高考中函数有关概念考点透析一

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高考数学冲刺函数考点深度解析

高考数学冲刺函数考点深度解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。

数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多考点中，函数无疑是重中之重。

在高考冲刺阶段，对函数考点进行深度解析，能够帮助同学们更有针对性地进行复习，提高数学成绩。

一、函数的基本概念函数是数学中的一个基本概念，简单来说，就是对于给定的一个非空数集，按照某种特定的规则，使得集合中的每一个数都对应着另一个数。

函数通常用符号 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。

理解函数的定义，关键在于把握“一对一”或“多对一”的对应关系。

也就是说，对于自变量 x 的每一个取值，都只能有唯一的 y 值与之对应。

但一个 y 值可以对应多个 x 值。

例如，函数 y ＝ x²，当 x ＝ 2 或 x ＝－2 时，y 都等于 4。

这就体现了一个 y 值对应多个 x 值的情况。

二、常见函数类型1、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。

其图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。

2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

它的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。

二次函数的对称轴为 x ＝ b ／ 2a，顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。

3、反比例函数反比例函数的表达式为 y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0）。

其图像是以原点为对称中心的两条曲线。

当 k ＞ 0 时，图像分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图像分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

4、指数函数指数函数的表达式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。

高考函数详细知识点总结

高考函数详细知识点总结高考数学中，函数是一个重要的概念，几乎涉及到每年的数学必考内容。

函数作为一种数学工具，在解决实际问题、分析数学关系等方面具有重要意义。

本文将对高考函数的详细知识点进行总结，以便帮助考生更好地掌握高考数学知识。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将自变量的每一个值对应到唯一的因变量上。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数结果的取值范围。

3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数图像的对称性相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

4. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的增减变化趋势，分为递增和递减两种情况。

二、函数的表示和分类1. 显式表示和隐式表示：函数可以通过显式表达式（y=f(x)）或隐式方程表示。

2. 基本初等函数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数在高考数学中经常出现。

3. 复合函数：由一个函数的输出作为另一个函数的输入所得到的函数。

三、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，通过观察函数图像可以了解函数的性质。

2. 函数的对称性：函数可能存在关于y轴、x轴或原点的对称性。

3. 函数的周期性：若存在正数T，使得对于函数中的任意x值，都有f(x+T)=f(x)，则称函数是周期函数。

四、函数的运算和变换1. 函数的四则运算：函数可以进行加减乘除运算，不同函数之间的运算法则与数的运算法则类似。

2. 函数的平移变换：将函数图像在平面上上下左右平移得到新的函数图像。

3. 函数的伸缩变换：改变函数图像的纵坐标和/或横坐标，使其更陡峭或扁平。

五、函数的极限和连续性1. 函数的极限：极限可以用于描述函数在某个点附近的变化趋势，重要的极限有左极限和右极限。

2. 函数的连续性：函数在一个区间上的无间断性，重要的连续性概念有间断点、可去间断点、跳跃间断点和第一类间断点等。

六、函数的导数和应用1. 导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。

高中数学-函数概念及其性质知识总结

数学必修1函数概念及性质（知识点陈述总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注重：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注重：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章函数的概念与基本初等函数

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1，因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

数学高考知识点总结函数

数学高考知识点总结函数一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素之间的关系。

如果对于集合X中的每一个元素x，都有集合Y中的唯一元素y与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

1.2 函数的表示函数可以用不同的形式进行表示，常见的表示形式包括：① 变量关系式表示：y=f(x)或者y=f(x₁,x₂,…,xₙ)。

② 表格表示：将自变量和因变量的对应关系列成表格。

③ 图像表示：通过绘制函数的图像来表示函数的关系。

二、函数的性质2.1 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数的一种性质，它们的定义如下：① 奇函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么我们称函数f(x)是奇函数。

② 偶函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么我们称函数f(x)是偶函数。

奇函数以原点对称，而偶函数以y轴对称。

2.2 周期函数如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，其中T为一个正常数，那么我们称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。

2.3 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质，可以分为严格单调增、严格单调减、非严格单调增、非严格单调减四种类型。

2.4 凹凸性函数的凹凸性描述了函数图像的凹凸形状，它可以分为凹函数和凸函数两种类型。

2.5 极值函数的极值是指函数在一定区间内取得最大值或最小值的点，可以分为最大值和最小值两种。

三、函数的图像3.1 函数的图像基本性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何形象，它具有以下基本性质：① 函数的图像可以用方程y=f(x)来表示。

