平面向量中极化恒等式应用习题

合集下载

平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝

备考2025届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用极化恒等式

极化恒等式例6 （1）[2024北京高考]在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ D ） A.[－5， 3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析解法一（极化恒等式）设AB 的中点为M ，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由极化恒等式得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－254＝CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ cos θ－254＝254＋1－5cos θ－254＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. 解法二以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），设P （x ，y ），则x 2＋y 2＝1，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－x ，－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，4－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 2－3x ＋y 2－4y ＝（x －32）2＋（y －2）2－254，又（x －32）2＋（y －2）2表示圆x 2＋y 2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]，故选D. 解法三以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），因为PC ＝1，所以P 在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P 坐标为（cos α，sin α），则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－cos α，－sin α）·（－cos α，4－sin α）＝1－3cos α－4sin α＝1－5sin （α＋φ）（其中tan φ＝34）.因为sin （α＋φ）∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. （2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是（ B ） A.－2B.－32C.－43D.－1解析解法一如图，取BC 的中点D ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PAD 中，取AD 的中点O ，则2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－12｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝2｜PO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－32. 由于点P 在平面内是随意的，因此当且仅当点P ，O 重合时，｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜取得最小值，即2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值－32.故选B. 解法二如图，以等边三角形ABC 的底边BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，√3），B （－1，0），C （1，0）.设P （x ，y ），则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，√3－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1－x ，－y ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1－x ，－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝（－x ，√3－y ）·（－2x ，－2y ）＝2x 2＋2（y －√32）2－32，易知当x ＝0，y ＝√32时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）取得最小值，最小值为－32.故选B.方法技巧极化恒等式：a ·b ＝14[（a ＋b ）2－（a －b ）2].几何意义：向量a ，b 的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14（4｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－4｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2）＝｜AO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2. （2）如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 训练4 [2024山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－32，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且｜MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 132.解析依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠BAD ＝－32｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝－32，得｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，因此λ＝｜AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14[（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2]＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14.留意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝3√32，因此DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14的最小值为（3√32）2－14＝132，即DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为132.思维帮·提升思维快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1 垂心的向量表示与运用例7 [2024山西朔州模拟]已知H 为△ABC 的垂心，若AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin ∠BAC ＝ √63.解析如图，连接BH ，CH ，因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由H 为△ABC 的垂心，得BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知25｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝23｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝3｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜5｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜ ①，同理有CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知13｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝35｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝5｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜9｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜②，①×②得cos 2∠BAC ＝13，得sin 2∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－13＝23，又sin ∠BAC ＞0，所以sin ∠BAC ＝√63. 方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O 是△ABC 的垂心，P 为△ABC 所在平面内随意一点，则有（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2；（3）动点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ）或OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ），λ∈R 时，动点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.角度2 重心的向量表示与运用例8 [2024广州一中诊断]如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy x ＋y＝ 13 .解析由M ，G ，N 三点共线得，存在实数λ使得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋（1－λ）AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y （1－λ）AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且0＜λ＜1. 因为G 是△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以{xλ＝13，y （1－λ）＝13，则{x ＝13λ，y ＝13（1－λ），故xy ＝19λ（1－λ），x ＋y ＝13λ（1－λ），则xy x ＋y ＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O 是△ABC 的重心，P 为平面内随意一点，则有（1）OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0；（2）PO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）；（3）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋ λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的重心. 角度3 外心的向量表示与运用例9 [2024湖北荆门模拟]已知点O 为△ABC 所在平面内一点，在△ABC 中，满意2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，则点O 为该三角形的（ B ） A.内心B.外心C.垂心D.重心解析因为2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，所以｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝ 12｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜的一半，所以点O 在边AB 的中垂线上，同理，点O 在边AC 的中垂线上，所以点O 为该三角形的外心，故选B. 方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.2.外心的性质：若O 是△ABC 的外心，则有（1）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜；（2）（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 角度4 内心的向量表示与运用例10 [2024四川南充阶段测试]已知O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 满意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－CB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，则点O 为△ABC 的（ C ） A.外心 B.重心C.内心D.垂心解析解法一AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜分别是与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，可令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接ED ，则△ADE 为腰长是1的等腰三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以AO 为∠CAB 的平分线，同理BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选C. 解法二 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，即｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos （π－∠OAB ）＝｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜·cos （π－∠OAC ），所以∠OAB ＝∠OAC ，即AO 是∠BAC 的平分线，同理可得BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心. 方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O 是△ABC 的内心，P 为平面内随意一点，则有（1）a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0（a ，b ，c 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长）；（2）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的内心.训练5 （1）[2024长春模拟]点O 是平面α上确定点，点P 是平面α上一动点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点（点O ，P ，A ，B ，C 均不重合），以下命题正确的是 ①②③④ .①动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中； ②动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），则△ABC 的内心确定在满意条件的P 点的集合中；③动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中；④动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），则△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中.解析对于①，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，移项得－OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则点P 是△ABC 的重心，故①正确. 对于②，因为动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），移项得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠BAC 的平分线对应的向量共线，所以P 在∠BAC 的平分线上，所以△ABC 的内心在满意条件的P 点的集合中，②正确. 对于③，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ），过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin B ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin C ＝AD ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），设M 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2λAD AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在BC 的中线上，所以△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中，③正确. 对于④，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC）＝λ（－｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在边BC 上的高所在的直线上，所以△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2024安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，则下列四个选项中正确的是（ ABD ） A.GH ＝2OG B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 C.AH ＝ODD.S △ABG ＝S △BCG ＝S △ACG解析依据题意画出图形，如图所示.对于B ，连接GD ，由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又D 为BC 的中点，所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故B 正确.对于A ，C ，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，所以△AHG ∽△DOG ，所以GHOG ＝AHOD ＝AGDG ＝2，即GH ＝2OG ，AH ＝2OD ，故A 正确，C 不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA ＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.。

