函数的极值ppt课件
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5.2.3函数的极值课件(人教版)
函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数 y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数
1
y＝f(x)在区间－2，3内单调递减；
③函数 y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x＝－ 3 处取得极大值 9 ，在 x＝ 3 处取得极小值－ 9 .
跟踪训练
(2)f(x)＝x2e－x.
解 函数f(x)的定义域为R，
新教材《选择性必修二》
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
④当 x＝－2时，函数 y＝f(x)有极大值；
⑤当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
新知学习
解析
新教材《选择性必修二》
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
新教材《选择性必修二》
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数 y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数
1
y＝f(x)在区间－2，3内单调递减；
③函数 y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x＝－ 3 处取得极大值 9 ，在 x＝ 3 处取得极小值－ 9 .
跟踪训练
(2)f(x)＝x2e－x.
解 函数f(x)的定义域为R，
新教材《选择性必修二》
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
④当 x＝－2时，函数 y＝f(x)有极大值；
⑤当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
新知学习
解析
新教材《选择性必修二》
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
新教材《选择性必修二》
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
《函数极值》课件
三、求函数极值的步骤
y
o
x0
极值点
y
xo
x0
x
极值点
y
y
o
xo
极值点
x0
x
不是极值点
三、求函数极值的步骤
y
y
y
y
o
x0
xo
x0
xo
xo
x0
x
（1）求函数f(x)的定义域
(2) 求导数f/(x)，找出f(x)的所有驻点及导数不存在的点；
（3）用驻点及导数不存在的点划分定义域区间成若干子区间
判定导数f/(x)在每个区间的符号及函数在每个区间的单调性；
函数的极值及求法
问题引入：
在连绵群山之中，各个山峰 的顶端，虽然不一定是群山的最 高处，但它却是其附近所有点的 最高点．同样，各个谷底虽然不 一定是群山之中的最低处，但它 却是附近所有点的最低点．
一、函数的极值定义
y
我在这里哦！
ao
()
x0 b x
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点，如果 对x0附近的所有点x(x≠x0)，都有
（4）根据定理，判定驻点和导数不存在的点是否为极值点，从而 求出函数的极值。
练习题
函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3
1.极值的定义： 2.y=f(x)在x0处有极值的判定： 3.求极值的步骤:
函数的极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点
思考
极大值一定大于极小值吗？
极值是对某一点附近的小区间而言的 极大值与极小值没有必然关系，极大 值可能比极小值小，如图所示。
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
5.3.2 函数的极值 课件 (共25张PPT) 人教A版(2019)必修第一册
所以 f(x)在 R 上是增函数，无极值，故舍去．
当 a＝2，b＝9 时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
因为当 x∈(－3，－1)时，f(x)是减函数；
当 x∈(－1，＋∞)时，f(x)是增函数，
所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值，因此 a＝2，b＝9.
变式：若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10，求 a，b．
y
y＝x3
Ox
问题4：极大值一定大于极小值吗？
y=f(x)
极大值 y
极小值
f (x4 ) f (x1)
O a x1 x2
x3 x4 b x
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许 多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
问题 1：观察图象，说说函数 h(t) 在 t = a 处时的导数是多少？
此点附近的函数图象有什么特点？导数的正负有什么变化规律?
h´(a) = 0
h
单调递增 h´(t) > 0
单调递减 h´(t) < 0
Oa
b
t
归纳：（1）在 t = a 附近，函数值先增后减；
（2）当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时，h′(t) 先正后负，且 h′(t) 连续变化，
课堂小结
y=f(x) 的单调性 y=f(x) 的极值点
y=f ′(x) 的正负性 y=f ′(x) 的零点
导数的工具性作用
小结(1)求函数极值的步骤 确定定义域 ―→ 求导确定 f′x ―→ 解方程 f′x＝0 ―→
函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
最小值．
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
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《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
函数的极值及其求法归纳课件
提示: 将 f (x) 代入方程 , 令 x x0 , 得 f (x0 ) 4 f (x0 ) 0
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.3.2(1)《函数的极值》课件PPT
第二部分
新知讲解
导入新课
3
引例：求函数 = +
1 2
2
− 2 + 4 的单调区间.
