中量数
第一节 算术平均数 第二节 中位数与众数 第三节 加权平均数、几何平均数、调和平均数
第一节 算术平均数
一、概念及计算公式 （一）概念
算术平均数 (mean)，是所有观测值（或变量值） 的总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或 均值。
符号：样本平均数—— X、M（Mean）， 总体平均数——
2
那个数。
若数据个数（N）为偶数时，则中数为居于中间位
置两个数的平均数
Mdn
1 2
X
N 2
X
N 2
1
2、中数附近有重复数时
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的 中数。
第一个13
第二个13
第三个13
12.50
12.833
13.166
13.499
X fXi f
例3-4：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取 样人数和平均分数见下表，求总平均数。
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
中数为第一个13所在区间的组中值,为12.5+0.33/2=12.66。
2、中数附近有重复数时
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的 中数。
12.5-----13.5
12.5---12.83
12.83--13.16
13.16--13.5
12.67
X Mdn Mo
2、偏态分布
X Mdn: X Mo 1: 3
Mo 3Mdn 2 X
第三节 加权平均数、几何平均数、调和平均数
一、加权平均数
加权平均数是观测数据（X i ）与其相应权数
（f ）乘积的和除以总权数（ f ）所得的
商，用符号 X 表示。 权数是指各变量在构成总体中的相对重要 性，权数的大小，由观测者依据一定的理 论或实践经验而定。计算公式为
1、一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘
积，即 X NX
2、一组变量值的离均差之和等于零，即
X X 0
3、在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以 或除以常数，所得的平均数等于原平均数减去或
加上，除以或乘以常数 c 。
三、平均数的意义
平均数是应用最普遍的一种集中量数； 是真值渐进、最佳的估计值； 当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。
四、平均数的优缺点
优点：反应灵敏、计算严密、计算简单、简明容易 理解、适合进一步代数运算、较少受到抽样变动 的影响。
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的 数据，无法使用。
五、计算和应用平均数的原则
1、同质性原则：使用同一个观测手段，采用相同的 观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数 据
(二)众数的确定方法 1、直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
2、公式计算法 皮尔逊经验公式：
Mo 3Mdn 2X
金氏（W ·I ·King）插补法：
MO
Lb
fa
i
fa fb
三、平均数、中数与众数三者之间的关系
1、正态分布 均数、中数、众数三个指标值相等，即
m
f
d
fX C
fdBaidu Nhomakorabea
97
2
6
194
12
94
3
5
282
15
91
4
4
364
16
88
8
3
704
24
85
11
2
935
22
82
17
1
1394 17
79
19
0
1501 0
76
14
-1
1064 -14
73
10
-2
730 -20
70
7
-3
490 -21
67
3
-4
201 -12
64
1
-5
64
-5
61
1
-6
61
-6
—
100
27 20 29 10
2、使用次数分布表计算平均数方法
公式一： X f m f
公式二： X AM fd i
N
例3-2：100名学生的数学成绩分布如下，计算平均数。
表3-1 简化平均数计算表
组别 96～ 93～ 90～ 87～ 84～ 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
—
7984 28
① 将 fm，N 代入上面第一个公式计算：
X=
fm
N
7984
= 100
=79.84
② 设 AM=79,将 AM， fd，N，i 代入上面第二个公式计算：
X = AM + fd N
×i=79+ 28 ×3=79.84
100
这两个公式计算的结果完全相同，但第二个公式更简便。
二、平均数的特点
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f 向上累加次数
17
71
19
54
14
36
10
22
7
12
3
5
1
2
1
1
71
—
分析过程
① 求累积次数，由下往上累加或由上往下累加。
② 确定中数位置 N 2
。本例为71，则有 71 35.5。
2
③ 在累积次数栏中找包含35.5的累积次数并确定
2、平均数与个体值相结合的原则 3、平均数与标准差、方差相结合的原则
第二节 中位数与众数
一、中数 中位数又称中点数，简称中数，用符号 Mdn
或 Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。
中数是一种位置量数。
二、中数的计算
（一）未分组数据的计算
1、中数附近无重复数时
若数据个数（N）为奇数时，中数则为 N 1 位置的
中数为第一个13所在区间的组中值,为 12.5+0.33/2=12.66。
（二）分组数据的计算
（用于由低分组向高分组累积次数时）
Md
Lb
i fMd
(N 2
Fb )
（用于由高分组向低分组累积次数时）
iN Md La fMd ( 2 Fa )
例3-3：求下表中的中数。
表3-2 中数计算表