(精心整理)三角变换与解三角形

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三角恒等变换与解三角形

π 0， 2
上的最大
值，求A，b和△ABC的面积．
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[解]
3 1＋cos 2x (1)f(x)＝(m＋n)· m＝cos x＋ 3sin xcos x＋＝ 2 2
2
π 3 3 1 3 ＋ sin 2x＋＝ cos 2x＋ sin 2x＋2＝sin2x＋6 ＋2. 2 2 2 2
1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等；
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
＝－
10 . 10
5 4 2 5 (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－＝－， 5 5 5
cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×
5 2 3 ＝， 5 5
5π 5π 所以cos 6 －2α＝cos cos 6 ＝－
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[典例]
(2014· 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的
河流的两岸B，C的俯角分别为67° ，30° ，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67° ≈0.92，cos 67° ≈0.39，sin 37° ≈0.60，cos 37° ≈0.80， 3≈1.73)

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。

1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。

通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。

2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。

这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。

2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。

这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。

2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。

这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。

3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。

以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。

假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。

根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。

因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。

同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。

3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。

假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。

三角变换及解三角形45张

角差公式
利用角度差公式将一个角转换为两个角的差，如$alpha = beta - gamma$，则有$sin(alpha) = sin(beta)cos(gamma) - cos(beta)sin(gamma)$。
倍角公式
将一个角转换为它的两倍，如$alpha = 2beta$，则有 $sin(alpha) = 2sin(beta)cos(beta)$。
正弦函数性质
正弦函数在其定义域内是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[-1,1]$。
余弦函数的图像和性质
余弦函数图像
余弦函数图像也是一个周期函数，其基本周期为$2pi$，图像呈现波形。
VS
余弦函数性质
余弦函数在其定义域内是偶函数，即$f(x)=f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[1,1]$。
正割与余割的转换
利用三角函数的互割关系，将正
割转换为余割或将余割转换为正
割，如$sec(alpha)
=
csc(frac{pi}{2} - alpha)$。
函数值的变换
半角公式
利用半角公式可以将角度减半，从而求出相应的三角函数值，如 $sin(frac{alpha}{2}) = pmsqrt{frac{1 - cos(alpha)}{2}}$。
正切函数的是一个奇函数，其基本周期为 $pi$，图像呈现锯齿波形。
正切函数性质
正切函数在其定义域内是奇函数，即$f(x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$(infty, +infty)$。
04
CATALOGUE
解三角形
正弦定理
总结词
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形各角正弦值与对应边长之间的关系。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。

通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。

本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。

根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。

2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。

根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。

3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。

举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。

根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。

(完整版)三角函数解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋＋－＋－＋－－－＋＋－sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。

注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 6090 120 135 150 180︒270360弧度0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α1222 32132 22121cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

第3讲三角变换和解三角形

第3讲三角变换和解三角形基本知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及逆用；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式及逆用；3、正弦定理、余弦定理的灵活运用；4、面积公式：基础题演练1、已知32sin =α，则)2cos(απ-等于。

2、在△ABC 中，则060,10,15===A b a ，则=B cos 。

3、若54cos )cos(sin )sin(=---ββαββα，且α是第二项限角，则)4tan(απ+等于。

4、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于。

5、在△ABC 中，1,600==b A ，其面积为3，则等于CB A cb a sin sin sin ++++等于。

考点、热点、难点突破题型一三角函数综合试题【例1】（2010年湖北）已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-⋅+=x x g x x x f ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求)(x h 使取得最大值的x 的集合。

变式训练1已知函数)4sin()4sin(sin )cot 1()(2ππ-+++=x x m x x x f（1）当m=0时，求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的取值范围；（2）当2tan =α时，53)(=αf 求m 的值。

题型二实际应用【例2】如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方向20km 处和54km.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A 、20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A 和P 的距离为xkm,用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；（2）求静止目标p 到海防警戒线a 的距离（精确到0.01km ）.a变式训练2某人在塔的正东方沿南偏西600的道路前进40m 后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为300，求塔高题型三三角形面积计算【例3】在△ABC 中，已知3,2π==C c 。

高考微点六三角恒等变换与解三角形

高考微点六三角恒等变换与解三角形牢记概念公式，避免卡壳1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .活用结论规律，快速抢分1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sinB.3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则 (1)若a 2＋b 2＝c 2，则C ＝π2；(2)若a 2＋b 2>c 2，则C <π2； (3)若a 2＋b 2<c 2，则C >π2.高效微点训练，完美升级1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝( )A.13 B.－13 C.79D.－79解析 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 答案 A2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.12 B.23 C.－12D.1解析由题意得cos α＝12，sin α＝－32， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案 C3.已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2 B.1 C. 3D. 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D4.sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14 B.12 C.32 D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.答案 A5.在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( ) A.154 3 B.154 C.214 3D.354 3解析由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得cos A ＝（a ＋2）2＋（a ＋4）2－a 22（a ＋2）（a ＋4）＝1314，解得a ＝3或a ＝－2(舍去)，则三边长分别为3，5，7，且sin A ＝3314，所以△ABC 的面积S ＝12×5×7×3314＝1534. 答案 A6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B. 答案 B7.已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B.－79 C.19D.－19解析由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α).由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7 B.27 C.37D.47解析在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝4，则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D9.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110 C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案 3211.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析连接OC ，由题意知CD ＝150米，OD ＝100米，∠CDO ＝60°.在△COD 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°，即OC ＝507. 答案 50712.(多填题)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·cos π4＋cos θsin π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－17－11－17×1＝－43.答案－210 －4313.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.。

三角函数三角变换及解三角形

其中a2 a1 a4 a3 a2008 a2007 1004d 31004. b2 b1 b4 b3 b2008 b2007
b2 b4 b2008 b1 b3 b2007
6 1
1
1004
4
1 1
121
1
1004
4
函数,且函数y f x图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2
1求f ;
8
2将函数y f x的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上
6
各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变化,得到函数y gx 的图象, 求g x 的单调递减区间.
解: 1 f x 3 sinx cosx
2
3 2
sinx
三角函数、三角变换及解三角形
一、三角函数的概念及基本关系式
例如图在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边作两个锐角, ,它们
的终边分别与单位圆交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为 2 , 2 5 . 10 5
1求 tan 的值;
2求 2的值.
解 : 1由已知条件及三角函数的定义知: cos 2 , cos 2 5 ,
1设方程f x1 0在0, 内有两个零点x1, x2,求x1 x2的值; 2若把函数y f x的图象向左平移mm 0个单位使所得函数的
图象关于点0,2对称, 求m的最小值.
2设y f x图象向左平移m个单位,得到函数gx的图象,
则gx 2 cos 2x 2m 2,
4
y gx的图象关于0,2对称,2m k , k Z,
C.
3 1002,41
1 4
1002
D.
3
1004,41
1 4
1004

高三数学寒假精品讲义第10讲三角恒等变换、解三角形(解析版)

