高中数学专题：概率的两类模型
概率与统计的数学模型
概率与统计的数学模型概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活中都起着至关重要的作用。
概率是研究随机现象发生的规律性，而统计是用数据推断总体特征的方法。
它们的数学模型在研究和应用中具有广泛的应用和意义。
一、概率的数学模型概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。
1. 概率空间概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。
概率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。
概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。
2. 概率分布概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。
随机变量是样本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。
例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。
连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。
例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。
二、统计的数学模型统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。
1. 样本样本是指从总体中获取的部分观察结果。
样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。
样本是统计推断的基础。
2. 总体总体是指研究对象的整体集合。
总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。
总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。
统计的数学模型主要是通过样本推断总体的特征。
统计推断包括点估计和区间估计两个方面。
点估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计等。
区间估计是利用样本数据给出总体参数的区间范围，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间等。
概率模型知识点总结
概率模型知识点总结概率模型是一种用来描述随机现象的模型，通常用来预测或计算某个事件发生的概率。
在统计学和机器学习领域，概率模型被广泛应用于数据分析、模式识别、预测和决策等领域。
本文将从概率基础、贝叶斯网络、隐马尔可夫模型等方面对概率模型进行详细介绍和总结。
一、概率基础1. 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数学概念。
在统计学中，概率通常用P(A)来表示，表示事件A发生的可能性。
概率的范围是0≤P(A)≤1，即事件发生的概率介于0和1之间。
2. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 贝叶斯定理贝叶斯定理是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
4. 随机变量随机变量是指在试验中可能出现并且有可能取得不同值的量。
随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
5. 概率分布概率分布是描述随机变量取值概率的分布情况。
常见的概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。
二、贝叶斯网络1. 贝叶斯网络的概念贝叶斯网络是一种用图模型表示随机变量间依赖关系的概率模型。
贝叶斯网络由有向无环图(DAG)和条件概率分布组成。
2. 贝叶斯网络的表示贝叶斯网络由节点和有向边组成，节点表示随机变量，有向边表示变量之间的依赖关系。
每个节点都有一个条件概率分布，表示给定父节点的情况下，节点的取值概率。
3. 贝叶斯网络的推理贝叶斯网络可以用来进行概率推理，即在已知部分变量的情况下，推断其他变量的取值概率。
常见的推理方法包括变量消除、动态规划等。
4. 贝叶斯网络的应用贝叶斯网络被广泛应用于机器学习、模式识别、数据挖掘等领域，常见的应用包括故障诊断、风险评估、信息检索、智能决策等。
三、隐马尔可夫模型1. 隐马尔可夫模型的概念隐马尔可夫模型是一种用于建模时序数据的统计模型，它假设观察数据和状态之间存在概率关系。
数学中的概率模型分析
数学中的概率模型分析概率模型是数学中一种重要的工具，用于分析和解释随机事件的发生概率。
通过概率模型的建立和分析，我们能够更好地理解和预测不确定性事件的结果。
一、概率模型的基本概念和定义在进行概率模型分析之前，我们需要了解一些基本的概率模型的概念和定义。
概率模型由样本空间、随机事件和概率分布组成。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合，表示为Ω。
随机事件是样本空间的子集，表示为A。
概率分布则描述了每个随机事件发生的概率。
二、概率模型的常用分布在实际应用中，我们常用到几种常见的概率分布来描述随机事件的发生概率。
1.离散型概率分布离散型概率分布是一种描述离散型随机事件概率的分布。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布描述了n次独立重复实验中，成功事件发生k次的概率分布。
泊松分布则描述了在一段固定时间或区间内，事件发生的次数的概率分布。
2.连续型概率分布连续型概率分布是一种描述连续型随机事件概率的分布。
其中最常见的是正态分布。
正态分布是一种钟形对称分布，常用于描述大量独立随机变量的分布情况。
它在自然界和社会科学中广泛应用，例如描述身高、体重等连续性变量的分布情况。
三、概率模型在实际问题中的应用概率模型在各个领域都有着广泛的应用，下面我们以两个实际问题为例来说明概率模型在实际中的应用。
1.风险评估模型在金融领域，风险评估是一项重要的工作。
概率模型可以用于评估不同投资组合的风险。
通过建立概率模型，我们可以计算各个投资组合的预期收益和风险，并进行比较和选择。
2.生产质量控制模型在制造业中，保证产品质量是一项至关重要的任务。
概率模型可以用于分析和预测产品的质量状况。
通过建立概率模型，我们可以计算不同生产过程中出现次品的概率，并采取相应的控制措施，提高产品质量。
四、概率模型的局限性和改进尽管概率模型在许多领域中都有着广泛的应用，但它也存在着一些局限性。
1.对于复杂事件的处理困难在实际问题中，有些事件较为复杂，无法直接建立简单的概率模型进行描述。
高中数学模型总结归纳
高中数学模型总结归纳数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行定量分析和预测。
在高中数学学习中，数学模型是一个重要的学习内容，它能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
下面将从线性规划、概率统计和微分方程三个方面总结归纳高中数学模型的相关知识。
一、线性规划模型线性规划模型是数学建模中常用的一种模型。
它通过建立一组线性方程和一个线性目标函数来描述实际问题，并求解最优解。
线性规划模型在经济、管理、交通等领域有广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
在运输问题中，可以利用线性规划模型来确定最佳的物流路径，以最大化运输效益或最小化运输成本。
二、概率统计模型概率统计模型是研究随机现象的数学模型。
它通过建立概率分布函数和统计模型来描述实际问题，并对随机变量进行分析和推断。
概率统计模型在风险评估、市场调查、医学研究等领域具有重要的应用价值。
例如，在风险评估中，可以利用概率统计模型来评估不同投资组合的风险和收益，以帮助投资者做出合理的决策。
