人教版九年级数学--二次函数与最大利润问题
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人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
4.练习：布置一定数量的练习题，巩固学生对最大利润问题的解决方法。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 二次函数与商品利润问题
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
− = −( − )² + .
故当 = 时，W最大，为125.
答：当销售单价为13万元时，利润最大，最大利润为125万元.
变式 为满足市场需求，某超市在“端午节”来临前夕，购进一种品
牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根
据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
B.y=-10x²+560x-7 350
− .当 =
× − × − −
× −
−
× −
= 时， 最大 =
= ，即当每盒售价定为60
元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润为8 000元.
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子每盒的售价不得高
盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
析
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
人教版初中数学九上 微专题11 二次函数的应用(二)——利润问题
3．（2021·抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，成本价是 20 元/把，试销售时发 现：遮阳伞每天的销售量 y（把）与售价 x（元/把）之间满足一次函数关 系，且当售价为 28 元/把时，每天的销售量为 260 把；当售价为 30 元/把时， 每天的销售量为 240 把． （1）y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－10x＋540 ； （2）设遮阳伞每天的销售利润为 w（元），则当售价定为多少时，才能使每 天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：由题意，得w＝（x－20）（－10x＋540）＝－10（x－37）2＋2 890． ∵－10＜0， ∴当x＝37时，w有最大值，最大值为2 890． 答：当售价定为37元/把时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2 890元．
x/辆
45678
y/万元
0 0．5 1 1．5 2
（1）y 与 x 之间的函数解析式为 y＝12x－2（x22 万元，不考虑其他成本，则当月销售量 为多少时，该品牌汽车销售店销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设该品牌汽车销售店销售利润为w万元．
∴当x＝8时，w有最大值，最大值为32． 答：当月销售量为8辆时，该品牌汽车销售店销售利润最大，最大利润是32万元．
4．（2021·铜仁）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，已知该品牌汽车 每辆的进价为 16 万元，且当每辆汽车的售价为 22 万元时，每月可销售 4 辆．现根据市场行情决定进行降价销售，通过市场调查得到了每辆汽车下降
的价格 y（万元）与月销售量 x（辆）（x≥4）满足一次函数关系，部分数据
如下表：
微专题11 二次函数的应用（二） ——利润问题
1．某商品的利润 y（元）与每件的售价 x（元）之间的函数解析式为 y＝－x2 ＋8x＋9，且每件的售价不低于 1 元不高于 3 元，则最大利润为 24 元． 2．某商店销售一批头盔，且售价为每顶 80 元时，每月可售出 200 顶．在创 建文明城市期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可 多售出 20 顶．已知头盔的进价为每顶 50 元，当该商店每月获得最大利润 时，每顶头盔的售价为 70 元．
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
人教版九年级数学上知识点深度解析第2课时 商品利润最大问题
12345
3. 教材P51习题T2变式某种商品每件进价为20元，调 查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤ x ≤30， 且 x 为整数）出售，可卖出（30－ x ）件.若使利润最 大，每件的售价应为 25 元.
12345
4. 教材P50探究2变式一件工艺品进价为100元，以 标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计， 一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件.要使 日利润最大，则每件应降价 5 元.
12345
Hale Waihona Puke 谢谢观看运用策略常见的关系式： 商品 ①商品利润＝商品售价－商品进价； 利润 ②商品利润、进价、利润率之间的关系： 最大 商品利润÷商品进价＝商品利润率； 问题 ③标价＝进价×（1＋提高率）；
④实际售价＝标价×打折率.
当堂检测
1. 某超市销售一种商品，发现一周利润 y （元）与销
售单价 x （元）之间的关系满足 y ＝－2（ x －20）2＋
1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤ x ≤22，
那么一周可获得最大利润是（ A ）
A. 1558元
B. 1550元
C. 1508元
D. 20元
12345
2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销 售经理经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销 售单价 x （元）之间满足函数关系式 y ＝－5 x ＋550.若 设该商品每月所获利润为 w （元），则 w 与 x 之间化简 后的函数关系式为 w ＝－5 x2＋800 x －27500 ， w 的 最大值为 4500 .
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题
要点归纳
12345
3. 教材P51习题T2变式某种商品每件进价为20元，调 查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤ x ≤30， 且 x 为整数）出售，可卖出（30－ x ）件.若使利润最 大，每件的售价应为 25 元.
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4. 教材P50探究2变式一件工艺品进价为100元，以 标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计， 一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件.要使 日利润最大，则每件应降价 5 元.
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Hale Waihona Puke 谢谢观看运用策略常见的关系式： 商品 ①商品利润＝商品售价－商品进价； 利润 ②商品利润、进价、利润率之间的关系： 最大 商品利润÷商品进价＝商品利润率； 问题 ③标价＝进价×（1＋提高率）；
④实际售价＝标价×打折率.
当堂检测
1. 某超市销售一种商品，发现一周利润 y （元）与销
售单价 x （元）之间的关系满足 y ＝－2（ x －20）2＋
1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤ x ≤22，
那么一周可获得最大利润是（ A ）
A. 1558元
B. 1550元
C. 1508元
D. 20元
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2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销 售经理经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销 售单价 x （元）之间满足函数关系式 y ＝－5 x ＋550.若 设该商品每月所获利润为 w （元），则 w 与 x 之间化简 后的函数关系式为 w ＝－5 x2＋800 x －27500 ， w 的 最大值为 4500 .