第10讲三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A．79-B．79C．29-D．29【答案】A 【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A2．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．9-D．9【答案】B 【详解】解：sin cos 662πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2217cos cos 212sin 122626393πθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．89-B．9-C．9D．89【答案】B 【详解】解：∵22662πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 2cos 2sin 22sin cos 662666ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 63πα-⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴122422sin cos 266339ππαα⎛⎛⎫⎛⎫++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B .题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22226,3c ab a b C π+=++=，则ABC 的面积为（）A．3B．2C．11+【答案】B 【详解】由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又因为22226c ab a b +=++，()1cos 26C ab -=，又3C π=，所以6ab =，所以11sin 62222ABC S ab C ==⨯⨯=，故选：B2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2,b B C ==则a c +的取值范围为（）A．(B．()4C．(0,D．()【答案】A 【详解】在ABC 中，由2B C =及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：32sin 2sin 32(3sin 4sin )34(1cos )14cos sin sin 22sin cos cos cos b A C C C C a C B C C C C C---=====-，sin 2sin 1sin sin 2cos b C C c B C C ===，于是得114cos 4cos cos cos a c C C C C+=-+=因为ABC 为锐角三角形，则有020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即03202202C C C ππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64C ππ<<，有cos 22C <<，则(4cos C ∈，所以a c +的取值范围为．故选：A3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）ABC 中，D 为边BC 的中点，8AB =，17AC =，7.5AD =，则ABC 的面积为___________.【答案】60【详解】不妨设BD CD x==在ABD △和ACD △中，由余弦定理222222cos ,cos 22DA DB AB DA DC AC ADB ADC DA DB DA DC+-+-∠=∠=⨯⨯由于cos cos ADB ADC ADB ADCπ∠+∠=∴∠=-∠故222222022DA DB AB DA DC AC DA DB DA DC +-+-+=⨯⨯，代入长度可得22222227.587.517481015154x x x x x +-+-+=∴=2BC x ∴==在ABC 中，由余弦定理2228cos 217AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⨯，又(0,)BAC π∠∈15sin 17BAC ∴∠==由面积公式，1sin 602ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠= 故答案为：604．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，角75A B C ===︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．【答案】+．【详解】如图1，延长BA ，CD ，相交于点E ．由图易知将边AD 向上或向下平行移动，条件75A B C ===︒，2BC =并不改变．所以当点D 趋近于点C 时，AB 最小当点D 趋近于点E 时，AB最大．因此问题转化为在BCE 中求BE 的值，以及在三角形'A BC 中求'A B 的值．在'A BC 中，75,75,2B BA C BC '∠=︒∠=︒=,所以30,2BCA A C BC ''∠=︒==,由余弦定理易求得：'A B ====在BCE 中，75,75,2B BCE BC ∠=︒∠=︒=,所以30BEC ∠=︒,由正弦定理易求得：sin sin BC BE E BCE =,即2sin30sin75BE=︒︒，所以2sin 754142BE =︒=所以AB的取值范围是．故答案为：．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB =，若2B π=，则四边形ABCD面积的最大值为________．【答案】4【详解】如图连接AC ，设∠ADC 2α=，由1DA DC ==，AB =，2B π=，可知2sin ,sin ,AC BC AB ααα===，∴四边形ABCD面积：211sin 2sin 2cos 2sin(2)2224444S αααααϕ=+=-+=-+，其中tan 2ϕ=，当sin(2)1αϕ-=时，max 4S =.故答案为：4.2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .【答案】33【详解】设CH x =，在Rt MNH △中，有1MH =，60NMH Ð=°，所以3NH =在Rt ANH △中，有3NH =30NAH ∠=︒，则3AH =，所以 3BC AC x ==+，由题意可知MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，即3131x x =++，解得3x =所以33BC =+故答案为：333．（2021·全国·高三月考（文））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是___________.【答案】13364+【详解】在ABC 中，由余弦定理可得22222π2cos3b ac ac a c ac ac =+-=+-=，即()20a c -=，所以a c =，因为π3B =，所以ABC 为等边三角形，在ADC 中，由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅，由于3AD =，2CD =，代入上式可得21312cos b D =-，所以21π1sin 23sin 232ABCD ABC ACD S S S b D =+=+⋅⋅)23sin 1312cos 3sin D D D =+=-+π3sin 6sin3D D D ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭所以当ππ32D -=即5π6D =时，ABCD S 最大为64+，四边形ABCD 面积的最大值为64+，故答案为：64+.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．252km+【详解】在OAB 中，,1,2AOB OB OA θ∠=== ，2222cos AB OB OA OB OA θ∴=+-⋅⋅，AB =211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，5sin 2cos2OACB S θθ∴=-+，则5)2OACB S θϕ=-+（其中tan 2ϕ=），当sin()1θϕ-=时，OACB S 取最大52252km .252km.【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（）A．725B．35C．45D．2425【答案】A【详解】由题意知，大正方形的面积为25，其边长为5，小正方形的面积为1，其边长为1，每个直角三角形的面积为1(251)64-=，设图1中一个直角三角形的短直角边长为m，则另一条直角边长m+1，有1(1)62m m+=，解得3m=，设直角三角形中短边对的角为θ，则3sin5θ=，所以27cos212sin25θθ=-=，即图2中菱形的一个锐角的余弦值为725.故选：A2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数()22sin24f x x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭．若关于x的方程()2f x m-=在,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m的取值范围是（）A．12⎡⎢⎣B．2⎢⎣C．[]0,1D．,22⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【详解】()1cos 22222x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⨯1sin 2cos 22sin 213x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22633x πππ≤-≤，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,3，因为()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦上有解即()2=+f x m 在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，故223m ≤+≤即01m ≤≤，故选：C.3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m ，山高160m ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）A．