② 函数的图像关于y轴对称，当且仅当函数f(-x)=f(x)时。

③ 函数的图像可以用表格来表示，通过将自变量和因变量的对应关系列成表格。

3.2 常见函数的图像常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们都有各自的特点和图像形状。

“函数”考点透析

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３均为单调递增函数得到ｆ）单调递增函数，（为，一１０１０所以＿）＝０有唯一实数根在区（）＜）＞，厂（间（一１０内，选Ｂ，）故。
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［，］ｎｂ上的图像是连续曲线，不能否定则）的零点的存在性，可能存在（此时在区间（，）。ｂ内有偶数个零点）也可能不存在，利用二分法进一步判定；，要若。，ｂ０则至少有一个零点ｎ或ｂ）・（）＝，。
２【中之００．半刊４高生友２１９月】．上
叙学导学ｏｉ编蓦３ｍｈｘｇｕ责ｙａｏｎ
例７２１（００年山东省高考题）函数Ｙ＝２的图，００１０２０，以，一（）＞）＞）＞所（一１＿００因）・（）＜，厂像大致是（）。此在区间（一１０上一定有零点。或者由函数２，）和
描绘相应的图像，涉及到图像的对称变换、折变还翻点拨：据函数的定义域和指数函数４根＞０确定
换、平移变换等；三个“ ③ 二次” 的融合与转化关系； ④ 二次根式内取值范围，从而求出值域。指数函数和对数函数与函数的基本性质、二次函数、方解析：１４Ｉ０解得 ≤２即函数的定义域为由６— ＞，程、不等式等内容的小综合处理能力； ⑤函数与不等式（一∞ ，］２。因为４０所以０６— ６所以０＞， ≤１４＜１， ≤ 中的含参数问题（包括恒成立问题） ⑥ 函数与方程中；１ — ／４故函数Ｙ的值域为［，）故选６４＜￣１６＝，０４，的零点问题。此类试题，易题、容中档题、高档题都有Ｃ。设计，以中档题居多，且偶有难题。点评：函数的值域要贯彻定义域优先的原则，求同２函数与其他知识的交汇问题，．其形式为在函数时要掌握各种求函数定义域的方法，针对具体的问题与方程、不等式、数列、解析几何、导数、角函数等知三灵活选择，以简单方便能优化解题过程为选择的标准。识的交汇点编制解答大题，于中、属高档试题。（）段函数的值域２分高考在客观试题设计上，过对函数基本知识的通例３２１（００年天津市高考题）设函数ｇ）＝Ｘ —２（２

高考函数五大知识点归纳总结

高考函数五大知识点归纳总结函数是高中数学中的重要内容，它不仅在高考中占有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。

以下是高考中函数的五大知识点归纳总结：1. 函数的定义和表示函数是数学中描述变量之间关系的基本概念。

一个函数通常表示为\(y = f(x)\)，其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。

函数可以用解析式、图象、表格等形式表示。

理解函数的定义域和值域是解决函数问题的基础。

2. 函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和对称性等。

单调性描述了函数值随自变量变化的趋势；奇偶性描述了函数图象关于原点或y轴的对称性；周期性描述了函数值的重复性；对称性则描述了函数图象关于某条直线的对称性。

掌握这些性质有助于快速判断函数的行为。

3. 函数的运算函数的运算包括函数的加法、减法、乘法、除法和复合函数。

复合函数是指一个函数的输出作为另一个函数的输入。

这些运算是解决复杂函数问题的重要工具。

4. 函数的图象变换函数的图象变换包括平移、伸缩、对称和旋转等。

通过图象变换，可以将一个函数的图象转换成另一个函数的图象。

掌握图象变换的规律，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

5. 函数的实际应用函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学中的运动学问题、经济学中的成本和收益问题、生物学中的种群增长问题等。

通过将实际问题转化为函数问题，我们可以利用函数的性质和方法来解决这些问题。

总之，函数是高中数学的核心内容之一。

掌握函数的定义、性质、运算、图象变换和实际应用，对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。

在高考中，函数题目通常涉及多个知识点的综合运用，因此，系统地学习和理解这些知识点对于取得好成绩至关重要。

高中函数概念知识点总结

高中函数概念知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一个非常基本的概念，它可以表达变量之间的依赖关系。

在代数或数学分析中，函数是一种特殊的关系，即每个自变量的值都对应着唯一的因变量的值。

用符号表示为：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。

在实际应用中，函数可以描述抽象的关系，也可以表示具体的物理、经济、生活等现象。

2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，用曲线或者折线表示。

它可以帮助我们直观地了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。

3. 函数的定义域和值域函数的定义域即自变量的取值范围，值域即因变量的取值范围。

了解函数的定义域和值域可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

4. 函数的解析式函数的解析式表示函数之间的依赖关系，可以用代数式、分段函数、组合函数等形式表示。

掌握函数的解析式有利于我们对函数进行分析和运算。

5. 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

了解这些常见函数的性质和特点有助于我们更好地理解和运用函数。

二、函数的基本性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们简化函数的图形和运算。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

