多目标决策简单概述

第十一章多目标决策

(Multi-objective Decision-making) 主要参考文献68, 111

§11.1 序言

MA：评估与排序

MCDP

MO：数学规划

一、问题的数学表达

N个决策变量= {, ,…, }

n个目标函数() = ( (), (),…, ())

m个约束条件∈X即: ()< 0 k=1,…,m

>0

(1) 不失一般性，MODP可表示成：

P1 M ax { (), (),…, ()}

s.t. ∈X

这是向量优化问题，要在可行域X中找一，使各目标值达到极大。

通常并不存在，只能找出一集非劣解

(2) 若能找到价值函数v( (), (),…, ()) 则MODP可表示成：

P2 M ax v ( (), (),…, ())

s.t. ∈X

这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。

二、最佳调和解(Best Compromise Solution)

P3 DR (f1(x

∙),f2(x

∙

),…, f n(x

∙

))

s.t. x

∙

∈X

即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c ∙

常用的Decision Rule: max V

max EU

min d

p (f

∙

- f

∙

)

求BCS必须引入决策人的偏好

三、决策人偏好信息的获取方式

1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息

如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则

2.在优化过程中：逐步索取偏好信息

如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT

3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择

i，算法复杂，决策人难理解，ii,计算量大，

iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较

黄庆来[111]的分类表:

§11.2 目的规划法

适用场合： 决策人愿意并且能用

优先级P (Preemptive priority) 权 W (Weight)

目的 f ∙

( Goal ) 来表示偏好

理想点 f

*

∙

( Ideal )

一、距离测度的选择

d f x f p (() )∙

∙

∙

- = {|() |}

w f x f j j j p p

∙

-∑1

范数p 的意义和作用 p=1 绝对值范数 p=2 欧几里德范数 p =∞契比E 夫范数

在上图中，B 、C 点到A 的距离

p 从1→∞时最大偏差所起作用越来越大，

二、目的规划问题的表述

min{d f x f p (() )∙

∙

∙

- = {|() |}

w f x f j j j p p

∙

-∑1

}

s. t.

x ∙∈X 即: g k (x ∙

)< 0 k=1,…,m x ∙

> 0

三、分类

1.线性目的规划 p = 1 f j , g k 为线性;

x ∙

连续; w, f ∙

事先给定

2.整数目的规划 除x ∙

各分量为整数外，均同线性目的规划 (例：人才规划)

3.非线性目的规划： p=1， w, f ∙

事先给定

f j ,

g k 为非线性，X 为凸集，x ∙

连续

4.调和规划和移动理想点法: 1≤ p≤∞w事先给定

f ∙= f*

∙

是移动的理想点

5.字典序法p = 1

f ∙= f*

∙

P1》P2》…》P L

6.STEM法P=∞ f

∙= f*

∙

为理想点，权由计算得出

7.SEMOP 目的标定为区间，不是固定点

四、例：

某车间生产甲、乙两种产品，产量分别为x

1和x

2

，产品甲每单位需2个单位的劳动力和3

个单位

原料,利润为2；生产产品乙需3个单位劳动力和1.5个单位原料,利润为3。在下一计划期间车间有12单劳动力12单位原料。

假定车间主任有如下目标：

(1)利润至少为6个单位，

(2)两种产品产量经尽可能保持x1：x2= 3：2，

(3)劳动力充分利用

解：按传统的线性规划，使利润最大：

max 2x

1

+ 3x2

s. t. 2x1+ 3x2≤12 (劳力约束)

3x1+1.5x2≤12 (原料约束)

x

1

, x2≥0

用图解法可得x

1

=3, x2=2时,利润最大为12.

五、例(续上例)

已知条件中产品甲利润改为4, 其余均不变。

车间主任希望改为: 最低利润12单位

(2)产量比例为1, 即x1=x2; (3)充分利用原料

解: 新的目标为4x

1

+3x2≥12 (最低限度利润)

x

1

- x2= 0 (产量比例)

3x1+1.5x2=12 (材料充分利用)

设定偏差变量d

1

: 利润d2: 产量比例d3: 原料d4:劳动力利用正、负偏差变量可得：

min P1d

1-+ P

2(d2-+d2+) + P3d3-

s. t. 4x1+3x2-d1-+d1+≥12 (利润目标)

x

1

- x2-d2+ d2+= 0 (产量比例)

3x1+1.5x2+ d3-=12 (材料充分利用)

2x1+ 3x2+ d4-=12 (劳动力约束)

本题可以用改进的单纯形法求解(见pp217-221), 也可用图解法求解: