探索三角形相似的条件(一)

探索三角形相似的条件
1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所得的三角形与原三角形相似
2.两个角对应相等的两个三角形相似。

3.基本图像介绍
平行型
非平行型
二、典型例题分析
例1 、如图，△ABC为等边三角形，双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证：BC是BD、CE的比例中项。

证明：因为△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°
又∠DAE=120°，∴∠1+∠2= °.
又∠ABC=60°= ，∴∠2=
同理可得，∠1=∠E.
∴△ABD∽△ECA.
∴
∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC
∴
∴BC为BD、CE的比例中项。

变式练习：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB 和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB.
求证：AB是AD和AE的比例中项。

例2.如图，已知；CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,
E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥
AB,垂足是G.
求证：
变式练习：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是
AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交
CF于点F,求证：
课堂练习.
1、下列说法错误的是（）
A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
B、顶角相等的两个等腰三角形相似；
C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。

2、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（）
3、如图，点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠
ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（）
A. 2 cm
B. cm
C. 12 cm
D. 2
cm
4、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10mm，AC被分为60等份。

如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是
mm.
5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=______，
△ADC∽△ACB，若∠2=______时，△ADC∽△ACB．
若△ADC∽△ACB，则
6、如图，AB=9，AC=6，点M在AB上，且AM=3，点N在AC上运动，连接MN，若△AMN 与△ABC相似．则AN=______．
7、如图，Rt△ABC中∠A=90°，四边形DEFG为内接正方形
求证：=BE•FC．
8、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交
于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
(3)吗？请说明理由. (4)若BC=9，BD=3，求
探索相似三角形的条件（二）
判定方法两个三角形相似的条件两个三角形全等的条件
1 两边对应成比例，夹角相等两边对应相等，交角相等
2 两个角对应相等两个角和一边对应相等
3 三边对应成比例三边对应相等
例1.下面每组的两个三角形是否
相似?为什么?
（1）△ABC∽△DEF
证明：∵
∴△ABC∽△DEF
（2）△ABC∽△AEF
证明：在△ABC中，AB=2，AC=6
∵
∴
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△AEF
例2.如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，AD•AB=AE•AC．求证：DE⊥AB．
变式练习：正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2．（每一个小正方形的边长为1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；
例3：如图，点M在B C上，点N在A M上，C M＝C N，
求证：(1)∠A N C=∠A M B
(2)△A N C∽△A M B
(3)∠B A M=∠C A M
变式练习：锐角△A B C中，B E⊥A C于，C F⊥A B于，B E,C F相交于点O,连结E F
求证：(1)
(2)△ABC∽△A E F
(3)△O E F∽△O C B．
(4)若∠A=60°，求
一、课堂练习
1、△ABC和△A′B′C′符合下列条件，这两个三角形不相似的是（）
A．∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°
B．AB=1, AC=1.5, BC=2, A′B′=4 A′C′=2 ,B′C′=3
C．∠A=∠A′AB=2 AC=2.4 ,A′B′=3.6 A′C′=3
D．ABC=3 AC=5 BC=7 ,A'B'=A'C'=A'B'=
2如图，要使△ABC∽△ACD，应具备的条件是（）
3，如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）
4、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD和BE相交于点O，
下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）
A．∠B=∠C B．AD：AC=AE：AB
C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD，AB=AC
5、如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D
作一条直线截△ABC的边AC（或BA）,若截得的三角形
与△ABC相似，
则这样的直线一共有（）条。

A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
6、如图，已知：∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE
求证：△ABC∽△DBE
7、已知: 如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
E是AB上一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,
求证：∠B=∠CFD．
8、（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。

所作△EDC改成相似于△ABC。

请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。

9、已知，正△ABC中，如图（2）E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD,则有AD//BC；
（1）若将正△ABC改为等腰Rt△ABC，如图1所示，E为AB边上任一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，上述结论还成立吗？
（2）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？
.
..
.
s .. 11.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知折叠CE= ，且
= 。

（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线C E 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。