数学方法论

数学方法论李逸周《陶哲轩教你学数学》一、解题策略首先以下题为例讲解解题策略:Q1.三角形三边长是公差为d的等差数列，面积t，求边长和角度。

1.理解问题类型：①证明、推算型②求值型给定信息相近答案 or 修改要求推导、计算调整逼近值正确答案原要求③是否存在型：举反例2.理解已知信息3.理解所求目标4.选择恰当符号5.表达画图6.“修改”问题7.简化、充分利用所给信息对于Q1，将在理解问题、已知信息和所求目标的基础上，选择恰当的符号将已知条件和所求目标表达出来，并画图。

我们会想到利用一下几种方式求解： 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式海伦公式：t 2=s (s −a )(s −b )(s −c) ,(s 为半周长） 经分析可知可以利用海伦公式解答Q1。

二、数论同余：a ≡b (mod n ) ↔ n|a −b (一）位数1.“有限”类型Q1证：在任意18个连续三位数中，至少存在一个整数，可以被他的位数和整除。

在解这道题之前有必要储备这样一个知识点：n 是9的倍数是n 的各位数字之和是9的倍数的充要条件。

接着我们来证明上面的这道题。

证明：设三位数abc =100a +10b +cαβγb -d b +db(题目被转化为证明：a+b+c|abc,并且增加条件：这个整数是9的倍数且是18的倍数）∵9|abc∴9|a+b+c∵1≤a+b+c≤27∴a+b+c=9,18,27∵a+b+c=9或18∴a+b+c|18∴18|abc∴a+b+c|abc得证。

2.“重排”问题Q2是否存在一个2的幂，其位数重新排列之后成为另一个2的幂（首位不为0）。

分析：要解这道需要有这样一个知识储备：任意整数总是与其位数和模9相等。

我们列出部分2的幂及其位数和、模9的结果进行观察可猜测并证明2n+6=2n26=2n64与2n模9相同，因此找不到符合题意的数。

（二）丢番图方程Q1对于非零整数a和b（a+b≠0),求满足1a +1b=na+b的所有整数n。

解：a+bab =na+b(a+b)2=naba2+b2+(2−n)ab=0a=(n−2)b±√(2−n)2b2−4b22=b2[(n−2)±√(n−2)2−4 ](n−2)2−4必须是一个完全平方数只有当n=4时成立（这是因为任意两个大于4的相邻的平方数之差都大于4）Q2求出2n+7=x2的所有解。

假设n为偶数7=x2−2n=(x−2n2)(x+2n2)①x−2n2=1x+2n2=72n2+1=6 n不存在②x−2n2=−7x+2n2=72n2+1=6 n不存在∴n为奇数2n+7=x22n +7≡x 2(mod4) n =0时 20+7=x 2 无解 n =1时 21+7=9=x 2 x =±3 n >2时 2n +7≡x 2(mod4) 7≡x 2(mod4) 3≡x 2(mod4)x =2k 时，2n +7≡x 2(mod4)不成立 x =2k +1时，x 2=4k 2+4k +1=4(k 2+k )+12n +7≡x 2(mod4)不成立 综上可知x =±3 三、代数1.代数是研究数、数量、关系、结构的数学分支2.初等代数三种数：有理数、无理数、复数 三种式：整式、分式、根式 中心内容：方程 3.高等代数f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=∑a i n i=0x ii =0,1,2,⋯,n ①次数=n②齐次多项式，例：x2y+z3+xy2③f(x1,⋯,x m)=p(x1,⋯,x m)q(x1,⋯,x m),p、q为因式④根Q1.设a、b、c满足1a +1b+1c=1a+b+c,证明：1a5+1b5+1c5=1(a+b+c)5证：bc+ac+ababc =1a+b+c(a+b+c)(bc+ac+ab)=abcab2+a2b+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=0(a+b)(a+c)(b+c)=0四、数学分析分析学是研究函数及其性质的一门学科。

在高中阶段研究满足简单代数性质的函数。

Q1.假设f是一个定义在全体正整数上取整数值的函数，并具有性质：（a)f(2)=2(b)对于正整数m、n，有f(mn)=f(m)∙f(n)(c)如果m>n，f(m)>f(n)求f(1983)的值。

证：①f(1)=1②假设m≥2,且n<m,有f(n)=n,证：f(m)=m⑴m是偶数，令m=2nf(m)=f(2n)=f(2)∙f(n)=2n(2)m 是奇数，令m =2n +1f (2n )<f (m )=f (2n +1)<f (2n +2) ∴f (m )=2n +1 ∴f (1983)=1983五、欧几里得几何欧几里得几何简称“欧氏几何”，是几何学的一门分科。