在市场调查中，可以通过概率统计模型来分析市场需求和消费者行为，以指导企业的营销策略。
三、微分方程模型微分方程模型是描述变化过程的数学模型。
它通过建立微分方程和初始条件来描述实际问题，并求解方程得到解析解或数值解。
微分方程模型在物理、生物、环境等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微分方程模型来描述物体的运动规律，求解方程可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。
在生物学中，可以通过微分方程模型来描述生物种群的增长和衰退过程，以了解生态系统的变化和稳定性。
高中数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，可以对实际问题进行定量分析和预测。
线性规划模型、概率统计模型和微分方程模型是数学建模中常用的三种模型。
通过学习和应用这些模型，可以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，提高数学学科的学习效果和实际应用能力。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型在高中数学中，概率是一个重要的概念，在日常生活中也随处可见。
概率模型是用来描述不确定事件发生的可能性的数学模型。
在高中数学中，我们学习了六种常见的概率模型，分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
第一种概率模型是等可能模型。
在等可能模型中，我们假设所有的结果是等可能发生的，例如掷硬币、掷骰子等。
在这种情况下，我们可以通过计算事件发生的可能性来求解概率。
例如，抛掷一枚硬币，出现正面的概率和出现反面的概率都是1/2。
第二种概率模型是几何模型。
几何模型适用于一些连续事件，例如抛掷一根棍子，棍子落在某个距离范围内的概率。
这种情况下，我们需要用到几何概率的计算方法，即事件的概率等于事件所占的长度或面积与总长度或面积的比值。
第三种概率模型是排列模型。
排列模型适用于有序事件的概率计算。
例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中一种特定牌型的概率。
这种情况下，我们可以使用排列的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第四种概率模型是组合模型。
组合模型适用于无序事件的概率计算。
例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中任意三张牌的概率。
这种情况下，我们可以使用组合的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第五种概率模型是条件概率模型。
条件概率模型是指在已知一些信息的情况下，求另外一些信息的概率。
例如，在已知某人生病的情况下，求他感染某种疾病的概率。
在条件概率中，我们需要用到贝叶斯公式来计算概率。
第六种概率模型是贝叶斯模型。
贝叶斯模型是一种用来更新先验概率的模型。
在贝叶斯模型中，我们通过观察到的事实来更新我们对事件发生的概率的估计。
这种模型常常用于统计学和机器学习中。
高中数学中有六种常见的概率模型，分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
这些模型可以帮助我们计算事件发生的可能性，对我们理解概率提供了有力的工具。
通过学习这些模型，我们可以更好地理解和应用概率知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型概率是数学中的重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在高中数学中，概率是一个重要的内容，它有着广泛的应用。
在数学中，我们常常使用六种概率模型来描述和计算概率，它们分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
一、等可能模型等可能模型是最简单的概率模型之一，它假设每个事件发生的可能性相等。
例如，抛一枚公正的硬币，出现正面或反面的概率都是1/2。
又如，掷一颗公正的骰子，出现任意一个数字的概率都是1/6。
等可能模型的特点是简单明了，计算方法也非常简单，只需将某个事件发生的可能性除以总的可能性即可。
二、几何模型几何模型是描述概率的一种模型，它应用于空间中的几何问题。
例如，在一个正方形的平面上随机选择一个点，那么这个点落在正方形的某个子集中的概率就可以使用几何模型来描述。
几何模型的特点是需要用到几何图形的性质和计算方法，通常需要使用面积或体积的概念来描述概率。
三、排列模型排列模型是用于描述事件发生顺序的概率模型。
例如，从1到10这十个数字中随机选择3个数字，按照选择的顺序排列，那么不同的排列方式的概率可以使用排列模型来计算。
排列模型的特点是需要考虑事件发生的顺序，通常需要使用排列的计算方法。
四、组合模型组合模型是用于描述事件发生组合的概率模型。
例如，从1到10这十个数字中随机选择3个数字，不考虑选择的顺序，那么不同的组合方式的概率可以使用组合模型来计算。
组合模型的特点是不考虑事件发生的顺序，通常需要使用组合的计算方法。
五、条件概率模型条件概率模型是用于描述事件在给定条件下发生的概率。
例如，已知某个学生参加了数学竞赛，并且获得了奖项，那么在已知该学生获奖的条件下，他是男生的概率可以使用条件概率模型来计算。
条件概率模型的特点是需要考虑给定条件下事件发生的概率，通常需要使用条件概率的计算方法。
六、贝叶斯模型贝叶斯模型是用于描述事件的先验概率和后验概率之间的关系的概率模型。
概率(高中数学)
七
宝
中
学
0
9
高
三
数
学
讲
义
系
列
古典概型
掷一粒骰子，观察其点数. 事件A : 点数为偶数；事件B : 点数为奇数
六 、 对 立 事 件
事件C : 点数为合数；事件D : 点数为质数
设E、F 是两个随机事件，我们把满足下列条件 的E和F叫做对立事件 (1) E F (2) E F
事件A的对立事件记为 A 显然P ( A) P ( A) 1
学温 思故 结知 合新 方可 能为 悟师
09届高三数学 复习讲义系列 第十七章 概率论初步
第
一
节
古典概型
lucky_ckh@
古典概型
1.苹果静止掉下，观察其运动；
一 、 随 机 现 象
2.将2与3相加，观察其和； 3.抛掷一枚硬币，观察落地
自由落体 5
正面、反面 1、、、、、 23456
其中1， 2，为红色球，其余为蓝色球，从 3 事件A所包含的基本事件数 P ( A) 中随机摸出一个小球 试验中所有的基本事件数 (1)求摸到号码为3的球概率 (2)求摸到蓝色球的概率
A
中
学
0
9
高
三
数
学
讲
义
系
列
古典概型
1.(1)随机抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率 (2)随机抛掷两枚均匀硬币，求一正一反的概率
我们把每一次试验可能出现的结果叫做基本事件 用 1 , 2 , , n 表示所有的基本事件，基本事件的 , n }称为样本空间 集合 {1 , 2 ,
(1)观察其号码数，写出样本空间 (2)观察其颜色，写出样本空间
第10章概率专题2 古典概型-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习(教育机构专用)
a,b,a, x, a, y , a, z , b, x , b, y , b, z , x, y , x, z , y, z 两名组长分别选自 20, 40和 40,60的共有以下 6种情况： a, x,a, y , a, z , b, x , b, y , b, z
B.3
10
5
C.2
D.1
5
5
解析：选 C 若函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数，则 a2－2＜0，又 a∈{－2,0,1,2,3}， 故只有 a＝0，a＝1 满足题意，又 b∈{3,5}，所以函数 f(x)＝(a2－2)ex＋b 为减函数的概率是 2×2＝2. 5×2 5
