材料力学第三章剪切、挤压和扭转

为剪力，相应的应力称为切应力。
FS n
F F
n F
（合力）
剪切面 n F
2、挤压
挤压：构件局部面积的承压现象。
挤压力和挤压应力：在挤压接触面 F
上的压力称为挤压力，由挤压力引起
n
的应力称为挤压应力。
F F
n F
（合力）
8
3、连接件的受力特点和变形特点
以螺栓为例：
F
n
n
F
（合力）
F F
①受力特点： 构件受两组大小相等、方向相反、
Fmin A b dt b
18
[例题3.2] 一销钉连接如图所示，
已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为 d=8mm 和
d1=5mm ,销钉直径 d=15mm ,
销钉材料的许用切应力为
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为
[bs]= 200MPa .试校核销钉的强度.
③ 绘制扭矩图
3-1 段为危险截面:
T1 =-4.78
1
T 9.56 kNm max
2
T/kNm
3 1
T2=-9.56 T3=6.37
2
3
1 2
6.37
n 34

6.37
4.78
–
15.93
x
4.78
4.78
9.56 扭矩图的特点：（1）集中力偶作用处扭矩突变
（2）突变值 = 集中力偶矩
36
计算扭矩规则
外力偶每秒作功：
W
'

Me

2

n 60
W 'W
60000 P
P
P
Me
2 n
9549 (N m)=9.549 (kN m)
n
n
28
二、扭矩及扭矩图
1、 扭矩 圆轴受扭时，横截面上的内力偶矩称为扭矩，记作
“T ”。 2、 截面法求扭矩
Mx 0
T Me 0 T Me
M 0, z
( ’dxd )dy (dyd )dx 0
z
得： ’
dy
y

τ
τx

dx
43
3、切应力互等定理
在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小 相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交 线。这种关系称为切应力互等定理。
y
’
'
dy
m eA
A
meC
C
meB
meC
m eA
meB
A
BC
B
4kN m
T
T
2kN m
2kN m
6 k N m
将主动轮A安装在两从动轮之间比较合理
32
图示受扭实心圆轴， m-m截面上的扭矩T=
。
( A) 5 Me 2Me 7 Me (B) 5 Me 2Me 7 Me
(C ) 5 Me 2Me 3Me (D) 5 Me 2Me 3Me
m Me
2Me 5Me
2d
m
33
[例3.3] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮1输入功率
P1=500kW，从动轮2、3、4输出 功率分别为P2=150kW，
P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
Me2
Me3
Me1 Me4
Me1

9.549
P1 n
9.549 500
T

d
τ T
τ
由于壁厚δ很小，可以认为薄壁筒扭转时横截面上的切应 力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致。
42
二、切应力互等定理
1、取单元体 从相邻dx的横截面和dy
的纵截面取单元体。
2、静力平衡条件
横截面上有
∑Fy=0： 左右x面上的τ等值反向
同理 ∑Fx=0：上下y面的切应力均为τ’。
工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。
bs

