第二章波函数[详细讲解]
基本波函数精品PPT资料
解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值；
而 在 无 限 区 （ 如 在 天 线 周 围 ）， 本 征 值 具 有 连 续 谱 ， 也 就 是 本 征 值 取 连 续 值 。
表3-1 谐函数的类型及对应的性质
h(kx x) e jkx x
e jkx xsin kx Fra bibliotek cos kx x
kx
kx'
jk
'' x
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
k
'' x
0
k
' x
0
函数的表示
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x
jkx' x
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x jkx' x
sin
k
' x
x
sinh kx'' x
cos
k
' x
x
cosh kx'' x
波动特性
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
第二章 波函数和薛定谔方程
n 2
{
n/2 n 1 / 2
(n为偶数) n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En1 En
E0 1 2
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章波函数与波动方程
∫ = dx
−
e
x02 +ρ2
aρdρdφ
8πa3
∫ = dx
−
e
x02 +ρ2
aρdρdφ
8πa3
=
x 02dx 4a 3
∞
∫e
−1x0源自Ra RdR=
x 02dx 4a 3
[−
a x0
(Re− x 0
R
a
∞ 1
+
∞
∫e
−
x
0
1
R
a dR )]
= x02dx ( a e− x 0 a + a 2 e− x 0 a )dx
n1次 n 2次
n m次
x1 − x1 + dx x2 − x2 + dx
0
xm − xm + dx
当对足够多的同样的体系进行测量后，即
在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发
现粒子在 xi − xi + dx 处的概率
∑ni
nm
=
ψ(xi , t) 2 dx
m
体系的波函数 ψ(r, t) 给出了体系所有信息 （可能范围内的），它给出体系一个完全的描 述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能 测得那些能量值和测得该能量值的概率，等等）。 正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所 处的量子状态，或称状态。以 ψ(r, t) 描述体系， 就称体系处于 ψ(r, t) 态，或称 ψ(r, t)为体系的态 函数。
ϕ(r, t) 2dr
是粒子处于 r − r + dr 中的概率。所以在
r0 − 0 和 r0 + 0 处概率当然应该相等。因 此，在任何条件下 ϕ(r, t) 应连续；
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
第二章波函数[详细讲解]
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dr u dt k
In contrast with electromagnetic wave, matter waves show dispersion in a vacuum. The relativistic energy theorem for free particle
The motion of a particle confined a cube
Ne 0
i ( k r t )
for r within V=L3
for r outside V=L3
On the surface of cube, wave functions must satisfy boundary condition.
Example
Calculate the wavelength of X ray (with energy 10 KeV ), eletron (1 keV) and neutron (5 eV). Solution: the momentum of particle is
2 2 p ( E / c)2 m0 c
A
How is the electron twoslits-diffraction experiment?
Two slits synchronously
Open one by one
2.2-1 Probability Wave
• Born’s (波恩) statistical interpretation:
0 0
0
The shorter the wavelength, the shorter the distance between two point that can be distinctly through the microscope.
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
《波函数与波动方程》课件
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的 不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能 告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内， 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
波函数解释知识点
波函数解释知识点波函数解释是量子力学中重要的一个概念，它用来描述微观粒子的运动状态及其性质。
本文将介绍波函数解释的相关知识点，包括波函数的定义、波函数的物理意义、波函数的性质以及波函数的应用等。
一、波函数的定义在量子力学中，波函数用符号ψ表示，它是描述微观粒子的一种数学函数。
波函数的定义依赖于粒子所处的具体情况，比如自由粒子、束缚粒子或多粒子系统等。
波函数通常是空间坐标和时间的函数，即ψ(r,r)，其中r表示位置矢量，r表示时间。
二、波函数的物理意义波函数的物理意义可以通过波函数的模的平方来描述。
波函数的模的平方|ψ(r,r)|²表示在某一时刻粒子出现在空间体积元rr内的概率。
即r(r,r)rr=|ψ(r,r)|²rr表示在空间体积元rr内发现粒子的概率。
波函数的物理意义可以通过测量得到，例如电子的位置、动量等。
三、波函数的性质1. 波函数的归一化：波函数必须满足归一化条件，即对整个空间积分结果为1。
即∫|ψ(r,r)|²rr=1，这表示粒子必定存在于空间中。
2. 波函数的连续性：波函数及其一阶导数在空间中连续，避免出现不连续点。
3. 波函数的可微性：波函数应该是可微的，以满足薛定谔方程的求解条件。
4. 波函数的奇偶性：对于具有中心对称性的体系，波函数可能是奇函数或偶函数。
四、波函数的应用1. 粒子的定态波函数：波函数的解可以得到粒子的能级、能量及角动量等相关信息，对于束缚系统，波函数的节点和能级的关系也十分重要。
2. 粒子的散射：通过波函数的解，可以计算散射截面、反射系数等散射性质，从而揭示粒子之间相互作用的性质。
3. 粒子的叠加态：多个波函数的线性叠加可以得到粒子的叠加态，这可以用来描述多粒子系统中的统计性质。
4. 量子力学中的难题：波函数的解决了一些传统力学难以解释的问题，如双缝干涉实验等。
总结：波函数解释是量子力学的核心概念之一，它描述了微观粒子的运动状态和性质。
第二章状态波函数和薛定谔方程
第二章 状态波函数和薛定谔方程本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔(Schr ödinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。
§2.1 波函数的几率波解释1.波函数由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。
数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量ψ来描述，称为波函数。
它是位置),,(z y x 和时间t 的复值函数，表示为ψ或),,,(t z y x ψ。
微观体系的状态总可以用一个波函数(,)t ψr 来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且(,t)ψr 和C t ψ(r,)（C 为比例常数）描写同一量子状态。
