浙江省杭州市育才中学2020-2021学年度第一学期九年级数学开学试卷
2024-2025学年浙江省杭州市育才中学数学九上开学调研模拟试题【含答案】
2024-2025学年浙江省杭州市育才中学数学九上开学调研模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若不等式组2111x x a -⎧⎨+⎩＜＞恰有两个整数解，则a 的取值范围是（）A ．-1≤a ＜0B ．-1＜a ≤0C ．-1≤a ≤0D ．-1＜a ＜02、（4分）要使分式52x x +有意义，则x 的取值满足的条件是（）A ．2x =-B ．2x ≠-C ．0x =D ．0x ≠3、（4分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()A ．AB ＝DC ，AD ＝BC B ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OD ＝OB 4、（4分）已知直线l 经过点A （4，0），B （0，3）．则直线l 的函数表达式为（）A ．y ＝﹣34x +3B ．y ＝3x +4C ．y ＝4x +3D ．y ＝﹣3x +35、（4分）一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集为（）A ．x>-3B ．x>0C ．x<-2D ．x<06、（4分）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．2种B ．4种C ．6种D ．无数种7、（4分）如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC 的高度．他们从点A 出发沿着坡度为i ＝1：2.4的斜坡AB 步行26米到达点B 处，此时测得建筑物顶端C 的仰角α＝35°，建筑物底端D 的俯角β＝30°．若AD 为水平的地面，则此建筑物的高度CD 约为（）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A ．23.1B ．21.9C ．27.5D ．308、（4分）下列各式中，属于分式的是（）A ．3x -B ．x πC ．3x D ．()34x y +二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知关于x 的方程244x k x x =--会产生增根，则k 的值为________．10、（4分）已知正比例函数图象经过点（4，﹣2），则该函数的解析式为_____．11、（4分）已知二次函数y=－x －2x ＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则▲.（用>、<、=填空）．12、（4分）如图，直线y mx =与双曲线k y x =交于A 、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，连结BM ，若2ABM S =，则k 的值是______．13、（4分）如果分式23x x +有意义，那么x 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．15、（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边的中线，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AD 的平行线，两线交于点E ．（1）求证：四边形ADBE 是矩形；（2）连接DE ，交AB 与点O ，若BC ＝8，AO ＝3，求△ABC 的面积．16、（8分）如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形．若学校位置的坐标为A (1，2)，解答以下问题：(1)请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆B 位置的坐标；(2)若体育馆位置的坐标为C (－3，3)，请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC ，求△ABC 的面积．17、（10分）自2019年1月8日15日起，合肥市进入冰雪灾害天气，如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，求这棵树折断之前的高度.18、（10分）已知：如图，在▱ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ．猜测DE 和BF 的位置关系和数量关系，并加以证明．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）x 取值范围是＿＿＿＿＿＿．20、（4分）如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点EF 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.21、（4分）如图，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转到长方形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝125°，则∠α的大小是_______度．22、（4分）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点G ，BF ⊥AE ，垂足为F ，若AD ＝AE ＝1，∠DAE ＝30°，则EF ＝_____．23、（4分）如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ，D 是AB 边上任意一点DE ∥BC ，DF ∥AC ，AC ＝5cm ，则四边形DECF 的周长是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）为了准备“欢乐颂——创意市场”，初2020级某同学到批发市场购买了A 、B 两种原材料，A 的单价为每件6元，B 的单价为每件3元．该同学的创意作品需要B 材料的数量是A 材料数量的2倍，同时，为了减少成本，该同学购买原材料的总费用不超过480元．（1）该同学最多购买多少件B 材料；（2）在该同学购买B 材料最多的前提下，用所购买的A ，B 两种材料全部制作作品，在制作中其他费用共花了520元，活动当天，该同学在成本价（购买材料费用+其他费用）的基础上整体提高2%(0)a a >标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低%a 出售，最终，在活动结束时作品卖完，这样，该同学在本次活动中赚了1%2a ，求a 的值．25、（10分）先化简：3221x x x x x x --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，再从x <<中选取一个合适的代入求值．26、（12分）在▱ABCD 中，BCD ∠的平分线与BA 的延长线交于点E ，CE 交AD 于F ()1求证：AE AF =；()2若BH CE ⊥于点H ，D 50∠=，求CBH ∠的度数．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有两个整数解即可确定整数解，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．【详解】2111x x a -⎧⎨+⎩＜①＞②，解①得x ＜1，解②得x ＞a-1，则不等式组的解集是a-1＜x ＜1．又∵不等式组有两个整数解，∴整数解是2，-1．∴-2≤a-1-＜-1，解得：-1≤a ＜2．故选A ．本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2、B 【解析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x+2≠0；解不等式可得结果，从而得出正确选项.【详解】由分式有意义的条件可得x+2≠0，解得x≠-2.故答案选B.本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.3、C【解析】根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.【详解】A.AB＝DC，AD＝BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B.AD∥BC，AD＝BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C.AB∥DC，AD＝BC，一组对边平行，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D.OA＝OC，OD＝OB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意，故选C.本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.4、A【解析】根据已知条件可直接写出函数表达式，清楚y=kx+b中k和b与x轴y轴交点之间的关系即可求解【详解】解：∵A（4，0），B（0，3），∴直线l的解析式为：y＝﹣34x+3；故选：A．此题主要考查一次函数的解析式，掌握k和b与直线与x轴y轴交点之间的关系是解题关键5、A【解析】由图象可知kx＋b＝0的解为x＝−1，所以kx＋b＞0的解集也可观察出来．【详解】从图象得知一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（−1，0），并且函数值y随x的增大而增大，因而则不等式kx＋b＞0的解集是x＞−1．故选：A．本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．6、D 【解析】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的对称中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．【详解】∵平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分平行四边形的面积，∴这样的折纸方法共有无数种．故选D ．本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形，是解题的关键．7、B 【解析】过点B 作BN ⊥AD ，BM ⊥DC 垂足分别为N ，M ，设BN =x ，则AN =2.4x ，在Rt △ABN 中，根据勾股定理求出x 的值，从而得到BN 和DM 的值，然后分别在Rt △BDM 和Rt △BCM 中求出BM 和CM 的值，即可求出答案.【详解】如图所示：过点B 作BN ⊥AD ，BM ⊥DC 垂足分别为N ，M ，∵i =1:2.4，AB =26m ，∴设BN =x ，则AN =2.4x ，∴AB x ，则2.6x =26，解得：x =10，故BN =DM =10m ，则tan 30°=DM BM =10BM =3，解得：BM =10，则tan 35°=CM BM =0.7，解得：CM ≈11.9（m ），故DC =MC +DM =11.9+10=21.9（m ）．故选B ．本题考查了解直角三角形的应用，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理，相似三角形等知识才能解决问题.8、C 【解析】根据分式的定义，可得出答案.【详解】A 、分母中不含未知数故不是分式，故错误；B 、是分数形式，但分母不含未知数不是分式，故错误；C 、是分式，故正确；D 、分母中不含未知数不是分式，故错误.故选C 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的概念是正确求解的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k 的值．【详解】解：方程两边都乘（x-4），得2x=k∵原方程增根为x=4，∴把x=4代入整式方程，得k=1，故答案为：1．此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10、y＝﹣1 2x【解析】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），然后将点（4，-2）代入该解析式列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【详解】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵正比例函数图象经过点（4，-2），∴-2=4k，解得，k=1 2-，∴此函数解析式为：y=12-x；故答案是：y=12-x．本题考查了待定系数法确定函数解析式．此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．11、＞。
杭州育才中学2020—2021学年九年级数学 第一学期期中检测题(带答答)
杭州育才中学2020—2021学年九年级数学第一学期期中检测题(考试时间：120分钟满分：120分)姓名：________ 班级：________ 分数：________第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形是中心对称图形的是( )A B C D2．若一元二次方程x2＋mx＋2＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )A．2 B．±2 C．±8 D．±2 23．下列抛物线中，开口最大的是( )A．y＝2x2B．y＝－12x2＋1 C．y＝(x－1)2D．y＝－(x＋1)24．已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2)三点，则该函数解析式为( ) A．y＝－x2－x＋2 B．y＝x2＋x－2C．y＝x2＋3x＋2 D．y＝－x2＋x＋25．关于二次函数y＝x2－4x－4的说法，正确的是( )A．最大值为－4 B．最小值为－4C．最大值为－8 D．最小值为－86．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )A．y＝3(x＋2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1C．y＝3(x－2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋17．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD＝1，CE＝3，则BC＝( )A．2 B．3 C．4 D．58．如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )A．(－4，1) B．(－1，2) C．(4，－1) D．(1，－2)9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( )A．1 B．1或2 C．2 D．2或310．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中：①abc＞0；②3a＞2b；③m(am＋b)≤a－b(m为任意实数)；④4a－2b＋c＜0.正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．二次函数y＝4(x－3)2＋7，开口，对称轴为，顶点坐标为．12．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m的值为．13．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是．14．已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，则一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根为．15．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝20t－0.5t2，飞机着陆后滑行m才能停下来．16．已知开口向上的抛物线y＝x2－2x＋3，在此抛物线上有A(－12，y1)，B(2，y2)和C(3，y3)三点，则y1，y2和y3的大小关系为．17．已知某抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y … 5 0 －3 －4 －3 …那么该抛物线的顶点坐标是．18．★如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE＝2－2；③四边形AEGF是菱形；④BC＋FG＝1.5.其中结论正确的序号是．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案二、填空题(每小题3分，共24分)得分：________11. ，，；12. ；13. ；14. ；15. ；16. ；17. ；18. ；三、解答题(共66分)19．(8分)解下列方程：(1)4x(1－x)＝1；(2)2x2＋6x－7＝0.20．(8分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．21.(8分)已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋14k2＋1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x21＋x22＝6x1x2－15，求k的值．22．(8分)2020年3月份以来，中国共报告发生9起非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某地政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1 500头吗？23.(10分)某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．(1)求抛物线G的解析式并写出自变量的取值范围；(2)如果身高为1.5米的小华站在C，D之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．24．(12分)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1，再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C.连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为__________；(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α.连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．25.(12分)如图，二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过A(－2，0)，B(0，4)两点．(1)求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点的坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积；(3)在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O，B，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．参考答案第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形是中心对称图形的是( A)A B C D2．若一元二次方程x2＋mx＋2＝0有两个相等的实数根，则m的值是( D) A．2 B．±2 C．±8 D．±2 23．下列抛物线中，开口最大的是( B)A．y＝2x2B．y＝－12x2＋1 C．y＝(x－1)2D．y＝－(x＋1)24．已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2)三点，则该函数解析式为( D) A．y＝－x2－x＋2 B．y＝x2＋x－2C．y＝x2＋3x＋2 D．y＝－x2＋x＋25．关于二次函数y＝x2－4x－4的说法，正确的是( D)A．最大值为－4 B．最小值为－4C．最大值为－8 D．最小值为－86．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( A)A．y＝3(x＋2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1C．y＝3(x－2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋17．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD＝1，CE＝3，则BC＝( C)A．2 B．3 C．4 D．58．如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( D)A．(－4，1) B．(－1，2) C．(4，－1) D．(1，－2)9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( C)A．1 B．1或2 C．2 D．2或311．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中：①abc＞0；②3a＞2b；③m(am＋b)≤a－b(m为任意实数)；④4a－2b＋c＜0.正确的个数是( C)A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．二次函数y＝4(x－3)2＋7，开口__向上__，对称轴为__直线x＝3__，顶点坐标为__(3，7)__．12．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m的值为__－1__．13．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是__13__．14．已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，则一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根为__－1或3__．15．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝20t－0.5t2，飞机着陆后滑行__200__m才能停下来．16．已知开口向上的抛物线y＝x2－2x＋3，在此抛物线上有A(－12，y1)，B(2，y2)和C(3，y3)三点，则y1，y2和y3的大小关系为__y2＜y1＜y3__．17．已知某抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y … 5 0 －3 －4 －3 …那么该抛物线的顶点坐标是__(1，－4)__．18．★如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①DE平分∠ADB；②BE＝2－2；③四边形AEGF是菱形；④BC＋FG＝1.5.