(优选)第十一章广义积分与含参变量的积分复习.

1.无穷积分
(2)无穷积分的性质
若两个无穷积分
f (x)dx 与
g(x)dx
都收敛，
a
a
则无穷积分
a [k1 f
(x) k2 g(x)]dx
也收敛，且
a [k1 f (x) k2g(x)]dx k1 a f (x)dx k2 a g(x)dx,
其中k1,k2为常数。
1.无穷积分
(3)无穷积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:无穷积分a f (x)dx 收敛的充要条件是:
任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0, A’>A0,便有
A'
| A f (x)dx | .
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
若
|
f
(x) | dx
收敛，则称
f (x)dx 绝对收敛；
(5)无穷积分收敛的判别法
定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
A
设对一切A≥a，积分 a f (x)dx有界，即存在常数M>0使
A
a f (x)dx M , A a.
又设函数g(x)在[a,+ ∞)上单调且趋于零(当x→+ ∞时)，则
A'
A'
A f (x)dx A | f (x) | dx.
(5)无穷积分收敛的判别法
无穷积分收敛的充要条件
引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则
a f (x)dx 收敛的充要条件是：对一切A≥a，
积分 A a
f (x)dx
有界。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 且当x≥X≥a时有
区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为
瑕点。若极限 lim b 00 a
f (x)dx
存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b
f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
2. 瑕积分
(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意
否则称无穷积分发散。
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意
b
A<b,
f(x)在[A,b]上可积。若
lim
A
A
f
(x)dx 存在，则称
无穷积分
b
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
A A
否则称无穷积分发散。
（优选）第十一章广义 积分与含参变量的积分
复习
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
A>a,
f(x)在[a,A]上可积。若
lim
A
A
a
f
(x)dx
存在，则称
无穷积分
f (x)dx
a
收敛，并定义
f (x)dx lim
A f (x)dx；
a
A a
b 0
a a
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
0
否则称无穷积分发散。
我们得出结论: dx 1 xp
当p 1源自文库,
1
1 xp
dx
发散,
当p>1时积分有值
1
1 xp
dx lim b
b1 0 xp
dx
lim ( 1 b p1 1 )
b p 1
p 1
( 1 ) 1 p 1 p 1
c
f (x)dx lim
b f (x)dx.；
a
00 a
00 c
若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称
瑕积分
b
a
f
(x)dx
发散。
2. 瑕积分
(2)瑕积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分
b
a
f (x)dx
收敛的
充要条件是: 任给ε>0, 存在δ>0, 只要0< δ 1< δ , 0<
0≤f(x)≤g(x). 又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则
(1)由 g(x)dx 收敛可推出 f (x)dx 也收敛；
a
a
(2)由 f (x)dx 发散可推出 g(x)dx 也发散。
a
a
(5)无穷积分收敛的判别法
推论（比较判别法的极限形式）:设当 x≥a 时，f(x)≥0，
g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
则有以下结论：
lim f (x) k, x g(x)
(1)当0≤k<+∞时,若
g(x)d收x 敛则 a
f (x)d收x 敛； a
(2)当0<k ≤ +∞时,若
g(x)d发x 散则 a
f (x)d发x 散。 a
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
a
a
若 f (x)dx 收敛，但
|
f
(x) | dx
发散，则称
a
a
f (x)dx 条件收敛。 a
命题:若
|
f
(x) | dx
收敛,则
f (x)dx
也收敛。
a
a
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
命题:若 a | f (x) | dx 收敛,则 a f (x)dx 也收敛。
上述无穷积分收敛。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法): 设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义， 并考虑无穷积分
a f (x)g(x)dx.
若无穷积分
A
a
f
(x)dx
收敛，且函数g(x)在
[a,+
∞)
上单调有界，则无穷积分
a
f
(x)g(x)dx
收敛。
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意
区间[a,b]上可积。若
lim
b
b 0
f (x)dx与
lim
a
0 a
f (x)dx
同
时存在，则称无穷积分
f (x)dx
收敛，并定义
f (x)dx lim
b
f (x)dx lim
0 f (x)dx；
区间[a, b -ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为
瑕点。若极限 lim b 00 a
f (x)dx 存在，则称瑕积分
b a
f (x)dx
收敛，并定义
b f (x)dx lim
b f (x)dx；
a
00 a
否则称瑕积分发散。
b 1 收敛， p 1,
0 x p dx发散， p 1.
2. 瑕积分
(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意
区间[a+ ε, b -ε]上可积, a与b均为f(x)的瑕点。
若极限 lim c f (x)dx 与 lim b f (x)dx 都存在，则称瑕
00 a
00 c
积分
b
a
f (x)dx
收敛，并定义
b
f (x)dx lim