鲍建生数学课堂设计研究

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中美初中数学教材习题的比较研究——以有理数为例

中美初中数学教材习题的比较研究——以有理数为例王晓丽【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)014【总页数】4页(P36-39)【作者】王晓丽【作者单位】河南大学数学与统计学院【正文语种】中文以在中国大陆、美国加州应用广泛的初中数学教科书中“有理数”章节的习题为研究对象，从数量、类型、综合难度三个方面对两国教材有理数章节的习题进行比较分析，了解两国教材习题配备的异同，发现我国教材存在问题背景创设等方面的不足，借鉴加州教材的优势，为我国数学教材有理数领域习题的编制与改革提供参考. 习题是中学数学教材的重要组成部分，习题配备的质量一定程度上影响着教师教学与学生学习的质量.因此，对教科书中习题的研究是一项重要且有意义的工作.由于美国数学教育在培养学生创造力和实际操作能力方面有很强的先进性，因此中美教材习题部分的对比对我国习题的编写具有一定的意义与价值.比较是为了知己知彼，学他人之长处，改自身之不足.结合中国实际，选取美国初中数学教材有理数章节的习题进行比较研究.有理数是学生在初中阶段所接触的第一个与负数有关的内容，不少学生在刚接触时对它的理解并不透彻.因此对有理数章节习题的类型、素材选取及难度等方面的研究十分有必要.它山之石，可以攻玉.结合鲍建生教授的数学课程综合难度模型，比较中美两国教材有理数部分习题配备的差异，找到中国教材在有理数部分习题配备的不足，吸收美国教材习题配备的优秀之处，为我国初中数学教材有理数领域习题的编写提供帮助.1.中国教材——人民教育出版社七年级上册数学教材.选取在国内应用广泛的人民教育出版社课程教材研究所及中学数学课程研究开发中心编著的七年级上册数学教科书.该教材中除概念、定理、例题外，还涉及“思考”“探究”“归纳”“阅读与思考”等模块，便于学生发散思维.本文所要研究的内容是该教材第一章“有理数”的所有习题.这里所提及的习题包括：“例题”“练习”“思考”“探究”“习题”“复习题”“数学活动”模块中所涉及的所有题目.2.美国加州教材——California mathematics 7教材.California mathematics 7教材由The McGraw—Hill公司在2008年出版，是在美国加州应用广泛的概念教科书.该教材设计独特，每节内容中设有核心概念（key concepts）、核心词汇（key vocabulary）.在教材每节内容的左侧设立旁白，提示学生易出错的知识点，并附有网络学习的链接，别具特色.本文所要研究的是该教材第二章——“有理数”的所有习题.这里所指的习题包括例题（Example）、效果检验（Check Your Progress）、现实世界举例（Real—Word Example）、练习（Exercises）、检验理解（Check Your Understanding）、中间章节测试（Mid—Chapter Quiz）、学习指导和回顾（Study Guide and Review）、练习测试（Practice Test）及加利福尼亚州标准测试题（California Standards Practice）.采用定量刻画与定性描述相结合的方法，选取鲍建生教授的综合难度模型从习题数量、类型、难度因素各方面对中美初中数学教材中“有理数”章节的习题进行比较研究.鲍教授建立的综合难度模型中包含五个难度因素，每个难度因素又分为几个水平（见表1）.首先，根据鲍教授提出的综合难度模型，统计各因素上每个水平层次中的习题数量及占总数量的百分比.其次，为了对数学课程的综合难度有一个整体把握，在因素分析的基础上，使用等级变量的自然赋值（即将每个因素的各个水平从低到高按自然数1、2、3、…进行赋值）并将其作为权重.利用下面的公式计算中美教材在每个难度因素上的加权平均值i=1、2、3、4、5，j=1、2、…），其中di（i=1、2、3、4、5）分别为“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”五个难度因素上的取值.dij为第i个难度因素的第j个水平的权重（依次水平为1、2、3、…）.nij则表示这组题中属于第i个难度因素的第j个水平的题目个数.总和等于该组题目的总数n.1.习题数量比较.由表2统计出的数据可知中美两国教材有理数章节的习题数量差异较大，美国教材该章节的习题比中国教材的两倍还多.2.习题类型比较.由表3统计的数据可知，中国教材有理数章节习题中，填空题、判断题、解答题和作图题在总习题数量中所占比重大于美国教材.而美国教材有理数章节的习题中，选择题和主观题所占的比重远超中国教材.3.习题难度因素比较.（1）探究水平.图1表示两国教材“有理数”领域习题在探究水平上的差异.中国版教材和美国版教材中属于“识记”水平的习题分别占习题总量的50.56%和50%.两国教材中“理解”水平的习题分别占总量的44.38%和44.89%，而属于“探究”水平的习题分别占总量的5.06%和5.11%.由上述折线图可以看出，两国教材在探究难度因素下各水平习题所占百分比的差异不大.说明在有理数部分，中美两国教材都更加重视对基础知识的识记与理解，相对忽视对学生探究水平的培养. （2）背景水平.图2表示两国教材“有理数”领域习题在背景水平上的差异.中国版教材中不涉及实际背景的习题占习题总数的94.38%，比美版教材高13.73个百分点.中美教材中涉及“个人生活”的习题分别占总量的0.56%和12.90%，美版教材超过中版教材12.34个百分点.中美教材中涉及“公共常识”的习题分别占总量的2.81%和2.96%，涉及“科学情境”的习题分别占总量的2.25%和3.49%.由折线图知，中美两国教材有理数领域的习题中无背景知识的习题数量仍占习题总量的绝大部分，但相比美版教材而言，中版教材对习题背景的引入更加缺乏.尤其是与学生个人生活有关的习题背景素材的引入，更是少之又少.（3）运算水平.图3表示两国教材“有理数”领域习题在运算水平上的差异.中美两国教材在有理数章节中不含运算的习题分别占总量的34.27%和7.26%，我国教材在有理数领域不涉及运算的题目远超美国教材27.01个百分点.中美教材在有理数章节涉及“数值运算”的习题分别占总量的62.92%和84.68%，其中美版教材涉及数值运算的题目超中版教材21.76个百分点.中美教材有理数章节涉及“简单符号运算”的习题分别占总量的2.81%和8.06%，而两国教材在有理数领域均无“复杂符号运算”的习题.由折线图表明，相比中国而言，美国教材在有理数领域“无运算”的习题相对较少，中国教材在有理数领域涉及“数值运算”和“简单符号运算”的习题数目低于美国教材.（4）推理水平.图4表示两国教材“有理数”领域习题在推理水平上的差异.中美教材有理数领域的习题中一半以上为“无推理”水平的习题.中美两国教材中“简单推理”水平的习题分别占总量的30.34%和33.33%，而两国教材在有理数领域均未涉及“复杂推理”水平的习题.这表明中美两国教材在有理数领域均应该加强对习题推理水平的重视.（5）知识含量.图5 表示两国教材“有理数”领域习题在知识含量上的差异.中美两国教材有理数章节中涉及“单个知识点”的习题分别占总量的85.96%和89.78%，涉及“两个知识点”的习题分别占总量的11.24%和9.41%，涉及“3个及3个以上知识点”的习题分别占总量的2.80%和0.81%.由折线图表明两国教材在有理数领域都对单个知识点的考查更加重视.（6）综合难度.为了对两国教材有理数领域习题的综合难度有一个整体把握，在对难度因素的不同水平进行分析的基础之上，利用前面给出的加权平均值的计算公式计算出习题各因素的加权平均值（见表4）.由两国教材有理数领域习题各难度因素的加权平均值可以刻画出综合难度的五边形模型，如图6所示.由图6可知，我国教材有理数领域的习题在“知识含量”这一因素上高于美国教材，在“探究”和“推理”因素上与美国教材相差甚微.在“背景”和“运算”因素上则明显低于美国教材.依照上述对中美两国教材有理数章节习题的综合难度因素分析，对中国教材的习题编写提出以下几点思考建议.1.适当增加教科书习题的数量.不少学生认为我国教育更加侧重题海战术，因此误以为中国教科书中的习题数量要远多于其他国家的教科书.但实际上，学者翻阅外国的初中数学教材不难发现，中国初中数学教科书中的习题数量呈现量少的特点，远低于美国、澳大利亚等国家.从比较的视角来看，中国教科书需要适当增加习题数量.对此我国可以参照学习美国的习题编排，在教材左侧留白处设立math online小模块，其中包含有self-check quiz的网络链接（见图7），为那些在学习书本知识以外仍有精力学习更多知识的学生提供学习网站.此举可避免盲目扩增题量，仅在书本上列举有代表性的题目，减轻学生的学业压力的同时，又可以顾及不同水平学生的学习与进步.2.创设习题的实际背景，使数学知识生活化.中国版教材习题的背景方式单一，大部分题目是对概念定理的直接考查或直接的数值或符号运算.人教版教材有理数章节的习题中包含实际背景的习题仅占总数的5.62%，与美版教材相比差别较大，美版教材每章节都设有real-word examples 来列举与学生生活、工作职业、科学情境或公共常识有关的实际背景知识，并配有具体介绍该背景知识的网络链接.另外，美版教材习题注重对学生个人生活背景的引入（如图8）.与学生生活相关的习题背景可以营造一种数学就在身边的氛围，激发学生解决问题的兴趣.人教版教材可以借鉴美版教材对习题背景素材引入的手段，创设合理的问题情境，赋予数学生动的形象，使学生将书本知识与实际生活相联系，既可以从生活中捕捉数学信息，又能运用数学知识解决生活问题，意识到知识源于生活，并服务于生活.中国教材要努力创设多样化的习题呈现形式，使数学题变得有血有肉，不显空洞.3.在注重识记的基础上，加强对学生探究及推理能力的提升.基础知识是学好数学的根基，但是对学生探究及推理能力的提升是发散学生思维、培养学生创造力必不可少的要素.我国教材要在注重习题识记及理解的基础之上，提高探究和推理类习题的数量来提升学生的创造力，培养学生的逻辑思维能力. 4.增加实践、探究等开放性习题的比例，激发学生的学习兴趣.开放性习题注重考查学生对所学知识点的灵活运用程度，给予学生思维发散的空间.为了提升学生自主举例的能力，我国可以学习美版教材在每个小节的习题中都设有open ended习题模块的方法，增加开放性习题的数量，给予学生从生活中发现、列举数学问题的机会，发散学生思维，吸引学生学习数学的兴趣，使学生真正将数学知识与生活紧密相连.【相关文献】1.余元庆.谈谈习题的配备与处理：介绍几本外国中学数学课程中的习题配备［J］.数学通报，1980（3）.2.高文君，鲍建生.中美教材习题的数学认知水平比较——以二次方程及函数为例［J］.数学教育学报，2009（4）.3.人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学七年级（上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.4.Day，Frey，Howard，Hutchens，Luchin.GlencoeCalifornia mathematics 7［M］.The McGraw-Hill Companies，2008.5.鲍建生.中英初中数学课程综合难度的比较研究［M］.南宁：广西教育出版社，2008.6.吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究［J］.课程·教材·教法，2014（2）.。