其中结论正确的序号是__①②③__．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案 A D B D D A C D C C二、填空题(每小题3分，共24分)得分：________11．__向上__直线x＝3__(3，7)__12.__－1__13．__13__14.__－1或3__15.__200__16．__y2＜y1＜y3__17.__(1，－4)__18.__①②③__三、解答题(共66分)19．(8分)解下列方程：(1)4x(1－x)＝1；解：∵4x(1－x)＝1， ∴4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝12.(2)2x 2＋6x －7＝0. 解：∵2x 2＋6x －7＝0， ∴2(x 2＋3x)＝7， ∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋322＝234，∴x ＝－32±232.20．(8分)在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2，C 2的坐标．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，△AB 2C 2即为所求． 点B 2的坐标为(4，－2)，点C 2的坐标为(1，－3)． 21.(8分)已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0有两个实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝6x 1x 2－15，求k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14k 2＋1＝2k －3≥0， 解得k ≥32.(2)∵方程的两实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝k ＋1，x 1x 2＝14k 2＋1.∵x 21＋x 22＝6x 1x 2－15，∴(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＋15＝0，∴k 2－2k －8＝0，解得k 1＝4，k 2＝－2， 又∵k ≥32，∴k ＝4. 22．(8分)2020年3月份以来，中国共报告发生9起非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某地政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1 500头吗？解：(1)设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，依题意，得3(1＋x)2＝192，解得x1＝7，x2＝－9 (不合题意，舍去)．答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．(2)192×(1＋7)＝1 536(头)，1 536＞1 500.答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1 500头．23.(10分)某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．(1)求抛物线G的解析式并写出自变量的取值范围；(2)如果身高为1.5米的小华站在C，D之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．解：(1)建立如图所示平面直角坐标系．由题意可知A(－4，0)，B(4，0)，顶点E(0，1)．设抛物线G的解析式为y＝ax2＋1.∵A(－4，0)在抛物线G上，∴16a＋1＝0，解得a＝－1 16 .∴y＝－116x2＋1.自变量的取值范围为－4≤x≤4.(答案不唯一)(2)当y＝1.5－1＝0.5时，－116x2＋1＝0.5，解得x＝±22，∴m的取值范围是4－22＜m＜4＋2 2.24．(12分)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1，再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C.连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为__________；(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α.连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．解：(1)C1B1∥BC.(2)结论：C1B1∥BC.证明：作C1M⊥BC于M，B1N⊥BC于N.∵∠C1MB＝∠B1NC＝90°，∠C1BM＝∠B1CN＝α，C1B＝CB1，∴△C1MB≌△B1NC(AAS)，∴C1M＝B1N.∵C 1M ∥B 1N ，∴四边形C 1MNB 1是平行四边形， ∴C 1B 1∥BC.25.(12分)如图，二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(－2，0)，B(0，4)两点．(1)求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，点P 为第一象限内抛物线上一点，求P 点的坐标为多少时，△BCP 的面积最大，并求出这个最大面积；(3)在直线CD 上有点E ，作EF ⊥x 轴于点F ，当以O ，B ，E ，F 为顶点的四边形是矩形时，直接写出E 点坐标．解：(1)由A(－2，0)，B(0，4)求得这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4，这个二次函数图象的顶点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，92.(2)令y ＝0，解得x 1＝4，x 2＝－2，∴C(4，0)． 又∵A(－2，0)，B(0，4)，x 轴⊥y 轴， ∴OC ＝4，OA ＝2，OB ＝4.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.过点P 作PM ⊥x 轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ，－12m 2＋m ＋4，则M(m ，－m ＋4)，∴PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12m 2＋m ＋4－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m.∴S △BCP ＝12PM ·OC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12m 2＋2m ×4＝－(m －2)2＋4.∴当m ＝2时，△BCP 面积的最大值为4.此时点P 的坐标为(2，4)． (3)由D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，92，C(4，0)求得直线CD 的解析式为y ＝－32x ＋6，过点B 作BE ∥x 轴交CD 于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则四边形OBEF 为矩形，∵B(0，4)，∴EF ＝4.将y ＝4代入直线CD 的解析式得，4＝－32x ＋6，∴x ＝43，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，4.。
浙江杭州拱墅锦绣育才2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】
浙江杭州拱墅锦绣育才2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）如图，已知D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为1：3，则AD ：AB 为（）A ．1：4B ．1：3C ．1：2D ．1：53、（4分）把二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A ．y=3（x-2）2+1B ．y=3（x+2）2-1C ．y=3（x-2）2-1D ．y=3（x+2）2+14、（4分）如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，且这两个正方形的边长都为1．若正方形A 1B 1C 1O 绕点O 转动，则两个正方形重叠部分的面积为（）A ．16B ．4C ．1D ．15、（4分）若分式23xx -无意义，则x 等于()A ．﹣32B ．0C ．23D ．326、（4分）计算：结果在（）A ．2.5与3之间B ．3与3.5之间C ．3.5与4之间D ．4与4.5之间7、（4分）下列各点中，不在反比例函数12y x=图象上的点是（）A ．()3,4P -B ．()3,4P C ．()2,6P D ．()2,6P --8、（4分）如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（）A ．﹣2B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某高科技开发公司从2013年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是____________.10、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积为___________.11、（4分）计算：3-2=；12、（4分）＝_____；||＝_____．13、（4分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解不等式组112789xx x+⎧⎪⎨⎪-≤⎩，并在数轴上把解集表示出来．15、（8分）如图，射线OA 的方向是北偏东20°，射线OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB的反向延长线，OC 是∠AOD 的平分线。
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级第一学期期中数学试卷一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（）A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（）A．B．C．D．4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2 6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（）A．3.2B．4C．5D．207．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y38．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1 10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（）A．7：5：2B．13：5：2C．5：3：1D．26：10：3二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是．12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为．13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为．14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为．15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝度．16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为s．三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．18．（1）已知＝，求的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB 交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．（1）求证：AC＝AD；（2）求证：△AEB∽△ACD；（3）当，AD＝6时，求CD的长．22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．参考答案一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在（）A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定【分析】根据点和圆的位置关系得出即可．解：∵2＜3，∴点在圆外，故选：A．2．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．3．不透明的袋子里装有7个只有颜色不同的球，其中3个黑球，4个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接根据概率公式求解即可．解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率＝．故选：C．4．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．解：∵2a＝5b，∴＝，＝．故选：A．5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．故选：C．6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（）A．3.2B．4C．5D．20【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而求出答案．解：∵△ADE∽△ACB，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴＝，解得：AE＝5，故选：C．7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝﹣2x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．解：∵抛物线y＝﹣2x+m，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，∴y1＜y2＜y3．故选：C．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．解：连接OC交AB于D，连接OA，∵点C为运行轨道的最低点，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），∴易得：a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，∴0＜t＜2．故选：B．10．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE：EC＝5：2，连结AE交BM于G，则BH：HG：GM等于（）A．7：5：2B．13：5：2C．5：3：1D．26：10：3【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，设CF＝a，则GM＝a，依据CF∥BG，DE：EC＝5：3，D是BC的中点，可得BG＝6CF＝6a，再根据H是△ABC的重心，即可得到BH＝BM＝a，HG＝BG﹣BH＝a，进而得到BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，∵H是△ABC的重心，∴M是AC的中点，D是BC的中点，∴G是AF的中点，∴GM＝CF，设CF＝a，则GM＝a，∵CF∥BG，DE：EC＝5：2，D是BC的中点，∴＝，∴BG＝6CF＝6a，∴BM＝a，∵H是△ABC的重心，∴BH＝BM＝a，∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，∴BH：HG：GM＝a：a：a＝26：10：3．故选：D．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.11．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（1，3）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．12．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为．【分析】利用弧长公式直接计算即可．解：圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长＝＝．故答案为：．13．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为﹣16．【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．故答案为：﹣16．14．已知一个正多边形内角的度数为108°，则它的边数为5．【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，∴这个正多边形是正五边形．故答案为：5．15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，连结BO并延长，交⊙O于D，则∠ACD＝18度．【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC＝∠ACB＝72°；利用直径所对的圆周角为直角，可得∠BAD＝90°，则∠ABD＝18°，利用同弧所对的圆周角相等即可求得结论．解：连接AD，如图，∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝72°．∵BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°．∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝18°．∴∠ACD＝∠ABD＝18°．故答案为：18．16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）．已知物体竖直运动中，h＝v0t﹣（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2）．则球从弹起至回到地面的过程中，前后两次高度达到3.75m的时间间隔为1s．【分析】将v0＝10，g＝10，h＝3.75代入h＝v0t﹣求解．解：∵v0＝10，g＝10，∴h＝10t﹣5t2，将h＝3.75代入h＝10t﹣5t2得3.75＝10t﹣5t2，解得t1＝0.5，t2＝1.5，∴后两次高度达到3.75m的时间间隔为1.5﹣0.5＝1（s）．故答案为：1．三、解答题本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．18．（1）已知＝，求的值；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【分析】（1）设a＝3k，则b＝5k，代入，计算即可求解；（2）根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA＝AB，PB＝AB，代入数据即可得出PA、PB的长．解：（1）∵＝，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴＝＝；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA＝AB＝﹣1，PB＝AB＝3﹣．19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB 交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．20．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．（2）由S与x的关系式可得x大于10时，S随x增大而减小，进而求解．解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，∵0＜40﹣2x＜40，∴0＜x＜20．由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米．（2）∵11≤AB≤12，∴11≤x≤12，∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，∴x＞10时，S随x增大而减小，当x＝11时，S＝﹣2×（11﹣10）2+200＝198，当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝196，∴196平方米≤S≤198平方米．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．（1）求证：AC＝AD；（2）求证：△AEB∽△ACD；（3）当，AD＝6时，求CD的长．【分析】（1）由BA平分∠EBD，得∠ABE＝∠ABD，再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可证∠ACD＝∠ADC，即可证明；（2）由（1）知∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，从而证明结论；（3）由△AEB∽△ACD，得，代入即可．【解答】（1）证明：∵BA平分∠EBD，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD；（2）证明：∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE，∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，∴△AEB∽△ACD；（3）解：由（2）知，△AEB∽△ACD，∴，∴CD＝＝4．22．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．（2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小；（3）根据题意二次函数经过点（﹣2，0），代入解析式即可求得b＝2a，则抛物线为y ＝ax2+2ax，把A、B坐标代入即可求得m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，从而得出n＝5m．解：（1）∵m＝3，n＝15，∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；（2）∵A、B两点关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝＝2，∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（1，y2）到对称轴的距离最小，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∴y1＞y3＞y2；（3）∵该抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（0，0），∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b＝0，∴b＝2a，∴y＝ax2+2ax（a＞0），∵A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，∴m＝a+2a＝3a，n＝9a+6a＝15a，∴＝＝，∴n＝5m．23．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC•CD，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠C＝∠B，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝∠B，∵∠ADO＝∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（2）如图2中，①当∠ODC＝90°时，∵BD⊥AC，OA＝OC，∴AD＝DC，∴BA＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，∴BC＝AC＝2AD＝．②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC＝＝，③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．综上所述，BC＝或．（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x．∵△DAO∽△DBA，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝，AB＝，∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22＝S1•S3，∵S2＝AD•OH，S1＝S△OAC＝•AC•OH，S3＝•CD•OH，∴（AD•OH）2＝•AC•OH••CD•OH，∴AD2＝AC•CD，∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝﹣，∴（）2＝•（﹣），整理得x2+x﹣1＝0，解得x＝或，经检验：x＝是分式方程的根，且符合题意，∴OD＝．（也可以利用角平分线的性质定理：＝＝，黄金分割点的性质解决这个问题）方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h，∴＝＝，设S△AOB＝a，∴S△AOD＝ax，∵△AOB≌△AOC，∴S△AOC＝S△AOB＝a∴S△AOC＝S△AOD+S△COD，∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x），∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22＝S1•S3，∴（ax）2＝a×a（1﹣x），∴x＝，∵OD＞0，∴OD＝．。