2.从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
5
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
21
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用 分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （Ⅱ）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B， F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}， {E，G}，{F，G}，共 21 种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，
A．
B．
高中数学模型系列之概率模型
高中数学模型系列之概率模型概率模型简介概率模型是数学中一个重要的分支，用于描述和分析不确定性和随机事件的规律。
它是基于概率论和统计学的理论基础，广泛应用于实际问题的建模和预测中。
概率的基本概念在概率模型中，我们首先需要了解一些基本的概率概念。
1. 随机试验：指具有不确定性的试验，其结果无法事先确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
3. 事件：样本空间的子集，表示我们感兴趣的结果。
4. 概率：表示事件发生的可能性大小的数值。
概率计算方法在概率模型中，我们可以使用两种基本的计算方法来计算事件的概率。
1. 古典概型：适用于各种试验结果等可能发生的情况。
概率可以通过事件发生次数与样本空间大小的比值来计算。
2. 统计概型：适用于试验结果不等可能发生的情况。
概率可以通过统计数据进行估算。
概率模型的应用概率模型广泛应用于各个领域，下面列举几个常见的应用场景。
1. 游戏和赌博：在赌博中，使用概率模型可以帮助预测不同结果的可能性，从而进行合理的押注决策。
2. 金融和保险：在金融和保险行业中，概率模型可以用于计算风险和收益的概率，从而辅助决策和风险管理。
3. 生物学和医学：概率模型可以用于分析疾病的发生和传播，预测药物的疗效，以及评估基因变异对生物体的影响。
4. 工程和科学研究：在工程和科学研究中，使用概率模型可以帮助分析和优化复杂系统的性能和可靠性。
小结概率模型作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用领域。
通过理解和运用概率模型，我们可以更好地理解和分析各种随机事件，从而做出更合理的决策和预测。
以上是关于高中数学模型系列之概率模型的简要介绍。
_注意：此文档为纯粹的数学介绍，具体应用中可能涉及到更多的细节和实际情况，请在具体问题中咨询相应领域的专业人士或进一步深入研究。
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高中数学概率与统计常考题型归纳
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
高中数学必修二 专题12 概率(重难点突破)(含答案)
专题12 概率一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一古典概型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.3. 古典概型的概率公式-P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.考点二 事件的关系与运算考点三 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ).三、重难点题型突破重难点01 简单的古典概型例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为15P=，故选A。
【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（）A．427B．13C．127D．19【答案】C【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫=⎪⎝⎭。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
高中数学概率计算的常见模型
有模 型 可依 ， 少学 生 在概 率 学 习 中的 困难 和教 师在 概 率 教学 上 减
的 负担．概 率 的计 算 问题 主 要 依赖 于两 方 面 ： 方 面 是基 本 公 式 一 的 准确 使 用 ， ： 类 加 法计 数 原 理 、 步 乘 法 计 数 原 理 、 斥 事 如 分 分 互
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数 学教学通讯 （ 教师版 ）
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广 东江 门培 英 高级 中学
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高 中阶 段 的概 率 计 算 主 要是 古 典 概 型 、 件 概 率 、 立 事 件 条 独 同 时发 生 的概 率 、 斥 事 件 之 一发 生 的概 率 的 计 算 等 ， 率 计 算 互 概 的问题 形 式繁 杂 多样 ， 学生 的学 习 和教 师 的教 学 带 来较 大 的 困 给 难 和挑 战． 日常 的教 学 中 ， 者 注重 对 这 些 概率 计 算 问 题 进 行 在 笔 归 纳 和分 类 ， 立 可 行 的 概率 模 型 。 得 大 多 数 概 率 的计 算 问题 建 使
＝ ＝
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（ ） 是 有放 回的 抽取 ， 指 定 的ｋ ３若 某 次连 续 取 到 白球 的 概率 ； （ ） 是无 放 回的抽 取 ， 指 定 的ｋ ４若 某 次连 续 取 到 白球 的 概率 ． 解 析 设 （ ）２ （ ）４ 小题 中的 事 件 分 别 为 ： ， Ａ３ １ （ ）３ （ ） ＡＩ ２ Ａ ， Ａ， ，
（ ） 盒 子 里 无 放 回地 取 ３ 球 ， 到 的球 的 标 号 能 构 成 三 ４从 个 取
几种概率模型
一个举例：
(1,0), (1,0), (2,0), (2, 1)
产生式模型： P (x, y)： P(1, 0) = 1/2, P(1, 1) = 0, P(2, 0) = 1/4, P(2, 1) = 1/4.
缺点： •不能反映训练数据本身的特性。 •能力有限，可以告诉你的是1还是2，但没有办法把整个场景描述出来。
二者关系：由生成模型可以得到判别模型，但由判别模型得不到生成模型。
二、概率图模型（Graphical Models）
概率图模型：是一类用图的形式表示随机变量之间条件依赖关系的概率模型，
是概率论与图论的结合。图中的节点表示随机变量，缺少边表示条件独立假 设。
序列标注
标注：人名 地名 组织名 观察序列：毛泽东
实体命名 识别
标注：名词 动词 助词 形容词 副词 …… 观察序列：今天天气非常好！
汉语词性 标注
一、产生式模型和判别式模型（Generative model vs. Discriminative model） 二、概率图模型（Graphical Models） 三、朴素贝叶斯分类器（ Naive Bayes Classifier） 四、隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM） 五、最大熵模型（Maximum Entropy Model，MEM） 六、最大熵马尔可夫模型（MEMM） 七、条件随机场（conditional random fields，CRF）
N
递归： t1( j) [ t (i)aij ]bj ( xt1 ) 1 t T 1,1 j N i 1
精品高中数学专题：概率