12B．941C．1625D．916【答案】B 【详解】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为200m l ==处观察，设此时视角为θ，塔底离地面高度为n ，塔顶离地面高度为m ，则l =2()tan 1m n l m n l l m n l mn l lθ--==++⋅，故909sin 25016041m n m n θ-===++.故选：B4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC 就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin 54︒=（）154+358+458+2514-【答案】A 【详解】在ABC 中，72B C ∠=∠= ，由正弦定理得sin sin BC AC A B =，即sin 3651sin 72BC AC -==，由倍角公式得，sin 36512sin 3636cos -=o o o ，解得15cos364+︒=()15sin 54sin 9036cos364︒=︒-︒=︒=，故选：A5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知13sin(()4444πππϕϕ-=--<<，则cos 2ϕ=（）A．15B．78-C．7815【答案】D 【详解】因为344ππϕ-<<，所以242πππϕ-<-<，又因为1sin(44πϕ-=-，215cos 1sin 444ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin444444ππππππϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦230302888-=-，所以23226015cos 212sin 12648ϕϕ-=-=-=.故选：D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（）A．1-B．1C．12D．12-【答案】A解：因为ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππsin cos cos sin cos cos sin sin 6666αααα-=-，即11cos sin cos sin 2222αααα-=-，11cos sin 22αα⎛⎫⎫=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin tan 1cos ααα==-故选：A7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角B．一定是直角C．可能大于23πD．一定小于56π【答案】D 【详解】解：从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根有()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10种取法，其中能够围成三角形的有()2,3,4，()2,4,5，()3,4,5，若三边为2,3,4，设最大角为θ，则22223411cos 22342θ+-==->-⨯⨯，故最大角为钝角，即223ππθ<<；若三边为2,4,5，设最大角为θ，则22224551cos 224162θ+-==->-⨯⨯，故最大角为钝角即223ππθ<<；若三边为3,4,5，设最大角为θ，则222345cos 0234θ+-==⨯⨯，故最大角为直角，即223ππθ=<；故最大内角一定小于56π；故选：D8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22(32)(54)0a b a c -+-=，则ABC 最小内角的正弦值为（）A．45B．34C．35【答案】D 【详解】解：因为22(32)(54)0a b a c -+-=，所以320,450,a b c a -=⎧⎨-=⎩则3,25,4b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知ABC 的最小内角为角A ，所以22222229253416cos 3524224a a abc a A bc a +-+-===⨯⨯，又()0,A π∈，所以sin 4A =.故选：D.9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m ，则实数m 的取值范围是（）A．()3,7B．C．)D．(【答案】B 【详解】因2，5，m 是三角形的三边，则25m +>且25m +>，解得37m <<，设这个三角形中长为5，m 的边所对角分别为,αβ，显然长为2的边所对角必为锐角，而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得：222cos 02225m m α+-=>⨯⨯，且222cos 022552m β+-=>⨯⨯，即221m >且229m <m <<所以实数m的取值范围是.故选：B10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（）A．23πB．2π+C．23πD．2π-【答案】D 【详解】由已知得： 2π3AB BC AC ===，则2AB BC AC ===，故扇形的面积为2π3，法1：弓形AB 的面积为22π2π233=-，∴所求面积为22π322π3⎛-+=-⎝法2：扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为22π3222π3⨯--=-．故选：D11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ∠=，N 点的仰角π6CBN ∠=以及cos 4MBN ∠=，则两座山峰之间的距离MN =（）A．300m B．C．600mD．【答案】C 【详解】由题意可知：300AB AM CN ===，BM ==2600BN CN ==，由余弦定理得600MN =故选：C12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A．9πB．143πC．283πD．323π【答案】C 【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，22328333⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭2282833ππ=．故选:C.二、填空题13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________．【答案】85【详解】解：由33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222cos sin 3cos sin 2222x x x x ⎫+=--⎪⎪⎝⎭，整理得2cos sin x x =，即tan 2x =，()222sin cos sin 2cos 1sin sin 2sin cos 2sin 1cos cos22x x x x x x x x x x x +-+++∴=+()2222sin cos 1cos 4sin cos 4tan 884sin cos 1cos sin cos tan 14152x x x x x x x x x x x x +======++++故答案为：8514．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线1112x π=对称；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）【答案】①②④【详解】解：函数442222sin cos (sin cos )(sin cos )cos 2y x x x x x x x =-=+⋅-=-的最小正周期是π，故①正确；对于函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1111()3sin 2312123f πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故②正确；在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有一个公共点，故③错误；把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故④正确．故答案为：①②④．15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中12O O ，为半圆的圆心，则该图形的面积为_________2cm .【答案】52π+【详解】由图可知，该平面图形由两个半径分别为1与2的半圆，一个两边长分别为2，4且夹角为60︒的三角形三部分组成，所以22211542sin 602222S πππ⨯⨯=++⨯⨯︒=+故答案为：52π+16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A ．教堂顶C 的仰角分别是15 和60 ，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．【答案】【详解】在直线三角形ABM 中，sin15ABAM=，即()1514AM=，解得AM =在ACM △中，45CAM ∠= ，105CMA Ð= ，30ACM ∠= ，则sin 45sin 30CM AM=12=，解得60CM =米，在直角三角形CDM 中，sin 60CD CM =60CD=，解得CD =米，故索菲亚教堂的高度为故答案为：。