中小学“微课”学习资源的设计开发与应用研究微课课题开题报告

中小学“微课”学习资源的设计开发与应用研究1.课题来源、选题依据以及本课题的选题意义1.1课题来源来源中央电化教育馆关于信息技术化教育总课题。

属于理论研究与应用相结合的课题。

1.2选题依据随着当前社会互联网时代的蓬勃发展以及现代社会对教育的全新要求，教育在网络平台的实现成为一种新型的教育方式。

中小学“微课”学习资源的设计开发和应用就成为了这一新型教育方式下的一个重要尝试。

根据一部分一线老师的教学实践，我们可以发现在传统课堂教学中总是会存在一部分学生的掉队，而在当今小班化还无法完全实现的条件下，这部分待优生的学习困难就可以通过中小学“微课”学习资源平台来解决，当然同时也表明本课题研究的学校资源的受众是大多以待优生为主，这是本课题选题的现实依据。

同时在互联网到来的今天，相比较于传统教学所拘泥于教室这样一个固定的教学环境，民众有了更多的选择，那么网络平台就是其中最为重要的选择之一，通过教育多媒体在网络平台的发布是一种顺应社会发展的必然结果。

1.3研究现状及选题意义1.3.1国内研究现状述评微课，一词，最早见于佛山日报、南方日报、广州日报对此的报道，其全称是微型视频课例，简称微课。

（胡铁生，2011）指出微课是指按照新课程标准及教学实践要求，以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源有机组合。

在“微课”一词诞生之前，国内常见的类似惯用表达有“教学视频案例”、“视频课例”等。

作为国内较早对教学视频案例进行研究者之一，苏州大学的鲍建生教授对视频案例的研究是比较系统的。

他对教学视频案例的定义是：指用计算机及超媒体编辑系统整合课堂教学视频片段及各种相关的教学素材，包括文字(文章)、图画、照片、投影片、幻灯片、音频、视频等，把大量的、多样性的数据采用可变的、非线性的、快速提取的方式链接，为案例教学研究提供复杂的、多元表征表1 中国期刊网的数据检索基于对以上文献的阅读，可知目前对教学视频案例、视频课例的研究主要集中于中小学的教学应用。

图说数学教育原理31：数学题的综合难度模型

图说数学教育原理31：数学题的综合难度模型
阅读提示
本期图说数学题的综合难度模型。

华东师范大学鲍建生(2002)借鉴Negara(2001)在向美国国家教育统计中心的工作报告中提出课程总体难度(Overall difficulty)的概念，结合数学学科的特征，以数学题的难度来衡量数学课程的难度，并建立了综合难度模型.如下图所示：
这个模型包含了背景、探究、知识含量、推理和运算等五个维度因素，对每个因素又进行了水平划分.根据等级权重，可以计算一组题目在每个因素上的加权平均，具体公式如下：
由此可以得到题目的综合难度的五边形直观模型，并以中英两套数学教材习题为例，对中英两国数学课程难度进行了比较研究.
这个模型有一定价值，它能够诊断数学课程的难度特征及其相应
的难度水平，可以作为课程比较或者评价的工具.模型所涉及的五个因素也比较合理，其中三个体现了我国数学课程的传统特征，另两个则反映了新课程的要求，因此，可以在一定程度上为课程编制提供平衡点.但这个模型也存在着一些问题，如对每个因素的难度水平的界定不够精细，用五边形的形态和面积来表示综合难度的特征与水平似乎也缺乏依据.
北师大出版社王建波博士认为，这个难度模型存在需要改进之处：一是以习题的难度代替整个教材的难度；二是教材习题的五个维度均获得一个数值，缺乏整合.
阅读链接：
图说数学教育原理1-25期目录
数学教育研究方法：
图说数学教育原理26：数学教育学体系
图说数学教育原理27：数学教育学研究的双逻辑起点
图说数学教育原理28：数学教育的双逻辑模型
图说数学教育原理29：数学教育研究方法
图说数学教育原理30：青浦实验的实践筛选法。

中马初中数学新教材综合难度的比较研究

Ｓｒｎｅ —Ｖｅｌｇ２０．ｐｉｇｒｒａ．０２Ｍａｍｉｌｎ＆Ｃｏ．１３．２８ｃｌａ．９２６．
［汪晓勤，６］王苗．法国数学教材中的勾股定理［＿Ｊ中学数学教学参考（］初中版）２１（— ），０１１２：
１８—１０２３．
图３背景水平的比较
解” 水平的例题分别占４％和５％；７０属于“ 究” 探水平的习题分别占２％和３见图２．％（）从图２可看出，中马两国新教材中的例题在
探究水平上的分布非常相似．两国新教材中的
从图３以看到，可中国新教材的背景的来源
程的背景水平高于马来西亚的一个原因．在此次课程改革过程中，们强调背景在学我生学习和教师教学中的作用，在教材的编写过程中，注重背景的设置，出现了大家预期的结果也
一
行符号运算，涉及运算的以数值运算为主，们我的课程则相对比较重视符号运算．但我国的新
复杂符４步符号运算５５ｌ合运算步符号运算５４．５００５Ｏ１．３６步符号运算３０
无２０８２０６．６３１．２０７
简单推理
ｌ推理５７步６１３２推理３５０２．１步３５．４０２
３推理２２步５８４推理１７步７５推理７０步６推理００步
推理
复杂推理
１８１３．．７８
７推理１０．４００步０１．３８推理００步９步推理００１步推理Ｏ０Ｏ１步推理２０１１知识点个２３９８Ｏ５．０２．５０８６２知识点９Ｏ．４０１０１８０２．０知识３知识点４２个７８量：爪４知识点２１个００１９１１．．８７以上５知识点１１．ｌ００个００２．４６个知识点００７知识点２０个

《数学教育研究导引(二)》

出版物刊名：上海中学数学
页码： 49-49页
年卷期： 2014年第10期
主题词：数学教育研究课堂教学研究国际数学教育学习理论理论与实践江苏教育出版社研究方法徐斌
摘要：<正>《数学教育研究导引(二)》由张奠宙先生担任学术总监,鲍建生、徐斌艳主编,江苏教育出版社出版。

此书的形式和体例基本沿袭了老版本《数学教育研究导引》的思路,选材的范围主要是这20年来国际上有一定影响的学术著作和论文。

其中,"进展综述"部分重点介绍近20年来国际数学教育的一些大事;"专著导读"部分筛选了一些经典著作,包括国际数学教育委员会(ICMI)的研究系列;"论文评介"部分是按照数学教育的研究领域排列的,如"数学课程的理论与实践"、"数学课堂教学研究"、"数学学习理论"、"数学教师教育"、"数学教育评价"等,希望通过这些论文,由点带面,在研究方法上起到示范的作用;最后一部分"课题推荐"根据。

数学课堂教学研究的分析框架

灵活性
1. 2.
3.
4.
思维的起点灵活，能从与题目相关的各种角度和方向去考虑问题；心理转向比较容易，从正向思维转为反向思维，特别是对概念的正反关系的认识，公式的正反运用，定理与逆定理的灵活使用，解题时分析法与综合法的交替使用时表现自如；思维转换较为迅速，可以不受先前解题方法的影响，克服思维定势的消极作用及自我心理限制，能根据变化及时调整思路，从而可以有的放矢地解决问题；思维的过程中善于转化，可以很容易地化生为熟，把几个部分看成一个整体，把一个整体分成几个部分，也就是化零为整，化整为零．
安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)
技能训练的注意事项（1）
1. 训练初期将技能活动过程展开。当学生已熟练掌握某项数学技能后，其完成该项技能的活动过程则大大简化，组成活动的单个的操作步骤只在头脑中迅速进行而不记录下来。但在技能训练初期，学习该技能及其过程时则必须充分展开其操作过程，对组成该技能的所有基本的操作步骤一一进行训练。否则、技能的掌握便不可能达到自动化熟练水平。 2. 技能训练的时间分配要适当。练习按时间的分配可分为两类 : 一类是分散练习，指将练习的时间分为若干段，一步步进行; 另一类是集中练习，指将所学技能包含的各动作在一次时间内完成，中间没有休息。这两种练习形式的效果存在差异。一般认为分散练习效果优于集中练习。这是因为，如果在一段长时间内练习同一技能容易使人疲劳，容易产生消极态度，兴趣减退，从而导致练习的效果下降，而适当的分散练习，则可使每次练习的效果都比较好。盖伊(I.R.Gay)曾经实验证明:代数规则的分散练习比集中练习效果好。
教
教材教法
教学内容的理解教学经验焦点：老师如何教？

2022版新课标下小学数学教材习题难度的比较研究——以2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章

2022版新课标下小学数学教材习题难度的比较研究 ——以2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章为例发布时间：2023-01-28T06:54:07.457Z 来源：《时代教育》2022年18期作者：闫丽[导读] 以2022版新课标视域下2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题为研究对象，闫丽（内蒙古包头市九原区沙河第二小学 014010）摘要：以2022版新课标视域下2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题为研究对象，采用鲍建生提出的数学习题综合难度模型，从习题的“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”五个因素对习题综合难度进行比较分析，得出2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题综合难度未发生显著变化。