第二讲 概 率1． 基本事件的定义一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型(1)古典概型我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .3． 几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4． 互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )．1． (2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.2． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤X ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.3． (2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．答案 13解析 由3a －1<0得a <13.由几何概型概率公式得P ＝13.4． (2012·广东改编)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案 19解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.5． (2012·安徽改编)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．答案 25解析 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25.题型一 古典概型例1 (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．(2)设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，取出含有3个元素的子集的概率是( )A.310B.112C.4564D.15128审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解；(2)利用集合知识求出P 的全部子集个数和含3个元素的子集个数．答案 (1)2063(2)D解析 (1)P ＝4×57×9＝2063.(2)集合P 的全部子集个数为210＝1 024，含三个元素的子集个数为10×9×86.∴P ＝10×9×86×210＝15128.反思归纳 古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P (A )＝mn 求出事件的概率，解题关键是求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件个数．变式训练1 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种． 从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.题型二 几何概型例2 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cosπx 2的值介于0到12之间的概率为 ( )A.13B.2π C.12 D.23(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4审题破题 (1)将cos π2x 的条件转化为x 的条件；(2)D 为正方形区域，点满足的条件为D内的一个圆外． 答案 (1)A (2)D解析 (1)在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cosπx 2的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎡⎦⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎡⎦⎤－1，－23∪⎣⎡⎦⎤23，1内，根据几何概型的计算公式，可知P ＝2×132＝13.(2)如图，不等式⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域D 为正方形OABC .以O 为圆心，以2为半径作圆弧AMC ，则阴影部分内的点到原 点O 的距离大于2，∴P ＝S 阴影S 正方形＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.反思归纳 几何概型中基本事件总数是无限的，计算几何概型要抓住问题的测度(长度、面积、体积)，利用公式计算．变式训练2 (1)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率为______．答案 1－32解析 弦长不超过1， 即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的， 事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.(2)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率为________．答案 23解析 ∵V S —ABC V S —APC ＝S △ABC S △APC ＝ABAP ，∴V S —APC ＝AP AB ·V >V 3，AP >13AB ，所以所求概率为23.题型三 互斥事件、对立事件的概率例3 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．审题破题 “不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥事件的和．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.反思归纳 运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解． 变式训练3 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解 方法一 (1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，而任取1球共有12种取法．∴任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法， ∴任取1球是红球或黑球或白球的概率P 2＝5＋4＋212＝1112.方法二 记事件A ＝{任取1球为红球}， B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}， D ＝{任取1球为绿球}，则P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.(或P 2＝1－P (D )＝1－112＝1112)．典例 (12分)(2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.[9分]因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]评分细则 (1)x ，y 计算正确得2分；若只有x ，y 的值而无计算过程得1分；(2)将事件A 正确拆分得1分；P (A 1)、P (A 2)、P (A 3)少一个扣0.5分；(3)没有指明A 1、A 2、A 3互斥扣1分．阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；(2)事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；(3)求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．1． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13答案 C 解析 e ＝ 1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况：当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．所以概率为66×6＝16.3． 盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3、2、1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为 ( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红、黑球各一个 答案 D解析 红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．4． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析 红色球分别用A 1，A 2，A 3表示，黄色球分别用B 1，B 2表示．从中随机取出2个球：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(A 1，A 2)，(A 2，A 3)，(A 1，A 3)共10种取法.2个球颜色不同共6种，故所求概率为610＝35.5． 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.6． 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．答案 45解析 由于Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0. 在数轴上表示为，故所求概率为45.专题限时规范训练一、选择题1． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2． 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( )A.13B.16125C.18125D.19125答案 D解析 个位数字依次为1,2,3,4,5时，前两位数字之和依次为8,7,6,5,4，且依次有3,4,5,4,3种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P (A )＝3＋4＋5＋4＋3125＝19125.3． 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.350C.3100D.29 答案 A解析 任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100.4． 在集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素，能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0，x＝5，y ＝0，y ＝4所围成的长为5，宽为4的矩形，而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示的公共区域是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.5． 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32答案 D解析 摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.6． 任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( ) A.2536B.16C.14D.112答案 D解析 P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，∴P ＝36×6＝112. 7． 记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为( )A.12πB.1πC.14D.π－24π答案 A解析 区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P ＝SΩ2SΩ1＝816π＝12π，故选A. 8． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是 ( )A.29B.13C.89D ．1 答案 C解析 有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅；②(2,1)，此时B ＝{1}；③(3,2)，此时B ＝{1,2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89. 二、填空题9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是________． 答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12. 10．在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，若抛物线y ＝x 2在x ＝x 0处的切线的倾斜角为α，则α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4的概率为________．答案 1112解析 当α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，斜率k ≥1或k ≤－1，又y ′＝2x ，所以x 0≥12或x 0≤－12，所以P ＝1112. 11．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析 如图可设l AB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．答案 932解析 f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S △ABC ＝92， P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝932. 三、解答题13．已知集合A ＝{x |x 2＋3x －4<0}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}． (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ，b 分别是集合A ，B 中任取的一个整数，求“a －b ∈A ∪B ”的概率．解 (1)由已知得A ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |－4<x <1}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}＝{x |－2<x <4}， 显然A ∩B ＝{x |－2<x <1}．设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，由几何概型的概率公式得P 1＝39＝13. (2)依题意，得(a ，b )的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，又A ∪B ＝{x |－4<x <4}，因此“a －b ∈A ∪B ”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a －b ∈A ∪B ”的概率P 2＝1420＝710. 14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.。
高中数学中的概率模型