三角恒等变换与解三角形

失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法题型1 求角典例1 中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例3淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C ＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.全国卷高考真题调研]1．全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．4．浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．一、选择题1．合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.122．广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223 D.326。

常考问题三角恒等变换与解三角形

知识与方法
热点与突破
审题与答题
热点与突破热点一三角变换及应用【例 1】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，
求 cos(α＋β)的值； (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求 2α－β 的值．
知识与方法
A，所以
tan
A＝
33，
因为 0<A<23π，所以 A＝6π，C＝π2.
法二由已知，得 A＋C＝2B，又 A＋B＋C＝π，所以 B＝3π，又由
sin C＝2sin A，得 c＝2a，所以 b2＝a2＋4a2－2a·2acosπ3＝3a2，c2
＝a2＋b2，即△ABC 为直角三角形，所以 C＝2π，A＝23π－2π＝π6.
热点与突破
审题与答题
x2＝ACcos∠CAD＝10 13cos(45°－θ)＝30. y2＝ACsin∠CAD＝10 13sin(45°－θ)＝20. 所以过点 B，C 的直线 l 的斜率为 k＝2，故直线 l 的方程为 y＝2x－40. 又点 E(0，－55)到直线 l 的距离为 d＝|0＋515＋－440|＝3 5<7. 所以船会进入警戒水域．
知识与方法
热点与突破
审题与答题
[规律方法] 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解
题的突破口，如求A→B·A→C，需要求出 bc，由三角形的面积及 cos A，
可求出 sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．
知识与方法
热点与突破
审题与答题
【训练 2】 (2013·山东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cos B＝79. (1)求 a，c 的值； (2)求 sin(A－B)的值．解 (1)由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ac2c－4＝79，即 a2＋c2－4＝194ac. ∴(a＋c)2－2ac－4＝194ac，∴ac＝9. 由aa＋ c＝c＝ 9，6，得 a＝c＝3.