建议教师设计习题时做到以下4点：1、增加探究类习题；2、增强习题背景的丰富性；3、增加习题推理的难度；4、提高习题综合难度。

关键词：新课标，圆，习题难度，人教版一、问题的提出2022年4月21日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）》，随后人教版教科书完成新一轮修订，通过审核验收后投入使用。

小学数学教材是小学生学习数学知识的主要载体，而习题又是小学数学教材的重要组成部分，习题的难度决定着教师的教学方法和学生对知识的掌握程度。

“圆”作为最基本的平面图形，在几何学中有着较广泛的应用，对“圆”内容进行比较研究有着十分重要的意义。

因此，本文对2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题综合难度比较分析，得出各自的难度特征，并运用公式测出其难度水平，从而更好地提升教师的教学质量和水平[1]。

二、研究设计（一）研究对象本研究以《义务教育数学课程标准（2022 年版）》[2]（以下简称《2022版新课标》）为指导依据，研究中国人民教育出版社2013年和2022年出版的小学数学教科书（以下简称“2013和2022人教版”）“圆”一章中“做一做”、练习十三至练习十七的习题。

数学高考运算能力考查研究

数学高考运算能力考查研究文/庄雅欣摘要：新课程的改革对高考数学产生了一定的影响，本文在鲍建生教授综合难度模型的基础上对近三年高考试卷试题难度进行总体分析，进而对难度变化较大的运算因素从试题数量和试题分值分布进行了剖析，在此基础上为高考试题命制及一线教师教学提出建议。

1 问题提出随着教育的改革，高考也发生了相应的变化，越来越重视学生核心素养的考查。

高中数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、几何直观、数据分析。

核心素养是高中数学教与学过程中主要的发展对象，所以作为高中生的必备技能的运算能力成为数学高考的重要考查内容。

笔者借助综合难度模型对近三年高考理科数学卷进行科学的统计分析，让读者更清楚高考数学试题对数学运算能力的考查。

这一研究能够帮助命题人员明确试题对学生数学运算能力的具体考查，正确把握命题的方向。

同时帮助一线的教育工作者更好地培养学生的运算能力，提高学生的运算思想，以便促进学生的全面发展。

2 研究工具鲍建生在比较研究中英两国初中数学课程综合难度时提出了综合难度模型，他将Noraha提出刻画试题难度的“扩展性问题”的百分比、“实际背景”的题目的百分比、“运算”的题目的百分比、“多步推理”的题目的百分比等四个因素扩展探究、推理、背景、运算和知识含量五个因素建立了综合难度模型。

该模型对五个因素进行了层次等级的划分，对每个层次等级进行赋值，用加权平均的方式对每个因素进行计算得出结果。

计算公式为：其中，分别表示五个难度因素的取值；其中表示第个难度因素的第个水平的题目数量，表示表示第个难度因素的第个水平的权重，他们的和就是题目总的数量。

其中鲍健生教授将运算难度划分为无运算、数值运算、简单符号运算和复杂符号运算四个水平。

高考试卷运算难度的研究能够帮助一线教师明确高考的命题动向，进而更好的培养学生的运算能力。

笔者将利用鲍建生教授在2014年修改后的综合难度模型对近三年高考试卷进行剖析。

3 试题分析根据鲍建生综合难度模型的公式计算出近三年全国Ⅰ卷在综合难度各因素上的加权平均，进而得出近三年全国Ⅰ卷试题综合难度五边形如图1所示。

人教版与苏教版初中数学教材内容的比较研究

人教版与苏教版初中数学教材内容的比较研究作者：史益婷来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2020年第07期摘要：几何在数学长河中是一颗璀璨的明珠，欧几里得、高斯等无数数学家都是在几何的图形之美中来到数学的殿堂，产生了许许多多智慧的数学结晶。

在初中阶段，我们的学生们接触到了奥妙的几何，而如何发展我们的教材，笔者认为，不同教材的比较，可以帮助我们在《课程标准》的引领下多角度多维度地去看待同一个课题，对于我们的几何教学是有所裨益的。

而在本文中，笔者将寻找较为熟悉的人教版与苏教版两版初中教材在《全等三角形》中的异同。

关键词：全等三角形;几何教学;教材中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）07-027-2教材是课程实施的基础，是一切教学的出发点。

它是教师设计课堂的起点，也是学生接触知识的重要载体。

因此在教师教学与学生学习中，教材都起着举足轻重的作用。

笔者在作为学生学习与作为教师教学中曾用过两版教材：人民教育出版社出版的数学教科书与江苏凤凰科学技术出版社出版的数学教科书。

两本教材虽然编写时都依照中华人民共和国教育部出版的《义务教育数学课程标准》，但所呈现出的内容却不尽相同。

受上海市松江区泗泾实验学校的梁永擎老师启发，笔者现对人教版与苏教版在《全等三角形》这一章中的异同进行比较研究。

一、人教版和苏教版教材的异同点研究对象为2013年版人民教育出版社出版的数学教科书（以下简称人教版）八年级上册第12章《全等三角形》与2005年版江苏凤凰科学技术出版社出版的数学教科书（以下简称苏教版）八年级上册第1章《全等三角形》。

（一）《全等三角形》内容广度的比较研究教材编排顺序的比较，旨在研究人教版与苏教版在《全等三角形》这一章的编排顺序：其承接的以及启发的上下章节以及本章内容安排。

通过比较人教版与苏教版的教材编排内容的顺序，不难得出两版教材在编排顺序上没有太大的差异，都注重准许小步走、多层次的原则，由易到难、由浅入深地发展学生的知识与能力。

运用鲍建生模型解析事前综合难度

运用鲍建生模型解析事前综合难度作者：吴世朗来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第18期本文系福建省宁德市中学教育科学研究2018年度课题：“高考全国卷数学科试题特点及教学对策研究”（立项批准号：FJNDKY18-803）摘要：事前综合难度指不采用考试之后的试题正确率、通过率等，对试题本身进行考查。

本文将利用鲍建生模型对试题难度进行分析。

鲍建生模型将标准分为五类，即“探究水平”“背景水平”“推理水平”“运算水平”以及“综合知识水平”，并以此构建试题难度模型。

关键词：鲍建生模型；高考数学；事前综合难度中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）09-0168一、提出问题高考制度是我国人才选拔的一个重要考试制度，因此为了确保人才的成功选拔，不让人才流失，全国高考数学试题的公平性就显得至关重要。

故如何做到平衡试题的难易度、结合继承与创新，就成为全国高考数学试题命题者中的一个重心。

本文通过对全国高考数学试题事前综合难度的分析研究，对试题的“探究因素”“知识水平因素”“推理因素”“运算因素”以及“综合知识水平因素”进行事前的有关研究。

本文选择的鲍建生模型如下：鲍建生模型将用于考查试题难易及公平性的五个因素分列在五边形的五个点上，按照五个因素的权重进行1、2、3赋值并依次排序连线。

试题的综合难度分析，最先的就是在对试题的“探究因素”“知识水平因素”“推理因素”“运算因素”以及“综合知识水平因素”中的每一个因素进行分析、讨论和比较，然后再依据等级权重，利用公式计算出目标题在每个难度因素上的加权平均值。

二、进行分析本文具体地将2017年的高考全国数学试题以“探究因素”“知识水平因素”“推理因素”“运算因素”以及“综合知识水平因素”进行了分析，具体以2017年全国数学高考试题为例。

1. 2017年全国数学高考试题全面地检测了学生需要获得的必要的数学基础知识和基本技能、理解基本属性概念，数学结论的本质和基础性在这其中被体现了出来。

中国与新加坡初中数学教材中统计习题难度的比较研究

中国与新加坡初中数学教材中统计习题难度的比较研究
孙学敏
【期刊名称】《牡丹江教育学院学报》
【年(卷),期】2013(000)002
【摘要】采用了苏州大学鲍建生教授提出的刻画数学题综合难度的多因素模型,对中国与新加坡初中数学教材中统计习题的综合难度进行了比较分析,发现:两国教材统计习题在五个因素上相对比较平衡；我国在“背景”和“知识含量”两个因素上高于新加坡；在其他三个因素上,新加坡教材略高于我国.
【总页数】2页(P133-134)
【作者】孙学敏
【作者单位】贵州师范大学数学与计算机科学学院,贵州贵阳 550001
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.初中数学教材习题综合难度的国际比较研究--以中国、美国、新加坡教材中“三角形有关的角”为例 [J], 徐玉庆;武小鹏
2.中国与新加坡初中数学教材中统计习题的比较研究 [J], 孙学敏
3.中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究 [J], 吕世虎;孙学敏
4.中、日高中数学教材“统计”习题难度比较研究 [J], 覃淋
5.\"中国大陆\"\"日本\"和\"中国台湾\"高中数学教材统计习题难度比较研究 [J], 覃淋
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初中数学概念课的有效教学策略探究

学科教研研究／探索YANJIU TANSUO荩初中数学概念课的有效教学策略探究哈尔滨市第四十九中学苗绘数学概念作为数学教学的核心，是数学知识体系中的基本元素。

有效的数学概念教学不仅是学生感悟数学思想的主要手段，也是培养学生数学思维品质的重要途径。

抽象数学概念的教学，不仅要关注概念的实际背景与形成过程，还要帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。

致力于改变教学现状的初衷，近几年，我校数学组一直开展关于数学概念课的课例研究，在分析教学现状的基础上，试图有主题、有目标、有方法、有基点地针对课堂教学展开研究，其目的不仅仅是上好一堂课，更关键的是让教师在研究一节课的过程中，掌握上好这类课或更多课的方法，让学生充分体验数学概念的发生发展与形成过程，感悟概念抽象，把数学抽象、直观想象、数学建模等核心素养渗透其中。

