立体几何中的综合创新问题

立体几何中的综合创新问题 ( )

B.4 A ．8 D.855 5 1．如图，在正方形 ABCD 中， E ，F 分别是 BC ，CD 的中点， G 是EF 的中点，现在沿 AE ，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形， 使 B ，C ，D 三点重合， 重合后的点记为 H ， 解析： 选 B 根据折叠前、后 AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，且 HE ∩HF ＝H ，∴ AH ⊥平面 EFH ，B 正确； ∵过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，∴ A 不正确；∵ AG ⊥EF ，EF ⊥GH ， AEF ，过点 H 作 AG ∩GH ＝ G ，∴ EF ⊥平面 HAG ，又 EF? 平面 AEF ，∴平面 HAG ⊥平面 ∴ D 不正确．故选 B. B 1N ，则点 M 的轨迹即为线段 B 1N. 4× 2 4 5 过点 B 作 BQ ⊥ B 1N ，则当点 M 与点 Q 重合时， BM 最小，且 BM 的最小值为 2×5 ＝4 5 5. 1 4 5 8 5

又 BC ⊥平面 ABB 1A 1，故 BC ⊥ BM ，∴△ BCM 面积的最小值为 2× 4× 5 ＝ 5 .故选 D.

那么，在这个空间图形中必有

A ． AG ⊥平面 EFH B.AH ⊥平面

EFH C ．HF ⊥平面 AEF D ．HG ⊥平面 AEF 直线垂直于平面 AEF ，垂线一定在平面 HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出 HG ⊥平面 AEF ， ―→ ―→ ∴D 1M ·CP ＝－4a ＋16＋2b －8＝0，即 b ＝ 2a － 4.取 AB 的中点 N ，连接 2. 如图，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为 4，P 是 AA 1的中点， 点 M 在侧面 AA 1B 1B 内．若 D 1M ⊥ CP ，则△ BCM 面积的最小值为 （ ） 解析： 选 D 以 AB ，AD ，AA 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建 立空间直角坐标系，如图所示，则 P （0，0,2），C （4，4,0），D 1

（0,4,4）．设 C ．8 2 ―→ ―→ M （a,0，b ），则D 1M ＝（a ，－4，b －4），CP ＝（－

4，－4,2）． ∵D 1M ⊥CP ，

3.在棱长为 4的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点 E ，F 分别在棱

AA 1和

AB 上，且 C 1E ⊥ EF ，则 AF 的最大值为 ( 1

A.

2

C.3

2 D ．2 解析：选 B 以 AB ，AD ，AA 1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴

建立空间直角坐标系， 如图所示， 则 C 1(4,4,4)，设 E(0,0，

z)，z ∈ [0,4]， ―→ ―→ F(x,0,0)，x ∈[0,4]，则 AF ＝ x.

故 EC 1＝(4,4，4－z)，EF ＝(x,0，－z)．因

―→ ―→ 1 1 为 C 1E ⊥EF ，所以 EC 1 ·EF ＝0，即 z 2＋4x －4z ＝ 0，则 x ＝z － z 2＝－ (z － 2)2＋ 1，所以当 z 44

＝2时， x 取得最大值 1.所以 AF 的最大值为 1.故选 B.

4.如图，正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 4，点 P ， Q 分别在底

面 ABCD 、棱 AA 1上运动，且 PQ ＝4，点M 为线段 PQ 的中点，则线

段 C 1M 的长度的最小值为 ( )

解析： 选 B 如图，连接 AP ，AC 1，AM.由正方体的结构特征可得， QA ⊥平面

ABCD ， 所以 QA ⊥ AP.

因为 PQ ＝4，点 M 为线段 PQ 的中点，

1

所以 AM ＝21PQ ＝2， 故点 M 在以 A 为球心，半径 R ＝2 的球面上，

易知 AC 1＝4 3，

所以 C 1M 的最小值为 AC 1－ R ＝4 3－ 2.

5．已知圆锥的侧面展开图是半径为 ___________________________________ 3 的扇形，则该圆锥体积的最大值为 ．

解析：由题意得圆锥的母线长为 3，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，则 h ＝ 9－ r 2，所 以圆锥的体积 V ＝13πr 2h ＝31πr 2 9－ r 2＝ 31π 9r 4－r 6.设 f(r)＝9r 4

－r 6(r>0)，

则 f ′ (r) ＝36r 3－6r 5，令 f ′(r)＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－ r 2)＝0，得 r ＝ 6，

所以当 00，f(r)单调递增；当 r> 6时，f ′(r)<0，f(r)单调递减，所以 f(r)max ＝f( 6)＝ 108，所以 V max ＝ 31π× 108＝ 2 3π. )

B.1 A ．2

B.4 3－ 2 C ．6

D ．4 3

答案： 2 3π

6. 如图所示，在四边形 ABCD 中， AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝ 2，BD ⊥CD ，将四边形

ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A ′BCD ，使平面 A ′BD ⊥平面 BCD ，则下列结论正确的

( 填序号 )．

1

C ＝ 90°；③四面体 A ′ BC

D 的体积为 16.

面 BCD ，

∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝ 2，

∴A ′C ＝ 2，BC ＝ 3，∴A ′B 2＋A ′C 2＝ BC 2，

∴A ′ B ⊥A ′C ，即∠ BA ′C ＝90°，故②正确；

1 1 1

四面体 A ′ BCD 的体积 V ＝ × × 12× 1＝ ，故③正确．

3 2 6

答案： ②③

7．(2020 ·广州调研 )如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形， 二面角 A-CD -F 为 60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2， DE ＝DC ＝3，CF ＝6. (1)

求BF ∥平面

1

(2)在线段 CF 上求一点 G ，使锐二面角 B-EG-D 的余弦值

为 4. 解： (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ BC ∥

AD. ∵BC?平面 ADE ，AD? 平面 ADE ，

∴ BC ∥平面 ADE ， ∵DE ∥CF ，CF?平面 ADE ，DE? 平面 ADE ，

∴ CF ∥平面 ADE.

又∵ BC ∩ CF ＝C ，∴平面 BCF ∥平面 ADE. 而

BF? 平面 BCF ，∴ BF ∥平面 ADE. (2)∵CD ⊥AD ，

CD ⊥DE ， AD ∩DE ＝D ，

∴ CD ⊥平面 ADE ，∠ ADE 为二面角 A-CD-F 的

平面角，

①A ′C ⊥ BD ；②∠ BA ′ 解析： ∵BD ⊥ CD ，

平面 A ′BD ∩平面 BCD ＝BD ，CD? 平

∴ CD ⊥平面 A ′BD ，又 A ′D? 平面 A ′BD ，∴ CD ⊥A ′D.

平