探索三角形相似的条件(一)
探索三角形相似的条件(一)数学说课课件
你能得出CD2=AD· BD吗？
A
B
D
（六）归纳小结
1、两角对应相等，两个三角形相似。
2、利用两个三角形相似来解决一些 简单的实际问题。
必做题：教科书P120的习题4.7的第1、2题。 选做题： 1、如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角 线BD⊥DC，试说明△ABD∽△DCB． 2、如图，已知D是△ABC的边AB上任一点，DF∥AC交 BC于E．AF交BC于M，且∠B=∠F，△AMC∽△BDE吗？ 请说明理由。
（二）教学目标 根据新课标的要求，我制定了 如下 “三维”目标 知识与技能 过程与方法
情感态度与价值观
知识与技能目标： 让学生初步掌握利用两角对应相等来判定两个三角 形相似，使学生能够运用两个三角形相似来解决有 关实际问题。 过程与方法目标： 将学生分成若干个小组，经历探索两个三角形相 似的条件，自主交流合作，动手操作，解决问题 充分发挥学生的主体作用。 情感态度与价值观： 自主探索，合作交流，学生唱主角，老师任导演，增 强学生学数学，用数学，探索数学奥秘的愿望，体验 成功的喜悦。
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画 △A1B1C1，使得∠A = ∠A1=60°， ∠B= ∠B1=45 °， 比较你们所画的三角形，∠C= ∠C1吗 ？
做一做
相等吗？这样的两个三角形相似吗？
C B C1 B1 A1 A
AB AC BC 、 、 A 1B1 A 1C1 B1C1
通过计算得出∠C= ∠C1
A D D B 第1题 C E B 第2题 A M F C
轻轻的,
我走了,
正如我轻轻的来,
我轻轻地点击鼠标,
结束我今次的说课，
谢谢大家!
苏科版数学九下6.4《探索三角形相似的条件(1)》课件(共27张PPT)
再见
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
定理的符号语言 L4 L5
L1//L2//L3
A
D
L1
B
E
AB
DE
=
C
L2 F
L3
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5 L4
A
L1
D
E
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC
D
AD AB
=AACE
B
A
E
C
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5 L4 L1 L2
L3
求证：—AECC— ＝ —BDCC—
E C
C
D
E
达标检测题: (A组)
DE
1、如图: 已知 DE∥BC,
A
AB = 5, AC = 7 ，
AD= 2， 求：AE的长。
B
C
C
(B组)
2、已知 ∠A =∠E=60°A
B
探索三角形相似的条件(一)说课课件
目 录
• 课程导入 • 三角形相似的概念 • 三角形相似的条件 • 三角形相似的应用 • 教学方法与手段 • 教学反思与改进
01
课程导入
课程背景
01
相似三角形是几何学中的重要概 念，它在解决实际问题中有着广 泛的应用。
02
通过学习三角形相似的条件，学 生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，为后续学习奠定基础 。
引导学生主动思考，发现三角形相 似的规律，培养他们的观察力和推 理能力。
案例教学
通过分析具体的三角形相似实例， 让学生深入理解相似条件的运用。
教学手段
PPT课件
使用精美的PPT课件，展示三角 形相似的各种情况和条件，使教
学内容更加生动、形象。
实物模型
利用三角形实物模型进行演示， 帮助学生更好地理解三角形相似
建筑设计
在建筑设计过程中，可以 利用相似三角形的性质来 设计建筑物的结构，确保 其稳定性和安全性。
物理学
在物理学中，可以利用相 似三角形的性质来解决力 学、光学、电磁学等领域 的问题。
在数学竞赛中的应用
数学竞赛中的三角形相似问题
01
数学竞赛中常常会涉及到三角形相似的问题，需要学生灵活运
用相似三角形的性质来解决。
教学目标
掌握三角形相似的定 义和基本性质。
培养学生的观察、思 考和解决问题的能力 ，提高他们的数学素 养。
理解三角形相似的条 件，并能应用这些条 件解决实际问题。
教学内容
三角形相似的定义和性质
介绍相似三角形的定义、性质和判定 条件。
三角形相似的条件
应用实例
通过具体实例，让学生了解三角形相 似的应用，并掌握解决实际问题的技 巧和方法。
10.4探索三角形相似的条件(1)
初中数学八年级下册10.4探索三角形相似的条件（1）班级 组别 姓名 使用日期【学习目标】1．通过探索与交流，得出两个三角形只要具备有两个角对应相等，即可判断两个三角形相似的方法.2．会运用三角形相似的条件解决有关问题. 【导学提纲】12．在上图中，若∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′， AB ＝A ′B ′，那么（1）和（2）中的两个三角形全等吗？为什么？3．在上图中，若∠A ＝∠A ″，∠B ＝∠B ″， A ″B ″＝2AB ，那么（1）和（3）中的两个三角形相似吗？为什么？4．设A ″B ″＝k AB,改变k 值的大小，那么（1）和（3）中的两个三角形还相似吗？为什么？5．通过上面的探索，你能归纳出判定三角形相似的条件吗？试用文字语言和几何语言分别归纳．试一试:1．关于三角形相似下列叙述不正确的是 ( )A ．有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似B ．有一个角对应相等的两个等腰三角形相似C ．所有等边三角形都相似D ．顶角对应相等的两个等腰三角形相似. 2．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝55°,∠B ＝∠B ′＝65°,∠C ′＝60°，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？为什么？B ′ A ″ B ″ A B （1） （2） （3） ABCA ′B ′C ′ACBD 图（2）B CA E D图（3）A ECBD图（1） 【展示交流】1．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？思考：如下图，点A 、B 、D 与点A 、C 、E 分别在一条直线上，如果DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？由此得： 三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 ．几何语言：因为 ，所以△ADE ∽△ABC【课堂反馈】1．如图（1）， AE 与BD 相交于C ，要使△ABC ∽△DEC ，需要条件 ．如图（2）要使△ABC ∽△ACD ，需要条件 ．如图（3）要△使ABE ∽△ACD ，需要条件 ．2．课本P95练习第1, 2, 3，4题．【盘点收获】【个案补充】【迁移创新】如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高, （1）试说明△ABC ∽△CBD ∽△ACD.（2）根据△ABC ∽△ACD 有ACAD AB AC ，∴AC 2＝AD ·AB, 类似地,你还可以得到哪些结论？【课堂作业】课本P102 习题10.4 第1，6题．AB CE DA DEBC EDA BCCBDA。
九年级下册数学《探索三角形相似的条件一》
A’ B’
定理： 两角分别相等的两个三角形相似
A
C’ B
C
s
∠A=∠A’,∠B=∠B’ △ABC △A’B’C’
本课小结
A
D
E
B
C
角相等 形相似
E
D
A
B
C
A
D
B
C
三角
三边成比例
相等的角所对的边就是对应边
感谢观看
《 人教版九年级下册数学教学课件 》
05
经典图形
经典图形
A
E
D
D
E
△AED
B
C
∠AED =∠B
∠A =∠A
S
△ABC
A
B
C
∠E =∠B ∠EAD =∠BAC
经典图形
A
D
E
B
C
{∠AED =∠B ∠A =∠A
S
△AED △ABC
?
√ A.
AE
AD =
AB
AC
B.
AE
AD =
AC
AB
经典图形
D E
A
B
C
{∠E =∠B ∠EAD =∠BAC
相似
02
从全等到 相似
从全等到相似
全等
A
形状相同
A’
大小相等
B
C
B’
C’
s
ABC
A’B’C’(ASA)
从全等到相似
A相A相似似
A
？
B
形状相同
√
A’
大小相等
？
C
B’
C’
ABC ABC
s s
探索三角形相似条件一
注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正 确解答的前提和关键.
回顾与反思☞
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 类比三角形全等的判定方法: 边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边
想一想,做一做☞
亲历知识的发生和发展
问题四:
在Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′中,
∠C= ∠C′=900,如果有一直
角边和斜边对应成比例,那么
设法比较∠B 与∠B′ 的大小,∠A与∠A′的 大小.
它们一定相似吗?
Rt△ ABC与Rt△ A′B′C′
我们一起来动手:
相似吗?说说你的理
画△ ABC与△ A′B′C′,使 由.