从学生角度看，学生往往觉得数学学习等同于解数学题，只要多解数学题，就能学好数学。

而且各地中考考试题型相对固定，对概念的考查大多在平时的小测和阶段考试中。

概念学习咬文嚼字，还可能枯燥无趣，对于抽象的概念，低学段的学生说不清，道不明；高学段的学生存在短期学习行为，认为其不如解题方法、规律技巧让他们更有抓手和现实意义。

从教材角度看，现行各版本初中数学教材改变了老教材中严密的知识体系，知识呈现更加生活化，语言通俗易懂，许多重要的概念都是以描述性的语句出现在教材中，这种对概念的弱化处理使部分教师对概念教学的认识产生了偏差。

从教师角度看，概念的高度概括性和抽象性也给教师以“概念课难上”的印象，于是，面对回避不了的概念课教学，一些教师采取压缩概念教学的时间，缩短学生的感悟过程，只重结论的记忆和机械训练方式加以应对，导致学生对数学概念理解不到位，进而对建立在概念基础上的数学思想与方法缺乏深刻感悟，不利于对学生思维能力的培养。

建构主义的数学学习理论认为:学生学习数学概念需要进行心理建构，只有学生主动建构，调整自己的内外认知结构，才能建立新的认知结构。

初中数学学与教的案例分析(鲍建生)

能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了。我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。
系列21：数学诡辩题系列22：项目难记的题目系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目系列24：既有语言又有直观表达的题目系列25：有关空间概念的题目系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑
成分之间关系的题目
能力差异方面的研究
1. 数学资优生的个案研究； 2. 好、中、差学生的能力特征
范希尔理论的特点
1. 次序性：几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的
水平顺利发展，必须具有前一水平的各个概念和策略。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次。
2. 进阶性：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随
年龄成长或心理成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平。
理解新理解
转化反思
教学评价
研究风格的转变
三十年前, 教育工作者们很少关注认知科学家的工作, 在认知科学研究的初期, 研究者们的工作是远离课堂的. 今天, 认知研究者们更多的是与教师合作, 在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论, 因为在教室里, 他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用.
系列11：不现实的题目系列12：形成人工概念系列13：有几种解法的题目系列14：变化内容的题目系列15：重建一种运算的题目系列16：暗示“自我限制”的题目系列17：正向和反向的题目系列18：启发（探索）性课题系列19：关于理解和逻辑推理的题目系列20：系列题目