Fc Abs
bs
14
四、 连接处（接头）的强度条件
F F
1、连接件的剪切强度条件：
FS
A

2、连接件的挤压强度条件：
bs

Fc Abs
bs
3、拉板强度条件： F
A净
15
根据平衡方程可以总结出计算任一横截面上扭 矩T的规则。
或：
T Mei左 T Mei右
任一横截面上的扭矩T，等于该截面左侧（或右 侧）轴上所有的外力偶矩的代数和。
外力偶矩代数值的“+” “－” 仍按右手螺旋法则确
定。
37
例 :求截面1-1的扭矩。 1
1
n
3M 2 M 9 M 4M
T1 Mei右 9M 4M 5M 或： T1 Mei左 3M 2M 5M
FS
F
F
2、剪切实用计算
(1) 剪切面--A： 错动面。
F
剪力—FS ：剪切面上的内力。
n
n
(2) 名义切应力：
F
（合力）
FS
A
(3) 剪切强度条件（准则）
剪切面
n
FS
工作应力不得超过材料的许用应力: n
F
FS
A
剪切强度计算包括：强度校核、截面设计、
确定许可载荷。
12
2
重要概念
剪切、挤压、扭转变形、扭矩、扭转角、抗扭刚度、自由扭 转、约束扭转
本章重点
（1）剪切和挤压的实用计算 （2）扭矩、扭矩图 （3）圆轴扭转切应力与强度条件 （4）圆轴扭转变形计算与刚度条件
本章难点
（1）圆轴扭转变形的计算 （2）非圆截面杆的扭转
3
§3.1 剪切与挤压的概念及工程实例
一、 工程实例 连接件：在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。
第3章 剪切、挤压和扭转
1
第 3章 剪切、挤压和扭转
§3.1 剪切与挤压的概念及工程实例 了解 §3.2 剪切和挤压的实用计算 掌握 §3.3 扭转的概念和工程实例 了解 §3.4 外力偶矩的计算、扭矩、扭矩图 重点掌握 §3.5 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律 重点掌握 §3.6 圆轴扭转时横截面上的应力及强度计算 重点掌握 §3.7 圆轴扭转时的变形与刚度条件 重点掌握 §3.8 非圆截面杆自由扭转时的应力和变形 了解
挤压面
D
h
d
剪切面
Abs

π(D2 4
d2)
hF
d
F A πdh
挤压面 17
[例3.1] 已知铝板厚度为t,极限剪切强度为τb ,为了冲成 直径为d的圆孔，试求冲床的最小冲力。
解： 剪切面为∶
A dt
将铝板冲成图示形状，则需满足：


F A
b
t F
F A b
冲床的最小冲力：
24
扭转工程实例
汽车传动轴
25
扭转工程实例
扭水龙头
26
§3.4 外力偶矩、扭矩、扭矩图
一、外力偶矩Me的计算 1、直接计算
27
2、按输入功率和转速计算
已知：
传动轴转速－n （r/min） 电机输出功率－P （kW）
求：电机传递给轴AB的力偶矩Me
1kW 1000N.m/s
电机每秒输出功 W： W P 1000(N.m)
x
dx
Me
41
2、应力分析
①微面积 dA r d d
②微切力 dA r d d
③微力矩 dT dA r r 2 d d
④静力平衡
2


r
2
d

d

T
0


T
2 r 2d
薄壁圆筒扭转时
横截面上切应力 的计算公式.
d
2 15.93(kN m)
3
300
n
1
4
Me2

Me3

9.549
P2 n
9.549 150 4.78 (kN m) 300
Me 4

9.549
P4 n

9.549
200 300

6. 37
(kN m)
34
②用截面法求各段扭矩（扭矩按正方向设）
截面1
m 0 x
,
T1 Me2 0
作用线相互平行的力系作用。
② 变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面 发生相对错动。 F 在连接件与拉板接触处因挤压 产生变形。 F
F n
F F
n F
（合力）
4、连接处(接头）破坏三种形式
①剪切破坏
沿螺栓的剪切面剪断，如沿
n–n面剪断 。
②挤压破坏
螺栓与拉板在相互接触面上
因挤压发生过大的塑性变形，从
3、挤压的实用计算
(1) 假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布 (。2) 有效挤压面积Abs：实际挤压面在
垂直于挤压力FC 方向的平面上的投影
面积。 接触面为平面： Abs即实际接触面积 接触面为圆柱面： Abs即投影面积
挤压面积 Abs d t
13
3、挤压的实用计算
（3）挤压力—— Fc (4) 挤压强度条件（准则）
38
扭矩图的快捷画法
从左向右（或从右向左）画扭矩图：
外力偶矩——转向相同，线段——走向一致
例：
M
M
M
3M
T
2M
x M
2M
x
T
M
39
§3.5 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
薄壁圆筒：壁厚 d 1 r （r—圆筒的平均半径）
10
1、扭转实验
实验前：
（1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.
4


FS A

18103
2 (152
4 )

