高中数学专题：概率的两类模型

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如图，原点O表示7：30，在平面直角 坐标系中画出小王和小张到校的时间 构成的平面区域(图中正方形区域)， 该正方形区域的面积为400， 小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为 12×15×15＝2225，
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从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数， 即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种， 即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4). 所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1＝165＝25.
②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生. 解 从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是 女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，共8种.
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其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种， 故所求概率为346＝19. 答案 B
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8.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆
225 故所求概率 P＝4200＝392.
答案
9 32
解析 由题意，关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0对应的 一元二次函数f(x)＝x2－2x＋b－a＋3满足f(0)>0，f(1)<0，
b－a＋3>0， 即b－a＋2<0， 建立平面直角坐标系如图.
满足题意的区域为图中阴影部分， 3
故所求概率 P＝126＝332. 答案 A
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3.(福建)如图，矩形ABCD中，点A在x
轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点 x＋1，x≥0，
D在函数f(x)＝－12x＋1，x＜0 的图象上.若在矩形ABCD内随 机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
1
1
3
1
A.6
B.4
的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大
于1的概率为( )
1
2
3
1
A.3
B.3
C.4
D.4
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解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何 概型， 则 P1＝VV半 圆球 柱＝π2×3π× 12×132＝13， 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P2＝1－13＝23. 答案 B
5
10
11
A.21
B.21
C.21
D.1
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解析 从袋中任取 2 个球共有 C215＝105 种取法， 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C15＝50 种取法， 所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为15005＝1201. 答案 B
＝ʃ 1－12x2dx＝32x3|1－1＝23－(－23)＝43，
阴影部分面积为 2×2－43＝83，
8
所以所求概率为34＝23.
答案
2 3
(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到 阴影部分的概率为______.
解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 故阴影部分面积为 S＝2ʃ 10(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2[e－e－ (0－1)]＝2.
变式训练1 (课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中
任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活
动的概率为( ) D
1
3
5
7
A.8
B.8
C.8
D.8
解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公
益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各
有1种， ∴所求概率为 1－1＋ 161＝87.
变式训练2 (1)(辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1， －1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上， 如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点 落在图中阴影区域的概率是________.
解析 正方形内空白部分面积为 ʃ 1－1[x2－(－x2)]dx
log
1 2
(
x
1 2
)
≤1，得21≤x＋21≤2，
∴0≤x≤32.
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∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P＝322－ －00＝34. 答案 A
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2.(广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1 个白球，1个红球的概率为( )
题型二 几何概型问题
例2 (1)设不等式组 00≤≤xy≤≤22，表示的平面区域为D，在区
域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概
率是( )
π
π－2
π
4－π
A.4
B. 2
C.6
D. 4
解析 如图所示， 正方形OABC及其内部为不等式组表示的区 域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示 的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域. 易知该阴影部分的面积为4－π.
的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，
则质点落在以AB为直径的半圆内的概率
是( )
π
π
π
π
A.2
B.4
C.6
D.8
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解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A， 则 P(A)＝长阴方影形面面积积＝121π×·122＝π4. 答案 B
所以概率为110.故选 C. 答案 C
(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生， 现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的 概率： ①选取的2位学生都是男生； 解 设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6. 从 6 位 学 生 中 任 取 2 位 学 生 的 所 有 可 能 结 果 为 (1,2) ， (1,3) ， (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.
4－π 因此满足条件的概率是 4 ，所以选 D. 答案 D
(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串
彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一
时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么
这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超
过2秒的概率是( )
1
1
3
7
A.4
B.2
C.4
D.8
解析 如图所示， 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙 串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相 互独立，由题意可知
0≤x≤4，
0≤y≤4， |x－y|≤2，
所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的
概率为 P(|x－y|≤2)＝S正方形S－正方2形S△ABC＝4×4－24××124×2×2＝1126＝43. 答案 C
常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
题型一 古典概型问题 题型二 几何概型问题
题型一 古典概型问题
例1 (1)(课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形
三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中
任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
()
3 A.10
1
1
1
7.(江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于
() 1
A.18
1
1
B.9
C.6
1 D.12
பைடு நூலகம்
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解析 掷两颗骰子，点数有以下情况： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，
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5.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的 数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数 相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整 除的概率是( A )
16 A.49
15
2
13
B.49
C.7
又该正方形面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为e22.
答案
2 e2
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1.(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件“－1
≤log12x＋12≤1”发生的概率为(
)
3
2
1
1
A.4
B.3
C.3
D.4
解析
由－1≤
点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的 试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果， 每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示， 而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的 问题即可利用几何概型来解决.
(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积 或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线 性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式) 组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所 表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区 域的位置和形状无关.
B.5
C.10
D.20
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结 果 ： (1,2,3) ， (1,2,4) ， (1,2,5) ， (1,3,4) ， (1,3,5) ， (1,4,5) ， (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，
专题8 概率与统计
第38练 概率的两类模型
题型分析·高考展望
概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在 高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是 以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的 概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇， 题目多以选择题或填空题的形式出现.
C.8
D.2
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解析 由图形知C(1,2)，D(－2,2)，
∴S 四边形 ABCD＝6，S 阴＝12×3×1＝32. 3
∴P＝26＝14. 答案 B
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4.(辽宁)若将一个质点随机投入如图所示
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9.(重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王 在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时 刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率 为________.(用数字作答) 解析 设小王到校时间为x，小张到校时间为y， 则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.
所以选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生的概率为 P2＝185.
点评 求解古典概型问题的三个步骤 (1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A. (2)分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件 的个数m. (3)利用古典概型的概率公式P(A)＝mn 求出事件A的概率.若直 接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先 求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
D.49
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0≤a≤4， 6.已知实数a，b满足0≤b≤4，x1，x2是关于x的方程x2－ 2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0<x1<1<x2成立的 概率是( )
3
3
5
9
A32
B.16
C.32
D.16
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