微专题01 平面向量

微专题01 平面向量秒杀总结结论1极化恒等式．1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b++-=+,,AB a AD b==证明：不妨设CA a b DB a b=+=-则，，()22222C2AC A a b a a b b==+=+⋅+（1）()222222DB DB a b a a b b==-=-⋅+（2）（1）（2）两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

（2）三角形模式：2214a b AM DB⋅=-（M为BD的中点）结论2矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。

已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD+=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b==，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则(,0),(0,),(,)B a D bC a b，设(,)O x y，则AB CM222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+- 222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++- 2222OA OC OB OD ∴+=+结论3 三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在R λ∈使(1)OP OA OB λλ=-+．特别地，当P 为线段AB 的中点时，1122OP OA OB =+。

结论4 等和线【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

平面向量极化恒等式

平面向量
巧用极化恒等式，妙解一类向量题
如图， AB a, AD b，试证明平行四边形四边和对角线性质。
AC AC a b a 2a b b
DB DB
2 2 2 2
2
2
a b a
2
2 2
2
2
（1）
（2）
2a b b
2
2 2 2 2 （1）+（2）得： AC DB 2 a b 2 AB AD
（1）—（2）得：
2 2 1 a b a b ————极化恒等式 ab＝ 4

应用一：求值
例1.(2012 浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10, 则 AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 PA PB的取值范围是 ____;
PB PC P 0 B PC 0 。则(
A.
)
ABC 90
B. BAC 90 D. AC BC
C. AB AC
变（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 4. 3 ．
2 2, A、B 是圆上两点且 AOB , MN 是一条直径 , 点 C 在 3
C
P
A
D
B
跟踪练习： o AB 4, AC 2, BAC 60 , AP 2, 则( PB PC) max _______
跟踪练习：
AB 上一定点，例 3. （2013 浙江理 7）在 ABC 中, PБайду номын сангаас0 是边

平面向量的极化恒等式(原卷版)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案－16 解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116 C ．14 D ．－123．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．65．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．136．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2697．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．728．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－12．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上的一个动点，延长AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB → 的取值范围是________．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取值范围为_________．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________． ABC DMN18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8。