高中数学教材中几何内容例题难度的比较研究——以人教A版、北师版、苏教版数学2为例

第39卷第5期 2020年9月数学教学研究21高中数学教材中几何内容例题难度的比较研究—以人教A版、北师版、苏教版数学2为例李保臻，倪贵艳，马登堂(西北师范大学教育学院，甘肃兰州，730070)摘要：以鲍建生的例题难度比较模型为工具，从探究、背景、运算、推理、知识含量5个因素方面对人教A版、北师版及苏教版“数学2”中的例题进行难度水平比较研究.研究发现：三版教材中探究类例题都比较少；相比较而言，人教A版例题对学生的推理及运算能力要求较高，注重前后知识点之间的联系；苏教版例题注重与生活实际背景的联系，注重对学生数学建模能力的培养；北师版例题推理的灵活性较高，且推理过程简洁明了.整体来看，人教A版例题的综合难度最高，苏教版居中，北师版最低.关键词：高中数学教材；数学2;几何内容；例题难度；比较1引言教材是知识传承的文本载体，是师生开展教学活动的重要媒介，因此，教材的内容选择、呈现方式、尤其是难度设置对教师的教学质量及学生的学习效果有重要影响.对数学教材而言，其难度往往通过教材中例习题的数量、类型、符号表征、运算与推理的复杂程度等难度要素表现出来，即例习题难度在一定上程度上反映了数学教材的难度水平[1].近年来，我国学者针对数学教材例习题难度做了许多研究.如濮安山等人以鲍建生的综合难度模型为工具，从数量、认知水平及难易程度出发对人教（A)版与IB ID版高中数学教材中平面向量的例题难度进行了比较[1];贾宇翔等人从知识点个数、背景、运算、数学任务等维度对中韩初中数学教材习题的难易程度进行了比较研究[2];付钰等从探究、背景、运算、推理和知识含量几方面对中美高中数学教材中“三角函数”部分的习题难度进行了比较[3];贾随军等从认知、背景、运算、推理、知识含量几方面对中美初中数学教材的习题难度进行了比较研究w;李保臻等从例题数量、类型及难易程度几方面对初中人教版、北师版及华师版教材中“一元二次方程”的习题难度进行了比较研究[5].整体来看，学者们对数学教材中例习题难度的比较主要是从数量、类型、呈现方式、认知水平、知识点含量等方面展开研究，且涉及中外数学教材例习题难度的比较研究较多，这说明我国数学教材比较研究国际化的趋势不断增强，但相比之下，在我国“一标多本”的课程设置模式下，有关高中数学教材中几何内容例题难度比较的本土化研究成果不多，所以有必要对其进行系统研究.高中“数学2”包括“立体几何初步”与“解析几何初步”两个主题，具体分为“空间几何体”“点、线、面之间的位置关系”“直线与方程”“圆与方程”等知识内容，学生在学习过程中通过采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识与探究几何图形及其性质，形成用数形结合的思想方法解决几何问题的能力，从而助力数学核心素养的培养.在我国“一标多本”的课程设置模式下，高中必修“数学2”的课程内容构成及其中蕴含的思想方法决定了不同版本教材的难度设定各具特点.鉴于教材的例题收稿日期：2020-07-22基金项目：2018年度教育部人文社会科学研究规划基金项目—西北民族地区农村中小学教师专业成长支持体系研究(18YJA880039)作者简介：李保臻（1972—），男，甘肃庄浪人,西北师范大学教育学院教授，博士，硕导，主要从事数学课程与教学论、教师教育研究.22数学教学研究第39卷第5期 2020年9月难度在一定程度上反映了教材的难度水平，所以本研究对3个不同版本“数学2”中的例题难度进行比较研究，以系统总结三版教材在例题难度及编排设置方面的异同及特色，在此基础上提出有关高中几何内容例题在教材编写及教学方面的几点参考性启示.2研究设计 2.1 研究对象本研究选取人教A 版、北师版及苏教版《普通高中课程标准实验教科书》“数学2”中的所有例题为研究对象，主要从例题数量、例题难度因素等方面对其难度水平进行比较分析.2.2研究工具研究采用鲍建生的综合难度模型[6]，主要从探究、背景、运算、推理、知识点含量5个因素方面，对三版“数学2”中的例题难度水平进行比较分析.模型将每个因素划分为若干等级水平，各等级水平及其赋值如表1所示.表1各难度因素及其水平赋值因素等级水平等级概述探究识记理解探究对数学事实、概念、公式、法则、性质的记忆以及数学常规程序的复制对已学数学理论、方法和过程的领会与运用，包括合理选择数学知识、方法，灵活运用数学的程序性知识，主动建立不同数学对象之间的联系对已学数学知识的拓展、数学模型的建立、数学猜想的形成以及数学策略性知识的创造性运用3背景运算无背景个人生活背景公共常识科学情境无任何实际背景，就数学知识本身展开 1与学生个人生活经历相关 2属于职业或公共常识 3问题不是直接展开，而是以科学情境为背景，利用其它科学知识展开，包括数学图形、图像等无运算无运算步骤数值运算只有数值运算，不包含任何字母符号简单的符号运算包含1到2个步骤的字母符号的代数运算复杂的符号运算3步以上的字母符号运算，或者对公式的灵活运用推理无推理简单推理复杂推理纯粹的数值计算、符号运算以及对数学事实、公式、法则性质不需辨别的再认与回忆推理涉及到的数学知识较简单，推理步骤3步以内推理涉及的数学知识背景抽象，推理步骤3步及以上123单个知识点1个知识点1知识含量两个知识点2个知识点2多个知识点3个及3个以上知识点3综合难度模型的计算分为两步；(1) 鉴定每道例题的5个难度因素水平，并进行赋值；(2) 根据上述等级水平赋值统计教材中例题的加权平均，计算公式为〉:n i j d ij di =—--------( =n ;n i i =l ，2,3,4,5;j =1,2,3,…）， (1)其中<(1' = 1，2,3,4,5，）依次表示探究、背景、运算、推理、知识含量这5个难度因素的加权平均值则表示第：个难度因素的第7个水平的权重.3研究结果与分析3.1例题数量对比分析《普通高中数学课程标准实验教科书》“数学2”中都是几何内容，虽然三版“数学2”的章节设计、知识点呈现顺序不尽一致，但总体来说主要包括“对空间几何体的认识”“三视图和直观图”“空间几何体的表面积与体积”“点、线、面之间的位置关系”“直线与方程”“圆与方程”及 “空间直角坐标系”7个知识模块.从总的例题数量进行统计，得出人教A 版共有52道例题，第39卷第5期 2020年9月数学教学研究23北师版共有60道，苏教版共有64道. 分别占各自教材总例题数的比例做统计分析，对三版教材中各知识模块对应的例题数量结果如表2及图1所示.表2三版教材各知识模块例题数占全书总例题数的百分比知识模块各知识模块例题数占全书总例题数的百分比（％)人教A版北师版苏教版(一）对空间几何体的认识005(二）三视图和直观图615(三）空间几何体的表面积与体积8126(四）点、线、面之间的位置关系271827(五）直线与方程363434(六）圆与方程191314(七）空间直角坐标系4880.4.0.3.0.2-0J I^一苏教版0 W(二)’(三)’(四r (五V(六)■(七)’图1三版教材各知识模块例题占比情况根据表2与图1可知，三版教材在第（五）模块“直线与方程”设置的例题数最多；第（四）模块次之，且北师版例题数少于另外两版教材；第（六）模块的例题数量排第三，在这一模块人教A版的例题多于其他两版；“（二）、（三）、(七）”这三个模块的例题数量相差不多,北师版相比另外两版例题数略多；苏教版在第（一）模块的例题较少，人教A版和北师版在这部分未设置例题.从例题数量的占比情况来看，各版本教材对不同知识模块中例题教学的侧重程度是不同的.相比较而言，三版教材都注重“直线与方程”“点、线、面之间的位置关系”及“圆与方程”三个知识模块的例题教学；北师版与另两版教材相比，更注重“三视图与直观图”的例题教学；苏教版教材与另两版相比较更注重“空间几何体的认识”的例题教学.3.2例题综合难度对比分析统计三版“数学2”中5个难度因素各水平所对应的例题数量分别占教材总例题数的百分比有利于准确分析三版教材的例题难度.下面通过量化分析及折线图分别对三版教材的例题在探究、背景、运算、推理、知识含量5个难度因素的各水平进行比较分析.3.2.1例题探究水平的比较分析根据量化计算得出三版教材中探究因素各水平对应的例题数分别占各自教材总例题数的比例如下：识记水平方面，北师版为11. 54%,苏教版7.81夯，人教A版5%;理解水平方面，苏教版68. 75努，人教A版65. 38匁，北师版65%;探究水平方面，人教A版30%，苏教版23. 24%,北师版23. 08努.根据三版教材例题探究因素各水平对应的占比数据可绘制如图2 的折线图.识记理解探究图2三版教材在探究水平上的对比由图2可知三版“数学2”在探究因素的各水平上相差不大，相比较而言，北师版例题的识记水平较高，苏教版居中，人教A版略低于苏教版；人教A版例题的理解水平略低于苏教版，略高于北师版；苏教版例题的探究水平略低于人教A版，略高于北师版.3.2.2例题背景水平的比较分析对三版教材中背景因素各水平例题的占比情况进行量化比较，结果如下：无背景水平方面，北师版占比为58. 33%，人教A版24数学教学研究第39卷第5期 2020年9月48. 08%，苏教版39. 06%;个人生活水平方面，北师版13. 33%，人教A版3.85%,苏教版3. 13 %;公共常识水平及科学情境水平方面，苏教版占比分别为6.25%和51. 56%，人教A版分别为1.92%和46. 15%，北师版分别为1.67%和26.67%.根据量化结果绘制三版教最髙，北师版和人教A版基本一致，北师版略高；北师版例题的复杂符号运算水平略高于人教A版，苏教版最低.3.2.4例题推理水平比较分析同理可计算得三版教材的例题在推理因素各水平的占比如下：无推理水平方面，北师版为材在背景因素上各水平的占比情况如图3.图3三版教材在背景水平上的对比由图3可知，北师版中无背景和个人生活背景的例题占比最高，人教A版居中，苏教版最低；人教A版例题的公共常识水平及科学情境水平略低于苏教版，但高于北师版.3.2.3例题运算水平比较分析计算得三版教材中运算因素各水平的例题占比情况如下：无运算水平方面，苏教版43. 75%，北师版 38. 33%，人教 A 版 36. 54%;数值运算水平方面，人教A版17. 31%，苏教版 15. 62%，北师版15%;简单符号运算水平方面，苏教版15. 63%，北师版11. 67%，人教A 版11. 54%;复杂符号运算水平方面，北师版35%,人教A版34. 61%，苏教版25%.根据量化结果得三版教材各运算水平的差异如图4.由图4可知，三版教材中，苏教版教材例题的无运算水平最高，北师版略高于人教A版；苏教版例题的数值运算水平略低于人教A版，略高于北师版；苏教版例题简单符号运算水平30%,苏教版23. 44%,人教A版13. 46%;简单推理水平方面，北师版48. 33%，人教A版 46. 15%，苏教版43. 75%;复杂推理水平方面，人教A版40. 39%，苏教版32. 81%，北师版21. 67%.根据占比绘制三版教材例题推理因素各水平的差异如图5所示.