三角恒等变换和解三角形公式

三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。

这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。

解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。

下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。

一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。

(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。

4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。

5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。

1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$C$表示夹角$c$的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，$sin(\pi -\theta) = sin\theta$、$cos(\pi - \theta) = -cos\theta$等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

3-2三角变换及解三角形 45张

[评析]
π π π 注意＋x，－x,2x三个角的内在联系，＋x 4 4 4
π π π π π π 与4－x互余，2x＝ 4＋x － 4 －x，2 ＋2x＝2 4 ＋x，2 －2x π ＝2 －x. 4
π π π 如cos2x＝sin ± 2x＝2sin ± xcos ± x. 2 4 4
π (2011· 合肥质检)已知sinα＋＝－ 2
5 ，α∈(0，π)． 5
cos (1)求的值； sinπ－α＋cos3π＋α
3π (2)求cos2α－的值． 4
2
π α α 2 π ＋－cos － 4 2 4 2
[解析]
π (1)∵sinα＋2＝－
5 5，
5 2 5 ∴cosα＝－，∵α∈(0，π)，∴sinα＝ . 5 5 α α 2 π 2 π cos ＋－cos － 4 2 4 2 ∴ sinπ－α＋cos3π＋α α α 2 π 2 π cos ＋－sin ＋ 4 2 4 2 ＝ sinα－cosα π cos2＋α －sinα 2 ＝＝＝－3. sinα－cosα sinα－cosα
sin2 x＋2sin2x 2sinxcosx＋2sin2x ∴ ＝ sinx 1－tanx 1－ cosx 2sinxcosx＋ sinxcosx cosx＋ sinx ＝＝sin2 x· cosx－ sinx cos x－ sinx π 4 2cos4－x 7 －5 28 ＝sin2 x· ＝25× 3 ＝－75. π 2cos ＋x 4 5
3．半角公式 α (1)sin 2＝± α (2)cos2 ＝± α (3)tan2 ＝± 1－cosα 2 ； 1＋cosα 2 ； 1－cosα ； 1＋cosα