培优点向量极化恒等式

培优点向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一向量极化恒等式极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.变式：(1)a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.考向1 利用向量极化恒等式求值例1 (1)如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝8，E ，O ，F 为线段BD 的四等分点，则AE →·AF →＝________.答案 27解析 BD ＝AB 2＋AD 2＝12， ∴AO ＝6，OE ＝3， ∴由极化恒等式知AE →·AF →＝AO →2－OE →2＝36－9＝27.(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78解析设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，得AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，① FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.② 联立①②，解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围例2 (1)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案－12解析如图所示，取OC 的中点D ，连接PD ，因为O 为AB 中点，所以(P A →＋PB →)·PC → ＝2PO →·PC →，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD →2－DO →2＝PD →2－14，因此当P 为OC 的中点，即|PD →|＝0时， (P A →＋PB →)·PC →取得最小值－12.(2)平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98解析由向量极化恒等式知a ·b ＝(2a ＋b )2－(2a －b )28＝|2a ＋b |2－|2a －b |28≥02－328＝－98，当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，〈a ，b 〉＝π时，a ·b 取最小值．规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD 中，B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝AD →BC→＝16.取MN 的中点E ，连接DE (图略)，则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.当点M ，N 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝332，因此DE →2－14的最小值为⎝⎛⎭⎫3322－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．答案 [0,2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为内切球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]．考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′--→，OP ′--→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数； (6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．例3 (1)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 A解析方法一设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝12－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝12.方法二如图，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN →||AM →|＝12.(2)如图，圆O 是边长为23的等边△ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2答案 C解析如图，作出定值k 为1的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，则BM →＝xBA →＋yBD →＝2x ·12BA →·＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，当M 在N 点所在的位置时，2x ＋y 最大，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB →||PB →|＝2，所以2x ＋y 取得最大值2.易错提醒要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2解析方法一以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.图(1) 图(2)方法二令x ＋y ＝k ，在所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k ＝|OD →||OE →|＝2.专题强化练1．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92 B ．2 C.32 D.34 答案 B解析如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝PE →2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE |＝102最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 2.如图，在四边形MNPQ 中，若NO →＝OQ →，|OM →|＝6，|OP →|＝10，MN →·MQ →＝－28，则NP →·QP →等于( )A ．64B ．42C ．36D ．28 答案 C解析由MN →·MQ →＝MO →2－ON →2 ＝36－ON →2＝－28，解得ON →2＝64，所以OQ →2＝64，所以NP →·QP →＝PQ →·PN →＝PO →2－OQ →2＝100－64＝36.3．若A ，B 为双曲线x 216－y 24＝1上经过原点的一条动弦，M 为圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上的一个动点，则MA →·MB →的最大值为( ) A.154 B ．7 C ．－7 D ．－16答案 C解析如图，O 为AB 的中点，MA →·MB →＝MO →2－14BA →2，|MO |max ＝|OC |＋1＝3， |AB |min ＝2a ＝8，所以()MA →·MB→max ＝9－14×64＝－7. 4.如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABDC 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,3]D ．[0,4]答案 C解析如图，当P 位于点A 时，(λ＋μ)min ＝0，当P 位于点D 时，(λ＋μ)max ＝3.5．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC答案 D解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，连接DP 0，DP ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2， P 0B --→·P 0C --→＝P 0D --→2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→，则|PD →|≥|P 0D --→|恒成立，必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC .6．已知等边△ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是______．答案 [－2,6]解析如图所示，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，所以O 为△ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝ PD →2－14BA →2＝PD →2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2,6]．7.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是______．答案 2解析如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号．所以OC →·OB →的最大值为2.8.如图，已知点P 为等边△ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为________．答案 73解析由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时，x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为AP AM ＝43，x 2＋y 2的最小值为AQ AM ＝13.故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)|≤83－13＝73.。