图5三版教材在推理水平上的对比可见，北师版例题的无推理水平最高，苏教版居中，人A教版最低；三版教材简单推理水平相差不大，相对来说，北师版较高，人教A版居中，苏教版最低；人教A版例题的复杂推理水平最高，苏教版居中，北师版最低.3.2.5例题知识含量水平比较分析三版教材例题知识含量各水平对应例题数占各自教材总例题数的比例如下：单个知识点方面，北师版61. 67%,苏教版45. 31%，人教A 版42. 3%;两个知识点方面，苏教版48.44%, 人教A版28. 85%，北师版28. 33%;多个知识点方面，人教A版28. 85%,北师版10%，苏教版6. 25%.由数据结果绘制三版教材例题知识含量因素各水平的差异如图6所示.由图6可见，北师版例题的单个知识点含量水平占比最高，另外两个版本差异不大，苏教版略高；苏教版例题的两个知识点水平最高，另外两版基本一致，北师版略低；人教A版例题的多个知识点水平最高，其它两版差别不大，苏教版略低.第39卷第5期 2020年9月数学教学研究253.2.6综合难度分析通过对三版教材的例题分别在5个难度因素上的统计比较，将具体数据带人（1)式，得到三版教材中例题各难度因素的加权平均值如表3所示.表3三版教材中例题各难度因素的加权平均版本探究背景运算推理知识含量人教A版1. 88 2. 46 4. 23 3.371. 96北师版1. 751. 97 3. 62 2. 5 1. 5苏教版1. 84 2. 70 3. 69 2. 921. 63由表3中例题各难度因素的加权平均值可得三版教材的例题综合难度水平，具体如下：在探究方面，三版教材相差甚微，苏教版仅比人教 A版低0.04,比北师版高0.09;在背景方面，人教A版比苏教版低0.24,比北师版高0.49;运算方面，苏教版比人教A版低0. 54,比北师版高0.07;推理方面，苏教版比人教A版低0.45,比北师版高0.42;知识含量方面，苏教版比人教A版低0. 33,比北师版高0. 13.为了更直观呈现三版教材例题难度，由表3绘制关于三版教材例题综合难度比较的雷达图如图7所示.人教A版北师版-苏教版图7三版教材例题难度加权平均值对比由图7可知，三版教材中，人教A版例题的综合难度最高，苏教版居中，北师版最低.4研究结论及启示通过对三版“数学2”的例题在5个难度因素方面的量化研究结果比较分析，得出以下结论及启示.4.1研究结论4.1.1 探究因素方面从这一难度因素来看，三版教材各水平差别不大，都是理解类的例题占比最高，识记类例题居中，探究类例题最少.可知三版“数学2”中的例题都注重学生对知识的理解性学习，但探究创新方面还有待加强.4.1.2背景因素方面苏教版相比于其他两版，更注重数学与其他学科之间的联系且较注重公共常识与数学知识的结合，让学生体会数学建模的真谛；北师版相比于另外两版更注重例题与实际生活之间的联系，注重学生将所学知识与实际相结合，让学生体会数学来源于生活也运用于生活的道理；人教A版例题的背景因素各水平介于其它两版教材之间.4. 1.3运算因素方面三版教材数值运算水平相差不多，与苏教版相比较，人教A版和北师版注重学生复杂符号运算水平的提高，而苏教版更注重学生对简单符号运算的训练.可见，人教A版更注重学生数学运算能力的培养，北师版和苏教版对学生的运算水平要求相差甚微，苏教版略高.4.1.4推理因素方面三版教材中，人教A版例题的复杂推理水平最高；北师版例题的无推理和简单推理水平最高；苏教版例题的推理水平介于人教A版和北师版之间.即人教A版教材对学生推理能力要求最高，苏教版居中，北师版最低.分析例题设置特点得知，苏教版例题推理更注重数学符号语言的应用，例题解答中的推理过程简洁明了，而北师版例题更注重学生从多方面理解例题推理的过程，例题推理的灵活性较强.4. 1.5知识含量因素方面就三版教材中例题涉及的知识含量而言，26数学教学研究第39卷第5期 2020年9月人教A版更注重数学知识点之间的联系，苏教版次之，北师版教材中的例题则多是注重学生对单个知识点的理解.苏教版相比于人教A版和北师版更注重学生对知识点的灵活应用，让学生在练习中理解所学知识点.4. 1.6 综合难度方面综合以上对三版“数学2”中例题5个难度因素的分析知，人教A版的例题对学生的推理及运算能力要求较高，也较为注重前后知识点的联系；苏教版相比其他两版教材，更注重例题与生活实际相联系，注重对学生建模能力的培养；综合来看北师版相比另外两教材，例题各因素水平较低.4.2 启不4.2.1教材中几何例题的整体难度水平设置应符合课标的基本要求“一标多本”是我国21世纪基础教育课程改革实行的课程设置模式.尽管人教A版、北师版、苏教版等不同版本高中数学教材在几何例题各因素水平的设置方面均有各自的特点，但不同版本教材中几何例题的整体难度设置应符合课标的基本要求.因为课程标准是教材编写、教学实施和教学评价的依据，其在理念层面上决定了教材应在课标相关要求的指导下科学合理地设计例题的难度水平，不能异化课标对教材几何例题难度设计的规约与引领功能m.要做到这点，教材编写者应做到以下三点：一要全面熟悉并深刻领悟普通高中数学课程标准中几何内容难度的相关要求；二要遵从高中学生普适性的认知规律并以助力学生数学核心素养培养为目的设置几何例题难度；三要结合我国地域、文化差异背景下的学校师生使用教材的实际情况，从“探究”“背景”“运算”“推理”及“知识含量”等因素的差异性方面有针对性地设置高中几何例题的难度水平.4.2.2教材中几何例题类型的设置应适当增加探究类问题数学探究类题目的学习不仅有助于确立学生在学习过程中的主体地位，而且对学生了解数学知识的产生、发展过程，培养其问题解决能力和创新意识具有重要作用w.通过比较分析发现，三版本高中“数学2”中探究类例题都很少，这不利于学生问题意识及创新意识的培养. 鉴于此，不同版本高中数学教材在几何内容部分的后续修订时应适当增加探究类题目，如“平面与平面之间的关系”这一部分可设置探究类例题，通过教师对学生的启发引导，让学生自主探究，将解决问题的主动权交给学生，这有助于让学生在经历发现问题、提出问题、分析问题及解决问题的系列活动中提高创新能力.4.2.3教材中几何例题背景的设置应注意多种素材的丰富与拓展“数学2”的主体内容是几何知识，主要是对点、线、面及其之间的位置关系与数量关系等的描述与表征，重在培养学生的直观想象与数学建模等数学素养.经比较发现，三版“数学2”的例题都以科学背景为主，且科学背景较为单一，与信息技术的融合较少.科学合理的例题背景可以为学生创设良好的思维场景，有助于发展学生自主探究能力，培养学生的学习兴趣.因此教材在设置几何例题背景时，一方面应适当增加与社会生产、生活实践及公共常识相关的例题，这不仅能拓展学生的知识视野，也可以让学生切实体会到几何知识的实用价值，提升学生应用数学解决实际问题的能力.另一方面应设置现代信息技术解决几何问题的典型案例，如借助几何画板及GeoGebra等数学软件解决几何问题.这不仅能让学生明了几何知识的发生过程，体会数形结合的思想方法，而且有助于提高学生几何学习的兴趣.4.2.4几何例题运算教学应注重数学语言的合理表征及各类运算间的逻辑转换数学运算是解决数学问题的基本手段，在推断结论的过程中往往与数形结合、函数与方程等思想方法相结合“数学2”中的例题类型多样，例题涉及的问题解决包含文字语言、图形语言与代数语言的各自表征与相互转换.合理的表征与转换有助于培养学生的运算能力、第39卷第5期 2020年9月数学教学研究27表达能力及推理能力等.经比较发现，苏教版中的例题比其他两版教材的在运算解答方面更简洁，注重数学符号语言的应用，也更注重对知识点的拓展.受此启发，教师在几何运算类例题的教学中，应找准知识链接的核心点，给学生讲清算理，明确算法，理清思路，避免运算步骤的繁杂冗长，注重文字、图形与符号3种语言的表征及相互转换，渗透数形结合的思想方法，从而提高学生的运算素养.4.2.S几何例题推理教学应注重合情推理与演绎推理的结合推理是数学的基本思维方式，一般包括合情推理和演绎推理，这两种推理功能不同，相辅相成，合情推理用于探索思路发现结论，演绎推理用于证明结论[1°].几何学科的特点决定了几何例题教学应注重合情推理与演绎推理的有机结合.通过比较分析可知，三版“数学2”中例题证明都注重演绎推理，而合情推理运用较少.鉴于此，教师在几何例题推理教学时，可根据例题的设计特点及学生的认知水平，先启发学生进行合情推理猜想，再利用演绎推理进行验证，这有助于培养学生的逆向思维.正如课标要求“通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考问题”[9].通过合情推理与演绎推理的反复与相互印证，不断培养学生的推理能力与创新能力.4.2.6几何例题教学应注重各部分知识内容的衔接性及统整性通过对三版“数学2”的例题比较知，在知识点含量方面，北师版更注重学生对单个知识点的理解，人教A版例题设置的知识系统性更强，苏教版则注重学生对知识点的灵活应用.高中“数学2”中的主要内容是围绕“点、线、面之间的位置关系与数量关系”展开的，这是一个系统的知识链，这部分知识的学习重在培养学生的空间观念、逻辑推理及直观想象等素养.教师在几何例题教学中，一方面应注重各部分知识间的衔接性，帮助学生掌握点、线、面各部分内容的概念、公式、性质、定理等相关知识，这是学生解决综合类几何例题的基础；另一方面，可通过思维导图等方式，帮助学生从整体上掌握“点、线、面之间的位置关系与数量关系”等知识，这是解决综合类几何例题的关健.具体落实到教学中，教师可参考不同版本教材的特点及不同层次学生的认知差异，灵活设计例题，既要注重让每一位学生都掌握基础知识，又要注意按例题的难易程度进行分层教学，让不同的学生在各知识层面得到不同程度的巩固与发展.参考文献[1] 濮安山，徐慧敏.P E P(A)版与ffilD版数学教材中平面向量例题难度的比较[J].数学教育学报，2016,25(03)：10-13.[2]贾宇翔，崔丁今，金康彪.中韩初中数学教材数学题的比较研究[J].数学教育学报，2015, 24(05):84-86.[3] 付钰，张景斌.中美数学教材三角函数习题的比较研究[J].数学教育学报，2018(03) :14-18.[4]贾随军，吕世虎，李保臻.中国与美国初中数学教材习题的个案比较—以“与三角形有关的角”为例[J].数学通报，2014,53(09) :17-23.[5] 李保臻，马姗姗，房得阳.2011版新课标下初中数学教材习题难度的比较研究—以人教版、北师版及华东师大版“一元二次方程”一章为例[J].中小学教师培训，2017(01):43-47.[6] 鲍建生.中英两国初中数学课程难度比较研究[D]•上海：华东师范大学，2002.[7] 中华人民共和国教育部.基础教育课程改革纲要(试行）[M].北京：人民教育出版社，2001.[8] 朱建明.设计微型探究助力数学学习[J].数学通报，2016,55(11):33-35.[9]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018. [10] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.。