数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。

它主要由三个部分：假设、定义、定理组成。

泰勒斯定理：圆的直径所对的圆周角是直角。

证明：∠ACB =90°∠ACB =∠ACO +∠BCO=∠CAO +∠CBO =180°−∠ACB ∴∠ACB =90°AB证明题（一）直接方法（向前法）1.设三角形ABC 是圆的内接三角形，其三个内角∠A 、∠B 、 ∠C 的角平分线分别交圆于点D 、E 、F ，证明：AD ⊥EF.证：令α=∠BAC,β=∠ACB,γ=∠ABC ∠AME =∠MIE +∠IEM =180°−∠AIB +∠BCF =α+β+γ2=90°2.在三角形ABC 中，∠B 的角平分线交AC 于点D ，∠C 的角平分线交AB 于点E ，这两条角平分线相交于点O ，假设|OD |=|OE|,证明：∠BAC =60°或三角形BAC 为等腰三角形。

D证：令∠ACB =α，∠BAC =β，∠ABC =γ ∠ADO =180°−β−γ2=α+γ2∠AOD =180°−β2−α−γ2|OD|sinβ2=|OA|sin （α+γ2）=|AD|sin （90°−α2）|OE|sinβ2=|OA|sin （γ+α2）=|AE|sin （90°−γ2）⇒sin (α+γ2)=sin(γ+α2)⇒α+γ2=γ+α2或α+γ22=180°−（γ+α2）⇒α=γ2或β=60°（二）向后法3.设ABFE 是一个矩形，点D 是对角线AF 与BF 的交点，过E 的一条直线交AB 的延长线于点G ，且交FB 的延长线于点C ，使得DC=DG ，证明：AB FC=FC GA=GA AE.提示：（1）画图；AB（2）先尝试向前法，三角形DCG 是等腰三角形，从点D 向CG 作垂线，但是发现没有办法解出题目；（3）尝试向后法，要证明三个比值相等，可利用相似三角形：△FCE ∽△BCG ∽△AEG六、解析几何 （一）向量法1.正n 边形内接于一个半径为1的圆，设L 是由连接多边形顶点的所有线段所可能有的不同长度组成的集合。

问L 中所有元素的平方和是多少？解：令L 中所有元素的平方和是X 。

n 3 4 5 6⋯ X 3 6 4 8⋯①n 是偶数时，有n2条长度不同的线段②n 是奇数时，有n−12条长度不同的线段设正多边形的顶点为：A 1,A 2,⋯,A nG则X =|A 1A 2|2+|A 1A 3|2+⋯+|A 1A m |2{m =n 2+1m =n+12 =12(|A 1A 1|2+|A 1A 2|2+⋯+|A 1A m |2+|A 1A n |2+⋯+|A 1A n+2−m |2)={12(|A 1A 1|2+|A 1A 3|2+⋯+|A 1A m |2)+2,n 为偶数12(|A 1A 1|2+|A 1A 3|2+⋯+|A 1A n |2),n 为奇数 Y =|A 1A 2|2+|A 1A 3|2+⋯+|A 1A n |2=(OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+⋯+(O(2−2OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2−2OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(2−2OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+⋯+(2−2OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2n −2OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2n由上可知：X ={n +2,n 为偶数n ，n 为奇数（二）临界状态例：一个男生在正方形游泳池中央，而他的老师（不会游泳）站在游泳池边的一个角上，老师奔跑速度是学生游泳速度的3倍，但是男生比老师跑得快，男生能逃脱老师的追逐吗？（假设两人都可以自由移动）分析：（1）假设男生可以逃脱；（2）男生的最佳策略就是以最快的速度沿直线猛冲，同时根据老师的行动灵活地改变其策略；（3）男生径直向C ：男生所用时间：√22=0.707 老师所用时间：23=0.667（4）男生径直向M ：恰好被老师抓住；综上，男生需要在向M 游到X 后，以垂直CD 的方向向CD 游去，其中|OX |<14AB 。

三、其他例题例1：两个玩家由60小块正方形小巧克力组成的6×10的矩形大巧克力做游戏，第一个玩家沿着划分巧克力的浅槽掰下一部分，并吃掉，第二个玩家也是如此，问谁能给对手留下单独一块小巧克力？ 提示：给下一个玩家留下n ×n 的方块巧克力即能赢。

例2：两兄弟卖羊，每只羊的卖价数与羊的个数相同，卖完羊后两兄弟分钱，哥哥拿10元，弟弟拿走10元，如此下去，最后轮到弟弟取钱不够10元，弟弟取走剩下的之后，哥哥将小刀给了弟弟，问OM AD B C X小刀值多少钱？解：假设小刀p元，每只羊的卖价为s元，最后弟弟拿走a元。

a+p=10−p⇒a=10−2ps2=10n+10n+10+a=20n+10+10−2p=20(n+1)−2ps2≡−2p(mod 20)2p:①偶数②完全平方数2p=0，4,16⇒p=2《怎样解题》一、解题四阶段1.必须理解题目熟悉题目：使题目形象化，暂时抛开细节理解、熟悉题目，将目标印入脑海深入理解题目：分离主要部分{证明题:前提、结论求解题：未知量、已知量以下问题可用于教师引导学生，也可用于自己解题时帮助自己理解题目：①未知量是什么？②已知数据是什么？③条件是什么？④条件可能满足吗？2.拟定方案（1）找出已知数据和未知量之间的联系；（2）已知数据和未知量之间无直接联系时，考虑辅助题目；（3）得到解题方案。