那么△ABC∽△A′B′C′, (斜边直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.)
这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引 起重视.
想一想,做一做☞
亲历知识的发生和发展
我们重新来看问题三:
C
如果△ ABC与△ DEF 4cm 有一个角相等,且两边对
应成比例,那么它们一定
相似吗?
A
500
3.2cm F
八年级数学（下册） 第四章 相似图形
探索三角形相似的条件
回顾与反思☞
相似三角形的相关概念
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三 角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)
相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成 比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对 应周长的比等于相似比.
北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(一)教学课件 (共16张PPT)
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系 和
探索三角形相似条件(一)上课课件
类比猜想，引入课题
猜想：从角的方面有几种可能的情况
猜想一：一个角对应相等的两个三角形相似
猜想二：两个角对应相等的两个三角形相似
猜想三：三个角对应相等的两个三角形相似
合作交流，探索结论
探究猜想一： 一个角对应相等的两个三角形相似 画一画请每位同学画出一个ABC, 使得A 60 , 并与同伴交流，你们所画 的三角形相似吗? 探究结果：两个三角形中仅知道有 一个角对应相等，不能作为判定两个三 角形相似的条件。
合作交流，探索结论
探究猜想二： 两个角对应相等的两个三角形相似
合作交流，探索结论
探究猜想三： 三个角对应相等的两个三角形相似 根据三角形内角和定理，可将猜三
与猜想二化归为同一个猜想.
合作交流，探索结论
两个三角形相似的判定方法： 两角对应相等的两个三角形相似
应用拓展，达成目标——做一做
判断题 1.有一个锐角对应相等的两个直角三 角形相似。（ ） 2.所有的直角三角形都相似。（ ） 3.有一个角相等的两个等腰三角形相 似。 （ ） 4.顶角相等的两个等腰三角形相 似。 ） 5.所有的等边三角形都相似。 （ ）
应用拓展，达成目标——学一学
应用拓展，达成目标——想一想
活动四：同伴互助，变式训练
b a
直线a 、直线b相交于点A，点B、C分别 在直线a 、直线b上，在直线a 、直线b上 A 分别找两点D 、E，使△BAC与△D AE相 似，请尽量多地画出点D 、E的位置。
B C
应用拓展，达成目标
相似三角形的基本图形
应用拓展，达成目标——试一试
《拿破仑测莱茵河宽度》
观察到对面岸边的一个标志O，于是 他想出了一个测量河宽的办法。他在自己 的岸边选点A、B、D，使得AB⊥AO， DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。然后 测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你 Ｏ 能帮助他算出莱茵河的宽度吗？
10.4 探索三角形相似的条件(1)
例题欣赏 例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中， 已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°， ∠C′＝70°，△ABC与△A′B′C′相似吗？ 为什么？ A′
A
B
C
B′
C′
例题欣赏 例2、如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°, CD是∠ACB的平分线，△ABC与△CBD相 似吗？为什么？
A
D B C
如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、 E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
A
D
B
E
C
如图，如果DE∥BC，那么△ADE与△ABC相似 吗？为什么？
D A E
B
C
平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.
A
D E
C
E
D
B
A B
C
交流讨论
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似.
D A
B
C
E
F
及时巩固
有一个锐角对应 相等的两个直角三 角形相似吗?为什 么? 相似. 因为有两个角对 应相等.
顶角相等的两个等 腰三角形是否相似? 为什么? 相似. 因为顶角相等,两个 底角也对应相等.