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题
要点归纳
人教版九年级上册数学二次函数与商品利润问题课件
y＝－10x＋1200. (1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝ 销售额－成本)； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最 大？最大利润是多少元？
解：(1) W＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋ 1600x－48 000； (2) W＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80)2＋16000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大 ，最大利润是16000元．
练习
1．教材P51 习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内
每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润
，则应该降价( A )
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关
提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获 取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多 少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需 付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大 利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多 卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品 时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有 最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？
解：(1) y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2) 由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数 量大于1 200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于 500小于1 200份时，乙印刷厂费用少．
解：(1) W＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋ 1600x－48 000； (2) W＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80)2＋16000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大 ，最大利润是16000元．
练习
1．教材P51 习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内
每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润
，则应该降价( A )
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关
提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获 取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多 少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需 付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大 利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多 卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品 时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有 最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？
解：(1) y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2) 由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数 量大于1 200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于 500小于1 200份时，乙印刷厂费用少．
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
初中数学人教九年级上册第二十二章二次函数-商品利润最大问题
大利润1960元.
适时小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件 ，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的 总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
300
6000
涨价销售
适时小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件 ，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的 总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
300
6000
涨价销售
人教版二次函数与最大利润
九年级上学期 新人教版
二次函数与实际问题
——何时获最大利润
一、复习引入
求二次函数最值的方法： 1、利用配方法化为顶点式，求最值
y=ax2+bx+c
y=a(x+ b )2+ 4ac-b2
2a
4a
2、代入顶点坐标公式，求最值
(-
b 2a
,4ac-b2 4a
)
3、观察二次函数图象，找最高点或最低点， 求最值
y=(60+x-40)(300-10x)
y \元
=-10x2+100x+6000
6250
=-10(x-5)2+6250
6000
因为a=-10<0 开口向下 所以x=5时 y最大=6250
05
30
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
分析：
法2：设每件售价x元，利润为y元。
60
300 自变量的取值范围 60≤x≤90
x 300-10（x-60）
y=(x-40)[300-10（x-60）]
二、问题再探究
小明的父母开了一家服装店，出售一种进价为 40元的服装，现以每件60元出售，每星期可卖出 300件. 小明对市场进行了调查，得出如下报告：
若物价局规定每件服 装获利不得高于 60%，则销售单价 定为多少时，商场 可获得最大利润？
如果调整价格：每件涨价 1元，每星期要少卖出10 件服装
（3）怎样定价才能使每星期利润y达到最大？
y\元
6250 6000
0 45
y=-10(x-5)2+6250 (0≤x≤4)
注意： 取值范 围改变 了
30
二次函数与实际问题
——何时获最大利润
一、复习引入
求二次函数最值的方法： 1、利用配方法化为顶点式，求最值
y=ax2+bx+c
y=a(x+ b )2+ 4ac-b2
2a
4a
2、代入顶点坐标公式，求最值
(-
b 2a
,4ac-b2 4a
)
3、观察二次函数图象，找最高点或最低点， 求最值
y=(60+x-40)(300-10x)
y \元
=-10x2+100x+6000
6250
=-10(x-5)2+6250
6000
因为a=-10<0 开口向下 所以x=5时 y最大=6250
05
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大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
分析：
法2：设每件售价x元，利润为y元。
60
300 自变量的取值范围 60≤x≤90
x 300-10（x-60）
y=(x-40)[300-10（x-60）]
二、问题再探究
小明的父母开了一家服装店，出售一种进价为 40元的服装，现以每件60元出售，每星期可卖出 300件. 小明对市场进行了调查，得出如下报告：
若物价局规定每件服 装获利不得高于 60%，则销售单价 定为多少时，商场 可获得最大利润？
如果调整价格：每件涨价 1元，每星期要少卖出10 件服装
（3）怎样定价才能使每星期利润y达到最大？
y\元
6250 6000
0 45
y=-10(x-5)2+6250 (0≤x≤4)
注意： 取值范 围改变 了
30
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
最新人教版九年级数学上册《第2课时 最大利润问题》精品教学课件
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
状元成才路
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
71 12
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
状元成才路
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
状元成才路
பைடு நூலகம்
课后研讨
上完这节课，你收获了什么？ 有什么样的感悟？与同学相互交 流讨论。
我的课堂反思
状元成才路
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
现价 涨价 降价
进价/元 40 40 40
售价/元 60
60+n 60-m
状元成才路
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
71 12
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
状元成才路
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
状元成才路
பைடு நூலகம்
课后研讨
上完这节课，你收获了什么？ 有什么样的感悟？与同学相互交 流讨论。
我的课堂反思
状元成才路
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
现价 涨价 降价
进价/元 40 40 40
售价/元 60
60+n 60-m
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答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
问题3.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格， 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x的 取值范围 =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大 值为6125元.
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理， 如何定价才能使商场获得最大利润呢？
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调 整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是 500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以 多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数 关系式，并注明x的取值范围； （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ （注：销售利润=销售收入－购进成本）
问题4.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格 ， 每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.
合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元，每涨价一元， 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为 （20+x）元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 （300-10x） (20+x)( 300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） （2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） 配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
问题3.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格， 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x的 取值范围 =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大 值为6125元.
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理， 如何定价才能使商场获得最大利润呢？
自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调 整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是 500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以 多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数 关系式，并注明x的取值范围； （2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ （注：销售利润=销售收入－购进成本）
问题4.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格 ， 每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。 如何定价才能使利润最大？
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.
合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元，每涨价一元， 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为 （20+x）元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 （300-10x） (20+x)( 300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） （2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） 配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元