2. 函数的增减性函数的增减性描述了函数图像在定义域上的上升或下降趋势。

通过研究函数的增减性，我们可以得到函数在不同区间上的性质。

3. 函数的最值和极值函数的最值即函数在定义域上的最大值和最小值，极值指的是函数在某个点上的最大值和最小值。

研究函数的最值和极值有助于我们理解函数的局部性质。

4. 函数的周期性周期函数是指函数具有周期性变化的特点，即在一定区间内具有重复的性质。

掌握周期函数的性质对于我们理解函数的变化规律和应用具有重要意义。

5. 复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，它可以描述多个变量之间的复杂关系。

掌握复合函数的运算和性质有助于我们应用函数解决实际问题。

函数高考知识点梳理

函数高考知识点梳理函数是高中数学的重要内容，也是高考考点之一。

掌握函数的相关知识对于高考数学成绩的提升至关重要。

本文将对函数的相关知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地备考。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种有序对的关系，是自变量与因变量之间的映射关系。

2. 定义域：函数中自变量的取值范围。

3. 值域：函数中因变量的取值范围。

4. 图像：函数在坐标系中的表示，通常用曲线表示。

5. 奇偶性：函数关于坐标原点对称称为偶函数，关于y轴对称称为奇函数，否则为无偶奇性。

6. 单调性：函数的增减趋势。

7. 有界性：函数在某个区间上是否有上下界。

二、函数的分类1. 初等函数：基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则运算、函数的复合和函数的构造所得的函数。

2. 反函数：与原函数满足互逆关系的函数。

3. 反比例函数：自变量与因变量之间呈现反比例关系的函数。

4. 分段函数：根据自变量的取值范围，函数表达式有不同的形式。

5. 参数方程：自变量和因变量均用参数表示的函数。

三、函数的性质与运算1. 函数的和、差、积、商：函数间的四则运算。

2. 复合函数：一个函数作为另一个函数的自变量时构成的函数。

3. 反函数的性质：反函数的定义域和值域与原函数的相反。

4. 函数的平移：函数图像在坐标系中的平移和拉伸。

5. 函数的复合：多个函数进行复合运算的结果仍然是一个函数。

6. 函数的解析式与图像的关系：函数图像与函数的解析式之间的对应关系。

四、应用题1. 函数在实际问题中的应用，如函数模型的建立、函数图像的解读等。

2. 函数方程的解：求解函数方程的解析式。

通过对函数的相关知识点进行梳理和总结，我们可以更加全面地了解函数的定义、性质和运算规律。

在高考数学备考中，熟练掌握函数的相关知识点，能够灵活运用函数解决实际问题，将会为我们取得更好的成绩提供有力的支持。

精确理解函数的定义、掌握函数的分类和性质、善于运用函数的运算、熟练应用函数解决实际问题，是我们备考高考数学时不可或缺的能力。

高考函数知识点总结

高考函数知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的对应关系，即对于一个自变量的取值，对应有唯一的因变量的取值。

形式化地说，设X和Y是两个非空集合，如果存在一个由X的元素到Y的元素的对应关系f，即X中的每个元素x都对应Y中唯一确定的一个元素y，那么这个对应关系就叫做函数。

1.2 函数的表示函数一般用一对括号表示，即f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数可以用各种形式来表示，例如用文字描述、用公式表示、用图象表示等。

1.3 函数的符号表示如果函数f(x)的自变量x是属于实数集合R的，那么就称f(x)为实函数。

如果函数f(x)的因变量是属于复数集合C的，那么就称f(x)为复函数。

通常情况下，函数的符号表示可以是简单的字母，如y=f(x)，也可以是复杂的组合，如y=f(g(x))。

1.4 函数的定义域与值域函数的定义域是指自变量x的取值范围，而值域是指因变量f(x)的取值范围。

函数的定义域和值域是函数最基本的性质，准确地找出函数的定义域和值域对于理解函数的性质和规律至关重要。

1.5 函数的图象函数的图象是一个坐标系中的点的集合，它可以用来直观地表示函数的性质和规律。

对于某些函数，可以用计算机软件或手工绘图的方式获得其图象，从而更好地理解函数的性态。

二、基本初等函数2.1 一次函数一次函数是指函数f(x)=ax+b(a≠0)。

一次函数是一种最简单的函数形式，它在平面直角坐标系中的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。