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。
2.波函数的几率波解释在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。
有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。
除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。
但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。
为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。
在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。
当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点（电子），这体现了电子的微粒性。
若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花样与强电子束的衍射花样完全相同。
实验表明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。
电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在多次相同实验中显示的统计结果。
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
第二章 波函数与薛定谔方程
W
3.5
3
( x, y, z, t ) dxdydz
2
5、状态迭加——干涉项 i1 i 2 一般，为复函数，如1 10e , 2 20e 2 2 c11 c2 2 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2
(8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律，是量子力学的基本假设之一。 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
⑴、对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状 态参量，如 x, p, L ……
(2)、必须满足迭加原理，即方程对于其解而言是线 性的，当1，2各为其解，则 a1 b2也是其解
•
ψ(r, t)
它描写当粒子不受外力F (r , t )作用，因而E , P不变的 自由粒子运动。
Ae
i ( pr Et )
2、一般 F≠0, 在外力场中，势能 , V ( r , t )
波函数
(r , t )满足薛定谔方程和边界条件称为
• 1、经典波表示 y ( x, t ), E (r , t ), P(r , t )
2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论（低能）情况下，实物粒子（m 0 ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保 持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即
d 3 (r , t ) d r 0 dt
p2 E 2m
(1)
m 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系 2 的波的角频率 和波矢 k（ k ），由下式给出
第二章 波函数
自由粒子的能量
E p 2 / 2m
2 2 i t 2m
i E t
自由粒子波函数所满足的微分方程
自由粒子的薛定谔方程
若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况 下，粒子的能量是 p2
E 2m U (r )
类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程
2 1 2 1 2 px A exp[ i(p r Et ) / ] 2 px 2 x
即
2 2 p x x 2
2
同理
2 2 2 2 p y y
2 2 2 p z2 z
可得
2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( p x p z2 p z2 ) x y z
k 2
A cos(k r t )
t )]
2
2 德布罗意自由粒子的平面波
利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由 粒子平面波的表达式
2i ( x, t ) A exp[ ( p x x Et )] h
2p x k h 2
A 薛定谔方程适用条件
• 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动 速度(υ＜＜c)
• 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保 持不变，--粒子数守恒
B.波动方程的建立
自由粒子的波函数
i A exp[ (p r Et )]
i i 将上式对t 求微商 EA exp[ i(p r Et ) / ] E t 即 i E t i i p x A exp[ i(p r Et ) / ] p x 对x求微商 x
第二章 波函数
波恩对波函数的统计解释: 波恩对波函数的统计解释 : 波函数在空间中某一点的 强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率 强度 ( 振幅绝对值的平方 ) 和在该点找到粒子的 几率 成正比.波函数又称为几率波 几率波(Probability wave ). 成正比.波函数又称为几率波 . 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大 极大的地方 几率就大, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方,粒子投射的几 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地, 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地,波的 强度很小或等于零. 强度很小或等于零. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的.这 种看法是不正确的. 种看法是不正确的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 如果波是有它所描写的粒子组成, 如果波是有它所描写的粒子组成,则粒子流的衍射 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的 应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的. 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的.
1 ik r ψ k (r ) = e V
(2.14) )
2.2 Superposition Principle (量子力学中的态叠加原理 量子力学中的态叠加原理) 量子力学中的态叠加原理
一,态叠加原理 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理. 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理.量子力学 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理 态叠加原理, 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理,是量子力学 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态. 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.在 双缝实验中, 表示粒子穿过上缝1到达屏 的状态, 到达屏P的状态 Ψ 双缝实验中, 1 表示粒子穿过上缝 到达屏 的状态, 2 用 Ψ 表示粒子穿过下缝2到达屏 的的状态, 到达屏P的的状态 表示粒子穿过下缝 到达屏 的的状态,用 Ψ 表示粒子穿过两狭缝到达屏P的状态 的状态. 表示粒子穿过两狭缝到达屏 的状态.
