2020年贵州省黔东南州凯里一中高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，则A∩B=（）
A. {1，2}
B. {2，3}
C. {1，2，3}
D. {1，2，3，4}
2.已知直线l的倾斜角为，且过点（-1，2），则直线l的方程为（）
A. x+y-2+=0
B. x+y+2+=0
C. x-y+2+=0
D. x-y+2+=0
3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=10，则S7=（）
A. 140
B. 70
C. 35
D.
4.若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列选项中正确的是（）
A. B. ad＞bc C. D.
5.已知角θ的终边经过点（-1，-3），则=（）
A. 1
B.
C. -
D. -1
6.已知函数f（x）=mx+1的零点在区间（1，2）内，则m的取值范围是（）
A. B.
C. （-，+∞）
D.
7.在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1-a n=2n，则a n=（）
A. 2n-1
B. 2n-1
C. 2n+1-3
D. 2n+1-1
8.已知函数f（x）=（2a2-a-3）（）x为减函数，则实数a的取值范围是（）
A. [-1，]
B. （-1，）
C. D.
9.当x∈[-]时，关于x的方程有解，则实数m的取值范围为
（）
A. B. C. D.
10.已知直线l1：x-3y+6=0和直线l2：mx-3y+n=0平行，且直线l2过点，则下列等
式
①，②，③，④
中正确的个数有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
11.在△ABC中，AB=1，AC=，BC=2，D为△ABC所在平面内一点，且，
则△BCD的面积为（）
A. 2
B.
C.
D.
12.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）
＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2-m-1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）
A. （-1，2）
B. [-1，2]
C. （-∞，-1）∪（2，+∞）
D. （-∞，-1]∪[2，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，=（m+1，m），且，则m=______．
14.若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是______．
15.已知直线l：x+y+1=0和圆C：（x-3）2+（y+2）2=4，则直线l与圆C相交所得的弦
长为______．
16.已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则b+c+的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=11，S4=60．
（Ⅰ）求S n的表达式；
（Ⅱ）求数列的前n项和T n．
18.平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（1，3），动点P（x，y）满足|PA|=|PB|．
（Ⅰ）求P的轨迹方程并指出它是什么曲线；
（Ⅱ）过A点的直线l与P的轨迹有且只有一个公共点，求直线l的方程．
19.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且=．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，a+c=2，D为AC的中点，求BD的长．
20.已知平面向量=（sin x，sin x），=（2cos x，2sin x），设f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），若α，β均为锐
角，且，，求cosβ的值．
21.已知一次函数f（x）的图象过点（0，-1）和（2，1），g（x）=（m-1）x m为幂函
数．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）当a∈R时，解关于x的不等式：af（x）＜g（x）．
22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2n-1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n及T n的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B={x|x≤2}；
∴A∩B={1，2}．
故选：A．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，直线l的倾斜角为，则其斜率k=tan=，
又由直线l经过点（-1，2），
则直线l的方程为y-2=（x+1），变形可得x-y+2+=0，
故选：C．
根据题意，由直线的倾斜角求出其斜率，又由直线l经过点（-1，2），结合直线的点斜式方程分析可得答案．
本题考查直线的斜率，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a4=10，
∴=70，
故选：B．
由已知直接利用等差数列的前n项和求解．
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．
4.【答案】D
【解析】解：由c＜d＜0，则-c＞-d＞0，所以，
又a＞b＞0，则，
所以．
故选：D．
利用不等式的基本性质判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题
5.【答案】A
【解析】解：因为角θ的终边经过点（-1，-3），
所以tanθ=3，则
==．
故选：A．