2020-2021杭州市育才中学高一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021杭州市育才中学高一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．22．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.15．函数的定义域是 .16．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．17．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.18．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 19．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.20．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；24．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？25．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？26．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.9．B解析：B试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．15．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域16．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.17．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 18．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.19．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．20．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 三、解答题21．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a ab =⎧⎨+=⎩， 又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+； （2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥， 解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立；④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<， 综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃．考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-，又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立， 函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.23．(1) 0 ; (2) [0,1]【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值.(2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围.【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数， 则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件.当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件.综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增, 所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--.因为A B A ⋃=,即B A ⊆,所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤. 所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题. 24．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.25．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . （2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 26．（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可． 试题解析：（1）令，得， ∴定义域关于原点对称 ，得， ∴∴是奇函数，即又由已知得：由函数是增函数，不等式转化为∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．。
2020-2021学年浙江省杭州市四校联考九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝50°，则∠C＝（）°A．40B．50C．130D．1502．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等3．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．如图，已知在△ABC中，D为BC上一点，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．6．已知抛物线C：y＝x2+3x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C'，若两条抛物线C、C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移2.5个单位B．将抛物线C向右平移5个单位C．将抛物线C向右平移3个单位D．将抛物线C向右平移6个单位7．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．28．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x ＝8时，y＝1，（）A．若h＝4，则a＞0B．若h＝5，则a＜0C．若h＝6，则a＞0D．若h＝7，则a＜09．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小10．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则＝．12．（4分）已知正n边形的每个内角为144°，则n＝．13．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．16．（4分）如图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝a ，AD ＜BC ，在边AB 上取点P ，使得△P AD ，△PBC 与△PDC 两两相似，则AP 长为 ．（结果用含a 的代数式表示）三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）如图，已知在⊙O 中，两条弦AB 和CD 交于点P ，且AP ＝CP ，求证：AB ＝CD ．18．（8分）如图，过菱形AEDF 的顶点D 作直线，分别交AE 的延长线于点B ，交AF 的延长线于点C ．（1）求证：△BED ∽△DFC ； （2）若FC ＝AF ，求的值．19．（8分）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球实验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率0.50.450.450.4330.410.4070.405（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 ；（2）从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率．20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．21．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．22．（12分）设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．23．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝5，BE＝4，求AD的长．（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，AD＝5，求DF的长．2020-2021学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝50°，则∠C＝（）°A．40B．50C．130D．150【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．2．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．【解答】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；故选：D．3．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：＝．故选：A．4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解答】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．5．如图，已知在△ABC中，D为BC上一点，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．【分析】由EG∥BC可得出∠AEF＝∠ABD，∠AFG＝∠ADC，结合∠EAF＝∠BAD，∠F AG＝∠DAC可得出△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，再利用相似三角形的性质可得出＝＝，＝＝，进而可得出＝．【解答】解：∵EG∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∠AFG＝∠ADC．又∵∠EAF＝∠BAD，∠F AG＝∠DAC，∴△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，∴＝＝，＝＝，∴＝．故选：D．6．已知抛物线C：y＝x2+3x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C'，若两条抛物线C、C′关于直线x＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移2.5个单位B．将抛物线C向右平移5个单位C．将抛物线C向右平移3个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【分析】找一个点，经过平移后这个点与直线x＝1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．【解答】解：∵抛物线C：y＝x2+3x﹣10＝（x+）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选：B．7．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．2【分析】利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝，∴CA2＝CD•CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1•（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a＝或（舍弃），故选：A．8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x ＝8时，y＝1，（）A．若h＝4，则a＞0B．若h＝5，则a＜0C．若h＝6，则a＞0D．若h＝7，则a＜0【分析】当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝﹣1，将h的值分别代入即可得出结果．【解答】解：当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝﹣7，整理得：a（9﹣2h）＝﹣1，若h＝4，则a＝﹣1，故A错误；若h＝5，则a＝1，故B错误；若h＝6，则a＝，故C正确；若h＝7，则a＝，故D错误；故选：C．9．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，由外角的性质可求∠P AH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BP A＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BP A＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，∵∠CP A＝∠AHC+∠P AH＝135°，∴∠P AH＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH的度数是定值，故选：C．10．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n最小＝，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b 异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，∴≤n﹣m＜1，即n﹣m≥，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，因此，只有选项B正确，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则＝．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴＝＝，故答案为：．12．（4分）已知正n边形的每个内角为144°，则n＝10．【分析】根据多边形内角和外角的关系可求解正n边形的外角的度数，再根据多边形的外角和定理可直接求解．【解答】解：由题意得正n边形的每一个外角为180°﹣144°＝36°，n＝360°÷36°＝10，故答案为10．13．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是y2＞y1＞y3．【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【解答】解：抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3），∵﹣5＜﹣3＜﹣2，∴y2＞y1＞y3，故答案为y2＞y1＞y3．14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝．故答案为：．15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是5．【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，从而其斜边长可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC：BC＝1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，∵＝＝＝，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．16．（4分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△P AD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为a或a．（结果用含a的代数式表示）【分析】分两种情形：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．利用全等三角形的性质证明P A＝PT，PB＝PT，推出P A＝PB即可解决问题．②当∠PDC＝90°时，分别求解即可．【解答】解：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．∵△P AD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），∴P A＝PT，PB＝PT，∴P A＝PB＝AB＝a，②当∠PDC＝90°时，∵△P AD，△PBC与△PDC两两相似，∴∠APD＝∠DPC＝∠CPB＝60°，设AP＝x，则PD＝2x．PC＝4x，PB＝2x，∴3x＝a，∴x＝a．∴P A＝a故答案为a或a．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（6分）如图，已知在⊙O中，两条弦AB和CD交于点P，且AP＝CP，求证：AB＝CD．【分析】根据圆周角定理得出∠A＝∠C，根据全等三角形的判定得出△ADP≌△CBP，根据全等三角形的性质得出BP＝DP即可．【解答】证明：∵圆周角∠A和∠C都对着，∴∠A＝∠C，在△ADP和△CBP中，，∴△ADP≌△CBP（ASA），∴BP＝DP，∵AP＝CP，∴AP+BP＝CP+DP，即AB＝CD．18．（8分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．（1）求证：△BED∽△DFC；（2）若FC＝AF，求的值．【分析】（1）由菱形的性质可得AE∥DF，DE∥AC，由平行线的性质可得∠B＝∠FDC，∠C＝∠BDE，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵四边形AEDF是菱形，∴AE∥DF，DE∥AC，∴∠B＝∠FDC，∠C＝∠BDE，∴△BED∽△DFC；（2）∵四边形AEDF是菱形，∴AE＝AF＝DE＝DF，∵△BED∽△DFC，∴，∵FC＝AF，∴，∴．19．（8分）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球实验，并将数据记录如下表：摸球次数10204060100150200红球出现次数5918264161810.50.450.450.4330.410.4070.405红球出现的频率（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4；（2）从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率．【分析】（1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论；（2）先求出袋中红、白球的个数，再列表得出所有等可能结果，继而利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4，故答案为：0.4；（2）∵袋子中红球的个数约为5×0.4＝2（个），∴袋子中白球有3个，列表如下：红红白白白红（红，红）（白，红）（白，红）（白，红）红（红，红）（白，红）（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）（白，白）（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）（白，白）由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果，∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为＝．20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出＝，求出EC即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．21．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．【分析】（1）由题意得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]，即可求解；（2）由题意得：250﹣10（x﹣25）≥160且x≥30，解得30≤x≤34，而w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50），根据函数的增减性即可求解．【解答】解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）由题意得：250﹣10（x﹣25）≥160且x≥30，解得30≤x≤34，而w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50），∵a＝﹣10＜0，而函数的对称轴为x＝（20+50）＝35，故当x＜35时，w随x的增大而增大，故当x＝34（元）时，w有最大值为2240（元）．22．（12分）设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．【分析】（1）把a的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可；（2）代入已知点坐标求得a便可得解析式；（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．【解答】解：（1）∵a＝2，∴y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝（2x﹣1）（x﹣2），当x＝﹣0.5时，y＝5≠﹣5，∴点（﹣，﹣5）不在该函数图象上；（2）∵函数的图象经过点（1，﹣4），∴（a﹣1）（1﹣a）＝﹣4，解得，a＝﹣1或3，∴该函数的表达式为：y＝（3x﹣1）（x﹣3）或y＝（﹣x﹣1）（x+1）；（3）∵二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）的图象与x轴交于点（，0），（a，0），∴函数图象的对称轴为直线x＝，当a＞0时，函数图象开口向上，∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴≥+1，∴a≤，∴0＜a≤；当a＜0时，函数图象开口向下，∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴≤﹣1，∴a≥﹣，∴﹣≤a＜0；综上，﹣≤a＜0或0＜a≤．23．（12分）（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝5，BE＝4，求AD的长．（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，AD＝5，求DF的长．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出＝，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段＝，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD；（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段＝，则DE＝EF，再证明DG＝DF，求出DG可得结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴＝，∴AC2＝AD•AB．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴＝，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝＝，∴AD＝．（3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE＝2，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴＝，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵＝，∴DG＝DF，∵AD＝CD＝5，CG＝AE＝2，∴DG＝DC+CG＝7，∴DF＝．。
(浙江绍兴)2020-2021学年第一学期九年级期末测试-数学试题卷(浙教版)
1. 本试卷考核范围：浙教版九上全册、九下第1 章。
2. 本试卷共6 页，满分150 分。
数学试题卷104401 ．在同一时刻，身高1.6 m 的小强的影长是1.2 m，旗杆的影长是15 m，则旗杆的高为( )A ．22 mB ．20 mC ．18 mD ．16 m2 ．如图，A，B，C都是⊙O上的点，若∠ACB=110°，则∠AOB的度数是( )A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°第2 题图第3 题图第4 题图3 ．有5 张写有数字的卡片 (如图1)，它们的背面都相同，现将它们背面朝上 (如图2)，从中翻开任意一张是数字 2 的概率是( )A ．B ．C ．D ．4 ．已知y与x之间的函数关系如图所示，当－3≤x≤3 时，函数值y的取值范围是( )A ．0≤y≤3B ．0≤y≤2C ．1≤y≤3D ．－3≤y≤35 ．在△ABC中，若|sin A一| +(一tan B)2 = 0 ，则∠C的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6 ．如图，在平面直角坐标系中，以点P为圆心，以2 为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，已知点A的坐标为(2 ，0)，点B的坐标为(6 ，0)，则圆心P的坐标为( )A ．(4，4)B ．(4，2)C ．(4，)D ．(2，2 )7 ． 在倾斜角(∠α ， ∠β)不同的两个斜面上，物体前进的距离都是 l ，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同． 如图，已知 sin β= ，tan α= ，l =20 米，则物体在这两 个不同斜面上的高度差等于( )A ．1 米B ．4 米C ．7 米D ．10 米第 7 题图 第 8 题图8 ． 若将一个正方形剪成如图 1 所示的四块， 且这四块恰好能拼成如图 2 所示的矩形， 则 的值为 ( )A ．B ．C ．D．2一 19 ． 如图， ⊙O 上有两点 A 与 P ，若点P 在圆上匀速运动一周，则弦 AP 的长度 d 与时间 t的关系可能是下列图形中的( )A ．①B ．③C ．②或④D ．①或③第 9 题图 第 10 题图10 ．如图， 在四边形 ABCD 中，不等长的两对角线 AC ，BD 相交于点 O ，且将四边形 ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若 OA ∶OC =OB ∶OD =1 ∶2，则此四个三角形的关系 是( )A ．甲与丙相似， 乙与丁相似B ．甲与丙相似， 乙与丁不相似C ．甲与丙不相似，乙与丁相似D ．甲与丙不相似，乙与丁不相似6 5 3011 ．抛物线y =2x 2－2x 与 x 轴的交点坐标为 ．a b12．已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2 ，则该扇形的弧长等于cm．(结果保留π)13．学校组织校外实践活动，给九年级安排了两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是．14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交于点D，连结DC，则∠DCB的度数为．第14 题图第15 题图15．如图，桌面上有一时钟，表盘中心点为O，分针OA外端点到桌面的最大距离和最小距离分别为50 和10 ，若现在的时间是9 点10 分，则点A到桌面的距离是．16．如图①是由8 个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块 (如图②)，就可以拼成一个大正方形(如图③)．那么由 5 个同样大小的正方形组成的纸片(如图④)，最少需要剪刀，就可以拼成一个大正方形．817~2021102223248017 ．在平面直角坐标系中，已知点P(x，6)在第一象限，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是．(1)求x的值．(2)求夹角α的正弦值和余弦值．18 ．在一个不透明的袋子中装有1 个红球，1 个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1) 从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，求n的值；(2) 若该袋中有 2 个白球，在一个摸球游戏中，小明用画树状图的方法寻求他两次摸球(摸出一球后，不放回，再摸出一球) 的所有可能结果，下图是小明所画的正确树状图的一部分，补全小明所画的树状图，并求两次摸出的球的颜色不同的概率．19 ．如图，已知斜坡的坡角∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．(1)求∠ACD的度数；(2)当AC=5 时，求AD的长．(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91 ，tan25°≈0.47，结果精确到0.1)20 ．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5 ∶24．(1)求CD的长；(2) 现汛期来临，水面要以每小时4 m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC=2 ∶3．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求AG与GF的比．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2) 求证：∠1=∠2．23 ．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为0.75m，到墙边OA的距离分别为0.5 m，1.5 m．(1)求最左边的拋物线的表达式，并求图案最高点到地面的距离；(2) 若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？24．已知点P为线段AB上的动点 (与A，B两点不重合)．在同一平面内，把线段AP，BP 分别折成△CDP，△EFP，∠CDP=∠EFP=90°，且D，P，F三点共线，如图所示．(1)若△CDP，△EFP均为等腰三角形，且DF=4，求AB的长；(2)若AB=12 ，tan C=，且以C，D，P为顶点的三角形和以E，F，P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最大值．。
浙江省杭州市育才中学2024年九上数学开学达标测试试题【含答案】
浙江省杭州市育才中学2024年九上数学开学达标测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，若EF =3，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．16C ．20D．242、（4分）如图所示，在中，，、是斜边上的两点，且，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．有下列结论：①；②；③；④其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③C ．②③④D ．②④3、（4分）若关于的分式方程无解，则的值为（）A ．2B ．C ．3D ．4、（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为1和4，则斜边长为（ ）A ．3B C D ．55、（4分）下列命题是真命题的是( )Rt ABC ∆AB AC =D E BC 45DAE ∠=︒ADC ∆A 90︒AFB ∆EF BE DC =BAF DAC ∠=∠FAE DAE ∠=∠BF DC =x 533x mx x -=--m 2-3-A ．平行四边形对角线相等B ．直角三角形两锐角互补C ．不等式﹣2x ﹣1＜0的解是x＜﹣D ．多边形的外角和为360°6、（4分）下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、（4分）已知点P(3，4)在函数y=mx+1的图象上，则m=( )A ．-1B ．0C ．1D ．28、（4分）有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为_____．10、（4分）因式分解：a 2﹣6a+9=_____．11、（4分）使根式有意义的x 的取值范围是___．12、（4分）如图，直线、、、互相平行，直线、、、互相平行，四边形面积为，四边形面积为，则四边形面积为__________．13、（4分）计算：____________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）12313y x =3y x =23y x =-21y x =-AB IL JK DC AD IJ LK BC ABCD 18EFGH 11IJKL 131(2)201923-⎛⎫-+︒+-+= ⎪⎝⎭14、（12分）如图，在中，点，分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形．15、（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元.为了多销售，增加利润，超市准备适当降价。
浙江省杭州市四校2024年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】
浙江省杭州市四校2024年数学九年级第一学期开学质量检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列变形正确的是（ ）A．B ．C ．D ．2、（4分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D．133、（4分）已知△ABC 的三边长分别是a，b ，c ，且关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC 一定是（ ）．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4、（4分）下列计算不正确的是( )A B CD 5、（4分）坐标平面上,有一线性函数过(-3,4)和(-7,4)两点,则此函数的图象会过( )A ．第一、二象限B ．第一、四象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限6、（4分）在分式（a ，b 为正数）中，字母a ，b 值分别扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的11a a b b +=+1a b b ab b ++=11a a b b --=--22()1()a b a b --=-+22220x ax c b -+-==4==2÷=a bab +13C ．扩大为原来的3倍D ．不确定7、（4分）用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ）A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数8、（4分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在R △ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =1，BD 是AC 边上的中线，则BD = ________。
杭州市育才中学2020年数学九年级上册期末试题及答案
杭州市育才中学2020年数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．2．已知3sin2α=，则α∠的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则DE BC的值为（）A．12B．13C．14D．195．如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒k cm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为2ycm．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；③sin∠ABS3④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④6．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1 D．m＜17．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（）A．45B．60C．90D．1808．已知反比例函数kyx=的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 7210．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（）A．（4，5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（﹣4，﹣5）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（）A．25°B．40°C．45°D．50°12．关于二次函数y＝x2+2x+3的图象有以下说法：其中正确的个数是（）①它开口向下；②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线；③它与x轴没有公共点；④它与y轴的交点坐标为（3，0）．A．1 B．2 C．3 D．413．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S 的变化情况是（ ）A ．S 的值增大B ．S 的值减小C ．S 的值先增大，后减小D ．S 的值不变14．下表是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分x ，y 的对应值： x… ﹣1﹣120 121322523 …y … 2 m﹣1﹣74 ﹣2 ﹣74﹣1 142 …可以推断m 的值为（ ）A ．﹣2B ．0C ．14D ．215．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3)二、填空题16．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________． 17．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为23，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）． 18．如图，在ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．19．长度等于2的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____．20．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．21．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．22．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．23．方程290x 的解为________.24．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)25．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.26．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.27．如图，直线y=12x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D 在反比例函数y=k x 的图象上，CD 平行于y 轴，S △OCD =52，则k 的值为________．28．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．29．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题31．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．32．已知关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．33．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求tan B 的值．34．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;（3）点Q为抛物线上一点，若8QABS ，求出此时点Q的坐标.35．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三3B的横坐标Bx的取值范围．四、压轴题36．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．37．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．38．如图1,已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D 的坐标为(−3，3),抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0<t<3．．．．．)①是否存在这样的t，使7FB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x．轴与．．抛物线在．．．．)．时,求t的取值范围.(直接写出答案即可)．．．．．．．．．．．．(．包括边界．．．．x．轴上方的部分围成的图形中39．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．40．