凝炼核心问题聚焦“四能”培养

凝炼核心问题聚焦“四能”培养作者：李宝鲍建生来源：《中学数学杂志(高中版)》2024年第04期【摘要】发现问题和提出问题是创新的基础，指向学生数学核心素养的高中数学教学设计，应凝炼核心问题，聚焦“四能”培养.以“正弦定理和余弦定理”为例，探讨聚焦“四能”培养的设计与教学路径：根据课程目标和教材编写意图提出核心问题，实施“情境—问题”教学，教学生发现和提出问题的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力.【关键词】正余弦定理；核心问题；“四能”；数学核心素养1问题提出近年来，国家极为重视在基础教育领域实施拔尖创新人才的早期培养.发现问题和提出问题是创新的基础.爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许仅是数学上的或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”从高中数学教学的现状来看，教师往往“更为注重对所给出的问题提供解题方法、技能的训练，至于这个问题怎么发现、提出的，常常不愿花时间让学生去探讨”，存在“重问题轻引导”“重讲解轻感悟”“重技巧轻通法”“重解答轻分析”等教学误区[1].《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出了“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称‘四能’）”的课程目标.如何培养学生的“四能”，特別是“发现问题”和“提出问题”的能力？教学实践表明，根据教材内容，聚焦能驱动学生思维活动的、体现数学内在逻辑的核心问题，并构建围绕核心问题展开的、有层次性的一组问题，引导学生用数学的眼光观察问题、发现问题，用数学的方法和经验思考问题、用数学的语言表达问题[2]，是培养“四能”的有效途径.下文以“正弦定理和余弦定理”单元的教学设计及实践为例加以说明.2聚焦“四能”培养的正弦定理和余弦定理教学设计案例正弦定理和余弦定理定量地刻画了三角形边角之间的内在联系，是解三角形的理论依据.在初中，教材通过“画、剪、叠”定性给出了确定三角形的条件（未证明），即：知道一个三角形的三边长、两边长及其夹角、两角及其夹边长、两角及其对边长就能唯一确定一个三角形，分别对应于判定三角形全等的四个基本事实：SSS，SAS，ASA及其推论AAS（分别出自《几何原本》卷Ⅰ命题8、命题4和命题26），即三角形的形状（由角确定）和大小（由边长确定）都是确定的.换言之，三角形的其它未知的角或边可以通过已知的边或角（正、余弦值）“算”出来.因此，可以从算的角度展开发现正弦定理和余弦定理的教学.除此而外，正弦定理和余弦定理还是落实数学美育功能[3]的良好材料.2.1设计思路由于“正弦定理和余弦定理的主题相近、教育功能与价值相近、教学目标相近、探究过程所用的思维方法和数学思想方法相近” [4]，因此，为了发现的完整性和知识的系统性，把正弦定理和余弦定理整合为一个单元作整体教学设计.为了培养学生的“四能”，变传统的“教师提出问题”为“学生提出问题”，变“学生解决老师提出的问题”为“学生在老师的指导下分析、解决自己提出的问题”，让学生自主发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，经历感受数学美、欣赏数学美、运用数学美、发展数学美的过程，重视积累数学活动经验.设计突出两条线：一是“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的数学问题解决的明线，二是“美观—美好—美妙—完美”数学情感的“暗线”.设计分两个课时完成.第1课时：（在教师的引导下）发现和提出要研究的问题，然后用作高法发现、证明正弦定理，并在应用环节“求出”余弦定理，让学生经历发现数学美、证明数学真、感悟数学善的过程，重点培养学生用数学的眼光发现问题和提出问题、用数学的思维分析问题和解决问题的能力，让学生感受到美观、美好与美妙（见图1第一课时）.2.2.1发现并提出问题2.2.2分析问题2.2.3解决问题2.2.4发现余弦定理2.2.5小结与作业任务7：回顾发现、证明正弦定理和余弦定理的过程，并尝试提出新问题，下节课分享问题并解决.教师引导学生回顾课程学习中经历了“阅读文本—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的问题解决全过程，以及发现数学美、证明数学真、感悟数学善的发现数学、应用数学的过程.请学生整理“学了什么？感悟了什么？有什么结论？积累了什么做数学的经验？”设计意图：给学生充足的时间，让学生充分交流和表达课堂所学所做所思，内化知识、思想方法，暴露思维和学习缺憾，找准后续教学的起点.第1课时作业：①完成课中的两个遗留问题的求解；②画出三角形中的边角关系（勾股定理、正弦定理、余弦定理及其推论）的关系图；③正弦定理还能解决哪些类型的解三角形的问题？④看正弦定理和余弦定理的关系式，回顾发现、证明正弦定理和用正弦定理“求”余弦定理的过程，我们还有遗憾吗？请同学们写出你提出的问题，并尝试解决，下节课分享；⑤将教材内容精读一遍.设计意图：让学生自主整理所学知识，形成知识系统；再次感悟发现并提出问题、分析并解决问题的问题解决过程，培养学生“学—问—思—习—问—思—学”的学习习惯.上述教学设计的教学实践表明，较传统的分两个课时分别发现正弦定理和余弦定理的教学设计而言，此教学设计教学效果更好：①第一课时重点在于让学生自己发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，理清解决问题的思路，并用作高法发现并证明了正弦定理，利用正弦定理“求出”了余弦定理.同时通过回顾问题解决的过程，提出了新的研究问题，使学生积累了“做数学”的经验：阅读学习材料、发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，经历了从一般到特殊再到一般的问题解决的完整过程；②第二课时解决上一课时结束后学生自己提出的问题，学生探索、分享不同的证明正弦定理和余弦定理的方法，学生再次经历了“做数学”的过程，进一步强化了“做数学”的活动经验；③让学生感悟了数学美、数学真、数学善，并在一定程度上让学生自己发现了数学美，培养了学生对数学和数学学习的积极情感；④变传统的布置作业题为提出新的问题、画知识结构图，有利于培养学生回顾反思、自主整理知识的良好学习习惯.3聚焦“四能”培养的策略3.1提出核心问题“四能”是基于數学问题提出的，没有数学问题就没有“四能”.课堂教学中的数学问题按其重要性程度可分为核心问题和辅助问题，核心问题是指向数学本质的问题，通向数学理解.辅助问题是围绕核心问题展开的帮助理解和解决核心问题的问题.数学问题是指在情境中提出的，以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题.“问题提出是数学教学的核心” [5]，特别是核心问题，是教学中的关键，抓住核心问题有助于学生理解知识本质，促进学生结构化地理解知识.一个经过精心设计的问题能够强化学生所学的知识，一个精心挑选的问题能够激发深入的数学探究活动[6].数学“核心问题”是数学教学中思考性强、数学味浓、需要合作探究交流的问题 [7].在教学设计时，应根据课程标准提出的育人目标、教材的编写意图，提出章、节、课时的指向数学学科本质的核心问题，并根据学生的数学认知和经验预设学生能提出的靠近学生“最近发展区”的辅助问题.3.2实施“情境—问题”教学以核心问题驱动“四能”培养的教学包括创设情境、用数学的眼光从情境中发现和提出数学（核心）问题、用数学的思维分析问题和解决问题、小结与作业等环节（见图3），“情境—问题”教学始于情境，发于问题，终于问题解决，是“情境—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—发现新问题—提出新问题—分析新问题—解决新问题”的问题解决螺旋圈.图3以核心问题驱动“四能”培养的教学过程情境是孕育问题的土壤，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学要“以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”.数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的教学情境[8]，在教学设计阶段，教师应根据学生的认知水平，创设问题显现型和问题隐蔽型数学情境，便于在课堂教学时学生能“用数学的眼光”发现和提出简单问题、较复杂问题、复杂问题，让学生在与情境、问题的有效互动中提升数学核心素养.3.3教会学生发现问题和提出问题的方法3.3.1发现问题的方法发现问题是指“用数学的眼光”从特定情境中感知到确定或不确定的数量或空间的某种关系或结构，并对这种关系或结构有好奇（想知道答案）的认知活动.发现问题需要“用数学的眼光”，是对现实世界的数学解读，即学生是因为想要知道和理解现实世界，而用数学的方式表述出具体注意到的问题——“有价值的”“合情理的”“可研究的”“数学问题”[9].发现问题与个人的知识储备、认知水平、思维方式高度相关，具有内隐性，是启动创造思维的过程，集中体现学生的主动探索精神与思维的开放性.实践中，可以通过呈现冲突、矛盾、与已有经验不一致的现象或事实让学生发现问题.如，通过呈现与学生解法不同或结论相反的案例，让学生发现自己解法错误或结论错误的问题；通过“画、剪、叠”方法得到三角形全等的判定事实与“只有经过逻辑推理证明的命题才是真命题”的经验不符，可以让学生发现“初中学到的判定三角形全等的基本事实均没有证明”的问题.3.3.2提出问题的方法发现问题不一定能提出问题，生活、工作、教学中“你的问题究竟是什么？”的追问，表明我们经常意识到问题的存在，然而却不能用恰当的语言将问题提出来.因此，教学过程中应营造良好的“问题场”，让学生能将问题提出来.提出问题（或问题提出）是指教师根据不同的教学目标，设置不同类型的情境（包括现实情境、数学情境、科学情境三种），让学生根据情境提出数学问题，并引导学生对所提的问题进行修正，对这些问题进行恰当的处理.提出问题是发现问题的深化，是问题的显性化，即用数学的语言准确地把问题表达出来.提出问题是一个创造性的思维活动过程，是一个人的科学精神的体现.教学之道“最根本的是要学会提出问题”，因此在教学过程中除了有意与学生分享与交流一些提出问题的“基本套路”[10]外，还可以尝试以下方法让学生模仿自主提出问题，让学生“从平常中见异常、于普遍中见特殊、于特殊中见一般、于无疑处生疑问”[11].（1）教学生自己备课时精读教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）类问题.一是提出“为什么”型价值判断、目的或追问类问题，如：为什么要学习正弦定理和余弦定理？为什么设置某情境？为什么提出某问题？为什么安排某例题？（对对数函数）为什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本质或事实的问题，如前文中提出的问题：“确定”的含义是什么？等量关系的形式是什么？三是提出“怎么办”型方法类问题，如：怎么求/证……？还可以怎么求/证……？（2）变陈述句为疑问句，如前文中的“核心问题1”“核心问题2”的提出.陈述句表达的是数学思维的结果，而疑问句则指向数学思维的过程和数学思维本身，将表达数学事实（命题、定理、规则等）的陈述句按句法结构分解为主、谓、宾、定、壮、补，很容易提出为什么、是什么、怎么办型问题.（3）运用归纳、类比、联想、一般化、特殊化等思维方法提出问题.如改变（增加或减少、替代等）条件，（用命题间的关系）交换条件和结论、否定条件与结论等.（4）遗憾（缺陷或不美）、问题解决回顾与反思、直观想象等是发现和提出问题的重要途经.比如：通过观察探索阶段发现的asin A=bsin B=c这个等量关系，发现“等量关系只包含了三角形六个元素中的五个元素，感觉不美”的问题，进而提出“等量关系是否可以包含三角形的六个元素？”的问题；通过回顾初中全等三角形的判定方法的得出过程，发现“不经证明而得出结论”的问题，进而提出“为什么两个三角形的对应边相等，两个三角形就全等”的问题；借助几何直观，通过作图发现“满足条件的三角形不存在”的问题，进而提出“为什么满足条件的三角形不存在”的问题[12].3聚焦“四能”培养的策略3.1提出核心问题“四能”是基于数学问题提出的，没有数学问题就没有“四能”.课堂教学中的数学问题按其重要性程度可分为核心问题和辅助问题，核心问题是指向数学本质的问题，通向数学理解.辅助问题是围绕核心问题展开的帮助理解和解决核心问题的问题.数学问题是指在情境中提出的，以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题.“问题提出是数学教学的核心” [5]，特别是核心问题，是教学中的关键，抓住核心问题有助于学生理解知识本质，促进学生结构化地理解知识.一个经过精心设计的问题能够强化学生所学的知识，一个精心挑选的问题能够激发深入的数学探究活动[6].数学“核心问题”是数学教学中思考性强、数学味浓、需要合作探究交流的问题 [7].在教学设计时，应根据课程标准提出的育人目标、教材的编写意图，提出章、节、课时的指向数学学科本质的核心问题，并根据学生的数学认知和经验预设学生能提出的靠近学生“最近发展区”的辅助问题.3.2实施“情境—问题”教学以核心问题驱动“四能”培养的教学包括创设情境、用数学的眼光从情境中发现和提出数学（核心）问题、用数学的思维分析问题和解决问题、小结与作业等环节（见图3），“情境—问题”教学始于情境，发于问题，终于问题解决，是“情境—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—发现新问题—提出新问题—分析新问题—解决新问题”的问题解决螺旋圈.图3以核心问题驱动“四能”培养的教学过程情境是孕育问题的土壤，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学要“以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”.数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的教学情境[8]，在教学设计阶段，教师应根据学生的认知水平，创设问题显现型和问题隐蔽型数学情境，便于在课堂教学时学生能“用数学的眼光”发现和提出简单问题、较复杂问题、复杂问题，让学生在与情境、问题的有效互动中提升数学核心素养.3.3教会学生发现问题和提出问题的方法3.3.1发现问题的方法发现问题是指“用数学的眼光”从特定情境中感知到确定或不确定的数量或空间的某种关系或结构，并对这种关系或结构有好奇（想知道答案）的认知活动.发现问题需要“用数学的眼光”，是对现实世界的数学解读，即学生是因为想要知道和理解现实世界，而用数学的方式表述出具体注意到的问题——“有价值的”“合情理的”“可研究的”“数学问题”[9].发现问题与个人的知识储备、认知水平、思维方式高度相关，具有内隐性，是启动创造思维的过程，集中体現学生的主动探索精神与思维的开放性.实践中，可以通过呈现冲突、矛盾、与已有经验不一致的现象或事实让学生发现问题.如，通过呈现与学生解法不同或结论相反的案例，让学生发现自己解法错误或结论错误的问题；通过“画、剪、叠”方法得到三角形全等的判定事实与“只有经过逻辑推理证明的命题才是真命题”的经验不符，可以让学生发现“初中学到的判定三角形全等的基本事实均没有证明”的问题.3.3.2提出问题的方法发现问题不一定能提出问题，生活、工作、教学中“你的问题究竟是什么？”的追问，表明我们经常意识到问题的存在，然而却不能用恰当的语言将问题提出来.因此，教学过程中应营造良好的“问题场”，让学生能将问题提出来.提出问题（或问题提出）是指教师根据不同的教学目标，设置不同类型的情境（包括现实情境、数学情境、科学情境三种），让学生根据情境提出数学问题，并引导学生对所提的问题进行修正，对这些问题进行恰当的处理.提出问题是发现问题的深化，是问题的显性化，即用数学的语言准确地把问题表达出来.提出问题是一个创造性的思维活动过程，是一个人的科学精神的体现.教学之道“最根本的是要学会提出问题”，因此在教学过程中除了有意与学生分享与交流一些提出问题的“基本套路”[10]外，还可以尝试以下方法让学生模仿自主提出问题，让学生“从平常中见异常、于普遍中见特殊、于特殊中见一般、于无疑处生疑问”[11].（1）教学生自己备课时精读教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）类问题.一是提出“为什么”型价值判断、目的或追问类问题，如：为什么要学习正弦定理和余弦定理？为什么设置某情境？为什么提出某问题？为什么安排某例题？（对对数函数）为什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本质或事实的问题，如前文中提出的问题：“确定”的含义是什么？等量关系的形式是什么？三是提出“怎么办”型方法类问题，如：怎么求/证……？还可以怎么求/证……？（2）变陈述句为疑问句，如前文中的“核心问题1”“核心问题2”的提出.陈述句表达的是数学思维的结果，而疑问句则指向数学思维的过程和数学思维本身，将表达数学事实（命题、定理、规则等）的陈述句按句法结构分解为主、谓、宾、定、壮、补，很容易提出为什么、是什么、怎么办型问题.（3）运用归纳、类比、联想、一般化、特殊化等思维方法提出问题.如改变（增加或减少、替代等）条件，（用命题间的关系）交换条件和结论、否定条件与结论等.（4）遗憾（缺陷或不美）、问题解决回顾与反思、直观想象等是发现和提出问题的重要途经.比如：通过观察探索阶段发现的asin A=bsin B=c这个等量关系，发现“等量关系只包含了三角形六个元素中的五个元素，感觉不美”的问题，进而提出“等量关系是否可以包含三角形的六个元素？”的问题；通过回顾初中全等三角形的判定方法的得出过程，发现“不经证明而得出结论”的问题，进而提出“为什么两个三角形的对应边相等，两个三角形就全等”的问题；借助几何直观，通过作图发现“满足条件的三角形不存在”的问题，进而提出“为什么满足条件的三角形不存在”的问题[12].。