A
B A′
B′
A′′
B′′
如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的 一部分，你能画出这3个三角形吗？ 请在书94页完成
A
B
A′
B′
如图，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′,
AB＝A′B′，那么第一个三角形与第二个三 角形全等吗？为什么？
A
B
A′′
B′′
探索三角形相似的条件(一) 优质课评选教案
顺德区·2012年初中青年数学教师说课比赛参赛教案及教案说明教材：北师大版数学八年级下册第132页至134页授课对象：八年级（下）的学生参赛选手：乐从镇沙滘初级中学郑春明教育的艺术不在于传授,而在于唤醒、激励和鼓舞!课题：4.6.1探索三角形相似的条件（一）【授课教师】乐从镇沙滘初级中学郑春明【教材】北师大版数学八年级下册第132页至134页【教学对象】八年级（下）学生【教学目标】✧知识与技能理解三角形相似的判定方法；掌握找相等角从而运用判定条件（一）来解决问题。
✧过程与方法学生经历“直观感觉――动手感知――理性思维――应用拓展”的活动过程，探索两个三角形相似的条件并用它来解决简单问题，进一步发展学生的逻辑推理能力。
情感态度价值观通过生活中的有关三角形相似的应用，让学生体会到数学来源于生活，应用于生活的辩证思想。
【教学重点】相似三角形的判定方法及其探索过程【教学难点】找对应相等的两个角来判定三角形相似【教学方法】师生互动探究式教学【教学手段】计算机、学案【教学过程设计】教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）温故知新谈话揭题约3分钟1、什么叫相似三角形?2、要满足怎样的条件能证明两个三角形相似？（引入课题）教师引导学生回顾回答问题引入小组竞争本节内容，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，提出两个问题温故知新，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标、突出重点的效果。
（二）合作交流探索条件活动一：找找、比比，直观感觉我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请同学们帮个忙，从这八个三角形中找出相似的三角形。
并直观展示一下你是怎样判定两个三角形相似。
教师发出指令学生从感觉本能出发做理性思考，为活动二奠定基础。
培养直约17分钟活动二：说说、画画，动手感知1、说说你能用最少的条件、最简捷的方法（本节课只研究与角有关的条件）画一个三角形与我手中的三角形相似吗？（从上题中选取含60°，30°，90°的三角形）。
6.4 探索三角形相似的条件(1)平行线
B
C
E l2
F
l3
度量得AB=1、BC=3、 DE=2、猜猜看EF=？ 并度量验证。 AB、BC、DE、EF 有何关系呢？
a A B C
AB BC
b D
l1
E l2 F
DE EF
l3
=
按下面右图画法，上面结论还成立吗？
一般到特殊
a A B
C
b D
a
l1
A
B
D
E
b
l1
l2
E l2 F
l3
F C
6.4 探索三角形相似的条件（1）
—平行线分线段成比例
一、温故知新：
1.具备什么条件的两个三角形叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 相似三角形. D
A
C
B
F
E
2.相似三角形有什么性质？
(1)相似三角形的对应角相等； (2)相似三角形的对应边成比例.
二、探究：
先画3条互相平行的直 线 l1 、l2 、 l3 ，再任意画两条直线a、b， l2 分别相交于点 a、b与 、l1 、 A 、 B、 C l3 和点D、E、F，如下图： a b A D
1
B C
E
l2
F l3
l4
你能用文 字语言概括你 的发现吗？
M
N
三、猜想与归纳：
平行线分线段成比例定理：两条直线 被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
基本事实
a
b
A B
D E F
l1 l2 l3
C
a
A B C
b D E
F
A
L1 L2
L3
l1
3.5探索三角形相似的条件(第1课时)
A、②③④B、③④⑤C、④⑤⑥D、②③⑥
4、如图7，在正方形网格中画一个△DEF，使△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且D、E、F都在网格的顶点上。
【例2】如右图所示，在正方形网格上有△ABC和△DEF，试说明△ABC和△DEF相似。
及时演练：
1、在△ 和△ 中，已知AB＝6，BC＝8，AC＝10， ， ，则当 时，△ ∽△ 。
2、已知△ABC的三边长分别为 、 、 ，△DEF的三边分别为 、 、 ，试判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由。
5、如图8所示，∠AOB＝90°，AO＝OB＝BC＝CD＝1，下列结论中正确的是（）
A、△OAB∽△OCA B、△OAB∽△ODA C、△ABC∽△DBA D、△OAB∽△ACD
6、在正方形网格上画有梯形ABCD，求∠BDC的度数。
（1）若∠1＝，则△CBD∽△CAB。
（2）若∠2＝，则△CBD∽△CAB。
2、△ 和△ 中，已知，则图中存在对相似三角形，请把它们用“∽”表达在横线上：
。
4、如图3，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，则图中有对相似三角形，它们分别是
。
5、如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，图中共有对相似三角形，它们分别是。
3.5探索相似三角形的条件（第1课时）
知识点一：三角形相似的条件一
两角对应相等的两个三角形相似。
即：在△ABC和△DEF中，如果∠A＝∠D，∠B＝∠E，那么△ABC∽△DEF。
【例1】如右图所示，已知∠DAB＝∠EAC，∠B＝∠D。找出图中的相似三角形，并说明理由。
探索三角形相似的条件(1)
尝试：
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高, （1）试说明△ABC∽△CBD∽△ACD.