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．将最大值为2n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=-（n-1）2+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣2+52=12．2．C解析：C【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由3sinα=，得α=60°，故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2b a＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．4．B解析：B【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，∵13AD AB =，∴31DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例． 5．C解析：C【解析】【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴53BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，2224(63)(5)x x ∴+-=，解得1x =或134-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =， 5 2.5k ∴=，2/k cm s ∴=，故④正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．6．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n=，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：将点（m，3m）代入反比例函数kyx=得，k=m•3m=3m2＞0；故函数在第一、三象限，故选B．9．B解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF，BE=CE，∴12DH DFHB AB==，12BG BEDG AD==，∴13 DH BGBD BD==，∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．10．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．【详解】∵二次函数()2345y x +=-∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）． 11．B解析：B【解析】【分析】连接OA ，由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°，根据切线定理可得∠OAP ＝90°，继而推出∠P ＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA ，由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．12．B解析：B【解析】【分析】直接利用二次函数的性质分析判断即可．【详解】①y＝x2+2x+3，a＝1＞0，函数的图象的开口向上，故①错误；②y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝221-⨯＝﹣1，即函数的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线，故②正确；③y＝x2+2x+3，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即函数的图象与x轴没有交点，故③正确；④y＝x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即函数的图象与y轴的交点是（0，3），故④错误；即正确的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的特征，解题的关键是熟练掌握根据二次函数解析式求二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点坐标．13．D解析：D【解析】【分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|，所以S=2k，为定值．【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．C解析：C【解析】【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【详解】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（12，﹣74）和（32，﹣74），所以对称轴为x＝13222+＝1，∵511122⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴点（﹣12，m）和（52，14）关于对称轴对称，∴m＝14，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴．15．A解析：A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y ＝（x ﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ，难度不大.二、填空题16．-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随 解析：-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数222y x x -=-，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵−1≤x≤4，∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．3【解析】【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x 个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x 个，根据题意得：，解得：x=3，经检验，x=3是原分解析：3【解析】【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x 个，根据题意得：12123x x +=++，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x 个， 根据题意得：12123x x +=++， 解得：x=3，经检验，x=3是原分式方程的解．故答案为：3．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.【详解】解：∵四解析：6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△FAG ，∵13BE DF BC ==， ∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键. 19．6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝6，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在中，根据勾股定理得，即∴，故答案为：6．【点睛】解析：6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在Rt OAB 中，根据勾股定理得222OA OB AB +=，即222272OA AB === ∴236OA =，0OA >6OA ∴=故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.20．2【解析】【分析】首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴(9+10+12+x+8解析：2【解析】【分析】首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴15(9+10+12+x+8)＝10，解得：x＝11，∴S2＝15[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，＝15×（1+0+4+1+4），＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．21．6+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两解析：63+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积． 【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ， 连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD 3∴S △ADO ＝12OD •AD 3 ∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO 3∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：333π）＝3﹣π ∵S △ABC ＝1233∴纸片能接触到的最大面积为：93﹣33+π＝63+π．故答案为63+π．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式. 22．54【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C =108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=1解析：54【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【详解】连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC=∠C=108°，∴∠ABD=72°，∴∠F=∠ABD=72°，∴∠FAD=18°，∴∠CDF=∠DAF=18°，∴∠BDF=36°+18°=54°，故答案为54．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．23．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这解析：3x =±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x =±3．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2=b （b ≥0）；a （x +b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．24．>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数的图像开口方向向上，所以有>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次解析：>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，所以有a>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a>0；图像开口方向向下，a<0．25．（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．解析：（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）．26．2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．27．【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=12x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．解：∵点C在直线AB上，即在直线y=12x﹣2上，C的横坐标是2，∴代入得：y=12×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，∵CD∥y轴，S△OCD=52，∴12CD×OM=52，∴CD=52，∴MD=52﹣1=32，即D的坐标是（2，32），∵D在双曲线y=kx上，∴代入得：k=2×32=3．故答案为3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．28．【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相解析：67【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥BC于F，∵△ABC ，△PQC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，PC ＝CQ ，∠BCA ＝∠PCQ ＝60°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，且AC ＝BC ，CQ ＝PC ，∴△ACQ ≌△BCP （SAS ）∴AQ ＝BP ，∠CAQ ＝∠CBP ，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝4，∵∠ACB ＝60°，DF ⊥BC ，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝2，DF ＝CF ÷tan30°＝ ∴BF ＝4，∴BD ，∵△CPQ 是等边三角形，∴S △CPQ 2， ∴当CP ⊥BD 时，△CPQ 面积最小，∴cos ∠CBD ＝BP BF BC BD =， ∴6BP =，∴BP ，∴AQ ＝BP ， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴AE AD BC BD=， ∴6AE =，∴AE ，∴QE ＝AQ−AE ＝7．故答案为；7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP 的长是本题的关键． 29．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线n 过点B （4，0）与新图象有三个交点， 当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m 的位置：联立y=-2x+b 与y=x 2-4x 并整理：x 2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1； 当直线过点B 时，将点B 的坐标代入直线表达式得：0=-8+b ，解得：b=8，故-1＜b ＜8；故答案为：-1＜b ＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x 轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A 、B 两个临界点，进而求解．三、解答题31．该段运河的河宽为303m ．【解析】【分析】过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，40HE CD m ∴==，设CH DE xm ==，在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，3BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，3AH xm ∴=，由160AH HE EB AB m ++==，得到3340160x x ++=， 解得：303x =，即303CH m =，则该段运河的河宽为303m ．【点睛】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．32．a ＜2且a ≠1【解析】【分析】。
2024-2025学年浙江省杭州市锦绣育才教育科技集团数学九上开学质量检测试题【含答案】
2024-2025学年浙江省杭州市锦绣育才教育科技集团数学九上开学质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知三条线段长a 、b 、c 满足a 2＝c 2﹣b 2，则这三条线段首尾顺次相接组成的三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2、（4分）下列交通标志中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）一次函数y＝kx－(2－b)的图像如图所示，则k 和b 的取值范围是()A ．k>0，b>2B ．k>0，b<2C ．k<0，b>2D ．k<0，b<24、（4分）下列二次根式中，化简后能与合并的是()AB C D ．5、（4分）关于x 的不等式组()2240x a x ⎧->⎨-<⎩的解集为4x >，那么a 的取值范围为（）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a ≥D ．4a >6、（4分）下列命题中，正确的是（）A ．矩形的邻边不能相等B ．菱形的对角线不能相等C ．矩形的对角线不能相互垂直D ．平行四边形的对角线可以互相垂直7、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中大课间及体育课外活动占60%，期末考试成绩古40%．小云的两项成绩（百分制）依次为84，1．小云这学期的体育成绩是（）A ．86B ．88C ．90D ．928、（4分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）.劳动时间（小时）3 3.24 4.5人数1121A ．中位数是4，平均数是3.74；B ．中位数是4，平均数是3.75；C ．众数是4，平均数是3.75；D ．众数是2，平均数是3.8.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在直角坐标系中，正方形111A B C O 、222133321n n n n A B C C A B C C A B C C -⋯、、、的顶点123n A A A A、、、…、均在直线y kx b =+上，顶点123...n C C C C 、、、、在x 轴上，若点1B 的坐标为()1,1，点2B 的坐标为()3,2，那么点4A 的坐标为____，点n A 的坐标为__________．10、（4分）对于一次函数y b =+，若12x x <，那么12x x 、对应的函数值y 1与y 2的大小关系是________．11、（4分）不等式4x ﹣6≥7x ﹣15的正整数解的个数是______．12、（4分）某公司招聘一名人员，应聘者小王参加面试和笔试，成绩（100分制）如表所示：面试笔试成绩评委1评委2评委392889086如果面试平均成绩与笔试成绩按6：4的比确定，请计算出小王的最终成绩_____．13、（4分）一个多边形的内角和是它外角和的1.5倍，那么这个多边形是______边形．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知边长为1的正方形ABCD 中,P 是对角线AC 上的一个动点(与点A ．C 不重合)，过点P 作PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ，当点E 落在线段CD 上时(如图)，（1）求证：PB=PE ；（2）在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化?若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；15、（8分）()1计算：0(1)-+()2解方程：2230x x --=．16、（8分）（1）计算：22a 1-a -4a-2；（2）解方程1x-2＝4x 1+．17、（10分）如图，在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，∠ADC=90°，BC=8，DC=6，AD=10，动点P 从点D 出发，沿线段DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t （秒）。
2021-2022学年浙江省杭州十三中教育集团九年级(上)开学数学试卷Word版含解析