高中数学核心素养的教学与评价 (鲍建生)

函数的单调性
问题2 (1) 如何用数学语言表示“y 随 x 的增大而增大”及“y 随 x 的增大而减小”？
思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）
3. 数学核心素养系统与原有课标的联系
避免
– 纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义 – 独木桥式的解题技巧 – 反复的机械训练，对题型的死记硬背
样例01：代数模型
一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生为他开了处方，要他每8小时服用440毫克的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还有多少药仍留在他的体内
2. 数学核心素养
核心素养
行为表现
形成数学概念和规则形成数学命题与模型数学抽象形成数学方法与思想形成数学结构与体系发现和提出命题掌握推理的基本形式
探索和表述论证的过逻辑推理程
构建命题体系交流探索
利用图形描述数学问题
利用图形理解数学问题
直观想象利用图形探索和解决数
学问题
构建数学问题直观模型
核心素养
行为表现
发现和提出问题
建立模型
数学建模求解模型
检验结果和完善模
型
理解运算对象
数学运算
掌握运算法则探索运算思路
设计运算程式
数据获取
数据分析数据分析
知识构建
2.1 例说数学核心素养：数学抽象
内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。

小学数学不同版本教材“运算定律”习题难度的比较研究——以人教版、北师大版教材为例

小学数学不同版本教材“运算定律”习题难度的比较研究—
—以人教版、北师大版教材为例
陶彬;梁宇
【期刊名称】《广西教育》
【年(卷),期】2023()1
【摘要】本文采用鲍建生的习题综合难度模型,从习题的探究、背景、运算、推理、知识点含量五个难度因素入手,对人教版、北师大版教材中“运算定律”模块的习
题进行比较研究,从中发现不同版本教材在习题难度设置中的规律及异同,为教师进
行习题设计提供建议。

【总页数】4页(P47-50)
【作者】陶彬;梁宇
【作者单位】南宁师范大学初等教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G62
【相关文献】
1.初中数学不同版本教材课程难度比较研究——以人教版、北师大版九年级教材“二次函数一章第一小例题”为例
2.2011版新课标下初中数学教材习题难度的比较研究——以人教版、北师大版及华东师大版"一元二次方程"一章为例
3.高中数
学新课标教材习题难度比较研究——以人教A版、北师大版、苏教版教材为例4.
初中数学新课标教材不同版本编排比较分析——以人教版、北师大版、华东版教
材为例5.义务教育阶段数学教材课后习题难度比较研究--以人教版和北师大版“二次函数”内容为例
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主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究阮晓明,王琴. 高中数学十大难点概念的调查研究. 《数学教育学报》, 2012年第5期
不同性别教师比较
不同职称教师比较
不同学校的学生的比较
二、数学学习的基本原理与策略
1. 良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 2. 结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进(教学层次论) 3. 典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知冲突与心理挣扎） 5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基） 6. 在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源/核心概念和思想方法） 7. 多向思考与变式教学 8. 双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 9. 数学高层次思维的专项教学（任务设计，思维品质）。
你同意上述观点吗？
F2 1
青浦实验的目标分类
分析
运用领会概念
计算
F1 0
1
问题聚焦
数学认知水平测试17年前后比较（青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）
松江的研究计划
干预点的设计
保持高认知水平的七个教学要素
①给思维和推理搭“脚手架”； ②为学生提供元认知方法； ③示范高水平的操作行为； ④维持对证明、解释或意义的强调； ⑤任务建立在已有知识基础上； ⑥在概念间建立联系； ⑦适当的探索时间。
变化二变化三
基本图形变式①
变式② 变式④
变式⑤
4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径
•
认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图
式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。
•
专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发）
•
在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。
增加信息的激活水平 ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这影响到操作的流畅性。
三种记忆的生理过程理论： (1) 信息乃物理性地被纪录在神经元中。 (2) 信息以电子信号方式被传导与储存。 (3) 信息改变了神经元的结构。
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长作业的运用
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子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也（论语）
5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡
• 三个馒头的故事 • 数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究） • 美国加州的数学课程标准：这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡
并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。
————《学记》
中学数学课程发展的九条主线
(Z. Usiskin)
1. 整数→有理数→实数→复数和向量 2. 数的表示→代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数 3. 个别图形的性质→某一类图形的一般性质 4. 归纳推理→演绎推理（局部的演绎）→数学系统内的演绎（整体的演绎） 5. 数的应用→运算的应用→建立函数模型 6. 对一次测量的估计→一组数的统计；描述性统计→推断性统计 7. 简单几何图形的全等与相似→所有图形全等与相似以及几何变换 8. 计算器→图形计算器→计算机代数系统 9. 把数学看作是对一堆事实的记忆→把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想
3. 典型例题是数学认知结构的重要成分
• 数学思维的特征之一：划归； • 平面几何中的基本图形分析法； • 样例学习（Learning by sample）
问题解决的变式化归
化归已知问题
化归变式1 推出
化归
未知问题
变式2 推出
推出
基本图形分析法乌鲁木齐市第十三中学胡玉社
变化一
变式③
变式⑥
7. 多向思考与变式教学
1. 数学中的多元表征； 2. 变式教学； 3. 解题三部曲。
多元表征
数学教学中的各种变式
概念性变式过程性变式
概念变式非概念变式
标准变式非标准变式
精致练习铺垫教学解题三部曲问题解决的变式化归
变式三部曲
一题多解
一法多用
用多种方法解决同一个问题
将解法应用于多种情形
鲍建生数学课堂设计研究
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在线视频介绍（忻重义）： /magazine/math/1.htm
一、数学教育研究的学科特征？？
教育
数学
数学教育的实践与经验
数学教育是一门设计科学 (Lesh, R. & Sriraman, B. 2005)
概念理解：多角度的理解（悟）
认知性技能an)na1n(n 2 1)d
特征 (1)mnpq amanapaq
(2)SnSn1an
变式
Sn
n(ak
ank1) 2
d 2
n2
(a1
d)n 2
n
n1
a1 dk
k1
k1
活用
问题解决：变式化归（用）
变异空间大多步化归背景简单
2. 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进
大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。
君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣。
practice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、及仔细的不断的指导与监督。
9：高层次数学思维的专项教学
影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： 1. 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动； 2. 针对高认知层次数学任务的教学策略(Quasar)。
价来建构理论
(Van den Akker, et al., 2006: 5)
数学课堂教学设计研究的论文体例
大体上可以分以下四节： 1. 问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和深刻性） 2. 策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教学设计，设计方案应有创意） 3. 教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问题） 4. 反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学设计；教师本身的教学行为）
提高工作记忆的效能
• 工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。
• 在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元 • 工作记忆的容量有限，一般为7 ± 2个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将
一题多变原始问题
通过改变条件或结论得到多种变式问题
8. 精致练习
• ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。
• 但是，并不是练习的次数越多越好，研究表明有一个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收” • Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberate
走进课堂，解决学与教中的实际问题课堂教学
.
• 目标定位
教学
• •
任务设计过程与行为
的 • 监控与调节
有
效
性
.
• 知能结构
• 发展阶段 • 研修方式
教师
• 行为跟进
专
业
发
展
案例研究
教学实验
设计研究
数学课堂教学设计研究的基本问题
❖ 效率：事半功倍还是事倍功半？ ❖ 数学概念/原理学习的奠基性活动有哪些？（历史过程、逻辑过程与心理过程；本源性问题；现实模型等） ❖ 数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？ ❖ 数学认知水平：发展层次，差异性 ❖ 数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳） ❖ 超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？如何培养高层次的数学认知？ ❖ 建模与应用：类型、功能与价值（APEC项目） ❖ 情境的创设：什么样的问题情境是有效的？ ❖ 技术的介入：如何有效的运用技术？ ❖ 区分教学：学困生和资优生怎么办？
理论与经验的互动
经验
建构
理论
解释
源于实践实用个人化嵌于特定的情境之中比较模糊，不易表征、把握和传授难以跨领域的交流。
支持预测为研究提供分析框架具有解释的能力能应用于广泛的现象有助于对复杂现象的思考作为资料分析的工具提供一种深层次交流的语言
1. 良好的认知结构在知识丰富领域的问题解决中有重要的作用（迁移理论）数学思想方法典型例题数学双基
小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。 • 工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节：
① 信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消退； ② 信息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所
贮存的信息； ③ 执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。