AC AD （2）根据△ABC∽△ACD有 AB AC
∴AC2＝AD· AB, 类似地,你还可以 C 得到哪些结论？
A D B
发散探究
过△ABC的边AB上 一点D作一条直线与另 一边ＡＣ相交，截得 的小三角形与△ABC相 似，这样的直线有几 条？请把它们一一作 出来。
试一试：
例1、在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝50°, ∠B＝∠B′＝60°,∠C′＝70°，△ABC与 △A′B′C′相似吗？
A A′
B
B′ C
C′
试一试：
例2、如图，在方格图中，画△A′B′C′， 使A′C′∥AC，B′C′∥BC, 0 A′ (1)如果∠A＝250 ,∠B＝135 ， A 那么∠A′＝ ，∠B′＝ ， B C B′ ∠C′＝ ； (2) 测量两个三角形的三边长后 判定△ABC与A′B′C′是否相似？ (3)发现：两角 的两三角形相似
这样的直线有几条？
Ａ
D●
Ｂ
C
A D B 作DE,使 E C B 作DE,使 D
A
E C
∠AED=∠C(或DE∥BC) 又∠ Ａ＝∠Ａ
∴△ ADE∽ △ABC
∠AＥＤ=∠Ｂ 又∠ Ａ＝∠Ａ ∴△ AED∽ △ABC
归纳总结
1、探索三角形相似的条件（1），并
运用这一条件解决有关问题 2、经历“操作——观察——探索—— 说理”的数学活动过程，发展合情推 理和有条理的表达能力.
初中数学八年级下册 （苏科版）
10.4探索三角形相似的条件 （1）
尝试：
小明用白纸遮住了3个三角形的一部分， 你能画出这3个三角形吗？
第八讲 探索三角形相似的条件(1)
第八讲 探索三角形相似的条件（一）一、相似多边形1.相似多边形概念：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
2.相似比概念：相似多边形对应边的比叫做相似比。
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。
3、相似多边形的相似比具有方向性,例如:若五边形ABCDE 与五边形A'B'C'D'E'的相似比为2,则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为1:2.在上图中,六边形ABCDEF 与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形,其中∠A 与∠A1,∠B 与∠B1,∠C 与∠C1,∠D 与∠D1,∠E 与∠E1,∠F 与∠F1分别对应相等,AB 与A1B1,BC 与B1C1,CD 与C1D1,DE 与D1E1,EF 与E1F1,FA 与F1A1的比都相等.3.如果两个多边形相似，它们的对应角都相等,对应边成比例典例分析知识点1：和相似比相关的计算例1：（1）两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．32B ．23C ．94D ． 49 （2）在矩形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形EFCB ，那么它们的相似比为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．21 （3）一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10（4）△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果△ADE 与△ABC 相似且相似比为1：3，则AD= ．（5）已知△ABC 与△A′B′C′的相似比为，△ABC 与△A″B″C″的相似比为，则△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为（ ）A ．B ．C ．或D ．知识点2：利用相似多边形的定义证明例2：（1）一块长3 m,宽1.5 m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?（2）在直角坐标系中依次描出下列点:A(0,0),B(0,-4),C(4,0),D(4,2),E(2,2),A1(5,0),B1(5,-2),C1(7,0),D1(7,1),E1(6,1).(1)依次用线段连接点A,B,C,D,E,A和依次用线段连接点A1,B1,C1,D1,E1,A1,你得到了两个什么图形?(2)这两个图形相似吗?若相似,求出它们的相似比;若不相似,简要说明理由;知识点3：利用相似多边形的性质计算例3：（1）如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．4 D．（2）E,F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求矩形ABCD的面积。
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探索三角形相似的条件
1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所得的三角形与原三角形相似
2.两个角对应相等的两个三角形相似。
3.基本图像介绍
平行型
非平行型
二、典型例题分析
例1 、如图，△ABC为等边三角形，双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证：BC是BD、CE的比例中项。
证明：因为△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°
又∠DAE=120°，∴∠1+∠2= °.