′
解析： =3 2 + − 2 = 3 − 2 + 1
′
令 < 0 得 −1 < <
′
2
3
2
3
令 > 0 得 > 或 < −1
导入新课
∴ = 的单调递减区间是(−1,
o
x
例如： = 的极大值是 −1 ，极小值是
2
极大值点是-1，极小值点是
3
2
3
，
知识梳理
结论: 函数 = 的极值点为, , … ，
则一定有′()=0 , ′()=0 ,……
反之，若′()=0 ,则 , , … ,不一定是 = 的极值点.
比如： = = 3 在R上单调递增， ′()=3 2 =0 时，
1
′()=4 − =
4 2 −1 2+1 2−1
=
令 ′() > 0 得 >
1
2
令 ′() < 0 得0< <
1
2
课堂互动
∴ 的单调递增区间是
∴ 的极小值为
没有极大值.
1
2
1
, +∞
2
=2 ×
1
4
1
,单调递减区间是(0, )
2
1
−
2
1
解析: 的定义域为 0, +∞
1
【课件】函数的极值课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
处函数有什么性质呢？
情境
苏轼在《题西林壁》中这
样写道：“横看成岭侧成
峰，远近高低各不同”，
描述的就是庐山的高低起
伏，错落有致。各个山峰
的顶端，虽然不是群山的
最高处，但它却是其附近
的最高点。
那么，在数学上，这种
现象如何来刻画呢？
探 究
• 思考1：从单调性的变化来看，
图中哪些点比较特殊？
极值
• 思考2：这些点处的函数值有
-
f(x)
单调递减
极小值0
单调递增
极大值4e-2
单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
4
且极大值为f(2)= e2
.
（2） (－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f (x)既有
极大值又有极小值，∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a
f '( x)
+
0
+
f ( x) 单调递增
y f ( x )
y
单调递增
f ( x6 )既不是极大值也不是极小值.
a x1 O
x2
x3
x4 x5
x6
b
x
问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
那么，极值存在的条件是什么？
若函数有极值点，则在极值点处导数为0,但导数为0的
点可能不是函数的极值点.也就是说,“f'(c)=0”是“f (x)在
=3
当
= 2,
时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令 f'(x)>0 得 x<-3 或 x>-1;
情境
苏轼在《题西林壁》中这
样写道：“横看成岭侧成
峰，远近高低各不同”，
描述的就是庐山的高低起
伏，错落有致。各个山峰
的顶端，虽然不是群山的
最高处，但它却是其附近
的最高点。
那么，在数学上，这种
现象如何来刻画呢？
探 究
• 思考1：从单调性的变化来看，
图中哪些点比较特殊？
极值
• 思考2：这些点处的函数值有
-
f(x)
单调递减
极小值0
单调递增
极大值4e-2
单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
4
且极大值为f(2)= e2
.
（2） (－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f (x)既有
极大值又有极小值，∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a
f '( x)
+
0
+
f ( x) 单调递增
y f ( x )
y
单调递增
f ( x6 )既不是极大值也不是极小值.
a x1 O
x2
x3
x4 x5
x6
b
x
问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
那么，极值存在的条件是什么？
若函数有极值点，则在极值点处导数为0,但导数为0的
点可能不是函数的极值点.也就是说,“f'(c)=0”是“f (x)在
=3
当
= 2,
时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),令 f'(x)>0 得 x<-3 或 x>-1;
人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值【课件】
是增函数，所以0不是函数 = 3 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，
而非充分条件.
合作探究
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程 ′ = 0，当 ′ 0 = 0 时：
（1）如果在0 附近的左侧 ′ > 0 ，右侧 ′ < 0，那么(0 )是极大值；
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，
（2）如果在0 附近的左侧 ′ < 0 ，右侧 ′ > 0，那么(0 )是极小值.
课堂练习
1判断正误.
(1) 函数的极大值一定比极小值大．( × )
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( × )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
5.3.2 函数的极值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数
的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
新知讲解
函数的极值
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，
而非充分条件.
合作探究
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程 ′ = 0，当 ′ 0 = 0 时：
（1）如果在0 附近的左侧 ′ > 0 ，右侧 ′ < 0，那么(0 )是极大值；
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，
（2）如果在0 附近的左侧 ′ < 0 ，右侧 ′ > 0，那么(0 )是极小值.
