数学方法论

数学方法论

李逸周

《陶哲轩教你学数学》

一、解题策略

首先以下题为例讲解解题策略:

Q1.三角形三边长是公差为d的等差数列，面积t，求边长和角度。

1.理解问题

类型：①证明、推算型②求值型

给定信息相近答案 or 修改要求

推导、计算调整逼近

值正确答案原要求

③是否存在型：举反例

2.理解已知信息

3.理解所求目标

4.选择恰当符号

5.表达画图

6.“修改”问题

7.简化、充分利用所给信息

对于Q1，将在理解问题、已知信息和所求目标的基础上，选择恰当的符号将已知条件和所求目标表达出来，并画图。

我们会想到利用一下几种方式求解： 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式

海伦公式：t 2=s (s −a )(s −b )(s −c) ,(s 为半周长） 经分析可知可以利用海伦公式解答Q1。 二、数论

同余：a ≡b (mod n ) ↔ n|a −b (一）位数

1.“有限”类型

Q1证：在任意18个连续三位数中，至少存在一个整数，可以被他的位数和整除。

在解这道题之前有必要储备这样一个知识点：n 是9的倍数是n 的各位数字之和是9的倍数的充要条件。 接着我们来证明上面的这道题。

证明：设三位数abc =100a +10b +c

α

β

γ

b -d b +d

b

(题目被转化为证明：a+b+c|abc,并且增加条件：这个整数是9的倍数且是18的倍数）

∵9|abc

∴9|a+b+c

∵1≤a+b+c≤27

∴a+b+c=9,18,27

∵a+b+c=9或18

∴a+b+c|18

∴18|abc

∴a+b+c|abc

得证。

2.“重排”问题

Q2是否存在一个2的幂，其位数重新排列之后成为另一个2的幂（首位不为0）。

分析：要解这道需要有这样一个知识储备：任意整数总是与其位数和模9相等。

我们列出部分2的幂及其位数和、模9的结果进行观察

可猜测并证明2n+6=2n26=2n64与2n模9相同，因此找不到符

合题意的数。（二）丢番图方程

Q1对于非零整数a和b（a+b≠0),求满足1

a +1

b

=n

a+b

的所有

整数n。

解：a+b

ab =n

a+b

(a+b)2=nab

a2+b2+(2−n)ab=0

a=(n−2)b±√(2−n)2b2−4b2

2=b

2

[(n−2)±√(n−2)2−4 ]

(n−2)2−4必须是一个完全平方数

只有当n=4时成立（这是因为任意两个大于4的相邻的平方数之差都大于4）

Q2求出2n+7=x2的所有解。

假设n为偶数

7=x2−2n=(x−2n2)(x+2n2)

①x−2n

2=1x+2

n

2=7

2n

2

+1=6 n不存在

②x−2n

2=−7x+2

n

2=7

2n

2

+1=6 n不存在

∴n为奇数2n+7=x2

2n +7≡x 2(mod4) n =0时 20+7=x 2 无解 n =1时 21+7=9=x 2 x =±3 n >2时 2n +7≡x 2(mod4) 7≡x 2(mod4) 3≡x 2(mod4)

x =2k 时，2n +7≡x 2(mod4)不成立 x =2k +1时，x 2=4k 2+4k +1

=4(k 2+k )+1

2n +7≡x 2(mod4)不成立 综上可知x =±3 三、代数

1.代数是研究数、数量、关系、结构的数学分支

2.初等代数

三种数：有理数、无理数、复数 三种式：整式、分式、根式 中心内容：方程 3.高等代数

f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=∑a i n i=0x i

i =0,1,2,⋯,n ①次数=n

②齐次多项式，例：x2y+z3+xy2

③f(x1,⋯,x m)=p(x1,⋯,x m)q(x1,⋯,x m),p、q为因式④根

Q1.设a、b、c满足1

a +1

b

+1

c

=1

a+b+c

,

证明：1

a5+1

b5

+1

c5

=1

(a+b+c)5

证：bc+ac+ab

abc =1

a+b+c

(a+b+c)(bc+ac+ab)=abc

ab2+a2b+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=0

(a+b)(a+c)(b+c)=0

四、数学分析

分析学是研究函数及其性质的一门学科。

在高中阶段研究满足简单代数性质的函数。

Q1.假设f是一个定义在全体正整数上取整数值的函数，并具有性质：（a)f(2)=2

(b)对于正整数m、n，有f(mn)=f(m)∙f(n)

(c)如果m>n，f(m)>f(n)

求f(1983)的值。

证：①f(1)=1

②假设m≥2,且n

⑴m是偶数，令m=2n

f(m)=f(2n)=f(2)∙f(n)=2n