㊀㊀㊀１２３㊀㊀高中数学中的概率模型高中数学中的概率模型Һ杨玉灿㊀（上海市南汇第一中学，上海㊀２０１３９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学模型是将学生面对的实际问题抽象化，并建立相应方式的解题模式，该模式对于解决实际问题提供了便利．概率模型是概率知识的重要组成部分，在高中数学教学中有着重要的地位；概率模型是新课标要求高中学生必须掌握的模型之一，也是高考数学的必考内容．掌握古典概率模型㊁几何概率模型以及其他模型为学习概率知识打下了良好基础．下面通过一些例题系统地比较分析高中数学中的三种概率模型．ʌ关键词ɔ数学模型；高中数学；概率模型一㊁古典概率模型古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥；第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的．通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的；第二，所有基本事件存在的概率均相同．凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：Ｐ（Ａ）＝ｍｎ，其中ｍ为事件Ａ包含的基本事件个数，ｎ为整个随机试验包含的基本事件的个数．基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键．处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法．（一）ＣＡＳＥ１㊀用图表法求古典概型的概率例１㊀现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有１㊁２㊁３㊁４．现进行投掷玩具试验，以Ｘ代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Ｙ代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（Ｘ，Ｙ）的形式表示．①要求罗列上述试验基本事件；②计算 两玩具贴地面数字之和大于３ 的事件概率；③计算 两玩具贴地面数字相等 的事件概率．解㊀①这个试验的基本事件列表如下：１２３４１（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）２（２，１）（２，２）（２，３）（２，４）３（３，１）（３，２）（３，３）（３，４）４（４，１）（４，２）（４，３）（４，４）从表中可以看出，该随机试验共包含了１６个基本事件．②由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字之和大于３ 包含有１３个基本事件，ʑＰ＝１３１６．③由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字相等包含有４个基本事件，ʑＰ＝４１６＝１４．（二）ＣＡＳＥ２㊀用列举法求古典概型的概率例２㊀现有８名志愿者，其中志愿者Ａ１㊁Ａ２㊁Ａ３通晓日语，Ｂ１㊁Ｂ２㊁Ｂ３通晓俄语，Ｃ１㊁Ｃ２通晓韩语．从中选出通晓日语㊁俄语㊁韩语的志愿者各一名，组成一个小组．①求Ａ１被选中的概率；②求Ｂ１和Ｃ１不全被选中的概率．解㊀①从８人中选出通晓日㊁俄㊁韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ２）｝共１８个基本事件．用Ｍ表示 Ａ１恰被选中 这一事件．则Ｍ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２）｝共６个基本事件．ʑＰ（Ｍ）＝６１８＝１３．②用Ｎ表示 Ｂ１和Ｃ１不全被选中 这一事件，则其对立事件Ｎ表示为 Ｂ１㊁Ｃ１全被选中 这一事件，由于Ｎ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１）｝，即事件Ｎ包含了３个基本事件，ʑＰ（Ｎ）＝３１８＝１６，ʑＰ（Ｎ）＝１－１６＝５６．二㊁几何概率模型几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度㊁面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型．计算公式如下：Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型．（一）ＣＡＳＥ１㊀求与长度有关的几何概型的概率㊀图１例３㊀如图Ａ㊁Ｂ两盏路灯之间的长度是３０米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在Ａ，Ｂ中间再安两盏灯Ｃ㊁Ｄ，求Ａ㊁Ｃ两灯和Ｂ㊁Ｄ两灯之间距离都大于或等于１０米的概率．解㊀记事件Ｅ为 Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｄ之间的距离都不小于１０米 ，把ＡＢ三等分，３０ˑ１３＝１０米．ʑＰ（Ｅ）＝１０３０＝１３．（二）ＣＡＳＥ２㊀求与面积有关的几何概型的概率㊀图２例４㊀现有一长方形ＡＢＣＤ，长和宽分别为２㊁１，ＡＢ中点设为Ｏ，在长方形内随机取一点，求该点与Ｏ点距离超过１的概率．解㊀记事件Ｅ为 取点到Ｏ的距离大于１ ，其对立事件Ｅ为取点到Ｏ点距离小于１ ．因为长方形的面积为２，以Ｏ为圆心，１为半径作圆，在长方形ＡＢＣＤ内部为半圆的面积等于π２．㊀㊀㊀㊀㊀１２４㊀ʑＰ（Ｅ）＝π２２＝π４，Ｐ（Ｅ）＝１－π４．故取点到Ｏ点距离大于１的概率为１－π４．（三）ＣＡＳＥ３㊀求与体积有关的几何概型的概率例５㊀已知正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的底面边长为４，高为３，在正三棱锥内任取一点Ｐ，使得ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ的概率是多少？㊀图３解㊀要使ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ，只需使三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的高小于三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的高的一半．设Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分别为ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ的中点，则所求概率即为棱台Ａ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ的体积与三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的体积之比．其中Ｏ１为正三棱锥的高ＳＯ的中点，әＡ１Ｂ１Ｃ１是过Ｏ１平行于底面的截面．ＶＳ－ＡＢＣ＝１３ˑ１２ˑ４ˑ４ˑ３２æèçöø÷ˑ３＝４３，ＶＡ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ＝ＶＳ－ＡＢＣ－ＶＳ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝４３－１３ˑ（１２ˑ２ˑ２ˑ３２）ˑ３２＝７３２．ʑＰＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ()＝７３２ː４３＝７８．三㊁抽取 小球 试验模型抽取 小球 试验模型可以分为两种基本类型，即抽取 小球 放回试验和抽取 小球 不放回试验．抽取 小球 放回试验模型称为几何分布；抽取 小球 不放回试验模型称为超几何分布．（一）ＣＡＳＥ１㊀求服从几何分布的概率什么叫几何分布呢？几何分布是常用的一个离散型分布，几何分布的概率公式为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ，随着ｋ增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数．例６㊀现有一批货品，包含合格品１０枚㊁次品３枚，每次从这批货品中随机抽取一枚，且假设所有产品被抽取的概率均相等，分别算出下述两种情况中抽出合格品为止的抽取次数为Ｘ的分布列．