根据角θ的终边经过点（-1，-3），可得tanθ=3，将用tan表示后代入求值即
可．
本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f（x）=mx+1，
当m=0时，f（x）=1，没有零点，
当m≠0时，f（x）为单调函数，若其在区间（1，2）内存在零点，
必有f（1）f（2）＜0，即（m+1）（2m+1）＜0，
解可得：-1＜m＜-，即m的取值范围为（-1，-）
故选：B．
根据题意，分2种情况讨论，当m=0时，f（x）=1，没有零点，当m≠0时，f（x）为单调函数，由函数零点判定定理可得f（1）f（2）＜0，即（m+1）（2m+1）＜0，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查函数零点判定定理，关键是掌握函数零点判定定理的内容，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，若a n+1-a n=2n，
则a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+……+（a2-a1）+a1=2n+2n-1+2n-2+……+2+1==2n-1，
故选：A．
根据题意，分析可得a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+……+（a2-a1）+a1=2n+2n-1+2n-2+……+2+1，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．
本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，可知：
∵y=（）x在R上为减函数，
∴要使函数f（x）=（2a2-a-3）（）x为减函数，
只要使前面的2a2-a-3＞0即可．
即：（2a-3）（a+1）＞0，
解得：a＜-1，或a＞．
故选：C．
本题根据y=（）x在R上为减函数可知要使函数f（x）=（2a2-a-3）（）x为减函数，
只要使前面的2a2-a-3＞0即可．然后解出a的取值范围．
本题主要考查指数函数的图象、性质，函数增减性以及不等式的解法．本题属基础题．9.【答案】B
【解析】解：由关于x的方程sin x-cos x-m=0
在x∈[-]上有解，则函数y=
的图象与直线y=m在有交点，如图
由图象易得，-2≤m≤，
故选：B．
方程有解，即函数y=的图象与直线y=m在有交点，画出图象即可得
到m的范围．
本题考查了三角函数的图象与性质和方程有解问题，考查了数形结合思想和转化思想，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由直线l1：x-3y+6=0和直线l2：mx-3y+n=0平行，
得-3m=-3，-3n≠-18，即m=1，n≠6，
由直线l2过点，得，解得n=1，则m+n=2，
对于①，，则①错误，
对于②，=，则②正确，
对于③，，则③错误，
对于④，=，则④正确，
故选：C．
利用直线平行的条件列式求得m+n的值，然后利用对数的运算性质逐一核对四个命题得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质，是中档题．
11.【答案】D
【解析】
解：由题可作如图所示的矩形，则易知∠BCA=，
则，
所以sin∠BCD=，
所以S△BCD=×BC×DC×sin∠BCD==，
故选：D．
由平面向量数量积的运算及三角形面积公式得：∠BCA=，则，所以
sin∠BCD=，所以S△BCD=×BC×DC×sin∠BCD==，得解．
本题考查了平面向量数量积的运算及三角形面积公式，属中档题．
12.【答案】A
【解析】解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2-m-1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2-m-1，
∴m2-m-1＜1，
即：m2-m-2＜0．
解得-1＜m＜2．
故选：A．
本题可根据题干判断出函数f（x）在定义域R上为增函数，然后根据f（x2+1）＞f（m2-m-1）对x∈R恒成立，得出x2+1＞m2-m-1，则m2-m-1＜1，可得实数m的取值范围．
本题主要考查增函数的定义以及其性质和不等式的求解问题，本题属基础题．
13.【答案】
【解析】解：∵向量，=（m+1，m），且
∴2（m+1）=-m，∴，
故答案为：
，则2（m+1）=-m，解方程即可．
本题考查了向量平行的坐标运算，属基础题．
14.【答案】3
【解析】解：满足约束条件的平面区域
如下图所示：
由图易得，当x=2，y=-1时，目标函数z=2x+y的
最大值为3
故答案为：3．
先满足约束条件的可行域，然后将各个
角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=2x+y的最大值．本题考查的知识点是简单的线性规划，画出满足约束条件的可行域是关键，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，记直线l：x+y+1=0和圆C：（x-3）2+（y+2）2=4相交于A，B两点，圆心C（3，-2）到直线l的距离为d，
则d==，|BC|=R=2，
则|AB|==，
则|AB|=2，
所以直线l与圆C相交，
所得的弦长为2．
故答案为：2．
由已知可得圆心坐标，求出圆心到直线的距离，解三角形可求AB的值，即可得解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查方程思想，属于基础题．
16.【答案】8
【解析】解：∵ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴a＞0，，则b=-5a，c=6a，
∴，
≥，
当且仅当，即a=3时取等号，
故b+c+的最小值为8．
故答案为：8．
根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，然后将b+c+用a表示，再用基本不等
式求其最小值即可．
本题考查了一元二次不等式根与系数的关系和基本不等式，属基础题．
