第四章平稳随机过程的非线性变换

2 1 2
y = bx 2
2πσ
2
1− r
2
⎨ ⎩
2σ (1 − r
2
X
2
)
⎬ ⎭
r = r (τ ) 。 x 2 = X (t 2 ) ， 式中：x1 = X (t1 ) ，
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今需求输出过程 Y (t ) 的相关函数 R (τ )和功率谱密 度G ( f ) 。 利用零均值平稳正态过程的四阶混合原点矩求解 公式，即： X X X X = X X ⋅X X +X X ⋅X X +X X ⋅X X (4.2-3) 得输出、输入相关函数的关系式为： 2 (τ )] RY (τ ) = b 2 X 12 X 22 = b 2 [σ 4 + 2 R X (4.2-7) 故得过程 Y (t ) 的功率谱密度为：
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非线性电路分类 惰性非线性电路。(电路中含有惰性元件，如电 感L、电容C) 无惰性非线性电路。(电路中仅含有电阻性器件) 设电路的非线性函数为 y = f (x ) ，它不随时
间而变化，是时不变的非线性系统。即若输入过 程为 X (t ) 时，输出过程为： Y (t ) = f [X (t )] (4.1-2) 则当输入过程为 X (t + ε ) 时，输出过程为： Y (t + ε ) = f [X (t + ε )] (4.1-3)
1 2 1 4 ⎡ π ⎤ ( ) ( ) ( ) τ τ τ " " + + + + 1 r r r ⎢ 2 ⎥ 2 24 ⎣ ⎦
(4.2-69)
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噪声与信号共同输入
FX(f)
信号
(a)
δf 0 f0-Δf/2 Fsn(f) f0 f0+Δf/2 f
(b)
0
Δf/2
2f0-Δf/2
2f0
2f0+Δf/2
f
图4.2-4：用拍频法定性确定输出功率谱（信号与噪声共同输入时）
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4．2．4厄密特多项式法
厄密特多项式各项的定义为：
2π ]上均匀分布。信号与噪声统计独立。
非线性函数关系仍为 y = bx 2 。
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因为输入X (t ) 为平稳过程，故输出 Y (t ) 仍为平稳 过程。并得过程 Y (t )的相关函数为：
RY (τ ) = YYτ = b 2 X 2 X τ2 = b 2 (s + n ) (sτ + nτ )
2
(4.2-29)
∞ ⎛ A2 2 ⎞ 2 ' ' ' ⎟ ( ) ( ) ( ) GY ( f ) = b ⎜ f b G f G f f df σ δ + 2 − + n n ⎟ ⎜ 2 ∫−∞ ⎠ ⎝ b 2 A4 2 2 [δ ( f − 2 f 0 ) + δ ( f + 2 f 0 )] + b A [Gn ( f − f 0 ) + Gn ( f + f 0 )] + 16 2
4．2随机过程非线性变换的直接法
4．2．1平稳正态噪声通过全波平方律器件
设非线性函数关系式为： (4.2-1) 式中：b为常数。已知输入 X (t ) 是零均值、方差为 σ 2 的平稳正态噪声，其二维概率密度为： 2 ⎧ x12 + x 2 − 2rx1 x 2 ⎫ (4.2-2) 1 p (x , x ,τ ) = exp −
−∞
(4.2-12)
上式右端第一项为直流分量，记为： GY = ( f ) = b 2σ 4δ ( f ) (4.2-13) 右端第二项（卷积项）为起伏分量，记为： ∞ 2 (4.2-14) GY ~ ( f ) = 2b G X ( f ' )G X ( f − f ' )df '
∫
−∞
若给定输入过程 X (t ) 的功率谱密度G ( f ) ，则由上 式积积分，即可求得 GY ~ ( f ) 。
X
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4．2．2噪声和信号共同通过全波平方律器 件
输入过程为 X (t ) = s(t ) + n(t ) 。其中n(t ) 是零均值、 2 σ s (t ) 为随机初相信号： 方差为 的平稳正态噪声， s (t ) = A cos(ω 0 t + θ ) (4.2-20)
θ 在 [0,
= 1 2πσ 2
2 ⎧ z12 + z 2 − 2rz1 z 2 ⎫ exp⎨− ⎬ 2 2 ( ) − 2 1 r 1− r ⎩ ⎭
(4.2-48) 其中 r = r (τ ) 。 p 2 ( z1 , z 2 ;τ ) 与特征函数 Φ Z (λ1 , λ 2 ;τ ) 是一对二重傅立 叶变换，已知平稳正态过程（零均值，方差为 1，相关系数为 r ）的二维特征函数为：
X
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Φ Z (λ1 , λ 2 ;τ ) = exp⎨−