①所有抽取出的产品均不放回；②每次抽取的产品均需放回该批次货品才能继续进行抽取．分析㊀①因抽取货品后均不放回，可知每次抽取相互影响；②因抽取后均需放回才可进行下一次抽取，可知每次抽取相互独立，该情况隶属于几何分布．解㊀①根据题意知，随机变量Ｘ可取值为：１，２，３，４．当Ｘ＝１时，即第一次取出的产品为合格品，故Ｐ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第二次取出的产品为合格品，第一次取到的产品为次品，故Ｐ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１２＝５２６；类似地Ｐ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ２１２ˑ１０１１＝５１４３；Ｐ（Ｘ＝４）＝３１３ˑ２１２ˑ１１１ˑ１０１０＝１２８６．所以Ｘ的分布列为：Ｘ１２３４Ｐ１０１３５２６５１４３１２８６②因为每次取出的产品都放回再抽取，所以这类试验符合几何分布的特征，随机变量Ｘ的取值为１，２，３， ，ｎ，随机变量Ｘ服从几何分布．当Ｘ＝１时，即第一次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１３；当Ｘ＝３时，即第一次㊁第二次取到次品，第三次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ３１３ˑ１０１３＝３１３()２ˑ１０１３；类似地，当Ｘ＝ｎ时，即前ｎ－１次取到的均为次品，第ｎ次取到合格品，故Ｐ（Ｘ＝ｎ）＝３１３()ｎ－１ˑ１０１３．所以随机变量Ｘ的分布列为：Ｘ１２３ｎＰ１０１３３１３ˑ１０１３３１３()２ˑ１０１３３１３()ｎ－１ˑ１０１３点评㊀（１）几何分布是放回抽样问题，这也是几何分布的特征，其分布列概率可以代入公式Ｐ（Ｘ＝ｈ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ；（２）此类试验都可以看作是抽取 小球 的试验模型，难点在于确定随机变量Ｘ取值的个数．（二）ＣＡＳＥ２求服从超几何分布的概率什么叫超几何分布呢？如果在含有Ｍ件次品数的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中含有Ｘ件次品，则事件｛Ｘ＝ｋ｝发生的概率为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ，ｋ＝０，１，２， ，ｍ，其中ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，Ｎ｝且ｎɤＮ，ＭɤＮ，ｎ，Ｍ，ＮɪＮ∗．我们把这样的分布称为超几何分布．由于这个级数ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ和几何级数类似，被称为超几何级数，因此得名．例７㊀从装有３个红球２个白球的袋子中随机取出２个球，设其中有Ｘ个红球，求随机变量Ｘ的分布列．解㊀本题的随机变量Ｘ服从超几何分布，其概率的计算公式：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３Ｃ２－ｋ２Ｃ２５，代入公式得Ｐ（Ｘ＝０）＝０．１，Ｐ（Ｘ＝１）＝０．６，Ｐ（Ｘ＝２）＝０．３．故Ｘ的分布列为：Ｘ０１２Ｐ０．１０．６０．３点评㊀（１）超几何分布隶属于不放回抽样，这也是其最为显著的特点，其分布列概率公式如下：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ；（２）此类问题都可以转化为例７抽取 小球 的试验模型，随机变量Ｘ为取到 红球 的个数，超几何分布的本质上也是古典概型．总结：通过讨论以上三种基本概率模型，我们总结出概率模型的一些通性以及解题的一些通法．这为我们今后遇到此类问题时提供一些帮助，使我们在分析问题和处理问题时少走一些弯路，帮助我们准确而快速地找到解题的思路和方法．。
高中数学中的概率论
高中数学中的概率论概率论是高中数学中的一门重要学科，通过研究事件发生的可能性和规律，帮助我们理解和解决现实生活中的随机事件问题。
本文将从概率的基本概念、计算方法、常见概率模型等方面进行探讨。
一、概率的基本概念在高中数学中，我们常常遇到各种各样的概率问题，比如掷硬币、抽球、扑克牌等。
而概率就是用来描述事件发生的可能性。
它的取值范围是0到1，表示事件的不确定程度。
当概率接近0时，表示事件几乎不可能发生；当概率接近1时，表示事件几乎肯定会发生；当概率为0.5时，表示事件的发生与不发生的可能性相等。
二、概率的计算方法计算概率主要有两种方法：经典概率和统计概率。
1. 经典概率经典概率是基于事件总数的计算方法，假设每个事件发生的可能性相等。
例如，当我们掷一枚公正的硬币时，正面和反面的可能性是相等的，因此正面朝上的概率是1/2。
2. 统计概率统计概率是基于大量实验数据的计算方法，通过频率的统计来确定概率。
例如，在进行多次掷硬币实验后，我们可以得出正面朝上的频率，这个频率就可以作为正面朝上的概率。
三、常见概率模型除了基本的概率计算方法外，高中数学还介绍了一些常见的概率模型。
1. 条件概率条件概率是指在某个条件下发生的概率，用P(A|B)表示。
其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
2. 乘法法则和加法法则乘法法则是用来计算两个事件同时发生的概率，加法法则是用来计算两个事件至少发生一个的概率。
3. 排列组合排列组合是概率论中常用的计算方法，特别是在有限样本空间中的计数问题中。
它包括排列和组合两种方法，用来计算不同事件之间的组合可能性。
四、概率论的应用概率论在现实生活中有广泛的应用，下面列举几个例子。
1. 随机抽样概率论可以帮助我们进行随机抽样，从而获取代表性的样本数据。
例如，在市场调研中，通过随机抽样可以获取到具有代表性的受访者群体，从而得到准确的调研结果。
2. 风险评估概率论可以帮助我们进行风险评估，分析事件发生的可能性和影响程度。
概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。
1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。
古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。
即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。
若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。
在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。
在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。
关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。
概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。
事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。
分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。
用它可以解决一些类似的问题。
1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。
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点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的 试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果， 每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示， 而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的 问题即可利用几何概型来解决.
