3运筹学运输问题解析

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给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量 7 4 9
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3
3
6
A1 A2 A3
表上作业法要求，调运方案的数字格必须为 m+n-1个，且有数字格不构成闭回路。一般，用最小 元素法给出的方案符合这一要求。
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表上作业法的步骤类似于单纯形法: (1)给出初始调运方案。 (2)检验方案是否最优,若是最优解,则 停止计算;否则转下一步。
(3)调整调运方案，得新的方案。
(4)重复(2),(3)直到求出最优方案。
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-12 、 A3将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销 量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
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A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
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第二节 运输问题的求解-表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题，在求解 时依然可以采用单纯形法的思路。由于运输规划系 数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法 求解计算，则无法利用这些有利条件。人们在分析 运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问 题的表上作业法。在这里需要讨论基本可行解、检 验数以及基的转换等问题。
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最小元素法中的退化情况
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量
销地 产地
B1 3 3 1
B2 11 9 2
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系数矩阵
X11 X12 X13 X14 1 1 1 1 X21 X22 X23 1 1 1 X24 X31 X32 X33 X34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
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产销平衡运输问题的线性规划模型 假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的 m 个产地； B1,B2,…,Bn 表示某物资的 n个销地； ai表示产地 Ai 的产量； bj 表示
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9
解：设 cij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价，xij 为从 产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 A3 销量
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B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
第3章
运输问题
3.1 运输问题及其数学模型
3.2 表上作业法 3.2.1 最小元素法 3.2.2 位势法 3.2.3 闭回路法 3.3 产销不平衡的运输问题 3.4 应用举例
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第一节 运输问题的数学模型
问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个 产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每 个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价 的前提下，如何确定一个使得总的运费最小的方案。
销地 Bj 的销量；cij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn 运输问题数据表 运输问题变量表
销地 产地
B1 B2 … B n c11 c21 ┇ cm1 b1 c12 c22 ┇ cm2 … … ┇ … c1n c2n ┇ cmn
A1 A2 ┇ Am 销量
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产 量 a1 a2 ┇ am
销地 B1 产地
B2 … B n x12 … x1n x22 …x2n ┇ ┇ ┇ xm2 …xmn b 2 … bn
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A1 A2 ┇ Am 销量
x11 x21 ┇ xm1 b1
产 量 a1 a2 ┇ am
b2 … bn
模型系数矩阵的特征 一般地，对m个产地﹑n个销地的 产销平衡问题，有如下模型： 1.共有m+n行，分别表示
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运输问题的系数矩阵的秩为 m + n -1， 基变量共有 m + n -1 个。 一、初始基可行解的确定（m+n-1个数字格） 1.最小元素法 2.伏格尔法 二、最优解的判别 1.闭回路法 2.位势法 三、解的改进－－闭回路调整法 四、表上作业法计算中的问题 1.无穷多最优解 2.退化 出现退化时，要在同时被划去的行列 中任选一个空格填0，此格作为有数字格。
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例 某公司从三个产地A1、A2 、A3将物品运往四个
销地B1、B2、 B3、B4，各产地的产量、各销地的 销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表 所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9
产量 7 4 9
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该问题的数学模型为：
Min Z = cij x ij
i 1 j 1 3 4
x 11+ x 12 + x 13 + x 14 =7 x 21+ x 22 + x 23 + x 24 =4 产量约束 x 31+ x 32 + x 33 + x 34 =9 x 11 + x 21 + x 31 =3 x 12 + x 22 + x 32 =6 销量约束 x 13 + x 23 + x 33 =5 x 14 + x 24 + x 34 =6 x ij ≥ 0（i=1...3；j=1...4）
Min Z = Cij Xij
m n
n
i 1 j 1
Xij =ai （i=1...m）产量约束
j1
m

i 1
Xij =bj（j=1...n）销量约束
Xij ≥ 0（i=1...m；j=1...n）
各产地和销地；mn列， 分别表示各变量； 2.每列只有两个1，其余 为0，分别表示只有一 个产地和一个销地被使 用； 3. 线性无关的行数为 m+n-1.