一次函数的特点是斜率a和截距b。

2.2 二次函数二次函数是指函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)。

二次函数在平面直角坐标系中的图象是一个抛物线，它具有对称轴、顶点、开口方向等性质。

二次函数又分为开口向上和开口向下两种情况。

2.3 幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a(a为常数)。

当a是正整数时，幂函数是指数函数；当a是分数时，幂函数是根式函数。

幂函数的性质包括增减性、奇偶性、周期性等。

有关高考函数知识点总结

有关高考函数知识点总结在高考数学考试中，函数是一个非常重要的知识点，因此掌握函数的相关知识对于高中生来说是非常重要的。

函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和研究数学规律中起着非常重要的作用。

在高考中，函数的知识点主要包括函数的定义、性质、图像、基本初等函数、函数的运算、函数的求导等内容。

下面我们就来总结一下高考中常见的函数知识点，希望对广大高中生有所帮助。

一、函数的定义1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它是一个变量到另一个变量的映射，即对于每一个自变量，都有唯一确定的因变量与之对应。

函数通常用数学式子来表示，例如y = f(x)。

1.2 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数的自变量可能取值的集合，值域则是函数的因变量可能取值的集合。

在实际问题中，定义域和值域往往是由问题的条件限定的。

1.3 函数与方程函数与方程是两种不同的数学概念，函数是自变量到因变量的映射关系，而方程则是两个表达式之间的等式关系。

但在实际问题中，函数与方程往往是相互联系的，通过函数关系可以解决一些方程问题。

二、函数的性质2.1 奇函数与偶函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数。

奇函数的图像通常具有中心对称性，而偶函数的图像通常具有原点对称性。

2.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

若函数在定义域内递增，则称为增函数；若函数在定义域内递减，则称为减函数。

2.3 周期性周期函数是指满足f(x+T) = f(x)的函数，其中T为正数，称为函数的周期。

周期函数的图像通常具有一定的规律性，例如正弦函数、余弦函数等。

三、函数的图像3.1 函数的图像函数的图像是函数关系在平面直角坐标系中的几何表示，它可以直观显示函数的性质和规律。

常见的函数图像有直线、抛物线、三角函数曲线等。

3.2 函数的对称性函数的对称性指函数图像具有某种对称关系。

常见的对称性有轴对称、中心对称等。

高考函数知识点总结全面

高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 1函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是x 的函数,x 叫作自变量;②近代定义：设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数,记作y=fx,其中B y A x ∈∈,,原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域;B C⊆2构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式; 二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式, 求函数解析式的方法：（1）定义法 2变量代换法 3待定系数法 4函数方程法 5参数法 6实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合;求函数定义域的主要依据： 1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义； 3对数函数的真数必须大于零；4指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集; 3;复合函数定义域：已知fx 的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出;三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=fx 中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域;2．确定函数的值域的原则①当函数y=fx 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=fx 用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=fx 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=fx 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定; 3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围； ②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域； ③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥不等式法：利用不等式的性质求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域； ⑧几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域; 四．函数的奇偶性1．定义: 设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=,则称y=fx 为偶函数;设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=-,则称y=fx 为奇函数;如果函数()f x 是奇函数或偶函数,则称函数y=()f x 具有奇偶性;2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称, ②y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数,⑤若函数fx 的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+=⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称 ⑦对于Fx=fgx :若gx 是偶函数,则Fx 是偶函数若gx 是奇函数且fx 是奇函数,则Fx 是奇函数若gx 是奇函数且fx 是偶函数,则Fx 是偶函数3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看fx 与f-x 的关系五、函数的单调性 1、函数单调性的定义一般地,设一连续函数 fx 的定义域为D ,则• 如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有f x 1 >f x 2,即在D 上具有单调性且单调增加,那么就说f x 在这个区间上是增函数;•相反地,如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有fx 1 <fx 2,即在D 上具有单调性且单调减少,那么就说 f x 在这个区间上是减函数;则增函数和减函数统称单调函数; 2、判断函数单调性求单调区间的方法：1从定义入手,2从图象入手,3从函数运算入手,4从熟悉的函数入手 5从复合函数的单调性规律入手注：函数的定义域优先3、函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”;4、一般规律1若fx,gx 均为增函数,则fx+gx 仍为增函数； 2若fx 为增函数,则-fx 为减函数； 3互为反函数的两个函数有相同的单调性；4设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;六、反函数 1、反函数的概念：设函数y=fx 的定义域为A,值域为C,由y=fx 求出()y xϕ=,若对于C 中的每一个值y,在A 中都有唯一的一个值和它对应,那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数,这个函数()y xϕ=叫函数y=fx 的反函数,记作()y fx1-=,通常情况下,一般用x 表示自变量,所以记作()x fy 1-=;注：在理解反函数的概念时应注意下列问题;1只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； 2反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤1解关于x 的方程y=fx,达到以y 表示x 的目的； 2把第一步得到的式子中的x 换成y,y 换成x ； 3求出并说明反函数的定义域即函数y=fx 的值域; 3、关于反函数的性质1y=fx 和y=f -1x 的图象关于直线y=x 对称； 2y=fx 和y=f -1x 具有相同的单调性；3y=fx 和x=f -1y 互为反函数,但对同一坐标系下它们的图象相同； 4已知y=fx,求f -1a,可利用fx=a,从中求出x,即是f -1a ； 5f -1fx=x;6若点Pa,b 在y=fx 的图象上,又在y=f -1x 的图象上,则Pb,a 在y=fx 的图象上； 7证明y=fx 的图象关于直线y=x 对称,只需证得y=fx 反函数和y=fx 相同；七．