17.【答案】解：（I）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且a2=11，S4=60．
得a1+d=11，4a1+6d=60，解得a1=3，d=8，
S n=4n2-n；
（II）===（-），
前n项和T n=（1-+-+…+-）=（1-）=．
【解析】（I）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，可得所求通项公式；
（II）化简==（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程
思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（Ⅰ）由|PA|=|PB|，得，
化简得x2+y2-10y+15=0．
整理得x2+（y-5）2=10．
它是以点（0，5）为圆心，以为半径的圆；
（Ⅱ）∵A在圆外，则l与圆相切，且斜率存在，设其方程为：y-1=k（x-2）．
整理得kx-y+1-2k=0．
圆心（0，5）到直线l的距离d=，
解得k=-或3．
故l的方程为：3x-y-5=0和x+3y-5=0．
【解析】（Ⅰ）由题意列关于x，y的关系式，整理可得P的轨迹方程；
（Ⅱ）A在圆外，则l与圆相切，且斜率存在，设其方程为：y-1=k（x-2），化为一般方程，利用圆心到直线的距离等于半径求k，则直线方程可求．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
19.【答案】解：（I）∵=，由正弦定理得=
整理得2sin A cos B=sin B cos C+cos B sin C=sin（B+c）
∵B+C=π-A，则2sin A cos B=sin A．．
∵A∈（0，π），∴sin A≠0
∴cos B=
∵B∈（0，π），∴B=．
（II）由ac sin=，ac=4．
∵=（+），两边平方得||2=（||2+||2+2•）
∴||2=（a2+c2+ac）=[（a+c）2-ac]=9
∴BD=3．
【解析】（Ⅰ）将已知条件边化角，利用三角变换公式可得；
（Ⅱ）将=（+）两边平方可得．
本题考查了三角形中的计算，属中档题．
20.【答案】解：（I）∵向量=（sin x，sin x），=（2cos x，2sin x），
∴f（x）=•=2sin x cosx+2sin2x
=sin2x-cos2x+1
=
由-+2kπ（k∈Z）
∴-+kπ（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间是
（II）函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得g（x）=2sin2x+1，
∵，∴2sinα+1=，
∴sinα=
∵，∴2sin（α-β）+1=，
∴sin（α-β）=-
∵α，均为锐角，∴cosα=，cos（α-β）=
∴cosβ=cos[α-（α-β）]
=cos
=
【解析】（Ⅰ）根据条件可得f（x）═，再利用整体法求出单调增区间
即可；
（Ⅱ）根据平移得到g（x）的解析式，然后根据∴cosβ=cos[α-（α-β）]求值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数求值，考查了整体思想，属基础题．21.【答案】解：（I）根据一次函数f（x）的图象过点（0，-1）和（2，1），
设f（x）=kx+b，
则，解得，则f（x）=x-1
g（x）=（m-1）x m为幂函数，则m=2，故g（x）=x2
（II）af（x）＜g（x）即a（x-1）＜x2，
则△=a2-4a=a（a-4）
当a＜0或a＞4时，不等式的解集为或，
当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a=4时，不等式的解集为{x|x≠2}
当0＜a＜4时，不等式的解集为R．
【解析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）分a＜0或a＞4，a=0，a=4，0＜a＜4四种情况讨论即可．
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式和含参一元二次不等式的解法，属基础题．22.【答案】解：（I）S n=2a n-2n-1，
当n=1时，a1=S1=2a1-2-1，解得a1=3，
当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2n-1-2a n-1+2n-2+1=2a n-2a n-1-2，
即为a n=2a n-1+2，
则a n+2=2（a n-1+2），
故{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，
可得a n=5•2n-1-2；
（II ）=（2n+1）•（）n-1，
则前n项和T n =[3•（）0+5•（）1+…+（2n+1）•（）n-1]，
T n =[3•（）+5•（）2+…+（2n+1）•（）n]，
两式相减可得T n =[3+1+（）+…+（）n-1-（2n+1）•（）n]
=[3+-（2n+1）•（）n]，
化简可得T n =2-（2n+5）•（）n-1，
可令c n =（2n+5）•（）n-1，
c n+1-c n =-=＜0对n∈N*恒成立，
则数列{c n}是递减数列，故{T n}为递增数列，
则T n的最小值为T1=2-=．
【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（Ⅱ）求得=（2n+1）•（）n-1，由数列的错位相减法求和和等比数列的求和
公式，可得T n，再由数列的单调性，可得所求最小值．
本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，以及等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及数列的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．
第11页，共11页。