3.3 三角大题三角变换与解三角形

3.3三角大题三角变换与解三角形必备知识精要梳理1.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α=12[(α+β)+(α-β)].(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2.解三角形的公式变形(1)正弦定理asinA =bsinB=csinC的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②sinA=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R;③a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C.其中R是△ABC外接圆的半径.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A的变形为cos A=b2+c2-a22bc.当b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角A为锐角(直角,钝角).3.三个等价关系在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.关键能力学案突破热点一三角函数与三角变换的综合【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.(1)求f(0)的值;(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[-π2,π6]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为y=A sin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.【对点训练1】(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=a sin2x-π6-2cos 2x+π6(a>0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点(π6,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.热点二利用正弦定理、余弦定理解三角形【例2】(2020山东,17)在①ac=√3,②c sin A=3,③c=√3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=√3sinB,C=π,?6解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为三角形外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,②a=2,③b cos A+a cos B=√3+1这【对点训练2】(2020山东菏泽一模,17)在①B=π3三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2,b=√6且,求△ABC的面积S的大小.热点三三角函数与解三角形的综合【例3】(2020山东聊城二模,18)在①a cos B+b cos A=2c cos C,②2a sin A cos B+b sin 2A=√3a,③△ABC的面积为S,且4S=√3(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2√3sin ωx cos ωx+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,c为f(x)在[0,π]上的最大值,且,求a-b2的取值范围.解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2√3sin x cos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求b的取值范围.c热点四三角变换与解三角形的综合【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin(2A+π)的值.4解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注理的变形如cos A=b2+c2-a22bc意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.【对点训练4】(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=√3c,b=2√7,求△ABC的面积;(2)若sin A+√3sin C=√22,求C.热点五三角函数、三角变换与解三角形的综合【例5】(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=A sin(ωx+φ)或f(x)=A cos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.【对点训练5】(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b sin A-√3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.核心素养微专题(三)核心素养在三角应用和三角综合题中的考查【例1】(多选)(2020山东济南三模,10)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,假设和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,则tan α的值为()A.16B.12C.1D.32核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,通过“直观想象”得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律,通过“数学抽象”得到关于角α所在的直角三角形;再通过“数学建模”将问题转化为三角函数的模型;最后通过“数学运算”得出答案.【例2】(2020山东淄博4月模拟,18)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.3.3 三角大题三角变换与解三角形关键能力·学案突破【例1】解(1)f(0)=2cos20+sin 0=2.(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2√22sin 2x+√22cos 2x+1=√2sin2x+π4+1.因为x∈[-π2,π6 ],所以2x+π4∈[-3π4,7π12].所以-1≤sin(2x+π)≤1.所以1-√2≤f(x)≤1+√2.当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在-π2,π6上取得最小值1-√2.方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.f(x)=2cos2x+sin x=2(1-sin2x)+sin x=-2(sinx-14)2+178.因为x∈[-π2,π6 ],所以sin x∈[-1,1].所以-1≤f(x)≤17.当sin x=-1,即x=-π2时,f(x)在[-π2,π6]上取得最小值-1.对点训练1解(1)因为f(x)=a sin2x-π6-cos 2(x+π6)-1=a sin2x-π6-cos2x+π3-1=a sin2x-π6-cos2x-π6+π2-1=(a+1)sin2x-π6-1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin(2x-π6)-1;若选③,则(a+1)sin2×π6−π6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1.(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-π6∈-π6,2m-π6,所以5π2≤2m-π6<9π2,解得4π3≤m<7π3.所以实数m的取值范围是4π3,7π3.【例2】解方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.由②c sin A=3,即c sin2π3=3,所以c=b=2√3,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2√3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.由③c=√3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.对点训练2解因为4S=b2+c2-a2,cos A=b2+c2-a22bc ,S=12bc sin A,所以2bc sin A=2bc cos A.显然cos A≠0,所以tan A=1.又因为A∈(0,π2),所以A=π4.若选①B=π3,由asinA=bsinB,得a=bsinAsinB=√6×√2232=2.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选②a=2,由asinA =bsinB,得sin B=bsinAa=√32,因为B∈(0,π2),所以cos B=12.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选③b cos A+a cos B=√3+1,所以a cos B=1,即a ·a 2+c 2-62ac=1,所以a 2=6+2c-c 2.又因为a 2=6+c 2-2√6c ·√22=6+c 2-2√3c ,所以6+2c-c 2=6+c 2-2√3c ,解得c=√3+1. 所以S=12bc sin A=3+√32.【例3】解 f (x )=2√3sin ωx cos ωx+2cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin 2ωx+π6+1.因为T=2π2ω=π,所以ω=1,f (x )=2sin (2x +π6)+1.因为0≤x ≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6,所以-12≤sin (2x +π6)≤1. 所以f (x )的最大值为3,即c=3.若选①,由a cos B+b cos A=2c cos C 及正弦定理可得sin A cos B+sin B cosA=2sin C cos C ,即sin(A+B )=2sin C cos C ,所以cos C=12,C为三角形内角,所以C=π3.