线性代数试题及答案06-A(经管)
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暨 南 大 学 考 试 试 卷
一、填空题（共9个小题10个空，每空3分，共30分）
1. 设123,,ααα线性相关, 342,,ααα线性无关, 则1α 能 由32,αα线性表示。
2. 已知A 3A E 20+-=, E 是n 阶单位阵, 则A E 1()-+=A 2E
3+
3. 设A 是n 阶正交矩阵, A 1=-, 则()
=*T
A
A -
4. 设n 元非齐次线性方程组AX b =的两个解为1212,,(),ξξξξ≠A 的秩为n 1-, 则AX b =的通解 ξ=()k 121ξξξ+-
5. 设f x x x
x x x x x tx x
2221231
231223(,,)222=++++是正定二次型, 则t 的取值区间为⎛ ⎝
6. 设A 为n 阶实对称矩阵，且3A 3A 5A 3E=02-+-，则：A = 1 ，且
A 是 正定矩阵。
7. 与单位矩阵相似的矩阵一定是 单位 矩阵。
8. 二次型f x x x x x =12312(,,)的符号差是 0 。
9. 设A 为n 阶方阵, 且n 元齐次方程组AX =0有非零解, 则A 必有一
个特征值为____0_____。
二、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 设A 是n 阶矩阵，且秩()r A r n =<，则在A 的n 个行向量中， 【 A 】. (A). 必存在r 个行向量线性无关。 (B). 任意r 个行向量线性无关。
(C). 任意r 个行向量都构成极大无关组。
(D). 任意一个行向量都可由其它行向量线性表示。
2. 下列矩阵中不能对角化的是: 【 D 】.
(A). .123204345⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ (B).
.000012023⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C). .100200300⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D). .000100023⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3. 下列命题中，正确的是: 【 C 】.
(A). 两个向量组等价当且仅当它们的秩相等。
(B). 两个n 阶矩阵相似当且仅当它们有相同的特征根。 (C). 方阵A 的特征向量不能属于A 的不同特征根。 (D). 二次型正定当且仅当它的负惯性指数为零。
4. 设方阵A 124242421--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭相似于对角矩阵t 54⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
, 则t = 【 C 】.
(A). 3； (B). 4； (C). 5； (D). 6
5. 设A 为3阶方阵，且A 的特征值为1，-2，3，则A E 11
()46
-+= 【 A 】.
(A). 60； (B). -60； (C).
160
； (D). 160-
6. 下列命题中，错误的是: 【 B 】.
(A). 初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵。 (B). 初等矩阵的和是初等矩阵。
(C). 初等矩阵都是可逆的。
(D). 初等矩阵的转置矩阵是初等矩阵。
7. 若A t ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
10122313, 且()r A =3,则t 满足的条件是： 【 A 】.
(A). t ≠52； (B). t =52； (C). 3t ≠2； (D). 3t ≠2
8. 设A,B 都是n 阶矩阵，则： 【 D 】.
(A). A B A B +=+； (B). A -B A B
=-； (C). 0A A B B
=； (D).
A 0A
B 0
B
=
9. 方程
123...n 1n 1x+13...n 1n 12x+1...n 1
n 0..................123...
x+1
n 1
2
3
...n 1
x+1
---=-的根是： 【 D 】.
(A). x 012n 2=-,,,, ； (B). x 12n 1,n =-,,, ； (C). x 012n 1=-,,,, ； (D). x 12n 1,,,=-
10. 向量组 ()()()1231,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,ααα'''=-==
()()451,1,2,0,2,1,5,6.αα''=-=的一个极大无关组是： 【 C 】.
(A). αα12,. (B). ααα123,, . (C). ααα124,,. (D). αααα1234,,, .
三、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
x x kx x kx x k x x x 12
3
21231
23
4
,24
+
+
=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 无解, 有唯一解, 有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其通解. 解：
()()
A k k A k k k 140,14,.
111411141,11110005.11240238=-+-≠≠-≠--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=---−−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
即且有唯一解 ……..4分
无解。
030k ,⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11441144141411601140114112400000000，
有无穷多解。 ……..8分
非齐次特解()T
,,040； 齐次通解()T
:k ,,--311
非齐次通解()()T
T
x ,,k ,,=+--040311 …..12分