分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案(比赛课)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.

2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.

3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.

教学重点

分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)

教学难点：

分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解

教 具

多媒体、实物投影仪

教学过程

一、引入课题

今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。

二、引出两个原理

问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽

车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？

分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从

重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。

由问题1引出分类加法计数原理：

完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书）

追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法，

在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的

方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述）

回答：有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种方法。

问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津

办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３

班，天津到北京的汽车有２班，问王先生从广州到北京一共有多少种走

法？

分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，从广州到天津需乘一

次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有326⨯=种不同走法

由问题2引出分步乘法计数原理：

完成一件事情，需要分成两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法.（也称乘法原理）（板书）

追问：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第2

步有 2m 种不同的方法，……做第n 步有

n m 种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？

回答：共有

n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.（口述）

三、比较两个原理的异同

1、两个计数原理有什么异同？

相同点：都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。

不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方

法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依

存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

2、区别分类和分步的依据是什么？

分类时各类方法都能独立完成这件事；而分步时每一步都不能独立完成这件事。

四、课堂典例讲授

例1.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语书；

（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？

分析：取一本书；分三类

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?

分析：从3层中各取一本书；分三步

(3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?

分析：取两本不同学科的书；先分类后分步

变式练习：1. 1至5这五个数字一共可以组成多少个三位数？

分析：给这个三位数的每一个数位配数；分三步完成

变式： 1至5这五个数字可组成多少数字不重复的三位数？

例2.要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

分析：在左、右两边墙上的指定位置挂一幅画；分两步（法1:先选一幅画挂左墙，再选一幅画挂右墙。法2：先选两幅画，再分别挂左右墙）

变式：要从甲、乙、丙、丁、戊4幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

六、方法小结

在思考计数问题时可以这样分析：

1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

七、课后作业

1.教材第6页练习题2

2.第29届奥运会在中国北京举行，在乒乓球比赛中，中国队的马琳、王皓、王励勤包揽了男子单打的前三名。有４位小朋友前去献花，请问可能出现多少种献花情况。