第2章 波函数与波动方程
第2章波函数和薛定谔方程既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。
主要表现：a. 波－粒两象性P （粒子） ν λ （波）ω=ν= h E （Planck 假设）Einstein 关系k P = （P h =λ，λπ=2k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 ∴ 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述)Et r P (i )t r k (i AAe-⋅ω-⋅==ψb. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 ν=nh E ,2,1,0n = 氢原子的能量202n 8n a eE πε⋅-=cm 10529.0em 4a 82e 200-⋅=πε=由于平常粒子的波长1010-<λÅ，所以观察不到干涉, 衍射现象。
微观粒子，如电子1≈λÅ，因此在原子线度下可能显示出波动性。
而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波√原子性（整体性） ⨯实在物理量的空间分布 ⨯轨道 √干涉，衍射这两者是不相容的。
描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数)(Et r p ipAe -⋅=ψ来描述。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波(,)r t ψ完全描述。
二、波函数的解释1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着：1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
2、对波粒二象性的两种错误的看法 (1). 波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。
第二章 波函数
2
2n 1,
n 0, 1, 2, ...
33
1 En (n ) , n 0, 1, 2, ... 2
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p (r, t ) Ne
i ( Et pr )
15
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r, t ) c(p) p (r, t )
p
由于p可以连续变化
(r, t ) c(p, t ) p (r )dp x dp y dp z
2 2 2 2 2 2 2 x y z
（2）
18
利用自由粒子
p E 2
2
和上面方程（1）、（2）
得：
2 2 i t 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin 2 2 2 2 2 2 x y z
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 微观态的波函数描述及其统计诠 释 2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程
1
经典粒子的物理描述
• • • • • 1、参照系 (坐标系) 2、坐标 r 3、速度（动量） v or (p) 4、加速度 a 5、宏观实践中结果很好
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
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The phase velocity
dr u dt k
In contrast with electromagnetic wave, matter waves show dispersion in a vacuum. The relativistic energy theorem for free particle
Charpter II Wave Function
2.1 Matter Waves 2.2 The Statistical Interpretation of Matter Waves 2.3 Mean (Expectation) Values in Quantum Mechanics 2.4Three Quantum Mechanical operators 2.5 The Superposition Principle in Quantum Mechanics 2.6 The Heisenberg Uncertainty Principle
2
2
w m0c2 k u ... k k 2m0
w E m c2 c 2 u k k p mv v
We define the group velocity (群速) as
d d ( ) dE vg dk d (k ) dp
The group velocity is identical with the particle velocity
2.1 The Matter Wave
According to De Broglie’s propose, matter (electron, neutron) possesses wave-particle duality. The energy and momentum of matter waves can be expressed:
0 0
0
The shorter the wavelength, the shorter the distance between two point that can be distinctly through the microscope.
2.2 The Statistical Interpretation of matter wave (物质波的统计诠释)
E m c p c
2 2 4 0
2 2
m0 is the rest mass (静止质量) When v<<c,
2 p 2 4 E mc2 m0 c p 2c2 m0c2 ... 2m0
m0 c k (k ) ... 2m0
Phase velocity
According to
p
h
For photon, m0=0,
photon hc / E
In nonrelativistic limit, for electron and neutron, v << c,
p E 2 2m0
2
h / 2m0 E
So we obtain
பைடு நூலகம்
photon (10keV) 1.20 A, electron(1keV) 0.39 A, Neutron (5 eV) 0.13A
Whether this wave should be assigned physical reality?
How to interpret a wave describing a particle?
Yong’s two-slits-diffraction experiment S
P S1 S2 d Q D B
The intensity of wave function at one position is proportional to the probability that particle presents there.
wave function is called probability wave The absolute square of wave function is the probability that particle presents there
E h
h p k
For a free particle, a plane wave is assigned:
(r , t ) A exp[i(k r t )]
The phase of the wave
(r , t )
k r t constant
A
How is the electron twoslits-diffraction experiment?
Two slits synchronously
Open one by one
2.2-1 Probability Wave
• Born’s (波恩) statistical interpretation:
Example
Calculate the wavelength of X ray (with energy 10 KeV ), eletron (1 keV) and neutron (5 eV). Solution: the momentum of particle is
2 2 p ( E / c)2 m0 c