(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积 或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线 性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式) 组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所 表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区 域的位置和形状无关.
专题8 概率与统计
第38练 概率的两类模型
题型分析·高考展望
概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在 高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是 以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的 概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇， 题目多以选择题或填空题的形式出现.
的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大
于1的概率为( )
1
2
3
1
A.3
B.3
C.4
D.4
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何 概型， 则 P1＝VV半 圆球 柱＝π2×3π× 12×132＝13， 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P2＝1－13＝23. 答案 B
225 故所求概率 P＝4200＝392.
答案
9 32
＝ʃ 1－12x2dx＝32x3|1－1＝23－(－23)＝43，
阴影部分面积为 2×2－43＝83，
8
所以所求概率为34＝23.
答案
2 3
(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到 阴影部分的概率为______.
解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 故阴影部分面积为 S＝2ʃ 10(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2[e－e－ (0－1)]＝2.
的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，
则质点落在以AB为直径的半圆内的概率
是( )
π
π
π
π
A.2
B.4
C.6
D.8
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A， 则 P(A)＝长阴方影形面面积积＝121π×·122＝π4. 答案 B
D.49
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0≤a≤4， 6.已知实数a，b满足0≤b≤4，x1，x2是关于x的方程x2－ 2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0<x1<1<x2成立的 概率是( )
3
3
5
9
A32
B.16
C.32
D.16
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5
10
11
A.21
B.21
C.21
D.1
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 从袋中任取 2 个球共有 C215＝105 种取法， 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C15＝50 种取法， 所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为15005＝1201. 答案 B
7.(江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于
() 1
A.18
1
1
B.9
C.6
1 D.12
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 掷两颗骰子，点数有以下情况： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，
从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数， 即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种， 即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4). 所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1＝165＝25.
②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生. 解 从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是 女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，共8种.
C.8
D.2
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 由图形知C(1,2)，D(－2,2)，
∴S 四边形 ABCD＝6，S 阴＝12×3×1＝高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.(辽宁)若将一个质点随机投入如图所示
变式训练1 (课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中
任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活
动的概率为( ) D
1
3
5
7
A.8
B.8
C.8
D.8
解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公
益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各
有1种， ∴所求概率为 1－1＋ 161＝87.
常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
题型一 古典概型问题 题型二 几何概型问题
题型一 古典概型问题
例1 (1)(课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形
三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中
任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
()
3 A.10
1
1
1
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的 数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数 相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整 除的概率是( A )
16 A.49
15
2
13
B.49
C.7
所以选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生的概率为 P2＝185.
点评 求解古典概型问题的三个步骤 (1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A. (2)分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件 的个数m. (3)利用古典概型的概率公式P(A)＝mn 求出事件A的概率.若直 接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先 求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
所以概率为110.故选 C. 答案 C
(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生， 现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的 概率： ①选取的2位学生都是男生； 解 设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6. 从 6 位 学 生 中 任 取 2 位 学 生 的 所 有 可 能 结 果 为 (1,2) ， (1,3) ， (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.
4－π 因此满足条件的概率是 4 ，所以选 D. 答案 D
(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串
彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一
时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么
这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超
过2秒的概率是( )
1
1
3
7
A.4
B.2
C.4
D.8
解析 如图所示， 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙 串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相 互独立，由题意可知
0≤x≤4，
0≤y≤4， |x－y|≤2，
所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的
概率为 P(|x－y|≤2)＝S正方形S－正方2形S△ABC＝4×4－24××124×2×2＝1126＝43. 答案 C
又该正方形面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为e22.
答案
2 e2
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件“－1
≤log12x＋12≤1”发生的概率为(
)
3
2
1
1
A.4
B.3
C.3
D.4
解析
由－1≤
log
1 2
(
x
1 2
)
≤1，得21≤x＋21≤2，
∴0≤x≤32.
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P＝322－ －00＝34. 答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.(广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1 个白球，1个红球的概率为( )
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
如图，原点O表示7：30，在平面直角 坐标系中画出小王和小张到校的时间 构成的平面区域(图中正方形区域)， 该正方形区域的面积为400， 小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为 12×15×15＝2225，