2021--平面向量--高考极化恒等式在向量问题中的应用

高考极化恒等式在向量问题中的应用大招系列一、秒杀公式的讲解：1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式：2214a b a b a b2.极化恒等式几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即：2214a b AD AB AD AB 或2214a b AC BD平行四边形模式：2214AB AD和对角线差对角线或2214AB AD AC BD3. 极化恒等式的三角形模式：在ABC 中，记M 为BC 的中点，则2214AB AC AM DB二、以例讲法典型类题 1 〖例1〗(2012浙江文)在ABC 中，M 是BC 的中点，3AM ，10BC ，则AB AC.〖例2〗(2007天津文)在ABC 中，2AB ，3AC ，D 是边BC 的中点，则AD BC.〖例3〗点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的底面1111A B C D 上一点，则PA PC的取值范围是；〖例4〗(2015新课标1)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是.A ,33 .B ,66 .C ,33 .D ,33〖例5〗(2010福建文数)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为.A 2 .B 3 .C 6 .D 8〖例6〗已知A ，B 是圆221x y 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB 的面积最大时，则2AO AP AP 的最大值是.A 1 .B 0 .C 18 .D 12〖例7〗(2017新课标Ⅱ理)已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC的最小值是.A 2 .B 32 .C 43.D 1〖例8〗(2010全国Ⅰ理)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB的最小值为( )．.A 4 .B 3 .C 4 .D 3〖例9〗(2013浙江理)设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C，则( )．.A 90BAC .B 90BAC .C AB AC .D AC BC高考数学讲义新华教育张老师：150****2680〖例10〗(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA， 1BF CF ，则BE CE的值是 ▲ .〖例11〗(2020天津)如图，在四边形ABCD 中，60B，3AB ，6BC ，且AD BC ，32AD AB ，则实数的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ，则DM DN的最小值为 .NMDCBA高考数学讲义新华教育张老师：150****2680『强化练习』在Rt ABC 中，2CA CB ,M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ，CM CN的取值范围是；正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面积上的动点，当弦MN 最大时，PM PN的最大值为；(2011上海理)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ，则AB AD；(2010福建理数)若点O 和点(2,0)F 分别为双曲线2221x y a (0a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为( ).A 3 .B3 .C 7,4 .D 7,4(2018天津理数)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD ．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为.A 2116 .B 32 .C 2516.D 3 E DCBA。

2021年新高考数学之极化恒等式(原卷版)

平面向量之极化恒等式一．选择题（共3小题）1．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值为( )A ．3-B ．6-C ．2-D ．83- 2．在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M ，N （不与A ，C 重合）为AC 边上的两个动点，且满足||2MN =BM BN 的取值范围为( )A ．3[2，2]B ．3(2，2)C ．3[2，2)D ．3[2，)+∞3．正ABC ∆P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是( ) A ．33[,]22- B ．31[,]22- C ．13[,]22- D ．11[,]22-二．填空题（共7小题）4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的最小值为．5．如图，扇形AOB 的圆心角为90︒，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ 的取值范围为．6．在ABC ∆中，60A ∠=︒，M 是AB 的中点，若||2AB =，||BC =D 在线段AC 上运动，则DB DM 的最小值为．7．已知圆O 的直径2AB =，C 是该圆上异于A 、B 的一点，P 是圆O 所在平面上任一点，则()PA PB PC +的最小值为．8．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC 的最大值为．9．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为．10．如图：已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120AOB ∠=︒，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN 的取值范围是．。

以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面向量问题

以小博大，很多数学老师不知道的极化恒等式，解决6类平面向量问题“曲中求直，蓄而后发，此谓借力打人，四两拨千斤也”。

出自武术大家李亦畲的《五字诀》，用于说明太极之奥义。

今天介绍一个平面向量的极化恒等式，亦有“四两拨千斤”之妙。

一个公式，六种用法，小公式，大力量！求解数量积常用的方法基底法、坐标法和图形法（几何意义法），但有时其解题过程运算复杂、过程繁冗，经常导致错误。

此时若能巧用极化恒等式，往往化繁为简，快速找到解题突破口。

本文以近几年高考、模拟试题为例，对极化恒等式在数量积问题中的应用进行分类整理，有助于学生成绩快速提升！定理：设a，b是平面内的两个向量，则有a·b= 1/4［（a+b）²-（a-b）²］.推导方式比较容易，只需将右侧平方公式打开即可！几何意义：△ABC中，AD为中线。

则有：极化恒等式的几何意义即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，揭示了三角形中线与边的关系，也可以理解为向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1/4。

特征：两个向量必须共起点，点D是两个向量夹角所对第三向量（这两个向量之差）上的中点。

题型一：三角形中数量积【点评】利用极化恒等式构造方程组，从而求出数量积的值。

对于从中线与底边这两个方向寻找基底向量的数量积问题，可以运用极化恒等式，把数量积转化为数量的运算，大大简化计算量！【分析】此题是最值问题，标准答案是坐标法。

计算量较大，此时利用极化恒等式直接将数量积转化，利用均值非常简单。

以下是几道三角形模型适合极化恒等式关于数量积的练习题。

用来给学生练习使用。

题型二四边形中数量积配套练习题型三圆形中数量积配套练习题型四圆锥曲线中数量积配套练习题型五立体几何中的数量积配套练习题型六多动点数量积【分析】此题初看是可以使用极化恒等式求解，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，此题需要结合转化的思想，挖掘静态条件，从而进行突破。

