关于函数恒成立问题的解题

恒成立问题

二、恒成立问题解决的基本策略

A 、两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ⇔≥；

思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ⇔≤．

如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值．

此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．

C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略

1、一次函数型

若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．

给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >⎧⎨>⎩；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n <⎧⎨<⎩

． 例3．对于满足2a ≤的所有实数a ，求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立，

设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0，

故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2243010

x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得：3111x x x x ><⎧⎨><-⎩或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)．

2、二次函数型

例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01

a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+

=≥+，适合；

②当210a -≠时，有222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩

即有221191090a a a a ⎧>⎪⇒<≤⎨-+≤⎪⎩； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，[1, 9]a ∈．

例5．已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．

分析：()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：

略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤，62a ∴-≤≤．

变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值围．

分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，

只需()f x 的最小值()0g a ≥即可． 解：2

2()()324

a a f x x a =+--+，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a ； ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥；73

a ∴≤，而4a >Q ，a ∴不存在； ②当222

a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥，62a ∴-≤≤； 又44a -≤≤Q ，42a ∴-≤≤； ③当22

a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥，7a ∴≥-； 又4a <-Q ，74a ∴-≤<-；

综上所述，72a -≤≤．

变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值围．

法一：分析：题目中要证明()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转

化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题．

略解：2

()320f x x ax a =++--≥，

即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立；

①()2410a a ∆=--≤， 222222a ∴--≤-+

2 —2

②24(1)0(2)0(2)0222

2a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或

；52a ∴-≤≤-；

3、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的围已知，另一个变量的围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值围的任何一个数都有：()()f x g a >恒成立，则min ()()g a f x <；若对于x 取值围的任何一个数，都有：()()f x g a <恒成立，则max ()()g a f x >．

例6．已知三个不等式：①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<．要使同时满

足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值围．

略解：由①②得23x <<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，

即不等式2290x x m -+<在(2, 3)x ∈上恒成立，

即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9；

所以：9m ≤．

例7．函数()f x 是奇函数，且在[1, 1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+对所

有的[1, 1]a ∈-都成立，求t 的取值围．

解：据奇函数关于原点对称，(1)1f =；

又因为()f x 在[1, 1]-是单调递增，所以max ()(1)1f x f ==；

2()21f x t at ≤-+Q 对所有的[1,1]a ∈-都成立；

因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1, 1]-上的最大值1，

2221120t at t at ∴-+≥⇒-≥；又∵对所有的[1, 1]a ∈-都成立，

即关于a 的一次函数在[1, 1]-上大于或等于0恒成立，

222020220

t t t t t t t ⎧-≥⎪∴⇒≥=≤-⎨+≥⎪⎩或或即：(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞U U ． 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．

4、根据函数的奇偶性、周期性等性质