课堂练习
1判断正误.
(1) 函数的极大值一定比极小值大．( × )
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( × )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
5.3.2 函数的极值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数
的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
新知讲解
函数的极值
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？
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x＝1处有极值点为10，求a、b的值。
3、思考题： 在一个区间内，极值与最值有什么区别和 联系？
谢 谢， 再 见！
3、例题与练习
例2.求函数f(x)=(x2-1)3的极值
2 2 2 2 2 ) f ' ( x ) 3 ( x 1 ) 2 x 6 x ( x 1 ) ( x 1 )
解：1 ) f( x ) 的定义域为（ ， ）
3 ) 令 f ' ( x ) 0 ， 解 之 得 极 值 点 xx 1 , 0 , x 1 1 2 3
x y’ y
(-∞,-2)
-2 0
(-2, 2)
2 0
(2,+∞)
↗
28 极大值 3
↘
4 极小值 3
↗
28 ； 3 4
3
因此，当x = -2时，y有极大值，y极大值 ＝ 当x = 2时，y有极小值，y极小值 ＝-
。
求可导函数f(x)的极值的步骤如下：
（1）求出函数f(x)的定义域； （2） 求导数f΄(x) ； （3） 求方程f΄(x) = 0的根； （4） 检查f΄(x)在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取的极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取的极小值。
4 ) 列表考察 f'( x ) 的符号
x (-∞，-1) f’(x) f(x) -1 0 (-1，0) 0 0
极小值 -1
(0，1） 1 (1，+∞)
-
-
+
0
+
由上表得 极大值为f(-3)=22, 极小值为f(3)=-14
思考：对于函数y＝f(x)，
如果f΄(x0)＝0，x0点是否 一定是函数 y=f(x)的极值点呢？
a
1、在函数取得极值处，如果曲线有切线，切线的斜率 相同吗？都是多少呢？ 2、在函数极大（小）值点两侧，函数的单调性有什么 特点？
2、极值的判别方法
一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是
极大（小）值的方法是：
（1）如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹥0 ， 右侧f΄(x) ﹤0 ，那么， f(x0)是极大值；
函数的极值
复习引入
利用函数的导数，讨论函数f(x) = 2x3- 6x2 +7 的单调性,并根据单调性画出函数图象草图。 略解： f΄(x) = 6x2 – 12x = 6x( x - 2) 令 6x( x –2 )﹥0, 7 解得 x﹥2 或 x﹤0, ∴ 当x∈（-∞，0） 或x∈（2，+∞）时， f(x)是增函数； -1 令6x( x – 2 )﹤ 0, 解得 0﹤ x ﹤ 2 , ∴ 当x∈（0，2）时，f(x)是减函数。
判断：
点x＝0是函数y＝x3的极值点。
4、点是极值点的充分条件和必要条件
1、对于可导函数 2、导数为0是点是极值点的必要条件； 3、点两侧的导数异号是点是极值点的充分条件。
归纳小结：
1、极值的定义； 2、判别极值点的的方法和步骤； 3、点是极值点的充分条件和必要条件。
作业
1、 P136 习题 3.8 1. 2、已知函数f(x)＝x3 + ax2 + bx + a3 在
（2）如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹤0 ，
右侧f΄(x) ﹥0 ，那么， f(x0)是极小值。
例1 求y = 3 x – 4x + 4 的极值。
例题与练习 1 3
解：原式的定义域为R y′= x2 – 4 = (x + 2)(x - 2) 令 y′= 0 ,解得 x1 = -2, x2 = 2. 当 x 变化时，yˊ,y 的变化情况如下表：
极大值 极大值点 极值点 极小值 极小值点
极值
注意：
2、极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 3、在整个定义域内，可以有多个极大值和极小值。极 大值和极小值之间没有确定的大小关系；
y
1、附近是指某一点附近的小区间而言,是一个局部概念
f(x4) f(x1)
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
4、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点
2
新课讲授
1、极值的定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)﹤f(x0) 就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值 = f(x0) ； x0 为f(x)极大值点 如果对x0附近所有的点，都有f(x)﹥f(x0) 就说f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值 = f(x0) 。 x0 为f(x)极小值点 极大值与极小值统称为极值。