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9

高中数学培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理(3大考点+强化训练)(习题版)

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a ·b .变式：(1)a ·b ＝a ＋b24－a －b24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为B ，则PE →·PF →的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC 内一点O 满足关系式S △OBC ·OA →＋S △OAC ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC 的三边为a ，b ，c ，现有a ·OA →＋b ·OB →＋c ·OC →＝0，则O 为△ABC 的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则tan∠BAC ∶tan∠ABC ∶tan∠ACB 等于()A．1∶2∶3B．1∶2∶4C．2∶3∶4D．2∶3∶6考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′——→，OP ′——→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+，则22x y +的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．1【变式3】已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭强化训练一、单选题1．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且6,4AB MN ==，则PM PN ⋅（）A ．13B ．7C ．5D ．32．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-3．设向量,a b 满足10a b += 6a b -=r r a b ⋅ =A ．1B ．2C ．3D ．54．已知圆C 的半径为2，点A 满足||3AC =uuu r，E ，F 分别是C 上两个动点，且||3EF =AE AF ⋅的取值范围是（）A ．[]416，B ．[]26，C ．[]622，D ．[]113，5．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP m AB n AC =+ ，则m n +=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足AN AB AC λμ=+，则22λμ+的最小值为（）A ．116B ．14C ．18D ．17．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC = ，当E 点在线段AD （不包含端点）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3λμ+的取值范围是A．)+∞B ．[2,)+∞C ．17(,)4+∞D ．(2,)+∞8．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB mAE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若1tm n+的最小值为3，则正数t 的值为()A ．2B ．3C ．83D ．1139．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A．234⎡+⎢⎥⎣⎦，B．232⎡+⎢⎥⎣⎦，C．3342⎡-+⎢⎣⎦D．3322⎡-+⎢⎥⎣⎦10．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．211．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：2332OA OB OC AB BC CA ++=++，则AOB ABCS S=△△（）A ．25B ．12C ．16D ．1312．已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．2:3:4D ．2:3:613．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若2133AP AB AC =+，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A ．3:1B ．2:1C ．1:3D ．1:214．已知点P 为ABC 内一点，230PA PB PC ++=，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为（）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．1:2:3D ．3:2:1二、多选题15．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos 6AOB ∠=-18．在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB AC ==，点P 是ABC 的三边上的任意一点，设AP AB AD λμ=+，().R λμ∈，则下列结论正确的是（）A ．0λ≥，0μ≥B ．当点P 为AC 中点时，1λμ+=C ．AP AD ⋅的最大值为1D ．满足32λμ+=的点P 有且只有一个三、填空题19．在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是．20．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足3OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且AB m AE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若12m n+的最小值为.21．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB的夹角为120 ，OA 与OC 的夹角为30 ,且|||1OA OB ==，||OC =()，OC λOA μOB λμ=+∈R ,则λμ+的值为.22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M ，N 是ABC 边BC 上的两个三等分点，若6BC =，4AM AN ⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r =．23．已知线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的一条动弦，且3AB =设点O 为坐标原点，则+OA OB的最大值为；如果直线1:310l x my m --+=与2:310l mx y m +++=相交于点M ，则MA MB ⋅的最小值为.24．在锐角三角形ABC 中，已知,23B AB AC π=-= ，则AB AC ⋅的取值范围是．25．四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，22CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为.26．点P 为ABC 内一点，340PA PB PC →→→→++=，则,,APB APC BPC 的面积之比是.。

重难点专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学新教材培优讲义与精练(

题型二：范围与最值问题
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题
题型三：求参问题以及其它问题
典型例题
题型三：求参问题以及其它问题
典型例题
题型三：求参问题以及其它问题
典型例题
题型三：求参问题以及其它问题
重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
CONTENTS
01
题型归纳
02
方法技巧
03
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
方法技巧
03
典型例题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型一：定值问题
典型例题
题型二：范围与最值问题
典型例题Байду номын сангаас