二次函数1．二次函数的解析式的三种形式1一般式：fx=ax 2+bx+ca ≠0,其中a 是开口方向与大小,c 是Y 轴上的截距,而ab2-是对称轴; 2顶点式配方式：fx=ax-h 2+k 其中h,k 是抛物线的顶点坐标;3两根式因式分解：fx=ax-x 1x-x 2,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标;求一个二次函数的解析式需三个独立条件,如：已知抛物线过三点,已知对称轴和两点,已知顶点和对称轴;又如,已知fx=ax 2+bx+ca ≠0,方程fx-x=0的两根为21,x x ,则可设 fx-x=()()(),21x x x x a x x f --=-或()()()x x x x x a x f +--=21;2．二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0的图象是一条抛物线,对称轴ab x 2-=,顶点坐标)44,2(2a b ac a b --1a>0时,抛物线开口向上,函数在]2,(a b --∞上单调递减,在),2[+∞-a b 上单调递增,ab x 2-=时,ab ac x f 44)(2m in-= 2a<0时,抛物线开口向下,函数在]2,(a b --∞上单调递增,在),2[+∞-a b 上单调递减,abx 2-=时,ab ac x f 44)(2m ax -=3．二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1x 1,0,M 2x 2,0ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 4．二次函数与一元二次方程关系方程)0(02≠=++a c bx ax的根为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠00=y 的x 的取值;二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式)0(02<>++c bx ax 的解集为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0)0(0<>y 的x 的取值范围;二次函数 △情况一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c a>0△=b 2-4acax 2+bx+c=0 a>0ax 2+bx+c>0 a>0ax 2+bx+c<0 a>0图象与解△>0a b x a b x 2221∆+-=∆--={}21x x x x x ><或{}21x x xx <<△=0abx x 221-=={}0x x x ≠Φ△<0 方程无解 RΦ八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个,2零指数幂)0(10≠=a a3负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈4正分数指数幂)0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂)10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式1根式的定义:一般地,如果a xn=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中()*∈>N n n ,1,n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫被开方数;2根式的性质: ①当n 是奇数,则a a nn =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零4．对数1对数的概念如果)1,0(≠>=a a N ab,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>04对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a且且5对数的降幂公式：)10,0(log log≠>>=a a N N mnN a n a m且九．指数函数与对数函数1、指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称指数函数对数函数一般形式 Y=a x a>0且a ≠1y=log a x a>0 , a ≠1定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点０,1 1,０图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称单调性a> 1,在-∞,+ ∞上为增函数０＜a<1, 在-∞,+ ∞上为减函数a>1,在0,+ ∞上为增函数０＜a<1, 在0,+ ∞上为减函数值分布y>1 y<1y>0 y<0比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径; 十．函数的图象1、作函数图象的基本方法有两种：（1）描点法：1、先确定函数定义域,讨论函数的性质奇偶性,单调性,周期性2、列表注意特殊点,如：零点,最大最小,与轴的交点 3、描点,连线如：作出函数xx y 1+=的图象．（2）图象变换法：利用基本初等函数变换作图① 平移变换：左正右负,上正下负即kx f y x f y h x f y x f y k k h h +=−−−−−→−=+=−−−−−→−=><><)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移 ② 对称变换：对称谁,谁不变,对称原点都要变)()()()()()()()()()()()(1x f y x f y x f y x f y x fy x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y xy y x =−−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−−→−==−−→−=--=−−→−=-=−→−=-=−→−=-=轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴③ 伸缩变换：)()()()(1x Af y x f y x f y x f y A =−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−→−=⎪⎭⎫⎝⎛倍来的仍一点的纵坐标变为原倍来的仍一点的横坐标变为原ϖϖ导数与积分1．导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;2．导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y －y 0=f`x 0x －x 0; 3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;复合函数的导数：单调区间：一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正； 3．最值：一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值;①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4．定积分1概念：设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi －1,xi 上取任一点ξii ＝1,2,…n 作和式In ＝∑ni f1＝ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作：⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m xm ＋Cm ∈Q, m≠－1；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ； ⎰dx e x ＝x e ＋C ；⎰dx a x ＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ； ⎰xdx sin ＝－cosx ＋C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dx x kf )()(k 为常数；②⎰⎰⎰±=±ba b ab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bacabcdxx f dx x f dx x f )()()(其中a ＜c ＜b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a,x ＝ba<b,x 轴及一条曲线y ＝fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1＝f1x,y2＝f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x ＝a,x ＝ba<b 围成,那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;。