又∠ABC=60°= ，∴∠2=
同理可得，∠1=∠E.
∴△ABD∽△ECA.
∴
∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC
∴
∴BC为BD、CE的比例中项。
变式练习：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB 和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB.
求证：AB是AD和AE的比例中项。
例2.如图，已知；CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,
E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥
AB,垂足是G.
求证：
变式练习：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是
AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交
CF于点F,求证：
课堂练习.
1、下列说法错误的是（）
A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
B、顶角相等的两个等腰三角形相似；
C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。
2、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（）
3、如图，点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠
ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（）
A. 2 cm
B. cm
C. 12 cm
D. 2
cm
4、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10mm，AC被分为60等份。
如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是
mm.
5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=______，
△ADC∽△ACB，若∠2=______时，△ADC∽△ACB．
若△ADC∽△ACB，则
6、如图，AB=9，AC=6，点M在AB上，且AM=3，点N在AC上运动，连接MN，若△AMN 与△ABC相似．则AN=______．
7、如图，Rt△ABC中∠A=90°，四边形DEFG为内接正方形
求证：=BE•FC．
8、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交
于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
(3)吗？请说明理由. (4)若BC=9，BD=3，求
探索相似三角形的条件（二）
判定方法两个三角形相似的条件两个三角形全等的条件
1 两边对应成比例，夹角相等两边对应相等，交角相等
2 两个角对应相等两个角和一边对应相等
3 三边对应成比例三边对应相等
例1.下面每组的两个三角形是否
相似?为什么?
（1）△ABC∽△DEF
证明：∵
∴△ABC∽△DEF
（2）△ABC∽△AEF
证明：在△ABC中，AB=2，AC=6
∵
∴
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AEF
例2.如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，AD•AB=AE•AC．求证：DE⊥AB．
变式练习：正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2．（每一个小正方形的边长为1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；
例3：如图，点M在B C上，点N在A M上，C M＝C N，
求证：(1)∠A N C=∠A M B
(2)△A N C∽△A M B
(3)∠B A M=∠C A M
变式练习：锐角△A B C中，B E⊥A C于，C F⊥A B于，B E,C F相交于点O,连结E F
求证：(1)
(2)△ABC∽△A E F
(3)△O E F∽△O C B．
(4)若∠A=60°，求
一、课堂练习
1、△ABC和△A′B′C′符合下列条件，这两个三角形不相似的是（）
A．∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°
B．AB=1, AC=1.5, BC=2, A′B′=4 A′C′=2 ,B′C′=3
C．∠A=∠A′AB=2 AC=2.4 ,A′B′=3.6 A′C′=3
D．ABC=3 AC=5 BC=7 ,A'B'=A'C'=A'B'=
2如图，要使△ABC∽△ACD，应具备的条件是（）
3，如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）
4、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD和BE相交于点O，
下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）
A．∠B=∠C B．AD：AC=AE：AB
C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD，AB=AC
5、如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D
作一条直线截△ABC的边AC（或BA）,若截得的三角形
与△ABC相似，
则这样的直线一共有（）条。
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
6、如图，已知：∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE
求证：△ABC∽△DBE
7、已知: 如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
E是AB上一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,
求证：∠B=∠CFD．
8、（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。
求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。
所作△EDC改成相似于△ABC。
请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。
9、已知，正△ABC中，如图（2）E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD,则有AD//BC；
（1）若将正△ABC改为等腰Rt△ABC，如图1所示，E为AB边上任一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，上述结论还成立吗？
（2）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？
.
..
.
s .. 11.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知折叠CE= ，且
= 。
（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线C E 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。