51MPa



（3）挤压强度校核 d 2d1
这两部分的挤压力相等，故应取长度
F
d1 d d1
F
F
2
F2
为d的中间段进行挤压强度校核.
FS
FS
bs

F Abs

F
dd
150MPa

bs
故销钉是安全的.
§3.3 扭转的概念和实例
F
B
A
d1
d d1
F
19
解: （1）销钉受力如图所示
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
F
d
B
A
d1
d d1
F
20
F=18kN,d=8mm,d1=5mm ,d=15mm ,[] = 60MPa , [bs]= 200MPa
（2）校核剪切强度
由截面法得两个剪切面上的剪力
F
FS 2
d
剪切面积为 A d 2
而丧失承载能力。
F
③拉伸破坏
拉板在受螺栓孔削弱的截面处
F ，应力增大，易在连接处拉断。
§3.2 剪切和挤压的实用计算
1、实用计算假设
（1）当外力F的作用线通过连接件中n个螺栓组成的螺栓群 截面的形心时，则每个螺栓受力相等，均为F/n； （2）假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上 的平均应力； （3）挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
τ
τx

z
dx
44
三、纯剪切
单元体各面上只有切 应力τ而无正应力σ，这种 应力状态称为纯剪切。
y

dy
τ τx

z
dx
δ
τ’
τ
四、剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比 例极限时，切应力与切应变成正比。 即剪切胡克定律。
例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，但起着传递载荷的 作用。
螺栓
F
F 接头
螺 栓
工程中的连接件都是主要承受剪切和挤压的构件。
4
吊索
5
几种常见的连接形式 铆钉连接
平键连接
螺栓连接
榫连接
6
二、 剪切与挤压的概念
1、剪切
剪切：在横向力作用下，杆件横截 F
面沿外力作用方向发生错动。
n
剪力与切应力：剪切面上的内力称
Me
Me
T
Me
T
Me
29
3、扭矩T的 “+” “－”规定
正负规定： 按右手螺旋法 则确定扭矩的 符号。
30
4、扭矩图
扭矩沿轴线方向变化的图形称为扭矩图。
T Me1
+ Me4
x
–
Me1+ Me2
扭矩图的意义：确定危险截面 ，为强度计算提供依据
31
主动轮A与从动轮B、C的布置方式哪一种合理？已知 meA=6kNm， meB=2kNm， meC=4kNm，
五、强度条件应用 1、强度校核:


FS A
[ ] ； bs

Fc Abs
[ bs ]
2、设计尺寸:
A
FS
[ ]
；Abs
Fc
[ bs ]
3、设计荷载:
FS A[ ] ；Fc Abs[ bs ]
16
思考题 （1）销钉的剪切面面积 A （2）销钉的挤压面面积 Abs
T3 Me4 6.37kN m
Me2 =4.78 Me3=4.78 Me1= 15.93 Me4=6.37
12
32 1 32Me2 Nhomakorabea1n 13 4
T3 Me4
Me2
Me3 T2
Me2
Me3
Me1
T3
35
Me2 Me3 =4.78 kNm Me1 15.93kNm Me4 6.37kNm
T1 Me2 4.78kN m
截面2 T2 Me2 Me3 0 ,
T2 Me2 Me3
(4.78 4.78) 9.56kN m
截面3
T3 Me1 Me3 Me2 0 ,
T3 6.37kN m
或： T3 Me4 0 ,
x
Me
dx
Me
40
实验现象与推论
（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动；
横截面上无正应力 ，过轴线的 纵截面上也无正应力。
（2）各纵向线均倾斜了同一微小
角度 ；
横截面上有切应力
（3）所有矩形网格均歪斜成同样
大小的平行四边形.
Me
在同一圆周上的切应力大小相 等，方向沿圆周的切线方向。
一、扭转变形特点
受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内受力偶作用。 变形特点：轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面只发生 绕轴线的相对转动——产生扭转变形。
22
扭转角（ ） ：横截面绕轴线转动而发生的角位移。
轴
以扭转变形为主的杆件！
轴的横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴的扭转。