高考函数知识点总结

高考函数知识点总结高考数学中的函数是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型。

下面我将对高考中常见的函数知识点进行总结，帮助你更好地复习。

一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的规则，即每一个自变量只有唯一的函数值与之对应。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，函数的值域是函数值的取值范围。

3. 函数的表示方法：通常用f(x)或y表示函数，其中x为自变量，y为函数值。

4. 函数的奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

5. 函数的周期性：如果存在正数T，使得对于定义域中的任意x都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

二、函数的分类1. 一次函数：函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数：函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

3. 反比例函数：函数的表达式为y=k/x，其中k为常数，x≠0。

4. 幂函数：函数的表达式为y=x^k，其中k为常数，k≠0。

5. 指数函数：函数的表达式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1，x为指数。

6. 对数函数：函数的表达式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x为真数。

7. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

8. 常数函数：函数的表达式为y=c，其中c为常数。

三、函数的性质与方程1. 函数的奇偶性：可用来简化函数的图像及方程的求解。

2. 函数的单调性：函数的增减情况可以通过导数的正负来判断。

3. 函数的最值问题：可通过求函数的导数找出极值点。

4. 函数的零点与方程：函数的零点是方程y=f(x)的解，可以通过解方程求得。

同时，方程的解也是函数的图像与x轴的交点。

四、函数的图像与性质1. 函数的基本图像：不同类型的函数有不同的图像特点，如一次函数是一条直线，二次函数是开口向上或向下的抛物线等。

高考函数全部知识点归纳

高考函数全部知识点归纳函数是高中数学中的核心概念之一，它描述了两个集合之间的一种特定关系，其中一个集合中的元素（称为自变量）通过某种规则映射到另一个集合中的元素（称为因变量）。

以下是高考中函数的全部知识点归纳：1. 函数的定义：函数是定义在集合A上的一个规则f，对于集合A中的每一个元素x，按照规则f，都有集合B中唯一确定的元素y与之对应，记作y=f(x)。

2. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则。

定义域是函数自变量的取值范围；值域是函数值的集合；对应法则是自变量与因变量之间的映射关系。

3. 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。

4. 函数的单调性：函数在某个区间内，自变量增加时，函数值也随之增加或减少的性质。

5. 函数的奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

6. 复合函数：两个函数的组合，记作(f(g(x)))。

7. 反函数：如果y=f(x)，则x=f^(-1)(y)表示y=f(x)的反函数。

8. 函数的周期性：如果存在非零实数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期T。

9. 函数的有界性：函数值域有上界或下界的性质。

10. 分段函数：在不同区间内，函数表达式不同。

11. 幂函数：形如f(x)=x^n的函数，其中n是实数。

12. 指数函数：形如f(x)=a^x的函数，其中a>0且a≠1。

13. 对数函数：形如f(x)=log_a(x)的函数，其中a>0且a≠1。

14. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

15. 反三角函数：三角函数的反函数，如arcsin(x)、arccos(x)等。

16. 函数的图像变换：包括平移、伸缩、对称等。

17. 函数的极值：函数在某点的局部最大值或最小值。

18. 函数的连续性：函数在某点的极限值等于函数值。

19. 函数的导数：描述函数图像的斜率变化，即函数的瞬时变化率。

20. 函数的积分：描述函数图像下面积的计算。

高考函数函数知识点总结

高考函数函数知识点总结高考函数知识点总结导语：高考数学中的函数是一个非常重要的知识点，它涉及到数学的各个领域，也是后续学习的基石。

下面将从函数的定义、性质、特殊函数以及函数的应用等几个方面总结高考数学中的函数知识点。

一、函数的定义与性质：1.1 函数的定义：函数是一个对应关系，是一种特殊的关系。

对于任意一个自变量，函数都能唯一确定一个函数值。

在数学上，表示为：y = f(x)。

其中，x是自变量，y是函数值，f是函数的符号。

1.2 函数的性质：（1）定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的可能范围。

（2）奇偶性：若对于函数中的任意一个x，有f(x) = f(-x)，则函数是偶函数；若对于函数中的任意一个x，有f(x) = -f(-x)，则函数是奇函数。

（3）单调性：若对于函数中的任意两个x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则函数是单调增加的；若对于函数中的任意两个x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数是单调减少的。