2021-2022学年浙江省杭州十三中教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列函数中属于二次函数的是( ) A ．2y ax bx c =++B ．23(1)y x =-C ．22(1)y x x =+-D ．21y x =3．（3分）下列计算结果正确的是( ) A 2(3)3-=-B ．3223C 623= D ．2(5)5-=4．（3分）某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表： 尺码()cm 23.5 24 24.5 25 25.5 销售量（双)12251则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是( ) A ．25，25B ．24.5，25C ．25，24.5D ．24.5，24.55．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60︒”时，应当假设这个三角形中()A ．有一个内角小于60︒B ．每一个内角都小于60︒C ．有一个内角大于60︒D ．每一个内角都大于60︒6．（3分）若关于x 的一元二次方程2(2)310k x x +-+=有实数根，则k 的取值范围是() A ．14k <且2k ≠- B ．14kC ．14k且2k ≠- D ．14k7．（3分）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形8．（3分）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为2864m，那么小道的宽度应是()A．1B．2C．2.5D．39．（3分）函数kyx-=与2(0)y kx k k=-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A．B．C．D．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且5BE DF==，M，N分别为AB，CD边上的点，且MN AE⊥交AE，CF于点G，H，则GH的长为( )A ．6B ．132C ．8413D ．9112二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）一个多边形的每个外角都等于72︒，则这个多边形的边数为 ． 12．（4分）已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是 ．13．（4分）在解一元二次方程20x bx c ++=时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为11x =，22x =；小刚看错了常数项c ，得到的解为13x =，24x =．请你写出正确的一元二次方程 ． 14．（4分）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线22y x x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 .（用“<”连接）15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆的顶点B 在x 轴正半轴上，AO AB =，P ，Q 分别是OA ，AB 的中点，函数(0,0)ky k x x=>>的图象过点P ，若3OPQ S ∆=，则k 的值为 ．16．（4分）如图，在矩形ABCD 中，4BC =，BDC ∠的平分线交BC 于点P ，作点P 关于BD 的对称点P '，若点P '落在矩形ABCD 的边上，则AB 的长为 ．三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算：（1-； （2）解方程：267x x -=．18．（8分）甲、乙两位同学5次数学成绩的统计如表所示，他们的5次总成绩相同，现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表．请同学们完成下列问题： （1）a = ，x =乙 ；（2）2360S =甲，请计算出乙同学5次成绩的方差，并从平均数和方差的角度分析，谁将被选中？19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A 和(2,1)B -． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．20．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=． （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．21．（10分）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若4CE =，120BCF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．22．（12分）已知反比例函数1ky x=的图象经过(3,2)，(,)m n 两点． （1）求1y 的函数表达式；（2）当1m <时，求n 的取值范围；（3）设一次函数232(0)y ax a a =-+>，当0x >时，比较1y 与2y 的大小．23．（12分）我们把有一组对角都是直角的四边形，叫做“对直四边形”．例如图1，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，那么四边形ABCD 就是对直四边形．（1）在已经学过的“①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是对直四边形是 ；（填序号）（2）如图2，四边形ABCD 是对直四边形，若90D ∠=，5AD =，BC x =，1AB x =+，2CD x =+，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F ，H 分别从点C ，C ，D 同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边CB ，CD ，DA 方向运动（保持)DH AD <，再分别过点E ，F 作BC ，CD 的垂线交于点G ，连结HG ，BG ．求证：四边形ABGH 为对直四边形．2021-2022学年浙江省杭州十三中教育集团九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；C ．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C ．2．（3分）下列函数中属于二次函数的是( ) A ．2y ax bx c =++B ．23(1)y x =-C ．22(1)y x x =+-D ．21y x =【解答】解：A 、2y ax bx c =++，不一定是二次函数，故本选项错误；B 、23(1)y x =-是二次函数，故本选项正确；C 、22(1)y x x =+-是一次函数，故本选项错误；D 、21y x=的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误； 故选：B ．3．（3分）下列计算结果正确的是( ) A 2(3)3-=-B ．3223C 623= D ．2(5)5-=【解答】解：2.(3)3-，故此选项不合题意；B =C =D ．2(5=，故此选项符合题意．故选：D ．4．（3分）某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是( ) A ．25，25B ．24.5，25C ．25，24.5D ．24.5，24.5【解答】解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、25.5，数据25出现了五次最多为众数．25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25． 故选：A ．5．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60︒”时，应当假设这个三角形中()A ．有一个内角小于60︒B ．每一个内角都小于60︒C ．有一个内角大于60︒D ．每一个内角都大于60︒【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60︒”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60︒． 故选：B ．6．（3分）若关于x 的一元二次方程2(2)310k x x +-+=有实数根，则k 的取值范围是() A ．14k <且2k ≠- B ．14kC ．14k且2k ≠- D ．14k【解答】解：关于x 的一元二次方程2(2)310k x x +-+=有实数根， 20k ∴+≠且△2(3)4(2)10k =--+⋅，解得：14k且2k≠-，故选：C．7．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．8．（3分）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为2864m，那么小道的宽度应是()A．1B．2C．2.5D．3【解答】解：设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为(402)x m-，宽为(26)x m-的矩形，依题意得：(402)(26)864x x--=，整理，得246880x x-+=．解得，12x=，244x=．4440>（不合题意，舍去），2x∴=．答：小道进出口的宽度应为2米．故选：B．9．（3分）函数kyx-=与2(0)y kx k k=-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A．B．C．D．【解答】解：①当0k>，则0k-<，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；②0k<时，则0k->，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；故选项B符合题意；故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且5BE DF==，M，N分别为AB，CD边上的点，且MN AE⊥交AE，CF于点G，H，则GH的长为( )A．6B．132C．8413D．9112【解答】解：正方形ABCD的边长为12，12AB CD AD BC∴====，//AD EC，5BE DF==，7AF CE∴==，∴四边形AFCE是平行四边形，12AB =，5BE =，13AE ∴=， AFCE S AF AB AE GH =⨯=⨯平行四边形， 71213GH ∴⨯=⨯， 8413GH ∴=， 故选：C ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）一个多边形的每个外角都等于72︒，则这个多边形的边数为 5 ． 【解答】解：多边形的边数是：360725÷=． 故答案为：5．12．（4分）已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是【解答】解：1(23456)45x =++++=，2222221[(24)(34)(44)(54)(64)]25s =-+-+-+-+-=，∴13．（4分）在解一元二次方程20x bx c ++=时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为11x =，22x =；小刚看错了常数项c ，得到的解为13x =，24x =．请你写出正确的一元二次方程2720x x -+= ．【解答】解：小明看错了一次项系数b ， 12122c x x ∴=⋅=⨯=；小刚看错了常数项c ， 12347b x x ∴-=+=+=，7b ∴=-．∴正确的一元二次方程为2720x x -+=．故答案为：2720x x -+=．14．（4分）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线22y x x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 132y y y << .（用“<”连接）【解答】解：222(1)1y x x a x a =-++=--++，∴抛物线22y x x a =-++的开口向下，对称轴为直线1x =，而1(2,)A y -离直线1x =的距离最远，2(1,)B y 在直线1x =上， 132y y y ∴<<．故答案为132y y y <<．15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆的顶点B 在x 轴正半轴上，AO AB =，P ，Q 分别是OA ，AB 的中点，函数(0,0)ky k x x=>>的图象过点P ，若3OPQ S ∆=，则k 的值为 3 ．【解答】解：作AD x ⊥轴于D ，PE x ⊥轴于E ， AO AB =， OD BD ∴=，P ，Q 分别是OA ，AB 的中点，2AOB AOQ S S ∆∆∴=，26AOQ POQ S S ∆∆==， 12AOB S ∆∴=，162AOD AOB S S ∆∆∴==，//PE AD ， POE AOD ∴∆∆∽，∴21()4POEAODS OPS OA∆∆==，1342POE AODS S∆∆∴==，函数(0,0)ky k xx=>>的图象过点P，1||2POES k∆∴=，||3k∴=，k>，3k∴=，故答案为3．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，4BC=，BDC∠的平分线交BC于点P，作点P关于BD 的对称点P'，若点P'落在矩形ABCD的边上，则AB的长为43．【解答】解：四边形ABCD是矩形，90ADC A∴∠=∠=︒，4AD BC==，PD平分BDC∠，CDP BDP∴∠=∠，作点P关于BD的对称点P'，若点P'落在矩形ABCD的边上，ADB BDP∴∠=∠，190303ADB BDP CDP ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，2BD AB ∴=， 222BD AB AD -=，222(2)4AB AB ∴-=，AB ∴=，三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算：（1-； （2）解方程：267x x -=．【解答】解：（1）原式=+=； （2）267x x -=， 2670x x ∴--=， (7)(1)0x x ∴-+=，则10x +=或70x -=， 解得11x =-，27x =．18．（8分）甲、乙两位同学5次数学成绩的统计如表所示，他们的5次总成绩相同，现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表．请同学们完成下列问题： （1）a = 40 ，x =乙 ；（2）2360S =甲，请计算出乙同学5次成绩的方差，并从平均数和方差的角度分析，谁将被选中？【解答】解：（1）他们的5次总成绩相同， 904070406070507070a ∴++++=++++，解得40a =， ()17050704070605x =++++=乙， 故答案为：40；60；（2）甲、乙两位同学5次总成绩相同，∴他们的平均数相同．(2222221[(7060)(5060)(7060)(4060)7060)1605S ⎤=-+-+-+-+-=⎦乙， 而2360S =甲， 22S S ∴<乙甲，∴乙的成绩稳定，所以乙将被选中．19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A 和(2,1)B -． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【解答】解：（1）把点(1,0)A 和(2,1)B -代入23y ax bx =++中， 得：031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）2243(2)1y x x x =-+=--，∴该抛物线的顶点为(2,1)-，对称轴为直线2x =．20．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=． （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围． 【解答】（1）证明：在方程2(3)220x k x k -+++=中，△222[(3)]41(22)21(1)0k k k k k =-+-⨯⨯+=-+=-，∴方程总有两个实数根．（2）解：2(3)22(2)(1)0x k x k x x k -+++=---=，12x ∴=，21x k =+．方程有一根小于1， 11k ∴+<，解得：0k <， k ∴的取值范围为0k <．21．（10分）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若4CE =，120BCF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．【解答】（1）证明：D 、E 分别是AB 、AC 的中点，//DE BC ∴且2DE BC =，又2BE DE =，EF BE =， EF BC ∴=，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又BE FE =，∴四边形BCFE 是菱形；（2）解：120BCF ∠=︒， 60EBC ∴∠=︒， EBC ∴∆是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为∴菱形的面积为4⨯=．22．（12分）已知反比例函数1ky x=的图象经过(3,2)，(,)m n 两点． （1）求1y 的函数表达式；（2）当1m <时，求n 的取值范围；（3）设一次函数232(0)y ax a a =-+>，当0x >时，比较1y 与2y 的大小． 【解答】解：（1）反比例函数1ky x=的图象经过(3,2)， 326k ∴=⨯=， 1y ∴的函数表达式为16y x=； （2）把1x =代入6y x=得，6y =， 60k =>，∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，1m <， 6n ∴>或0n <；（3）由232(3)2y ax a a x =-+=-+可知，直线经过点(3,2)， 反比例函数1ky x=的图象经过(3,2)， ∴当0x >，两函数图象的交点为(3,2)，0a >，2y ∴随x 的增大而增大，∴当03x <<时，12y y >，当3x =时，12y y =， 当3x >时，12y y <．23．（12分）我们把有一组对角都是直角的四边形，叫做“对直四边形”．例如图1，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，那么四边形ABCD 就是对直四边形．（1）在已经学过的“①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是对直四边形是 ③④ ；（填序号）（2）如图2，四边形ABCD 是对直四边形，若90D ∠=，5AD =，BC x =，1AB x =+，2CD x =+，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F ，H 分别从点C ，C ，D 同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边CB ，CD ，DA 方向运动（保持)DH AD <，再分别过点E ，F 作BC ，CD 的垂线交于点G ，连结HG ，BG ．求证：四边形ABGH 为对直四边形．【解答】（1）解：矩形的四个角都是直角，∴矩形符合“对直四边形”的定义， ∴矩形是“对直四边形”；正方形的四个角都是直角，∴正方形符合“对直四边形”的定义， ∴正方形是“对直四边形”；平行四边形和菱形的对角不一定是直角，∴平行四边形和菱形不符合“对直四边形”的定义， ∴平行四边形和菱形不一定是“对直四边形”．故答案为：③④．（2）解：如图2，连接AC ．四边形ABCD 是对直四边形，且90D ∠=︒， 90B D ∴∠=∠=︒．22222AC AB BC AD CD ∴=+=+，2222(1)(2)x x x ∴++=++，整理得2280x x --=， 解得4x =或2(2--舍弃）， 5AB ∴=，4BC =，6CD =，1111546102222ABCD S AB CB AD CD ∴=⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯+=+四边形．（3）证明：如图3，延长EG 交AD 于点Q ． 由题意得12CE CF DH ==． 四边形ABCD 是正方形， 90C D ∴∠=∠=︒； FG CD ⊥，EG BC ⊥， 90CFG CEG DFG ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEGF 是正方形，90EGF ∴∠=︒，90FGQ ∴∠=︒，∴四边形FGQD 是矩形，12EG CE FG DQ DH ∴====， 12QH DH EG ∴==； BC CD =，CE CF =，GQ DF BE ∴==； 90BEG GQH ∠=∠=︒， ()BEG GQH SAS ∴∆≅∆， BGE GHQ ∴∠=∠，90BGE QGH GHQ QGH ∴∠+∠=∠+∠=︒， 1809090BGH ∴∠=︒-︒=︒， 90A ∠=︒，∴四边形ABGH 为对直四边形．。
浙江省杭州育才中学2020—2021学年九年级数学 第一学期期末模拟检测题(一)含详细解答
杭州育才中学2020—2021学年九年级数学第一学期期末模拟检测题（一）(考试时间：120分钟满分：120分)姓名：________ 班级：________ 分数：________第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．（2020·杭州育才期末）用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( ) A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7 C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7 2．（2020·杭州育才期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D3．（2020·杭州育才期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( )A．20% B．40% C．18% D．36%4．（2020·杭州育才期末）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是( )A．20°B．70°C．30°D．90°5．（2020·杭州育才期末）把函数y＝－12x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象( )A．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度6．（2020·杭州育才期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )A．48πB．45πC．36πD．32π7．（2020·杭州育才期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为( )A．(4，2) B．(3，1) C．(2，4) D．(4，3)8．（2020·杭州育才期末）欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.13B.14C.1πD.14π9．（2020·杭州育才期末）若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(2，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y110．（2020·杭州育才期末）★如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(－2，0)，对称轴为x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．（2020·杭州育才期末）成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是．12．（2020·杭州育才期末）若代数式x2＋5x＋6与－x＋1的值相等，则x的值为．13．（2020·杭州育才期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续小时水位才能到拱桥顶．14．（2020·杭州育才期末）若关于x的一元二次方程ax2－8x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．15．（2020·杭州育才期末）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．（第15题图）（第16题图）16．（2020·杭州育才期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．17．（2020·杭州育才期末）★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AB 的中点，以D为顶点的角绕D旋转分别交AC于点M，N，若∠MDN＝∠A，则当DM＝DN 时，MN的长为．（第17题图）（第18题图）18．（2020·杭州育才期末）如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A，B在x轴上，且OA＝OB，点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．