平面向量的极化恒等式及其应用

平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 证法1 （向量法）设.,b AD a AB == 那么,,b a DB b a AC -=+=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+2222222222AD AB b a b a b a DB AC . 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC . 证法2 （解析法）证法3 （余弦定理）推论1：由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC 知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2222222AD AB OB AO , 即 22AD AB +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222OB AO 推论2：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a -------------------- 极化恒等式.即 22OB AO AD AB -=⋅推论3：在ABC ∆中，O 是边BC 的中点，那么222241BC AO OB AO AC AB -=-=⋅---------------- 极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义.二. 平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC . 三. 三角形中线的一个性质： 22AC AB +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222OB AO . 推论1： =2AO 22221OB AC AB -⎪⎭⎫ ⎝⎛+.推论2：=21-⎪⎭⎫+.【应用】已知点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上中线CD 的中点，那么-=+222PCPB PA .四. 三角形“四心”的向量形态1. O 是平面上必然点，C B A ,,是平面上不同的三点，动点P知足⎪⎫ ⎛++=λ，[)∞+∈，0λ，那么动点P 的轨迹必然通过ABC ∆的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心2. O 是平面上必然点，C B A ,,是平面上不同的三点，动点P 知足⎪⎫ ⎛++=OA OP λ，[)∞+∈，0λ. 那么动点P 的轨迹必然通过ABC ∆的------A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 3. O 是平面上必然点，C B A ,,是平面上不同的三点，动点P知足⎪⎫ ⎛++=λ，[)∞+∈，0λ，那么动点P 的轨迹必然通过ABC ∆的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，P 是ABC ∆的------ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心ABC ∆ 5.O 是ABC ∆所在平面内的一点，知足222222OA BC OB AC OC AB +=+=+，那么点O 是ABC ∆的------（） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心五. 典型案例分析问题1 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，103==BC AM ，，那么-----=•AC AB 【变式】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么-----=•DA DE 问题 2 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，那么PB PA •的取值范围是---------【变式】（2020福建文11题）假设点O 和点F 别离为椭圆13422=+y x 的中心和左核心，点P 为椭圆上的任意一点，那么FP OP •的最大值为（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8问题3 （2021浙江理7）在ABC ∆中，0P 是边AB 上必然点，知足AB B P 410=，且关于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•，那么 A. 2π=∠ABC B. 2π=∠BAC C. AC AB = D. BC AC =【变式】（2020浙江理9题）已知b a ,是平面内的两个相互垂直的单位向量，假设向量c 知足()()0=-•-c b c a ，那么c 的最大值是（） A. 1 B. 2 C.2 D.22. 问题3 已知直线AB 与抛物线x y 42=交于点B A ,，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，假设0C 知足{}CB CA B C A C •=•min 00，那么以下必然成立的是（）【B 】 A. AB M C ⊥0 B. l M C ⊥0，其中是抛物线过点的切线C. B C A C 00⊥D. AB M C =0（2021年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4 在正三角形ABC ∆中，D 是BC 上的点，13==BD AB ，,那么--=•AD AB （2020年上海第11题）【215】问题5 在ABC ∆中，32==AC AB ，，D 是BC 的中点，那么--=•BC AD . （2007年天津文科第15题）【25】问题6 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦最长时，PN PM •的最大值为---------.（2021年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7 点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A上一点，那么PC PA •的取值范围是--------------. （2021年北京市朝阳区高三数学二模）【⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21】.问题8 如图，在平行四边形ABCD 中，已知58==AD AB ，，PD CP 3=，则2=•BP AP .AD AB •的值为-----.（2021年高考江苏卷第12题）【22】问题9 如图，在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，那么2=•BP OP 最小值为-------【21】.问题10 已知()00,y x M 是双曲线1:2222=-by a x C 上的一点，21,F F 是C的两个核心，假设021<•MF MF ，那么0y 的取值范围是（）A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33,33 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-63,63 C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322,322 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,332 【椭圆与双曲线核心三角形的几个结论】：在椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 中，设θ=∠21MF F ，那么2cos 2221θb MF MF =•，2tan2θ⋅=∆b S ABC ，cb y 2tan2θ=.在双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C ，设θ=∠21MF F ，那么2sin 2221θb MF MF =•，2cot2θ⋅=∆b S ABC ，cb y 2cot2θ=.课外探讨1. 已知点P 是椭圆181622=+y x 上任意一点，EF 是圆()12:22=-+y x M 的直径，那么PF PE •的最大值为-------【23】2. 假设直线02=+-y x 与圆()()433:22=-+-y x C 相交于B A ,两点，那么CB CA •=--------.3. 已知双曲线1322=-y x 的左极点1A ，右核心2F ，P 为双曲线右支上一点，那么21PF PA •的最小值为----【—2】。