二、特殊函数：2.1 幂函数：y = x^k （k为常数）幂函数是一种重要的函数类型，其中，k可以是任意实数。

当k>0时，函数是递增的；当k<0时，函数是递减的；当k=0时，函数是常数函数。

2.2 三角函数：y = sinx、cosx、tanx等三角函数是解决三角关系问题的重要工具，具有周期性和奇偶性。

其中，sinx和cosx的定义域为实数集，而tanx的定义域为实数集去除不是π/2的倍数的点。

2.3 指数函数与对数函数：y = a^x、y = loga(x) （a为常数）指数函数和对数函数是函数中的重要类型，指数函数是反映指数规律的函数，其中a>0且a≠1；对数函数是与指数函数互逆的函数，其中a>0且a≠1。

三、函数的应用：3.1 函数与方程：通过函数的性质可以解决方程的问题。

高考函数知识点总结大全

高考函数知识点总结大全在高考数学中，函数是一个重要的知识点。

函数的概念和性质在高考中经常出现，并且往往作为解题的关键。

本文将从函数的基本概念、常见函数类型以及函数的应用等方面进行总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。

一、函数的基本概念与性质1. 函数的定义：函数是自变量和因变量之间的一种特定关系，通常用f(x)表示。

其中，x为自变量，f(x)为因变量。

2. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数所有可能的输出值的集合。

3. 增减性与单调性：如果对于定义域内的任意两个自变量，随着x的增大，函数值也增大，我们称该函数在该区间上是增函数。

4. 奇偶性与周期性：如果对于任意一个自变量x，当x取代-x时，函数值不变，我们称该函数为偶函数。

如果对于任意一个自变量x，当x取代-x时，函数值互为相反数，我们称该函数为奇函数。

如果函数满足f(x+nT)=f(x)，其中n为整数，T为正数，我们称该函数为周期函数。

二、常见函数类型1. 一次函数：一次函数的表达式为y=ax+b，其中a为非零实数，b为实数常数。

一次函数的图像为一条倾斜的直线，其斜率为a，常数b为y轴截距。

2. 二次函数：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a为非零实数，b和c为实数常数。

二次函数的图像为一条开口向上或向下的抛物线，根据a的正负可以确定抛物线的开口方向。

3. 幂函数：幂函数的表达式为y=axⁿ，其中a为非零实数，ⁿ为实数常数。

幂函数的图像根据ⁿ的正负可以确定函数曲线的形状。

4. 指数函数：指数函数的表达式为y=aⁿ，其中a为正实数且不等于1，ⁿ为任意实数。

指数函数的图像随着ⁿ的增大或减小逐渐扩大或缩小。

5. 对数函数：对数函数的表达式为y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的特点是与指数函数互为反函数，其图像与y=x的对称轴交于点(1, 0)。

三、函数的应用1. 函数的极值：利用函数的增减性可以求函数在某一区间内的最大值或最小值。

高考函数知识点总结

高考函数知识点总结函数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中的重要知识点之一。

掌握好函数的基本概念、性质和应用，对于解题和理解数学知识都有很大帮助。

本文将详细介绍高考函数知识点，包括函数的定义、性质、基本类型以及常见应用。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，每个自变量只对应一个确定的因变量。

通常用f(x) 或 y 表示函数，其中 f 为函数名，x 是自变量，y 是因变量。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的范围，值域是因变量可能取值的集合。

3. 奇偶性：如果对于定义在整个定义域上的函数 f(x)，对任意 x 都有 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对任意 x 都有 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。

4. 单调性：如果对于定义在区间 I 上的函数 f(x)，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，则函数在区间 I 上是增函数；当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，则函数在区间 I 上是减函数。

5. 求值和求反函数：给定一个函数 f(x)，可以通过将自变量 x 带入函数，得到对应的因变量值 f(x)。

反函数是函数的逆运算，如果 f(x) 和 g(x) 是互为反函数，则有f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x。