三、解答题(共66分)19．（2020·杭州育才期末）(8分)解方程：(1)3x2－5x－2＝0；(2)(x－2)(x＋3)＝－6.20．（2020·杭州育才期末）(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程的两个根分别为x1，x2，且满足x21＋x22＝31＋x1x2，求实数m的值．21.（2020·杭州育才期末）(10分)随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．(1)求本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图；(2)估计该校1 200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少；(3)被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．22．（2020·杭州育才期末）(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE.(1)求证：DE∥BC；(2)若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．23．（2020·杭州育才期末）(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，D.过点D作⊙O的切线，交AC于点H.(1)求证：DH⊥AC；(2)①若AB＝10，BC＝12，求AH的长；②当∠BAC＝________时，四边形ODEA是平行四边形．24．（2020·杭州育才期末）(10分)攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量(千克)与该天的售价(元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．销售量(千克) …32.5 35 35.5 38 …售价(元/千克) …27.5 25 24.5 22 …(1)某天这种芒果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；(2)设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？25．（2020·杭州育才期末）(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，C，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图②，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN＋MN＋12MB的最小值以及此时点M，N的坐标，直接写出结果不必说明理由．参考答案第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．（2020·杭州育才期末）用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( D) A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7 C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7 2．（2020·杭州育才期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D)A B C D3．（2020·杭州育才期末）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( A)A．20% B．40% C．18% D．36%4．（2020·杭州育才期末）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是( A)A．20°B．70°C．30°D．90°5．（2020·杭州育才期末）把函数y＝－12x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象( C)A．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度6．（2020·杭州育才期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( A)A．48πB．45πC．36πD．32π7．（2020·杭州育才期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为( A)A．(4，2) B．(3，1) C．(2，4) D．(4，3)8．（2020·杭州育才期末）欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( D)A.13B.14C.1πD.14π9．（2020·杭州育才期末）若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(2，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( D)A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y110．（2020·杭州育才期末）★如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(－2，0)，对称轴为x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有( A)A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．（2020·杭州育才期末）成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是__瓮中捉鳖__．12．（2020·杭州育才期末）若代数式x2＋5x＋6与－x＋1的值相等，则x的值为__－1和－5__．13．（2020·杭州育才期末）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续__5__小时水位才能到拱桥顶．14．（2020·杭州育才期末）若关于x的一元二次方程ax2－8x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__a＜4且a≠0__．15．（2020·杭州育才期末）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示周长是__42π__．的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的（第15题图）（第16题图）16．（2020·杭州育才期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为__10__平方米．17．（2020·杭州育才期末）★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AB 的中点，以D为顶点的角绕D旋转分别交AC于点M，N，若∠MDN＝∠A，则当DM＝DN 时，MN的长为__2__．（第17题图） （第18题图）19．（2020·杭州育才期末）如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C 为圆心的圆与y 轴相切，点A ，B 在x 轴上，且OA ＝OB ，点P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长度的最大值为__16__．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案DDAACAADDA二、填空题(每小题3分，共24分)得分：________ 11.__瓮中捉鳖__ 12.__－1和－5__ 13.__5__ 14.__a ＜4且a ≠0__ 15．__42π__ 16.__10__17.__2__ 18.__16__三、解答题(共66分)19．（2020·杭州育才期末）(8分)解方程： (1)3x 2－5x －2＝0； 解：x 2－53x －23＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －562＝4936， x －56＝±76，x 1＝2，x 2＝－13.(2)(x －2)(x ＋3)＝－6. 解：x 2＋x －6＝－6， x 2＋x ＝0，x(x ＋1)＝0， x 1＝0，x 2＝－1.20．（2020·杭州育才期末）(8分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋3)x ＋m 2＋2＝0. (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 21＋x 22＝31＋x 1x 2，求实数m 的值．解：(1)∵方程x 2－(2m ＋3)x ＋m 2＋2＝0有实数根， ∴Δ＝[－(2m ＋3)]2－4(m 2＋2)＝12m ＋1≥0，解得m ≥－112.(2)∵方程x 2－(2m ＋3)x ＋m 2＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2m ＋3，x 1·x 2＝m 2＋2.∵x 21＋x 22＝31＋x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝31＋x 1x 2，即m 2＋12m －28＝0， 解得m 1＝2，m 2＝－14(舍去)， ∴实数m 的值为2.21.（2020·杭州育才期末）(10分)随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．(1)求本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图；(2)估计该校1 200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少；(3)被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 解：(1)本次被调查的学生有12÷24%＝50(人)， 则“非常了解”的人数为50×10%＝5(人)， “了解较少”的人数为50×36%＝18(人)， “不了解”的人数为50－(5＋12＋18)＝15(人)， 补全图形如图．(2)估计该校1 200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是 1 200×5＋1250＝408(人)．(3)画树状图为：共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种结果，所以恰好抽到一男一女的概率为1220＝35.22．（2020·杭州育才期末）(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE.(1)求证：DE∥BC；(2)若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°.∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE.∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝60°＝∠ACB，∴DE∥BC.(2)解：∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE.∴AE＝BD＝7.∵△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋DC＋AD＝AE＋AC，∴△ADE的周长＝7＋8＝15.23．（2020·杭州育才期末）(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，D.过点D作⊙O的切线，交AC于点H.(1)求证：DH⊥AC；(2)①若AB＝10，BC＝12，求AH的长；②当∠BAC＝________时，四边形ODEA是平行四边形．(1)证明：如图，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴BD＝DC.又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DH是⊙O的切线，∴OD⊥DH，∴DH⊥AC.(2)解：①由题易知，∠ADB＝90°，AB＝AC＝10，BD＝DC＝6，∴AD＝AB2－BD2＝8，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，DH⊥AC，∴∠DAC＋∠C＝∠DAC＋∠ADH，∴∠ADH＝∠C，∴AH AD＝sin ∠ADH ＝sin C ＝AD AC，∴AH ＝AD 2AC＝325.②60°24．（2020·杭州育才期末）(10分)攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量(千克)与该天的售价(元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．(1)某天这种芒果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；(2)设某天销售这种芒果获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？ 解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝35，22k ＋b ＝38，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝60. ∴y ＝－x ＋60(15≤x ≤40)， ∴当x ＝28时，y ＝32，∴当芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克． (2)由题意知m ＝y(x －10)＝(－x ＋60)(x －10)＝－x 2＋70x －600， 当m ＝400时，则－x 2＋70x －600＝400， 整理得x 2－70x ＋1 000＝0，解得x 1＝20，x 2＝50.∵15≤x≤40，∴x＝20.∴这天芒果的售价为20元．25．（2020·杭州育才期末）(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，C，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图②，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN＋MN＋12MB的最小值以及此时点M，N的坐标，直接写出结果不必说明理由．解：(1)抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点C，则c＝3.将点A的坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋3，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)存在．令y＝0，则x＝－1或3，故点B(3，0)，由点B，C的坐标求得直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点D(x，－x2＋2x＋3)，则点P(x，－x＋3)，则PD＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x，当x＝32时，PD的最大值为94.(3)过点B作倾斜角为30°的直线BH，交y轴于点P，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M，N为所求．在Rt△OBP中，∠OBP＝30°，∴BP＝2OP.由勾股定理求得OP＝3，CP＝3＋ 3.在Rt△CPH中，∠PCH＝30°，∴PH＝12 PC，由勾股定理求得CH＝32PC＝33＋32，∴CN＋MN＋12MB的最小值＝CM＋MH＝CH＝3＋332.∵∠OCH＝30°，∠COB＝90°，∴CM＝2OM，由勾股定理求得OM＝3，M(3，0)，∴MB＝3－ 3.∵OF＝1，∴FB＝OB－OF＝2，∴FM＝FB－MB＝3－1.∵EF∥CD，∴∠FNM＝∠OCH＝30°，∴NM＝2FM＝23－2，由勾股定理求得FN＝3－3，∴N(1，3－3)．。
2024年浙江省杭州市滨江区部分学校数学九上开学考试模拟试题【含答案】
2024年浙江省杭州市滨江区部分学校数学九上开学考试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题是真命题的是（）A ．平行四边形的对角线相等B ．经过旋转，对应线段平行且相等C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两边相等的两个直角三角形全等2、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝14，BD ＝8，则△BOC 的周长是()A ．21B ．22C ．25D ．323、（4分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点5m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为60°若测角仪的高度是1.6m ，则旗杆AB 的高度约为（）（精确到0.1m . 1.73 ）学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．8.6mB ．8.7mC ．10.2mD ．10.3m 4、（4分）下列二次根式计算正确的是（）A ．－＝1B ．＋＝C ．×＝D ．÷＝5、（4分）等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（）A ．13B ．8C ．234D ．1196、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，9AB cm =，11AD cm =，AC ，BD 相交于点O ，OE BD ⊥，交AD 于点E ，则ABE 的周长为()A ．20cm B ．18cm C ．16cm D ．10cm 7、（4分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟.在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙用16分钟追上甲；③乙走完全程用了30分钟；④乙到达终点时甲离终点还有360米.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、（4分）莒南县欲从某师范院校招聘一名“特岗教师”，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：候选人甲乙丙丁测试成绩面试86919083笔试90838392根据录用程序，作为人民教师面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩，你认为将录取（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，折痕为PQ ，则PQ 的长__________．10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，将纸片沿过点C 的直线翻折，使点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若OC =9，35OC BC =，则折痕CD 所在直线的解析式为____．11、（4分）分解因式：﹣2x 2y+16xy ﹣32y=．12、（4分）分解因式：2x 2﹣8=_____________13、（4分）一元二次方程26x =的解为______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简再求值：22622193m m m m m -+-+÷-+，其中m 是不等式()()253312m m m +≥--的一个负整数解．15、（8分）(1)用“＜”“＞”或“＝”填空：51+31______1×5×3；31+11______1×3×1．(﹣3)1+11_____1×(﹣3)×1；(﹣4)1+(﹣4)1______1×(﹣4)×(﹣4).(1)观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母a ，b 的式子表示上述规律吗？再换几个数试一试．(3)运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性．16、（8分）解不等式组1123(1)213x x x -⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩，把解集表示在数轴上并写出该不等式组的所有整数解．17、（10分）如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于A 点，与x 轴交于B 点，且点A 的纵坐标为4，6OB =．（1）求一次函数的解析式；（2）将正比例函数2y x =-的图象向下平移3个单位与直线AB 交于C 点，求点C 的坐标．18、（10分）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程=1的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于x 的分式方程，得x=a+1．由题意可得a+1＞0，所以a ＞﹣1，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠1，即a+1≠1才行．（1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x 的方程的解为非负数，求m 的取值范围．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）正方形111A B C O，2221A B C C，3332A B C C⋯按如图所示放置，点1A、2A、3A⋯在直线y x1=+上，点1C、2C、3C⋯在x轴上，则2019A的坐标是________．20、（4分）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于y ax by kx=+⎧=⎨⎩的二元一次方程组的解是______．21、（4分）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打___________折销售22、（4分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，四边形EGCG是矩形，若正方形ABCD的周长为a，则矩形EFCG的周长为_______________．23、（4分）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE CF=，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF.下列结论：AE BF=①；AE BF ⊥②；2CE CF BD 2+=③；ABCD OECF 1S S 4=正方形四边形④，其中正确的序数是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，四边形ABCD,AB//DC,∠B=55︒,∠1=85︒,∠2=40︒(1)求∠D 的度数：(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形25、（10分）某公司销售员的奖励工资由两部分组成：基本工资，每人每月2400元；奖励工资，每销售一件产品，奖励10元.（1）设某销售员月销售产品x 件，他应得的工资为y 元，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若该销售员某月工资为3600元，他这个月销价了多少件产品？（3）要使月工资超过4200元，该月的销售量应当超过多少件？26、（12分）已知，如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，EF ∥AC 交BC 于F ，请判断BE 与FC 的数量关系，并说明理由。