若选②,由2a sin A cos B+b sin 2A=√3a 及正弦定理得2sin 2A cos B+2sinB sin A cos A=√3sin A.因为sin A ≠0,所以sin A cos B+sin B cos A=√32, 所以sin(A+B )=√32, 所以sin C=√32.因为C 为锐角,所以C=π.若选③,由4S=√3(a 2+b 2-c 2),得2ab sin C=√3(a 2+b 2-c 2),即sinC=√3(a 2+b 2-c 2)2ab ,所以sin C=√3cos C ,即tan C=√3,所以C=π3.因为c=3,C=π3,所以A+B=23π,csinC =2√3.a-b=2√3(sin A-sin B )=2√3sin A-sin 23π-A=2√3sin A-π3.因为π6<A<π2,所以-π6<A-π3<π6,所以-√3<2√3sin A-π3<√3.所以a-b 的取值范围为(-√3,√3).对点训练3 解 (1)f (x )=1-2√3sin x cos x-2cos 2x+m=-(√3sin 2x+cos 2x )+m=-2sin (2x +π6)+m ,由已知2+m=3,得m=1, 所以f (x )=-2sin 2x+π6+1.令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z , 所以函数f (x )的单调递增区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z . (2)由(1)知-2sin 2A+π6+1=0,所以sin 2A+π6=12, 由0<A<π2得π6<2A+π6<7π6, 所以2A+π6=5π6,解得A=π3.b c =sinBsinC=sin (π3+C )sinC=√32cosC +12sinC sinC=√32tanC+12.因为三角形ABC 为锐角三角形, 所以{ 0<C <π2,0<B =2π3-C <π2,解得π6<C<π2.所以tan C>√33,所以12<bc <2, 即bc 的取值范围为12,2.【例4】解(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2√2,b=5,c=√13,可得cosC=a2+b2-c22ab =√22.又因为C∈(0,π),所以C=π4.(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=2√2,c=√13,可得sin A=asinCc=2√1313.(3)由a<c及sin A=2√1313,可得cos A=√1−sin2A=3√1313,进而sin 2A=2sinA cos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.所以sin(2A+π4)=sin 2A cosπ4+cos2A sinπ4=1213×√22+513×√22=17√226.对点训练4解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×√3c2×cos 150°,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2√3.△ABC的面积为12×2√3×2×sin 150°=√3.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+√3sin C=sin(30°-C)+√3sin C=sin(30°+C).故sin(30°+C)=√22.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.【例5】解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB cos A.②由①②得cos A=-12.因为0<A<π,所以A=2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB =ABsinC=BCsinA=2√3,从而AC=2√3sinB,AB=2√3sin(π-A-B)=3cos B-√3sin B.故BC+AC+AB=3+√3sin B+3cos B=3+2√3sin(B+π3).又因为0<B<π3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+2√3.对点训练5解(1)由正弦定理, 得2sin B sin A=√3sin A,故sin B=√32,由题意,得B=π3.(2)由A+B+C=π,得C=2π3-A,由△ABC是锐角三角形,得A∈(π6,π2).由cos C=cos(2π3-A)=-12cos A+√32sinA,得cos A+cos B+cos C=√32sin A+12cos A+12=sin(A+π6)+12∈(√3+12,32].故cos A+cos B+cos C的取值范围是(√3+12,3 2 ].核心素养微专题(三)【例1】AD解析因为AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,有两种情况,一种是球先和球台边框DC碰撞,另一种是球先和球台边框BC碰撞,第一种情况如图,A关于DC的对称点为E,C关于AB的对称点为F.根据直线的对称性可得tan α=EGGF =3AD2AD=32.第二种情况如图,A关于BC的对称点为G,C关于AD的对称点为E.根据直线的对称性可得tan α=EFFG =AD6AD=16.故选AD.【例2】解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cos C=-12,由余弦定理可得a2+b2-c22ab =-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,∴AC sinθ=BCsin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin(π3-θ).∴△ABC的周长f(θ)=AC+BC+AB=2sin θ+2sin(π3-θ)+√3=212sin θ+√32cos θ+√3=2sinθ+π3+√3.又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+√3.。

高中数学三角函数与解三角形知识点总结

三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质 1．三角函数图象变换由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.2．三角函数的性质（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()c o s y A xωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()s i n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()c o s 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()t a n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后求解．（6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数c o s (y Ax ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+=．（2）商的关系：sin cos tan ααα=．（3）常见变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-，sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=. 2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且5．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=三、解三角形 1．正弦定理（1）内容在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立．（2）常见变形①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ ③::sin :sin :sin ;a b c A B C =④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. （3）应用①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．余弦定理（1）内容三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.（3）应用①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 3．解三角形的实际应用（1）三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .①12S ah = (h 为BC 边上的高)；②111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；③1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．（2）解三角形实际应用题的步骤。

专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab，所以 cos A＝12，又 c＝2b，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12，解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，

(精心整理)三角变换与解三角形

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三角变换及解三角形45张

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高考微点六 三角恒等变换与解三角形

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高三数学寒假精品讲义 第10讲 三角恒等变换、解三角形(解析版)

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常考问题三角恒等变换与解三角形

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