二、基本类型的函数1. 多项式函数：多项式函数是最常见的函数类型之一，形如 f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀，其中 aₙ、aₙ₋₁、...、a₁、a₀为实数，n 为非负整数。

2. 指数函数：指数函数是以底数为 e（自然对数的底数）的函数，形如f(x) = a × eˣ，其中 a 为非零实数。

3. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，以底数为 a 的对数函数记作 y = logₐx，其中 a > 0 且 a ≠ 1。

高考数学基础函数知识点汇总

高考数学基础函数知识点汇总函数是高考数学中的重要内容，也是数学学习中的基础和核心。

掌握好函数的相关知识，对于解决数学问题、提高数学素养至关重要。

下面为大家详细汇总高考数学中基础函数的知识点。

一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系，设集合 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

其中，集合 A 叫做函数的定义域，集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域。

需要注意的是，定义域、值域和对应关系是函数的三要素，当且仅当定义域、对应关系都相同时，两个函数才是相同的函数。

二、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝f(x)。

2、列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，形象直观。

三、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k≠0）的函数称为一次函数。

当 b ＝ 0 时，y ＝ kx 是正比例函数，其图象是过原点的直线。

一次函数的图象是一条直线，k 决定直线的倾斜程度，b 决定直线与 y 轴的交点位置。

2、二次函数一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a≠0）顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a≠0，顶点坐标为（h, k)）交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a≠0，x₁，x₂为函数与 x 轴交点的横坐标）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴为 x ＝ b/2a，顶点坐标为（b/2a, （4ac b²)／4a) 。

a 的正负决定抛物线的开口方向，a ＞ 0 时开口向上，a ＜ 0 时开口向下。

3、反比例函数形如 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，图象在一、三象限；当 k ＜ 0 时，图象在二、四象限。

高中函数部分知识点及典型例题分析-1

智立方教育高一函数知识点及典型例题一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射 2、函数构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例1、例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个由题意知：M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，对于图①中，在集合M 中区间（1，2]内的元素没有象，比如f （ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M 的一个元素对应N 中的两个元素．比如当x=1时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确xxxx1 2 1 1 1 2 2 2 11112 2 2 2 y y yy 3 OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例1、y =函数的定义域为根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。

所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4<X,解4X 的平方-3X<1得-1/4<X<1，取交集得X 的范围是《-1/4<X<0或3/4<X<1》四．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系例1.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .当x ∈（０，＋∞），f(x)=-x-x^4 解：当x ∈（０，＋∞），－x ∈(-∞,0),因为当x<0时，f(x)=x-x^4,所以把－x 代入这个式子中得 f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) 于是f(x)=-x-x^4例2、已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.（Ⅰ）因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f （1）= -f （-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在正负无穷上为减函数。

高考函数知识点总结归纳

高考函数知识点总结归纳在高考数学考试中，函数是一个非常重要的知识点。

函数的概念与性质在各个学段都会涉及到，因此必须对函数的相关知识进行系统的总结和归纳。

本文将从函数的基本概念、函数的图像、函数的性质等方面对高考函数的知识点进行总结。

1. 函数的基本概念函数是一种数学工具，它描述了两个变量之间的依赖关系。

函数由定义域、值域和对应关系组成。

其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数对应的因变量的取值范围。

2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的表现形式，可以通过绘制函数的曲线来展示函数的特征。

常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过观察函数图像，可以获得关于函数性质的重要信息。

3. 函数的性质函数具有很多重要的性质，包括奇偶性、单调性、最值、对称性等。

其中，奇偶性是指函数在自变量取相反数时函数值是否相等；单调性是指函数的增减性质；最值是指函数在定义域上取得的最大或最小值；对称性是指函数的图像关于坐标轴或某一点的对称关系。

4. 函数的运算函数也可以进行运算，常见的函数运算有四则运算、复合函数和反函数。

四则运算是指函数之间的加减乘除运算；复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入；反函数是指与原函数满足一定关系的函数。

5. 函数的应用函数广泛应用于实际问题的建模与分析中。

在物理学、经济学、生物学等领域中，函数常用于描述事物之间的关系。

例如，利用函数可以描述物体的运动轨迹、经济模型的变化规律等。

6. 常见的函数类型高考数学考试中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数类型都有其特定的性质和应用范围。

理解和熟练掌握这些函数类型将有助于解决高考数学考试中的相关问题。

7. 函数的应用题高考数学考试中，函数的应用题是必考题型。

这些题目通常结合实际问题，要求对函数的概念、性质、运算和应用进行综合运用。

解决函数的应用题需要通过建立函数模型、推导函数性质和运用函数思维来解决实际问题。

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