2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．小明买彩票中奖B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下D．任选三角形的两边，其差小于第三边2．（3分）下列各式中正确的是（）A．tan45°＝B．cos45°＝1C．sin30°＝D．tan60°＝3．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50°B．60°C．100°D．120°4．（3分）下列关于相似三角形的说法，正确的是（）A．等腰三角形都相似B．直角三角形都相似C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似5．（3分）已知二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，则这个函数图象必过点（）A．（﹣1，4）B．（0，3）C．（2，4）D．（3，4）6．（3分）如图，在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比为（）A．1：B．1：2C．2：3D．：7．（3分）下列函数图象经过变换后，过原点的是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2向右平移3个单位B．y＝（x﹣1）2﹣2向左平移3个单位C．y＝2（x+1）2﹣1向上平移1个单位D．y＝2（x+1）2﹣1关于x轴作轴对称变换8．（3分）如图，点C、D、E、F、G均在以AB为直径的⊙O上，其中∠AGC＝20°，∠BFE＝10°，则∠CDE＝（）A．115°B．120°C．135°D．150°9．（3分）已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（）A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n 10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点E，若AD的长与⊙O的半径相等，则下列等式正确的是（）A．2BC2＝AB2+CD2B．3BC2＝2AB2+2CD2C．4BC2＝3AB2+3CD2D．5BC2＝4AB2+4CD2二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地墳写答案．11．（4分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，CE＝6，＝，则ED＝．12．（4分）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖券获奖可能性相同，则抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是．13．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣0.5，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则将y1，y2，y3按从小到大排列为．14．（4分）如图，已知等边△ABC以C为旋转中心，按逆时针方向旋转α°（0＜α＜180°），得到△DEC，若CD⊥AB，等边三角形边长为1，则点A的运动路径长为．15．（4分）已知在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则sin A＝．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为；AF的长为．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）已知半径为6的扇形面积为12π，求此扇形圆心角的角度．18．（8分）已知有一个30度的角，两个45度的角，一个60度的角．（1）从中任取两个角，请用树状图或列表求出两个角恰好互余的概率；（2）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A是上面四个角中的一个，求边AB 的长．19．（8分）已知△ABC中，∠C＝90°．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．20．（10分）一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．（1）求铅球所经过路线的函数表达式；（2）求出铅球的落地点离运动员有多远．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连接AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．22．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）．（1）已知函数过点（2，3），求出b和c满足的关系式；（2）若c＝1﹣b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现x＝4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式．23．（12分）如图1，△ABC是边长为2的等边三角形，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB＝1．M为线段AB上的动点（且不与A、B重合），过M作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．（1）当MN为1+时，请直接写出矩形MNPQ的面积；（2）设MN＝x，矩形MNPQ的面积为y，①试求出y关于x的函数表达式；②矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．（3）如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．2020-2021学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此进行判断即可．【解答】解：A．小明买彩票中奖，是随机事件，不合题意；B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球，是不可能事件，不合题意；C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不合题意；D．任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：A、tan45°＝1，故本选项错误，不符合题意；B、cos45°＝，故本选项错误，不符合题意；C、sin30°＝，故本选项正确，符合题意；D、tan60°＝，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：等腰三角形不一定都相似，如∠A＝∠B＝30°的△ABC和∠D＝∠E＝60°的△DEF，它们不相似，故选项A错误；直角三角形不一定相似，如∠A＝60°，∠B＝30°的Rt△ABC和∠D＝40°，∠E＝50°的Rt△DEF，它们不相似，故选项B错误；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的相似解答．5．【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，∴点P关于对称轴的对称点为（3，4），∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，∴这个函数图象必过点（3，4），故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性．6．【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，＝2S△ADE，∴S△ABC∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．7．【分析】先求得变换后的解析式，然后将（0，0）代入各选项进行判断即可．【解答】解：A、y＝（x﹣1）2﹣2向右平移3个单位得到y＝（x﹣4）2﹣2当x＝0时，y＝6，不经过原点，故本选项不合题意；B、y＝（x﹣1）2﹣2向左平移3个单位得到y＝（x+2）2﹣2，当x＝0时，y＝0，经过原点，故本选项符合题意；C、y＝2（x+1）2﹣1向上平移1个单位得到y＝2（x+1）2，当x＝0时，y＝2，不经过原点，故本选项不合题意；D、y＝2（x+1）2﹣1关于x轴作轴对称变换得到y＝﹣2（x+1）2+1，当x＝0时，y＝﹣1，不经过原点，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得变换后的函数解析式是解题的关键．8．【分析】连接GB、GE，如图，根据圆周角定理得到∠AGB＝90°，∠BGE＝∠BFE＝10°，则∠CGE＝60°，然后根据圆内接四边形的性质求∠D的度数．【解答】解：连接GB、GE，如图，∵AB为直径，∴∠AGB＝90°，∵∠AGC＝20°，∠BGE＝∠BFE＝10°，∴∠CGE＝∠AGB﹣∠AGC﹣∠BGE＝90°﹣20°﹣10°＝60°，∵四边形DCGE为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠CGE＝180°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．【分析】将点M，N的坐标代入解析式，分三种情况讨论，即可求解．【解答】解：∵M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，∴m＝b2﹣b2+c＝c，n＝（b+1）2﹣b（b+1）+c＝b+1+c，当b+1＞0时，则b+1+c＞c，即b＞﹣1时，n＜m，当b+1＝0时，则b+1+c＝c，即b＝﹣1时，n＝m，当b+1＜0时，则b+1+c＜c，即b＜﹣1时，n＞m，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是本题的关键．10．【分析】连接OA、OD，如图，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD＝60°，再利用圆周角定理∠ABD＝∠ACD＝30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE ＝AB，CE＝CD，然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2＝BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．【解答】解：连接OA、OD，如图，∵OA＝OD＝AD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，在Rt△AEB中，∵∠ABE＝30°，∴AE＝AB，∴BE＝AE＝AB，同理可得CE＝CD，在Rt△BCE中，∵BC2＝BE2+CE2，∴BC2＝AB2+CD2，∴4BC2＝3AB2+3CD2．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地墳写答案．11．【分析】通过证明△ADE∽△BCE，可得，即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴，又∵CE＝6，＝，∴，∴DE＝8，故答案为8．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．12．【分析】用特等奖、一等奖的数量除以奖券的总张数即可．【解答】解：∵有100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，∴抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13．【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵（﹣3，y1），（﹣0.5，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y1），∵﹣1＜﹣0.5＜1＜2，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．14．【分析】由旋转的性质可得AC＝CD＝1，由等边三角形的性质可得∠ACD＝30°，由弧长公式可求解．【解答】解：∵等边△ABC以C为旋转中心，∴AC＝CD＝1，∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴点A的运动路径长＝＝π，故答案为．【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，旋转的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．【分析】分AC为斜边、AC为直角边两种情况，根据正弦的定义解答．【解答】解：当AC是斜边时，sin A＝＝，当AC为直角边时，斜边AB＝＝＝5，sin A＝＝，故答案为：或．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．16．【分析】（1）证明△AFE∽△AEC，可得结论．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝．【解答】解：根据扇形的面积公式，得n＝＝＝120°．【点评】此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式．18．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到两个角恰好互余的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）分∠A＝30°、45°、60°三种情况，根据AB＝分别计算即可．【解答】解：（1）列表如下：30°45°45°60°30°75°75°90°45°75°90°105°45°75°90°105°60°90°105°105°由表知，共有12种等可能结果，其中两个角恰好互余的有4种结果，∴两个角恰好互余的概率为＝；（2）若∠A＝30°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝2BC＝4；若∠A＝45°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝＝＝2；若∠A＝60°，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∴AB＝＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形及列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．19．【分析】过点C作CD⊥AB于D，则△CDA∽△BDC．【解答】解：如图，直线CD即为所求作．理由：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△CDA∽△BDC．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，相似三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，用待定系数法求解即可；（2）令y＝0得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标为（4，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把（0，）代入得，＝a（0﹣4）2+3，解得：a＝﹣，∴铅球所经过路线的函数表达式为；（2）∵，令y＝0得，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝10，∴铅球的落地点离运动员有10m远．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法与二次函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）首先证明BE⊥AC，AD⊥BC，再证明OD∥AC，可得结论．（2）由题意AE＝DF，利用三角形中位线定理证明OF＝AE＝DF，根据OD＝1，求出DF即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）将点（2，3）代入函数解析式，即可求解；（2）由c＝1﹣b得到y＝﹣x2+bx﹣b+1，则△＝b2+4（﹣b+1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0，即可求解；（3）依据函数的性质逐个分析求解即可．【解答】解：（1）将点（2，3）代入解析式，得﹣22+2b+c＝3，则c＝7﹣2b；（2）∵c＝1﹣b，∴y＝﹣x2+bx﹣b+1，则△＝b2+4（﹣b+1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0，∴不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；（3），若甲正确，则c＝5；若乙正确，则，即b2+4c＝36；若丙正确，则，即b＝4；若丁正确，则﹣42+4b+c＝0，即c＝16﹣4b；假设甲和丙结论正确，则b2+4c＝42+4×5＝36，即乙结论也正确；此时，c＝16﹣4b不成立，即丁结论错误；依题意，假设成立，∴y＝﹣x2+4x+5，综上所述，丁结论错误，函数解析式为y＝﹣x2+4x+5．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了根的判别式的运用、二次函数的图象的性质等，具有一定的综合性，难度适中．23．【分析】（1）由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求NP，即可求解；（2）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质可求NP，由矩形的面积公式可求y关于x的函数表达式，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图1，延长AB、AC与DE所在直线分别交于点G、H，（1）∵MQ∥BC，BC∥DE，∴MQ∥BC∥DE，∴∠ABC＝∠G＝60°，∠ACB＝∠H＝60°，∴△AMQ是等边三角形，同理可得：△AGH均为等边三角形，∵BD＝1，∠G＝60°，∴DG＝，GB＝2DG＝，∴AG＝GH＝2+，∵，∠G＝60°＝∠H，∴GN＝PH＝，∴NP＝GH﹣GN﹣PH＝1，∴矩形MNPQ的面积为；（2）同理可求，，，则（1＜x＜+1），∴当时，矩形MNPQ的面积y有最大值；（3）如图2，延长AB、AC与DE所在直线分别交于点G、H，∵NF∥AB，∴∠HFN＝∠A＝60°，∠FNH＝∠G＝60°，∴∠MNF＝30°，△FNH是等边三角形，由（2）可知：，，∵△MNF为直角三角形，①若∠MFN＝90°，则，即，解得；②若∠NMF＝90°，则，即，解得，综上所述，满足条件的MN长度为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。
2025届浙江杭州拱墅区锦绣育才九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】
2025届浙江杭州拱墅区锦绣育才九年级数学第一学期开学质量检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]1.21=，[]33=，[]2.53-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是（）A ．56B ．51C ．45D ．402、（4分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A ．4，5，6B ．1，1，C ．6，8，11D ．5，12，233、（4分）如图,E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点,BE=BC,P 为CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点Q,PR ⊥BE 于R,则PQ+PR 的值为()A ．2B C ．2D ．124、（4分）a a 的取值范围是（）A ．﹣3≤a≤0B ．a≤0C ．a ＜0D ．a≥﹣35、（4分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点,M N 同时从点A 出发，分别沿A B C --及A D C --方向匀速运动，速度均为每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，连接MN .设运动时间为t 秒，MN 的长为d ，则下列图象能大致反映d 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．6、（4分）将一个n 边形变成（n+2）边形，内角和将（）A ．减少180B ．增加180°C ．减少360°D ．增加360°7、（4分）八年级（6）班一同学感冒发烧住院洽疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h 的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（）A ．列表法B ．图象法C ．解析式法D ．以上三种方法均可8、（4分）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是()A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一次函数26y x =-的图象与x 轴交于点________；与y 轴交于点______．10、（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，△ABC 的周长为2+，其中斜边的长为2，则这个三角形的面积为_____________。