1.5数环和数域.ppt
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1.5数环和数域
事实上，因为0=0aS,所以S非空。 设n1 ，n2 Z，那么
n1a n2a=(n1 n2)aS， (n1a)(n2a)=(n1n2a)aS。
例如取a=2，那么S=｛2n|nZ｝就是全体偶数所 组成的数环。特别，如果a=0，那么S={0}。所以 单独一个数0也组成一个数环，称为零环，这是最 小的数环。
例如
x 2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
2
数学与计算机科学学院高等代数课件
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中， 即运算是否封闭。
问题：6、数域与数环之间有什么关系？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、有没有最小的数域？最小的数域是什么？ 10、在判断一个数集是不是数域时，实际上 要检验几种运算？
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数学与计算机科学学院高等代数课件
例3、令F a b 2 a, b Q ，则F是一个数域。
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数学与计算机科学学院高等代数课件
作业：P25 : 1， 3， 2，4
讨论题：P25 : 5 选做题： 1、 证明：若数域F包含 2 3 ，
则 一定包含 2和 3 ．
2、包括 3及 5的最小数环最小数环为 数环 能否作成数域？
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数学与计算机科学学院高等代数课件
3、下列各数集是否作成数环或数域
二、数环
定义1：设S是复数集C的一个非空子集。如果对于 S中任意两个数a,b来说，a+b，a-b，ab都在S内， 那么就称S是一个数环。 即数环是对加、减、乘三种运算封闭的非空数集。 例如，上面所提到的整数集Z，有理数集Q，实数集 R和复数集C都是数环，分别称为整数环，有理数环， 实数环和复数环我们再看一些数环的例子。
高等代数第二版课件§1[1].1_数环和数域
![高等代数第二版课件§1[1].1_数环和数域](https://img.taocdn.com/s3/m/3a6f4b345727a5e9856a612b.png)
第一章 代数学的经典课题
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 定义1： 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a, b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如： 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故
x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
第一章 代数学的经典课题
（若b=0，则 x a R，矛盾）。
a, b R, a, b F , bi F , bi b i F 可见F=C。
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ F1 , F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
第一章 代数学的经典课题
第一章 代数学的经典课题
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2：
设F是由一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 例如： 有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 且是三个最重要的数域。
问题： 11、设 S1 和 S 2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 S1 和 S 2 是数域情况又如何？
S1 S 2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S 2 a b 3 a, b Q
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 定义1： 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a, b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如： 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故
x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
第一章 代数学的经典课题
（若b=0，则 x a R，矛盾）。
a, b R, a, b F , bi F , bi b i F 可见F=C。
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ F1 , F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
第一章 代数学的经典课题
第一章 代数学的经典课题
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2：
设F是由一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 例如： 有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 且是三个最重要的数域。
问题： 11、设 S1 和 S 2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 S1 和 S 2 是数域情况又如何？
S1 S 2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S 2 a b 3 a, b Q
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）集合（Set）定义：集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。
最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“⼀堆东西”。
集合⾥的“东西”，叫作元素。
数环（number ring）定义：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是⼀个数环。
例如整数集Z就是⼀个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质：1. 任何数环都包含数零（即零环是最⼩的数环）。
2. 设S是⼀个数环。
若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。
数域（number field）定义1：设F是⼀个数环，如果对任意的a,b∈F⽽且a≠0, 则b/a∈F；则称F是⼀个数域。
定义2：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是⼀个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质：任何数域都包含有理数域Q。
线性空间（linear space） 简单的说，线性空间是这样⼀种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另⼀元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另⼀元素。
（个⼈理解就是可加性和齐次性） 定义：设V是⼀个⾮空集合，F是⼀个数域，在集合V的元素之间定义⼀种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了⼀个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯⼀的⼀个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了⼀种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任⼀数k与V中任⼀元素x，在V中都有唯⼀的⼀个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。
如果加法与乘法还满⾜下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．1. V对加法满⾜：（1）（交换律）x+y=y+x；（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)（3）（零元素）在V中有⼀元素θ，对于V中任⼀元素x都有x+θ=x；（4）（负元素）对于V中每⼀个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；2. 数量乘法满⾜：（5）（1乘律）1x=x；（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；3. 数量乘法和加法满⾜：（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；（8）（数因⼦分配律）k(x+y)=kx+ky．其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
§1.1_数环和数域
若不是举出反例。 若 S1和 S2 是数域情况又如何？
S1 US2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1, F2 是数域，则F1 U F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
第一章 多项式
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
有根。等等。
第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（代即数运运算算是：设否A封是闭一）个非。空集合，定义在A上的一个代数运算 运整算数封例的闭如商：两就这是都如个不个指有果集整存A集一中合在合数定一中一中的是个，个任和整元则法两、素数称则个与差，该，元之集、它素这对合使做积证应对A某仍明。中这一是整任个运整意数运算两数集算后个，封的对元闭结但加素。果两、A仍个减在A、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
定义 2：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。
S1 US2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1, F2 是数域，则F1 U F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
第一章 多项式
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
有根。等等。
第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（代即数运运算算是：设否A封是闭一）个非。空集合，定义在A上的一个代数运算 运整算数封例的闭如商：两就这是都如个不个指有果集整存A集一中合在合数定一中一中的是个，个任和整元则法两、素数称则个与差，该，元之集、它素这对合使做积证应对A某仍明。中这一是整任个运整意数运算两数集算后个，封的对元闭结但加素。果两、A仍个减在A、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
定义 2：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则