⎧ 1 2 (λ1 + λ22 − 2rλ1λ2 )⎫ ⎬ ⎩ 2 ⎭
(4.2-49)
故得：
p 2 ( z1 , z 2 ; τ ) =
(2π )2 ∫−∞
1
∞
⎫ ⎧ 1 2 2 ( ) exp λ λ 2 r λ λ − j (λ1 z1 + λ 2 z 2 )}dλ1 dλ 2 − + − 1 2 1 2 ⎬ ⋅ exp{ ∫−∞ ⎨ ⎭ ⎩ 2
(4.2-26) R (τ ) 、 R (τ ) 、R (τ ) 分别作傅立叶变换，即 对 Rss (τ ) 、 可求得相应的功率谱密度如下：
nn sn
Y
b 2 A4 b 2 A4 [δ ( f − 2 f 0 ) + δ ( f + 2 f 0 )] G ss ( f ) = δ ( f )+ 4 16
(4.2-46) 令
z1 = x1 σ ,
RY (τ ) = ∫
∞
z 2 = x2 σ
∞
，这时可得：
2 2 1 2 1 2
−∞
∫ f (σz ) f (σz ) p (z , z ;τ )dz dz
−∞ 1
(4.2-47)
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式中： p 2 (z1 , z 2 ;τ ) = σ 2 p 2 (x1 , x 2 ;τ )
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非线性系统的无惰性（即无记忆性），意即当时 刻 t = t1 时，输出值Y (t1 ) 仅与同一时刻 t1 的输入值 X (t1 ) 有关，而与 t1 时刻之前的输入值无关。 随机过程非线性变换的研究课题主要有下述两个： （1）概率分布的变换； （2）矩函数和功率谱密度的变换。
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Y Y
1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3
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GY ( f ) = ∫ RY (τ )e − j 2πfτ dτ
∞ −∞ ∞ −∞
2 (τ ) e − j 2πfτ dτ = ∫ b 2σ 4 + 2b 2 R X ∞
[
]
= b 2σ 4δ ( f ) + 2b 2 ∫ G X ( f ' )G X ( f − f ' )df '
0 1 2
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例：
已知输入 X (t )为平稳正态噪声；其零均值、方差 为σ 2 ，相关系数为r (τ ) 。求经过半波线性律器件后 的输出相关函数。该半波线性律器件的特性为：
⎧bx y = f (x ) = ⎨ ⎩0 x≥0 x<0
(4.2-62)
可得：
b 2σ 2 RY (τ ) = 2π
(4.2-30)
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4．2．3用差拍法与和拍法定性确定输出功 率谱

高频限带噪声输入
FX(f) 1 2 n-1 n (a) δf 0 Fnn(f) f0-Δf/2 f0 f0+Δf/2 f
(b)
0
Δf
2f0-Δf
2f0
2f0+Δf
f
图4.2-3：用拍频法定性确定输出功率谱（仅有输入噪声时）
∞
(4.2-50) 将 exp{− rλ λ } 展开成马克劳林级数，并代入p 2 (z1 , z 2 ;τ ) 得：
1 2
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p 2 ( z1 , z 2 ; τ ) = ∑
k =0
∞
(− r )k
⎡ 1 ⎢ k! ⎣ ⎢ 2π
∫
∞
−∞
λe
k 1
−
2 λ1
2
− jλ1 z1
⎤ ⎡ 1 dλ1 ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢ 2π ⎦
(4.2-27)
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G nn ( f ) = b σ δ ( f ) + 2b
2 4
2
∫
∞
−∞
G n ( f ' )G n ( f − f ' )df
'
(4.2-28)
G sn ( f ) = b 2 A 2σ 2δ ( f ) + 2b 2 A 2 Gn ( f ) ⊗
1 [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] 2 = b 2 A 2σ 2δ ( f ) + b 2 A 2 [Gn ( f − f 0 ) + Gn ( f + f 0 )]
H k (z ) = (− 1) e
k z2 2 z − d ⎛ ⎜e 2 k ⎜ dz ⎝ k
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(4.2-41)
k = 0, 1, 2, " ，为导数的阶数。 式中： 可以证明，厄密特多项式具有正交性：