2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 精品
2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件 专题2 解三角形 精品
回访1 正、余弦定理的应用 1.(2013·浙江高考在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点.若sin∠BAM＝ 13，则sin∠BAC＝________.
6 3
[因为sin∠BAM＝13，
所以cos∠BAM＝
2
3
2
.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得
BM sin∠BAM
＝
sAinMB，
所以BAMM＝sins∠inBBAM＝3si1n B＝3cos∠1 BAC.
(2若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.
[解] (1证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0.
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有
cos ksin
AA＋kcso得sin Acos B＋sin Bcos(π－A＝0，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，
3分
∴sin(A－B＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.
4分
∵A，B是△ABC的两内角，
∴A－B＝0，即A＝B，
5分
∴△ABC是等腰三角形.
6分
②由2(b2＋c2－a2＝bc， 得b2＋2cb2c－a2＝14， 由余弦定理得cos A＝14， cos C＝cos(π－2A＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝78. ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝14， ∴cos B＋cos C＝14＋78＝98.
8分 9分
12分 14分
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有 关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”， 即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形 精品
＝2
3sin12ωx·cos12
ωx＋2cos212
ωx
(ω>0)，且函数
f(x)的最小正周期为 π.(导学号 55460020)
(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＋1＝ 2sinωx＋π6＋1， 又 f(x)的最小正周期为 π， ∴π＝2ωπ，即 ω＝2.
故 2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin23π－B＝ 3sin B－ 3cos B＝2 3sinB－π6. ∵b≥a， ∴π3≤B<23π，π6≤B－π6<π2， ∴2b－c＝2 3sinB－π6∈[ 3，2 3)．
[规律方法] 解三角形与三角函数的综合题，要优先 考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以 转化为三角函数的值域来求．
解析：(1)法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)·( 3cos x－
sin x)＝
4
3 2 sin
x＋12cos
x
3 2 cos
x－12sin
x＝
4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3，
∴T＝22π＝π. (2)(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝4295，又 0<α<π2， 则 sin α＋cos α＝75， 2cosπ4－α＝sin α＋cos α＝75. 答案：(1)B (2)C
2018届高三数学理二轮复习课件：3.2.2 精品
所以AB∈( 6 2，6 2).
答案：( 6 2，6 2)
【规律方法】 1.利用正、余弦定理解三角形的技巧 没有图的需作出正确的示意图.利用正、余弦定理先 解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形.有时 需设出未知量，由几个三角形列出方程或构造方程组， 求解即可.
2.求解三角函数图象与性质问题的技巧 首先利用三角恒等变换化简所给三角函数式，再利用 函数图象变换，求解单调区间(单调性)、周期性、奇 偶性、对称性、最值的相应方法进行求解.
答案：1-ln2
【规律方法】求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的技巧 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切 线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求 解. (1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y-y0=f′(x0)(xx0).
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程y-f(x1) =f′(x1)·(x-x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)，可 得过点P(x0，y0)的切线方程.
33
3
所以|MN|=|f(t)-g(t)|=|sin (2t -s) in
3
= 3|cos2t|,
则cos2t=±1时,|MN|的最大值为3 .
答案: 3
|(2t )
3
2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且 满足(2c+b)cosA+acosB=0,若a=4,则△ABC的面积的最 大值是________.
2018年高考数学二轮复习课件 专题3 第2讲三角恒等变换与解三角形(58张)
• • • • • • • •
[解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) ＝sin Acos C＋sin(A＋C) ＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． 由cos C>0，得sin A＝2sin B． 根据正弦定理，得a＝2b． 故选A．
• (3)tan 2α＝______________．
1－cos 2α • 5．降幂公式 2 1＋cos 2α 2 (1)sin2α＝_____________ ；
1－tan2α
•
• (2)cos2α＝_____________．
6．正弦定理
b a c sin B sin A＝__________＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．
1 bcsin A 1 1 2 S△ABC＝____________＝2acsin B＝2absin C．
• 1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开 方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数 符号错误． • 2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名 变换出错或三角函数值的符号出错．
2 2 2 2 a ＋ b sin( α ＋ φ ) ＝ a ＋ b cos(α＋θ) ． (4)辅助角公式：asin α＋bcos α＝____________________________________
• 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α • (1)sin 2α＝_____________ ； cos2α－sin2α 2α－1＝1－2sin2α； • (2)cos 2α＝_______________ ＝ 2cos 2tan α
2018高考数学文二轮复习课件：第二编 专题整合突破 专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变
第二编 专题整合突破
专题三 三角函数与解三角形
第二讲 三角恒等变换与解三角形
主干知识整合
[必记公式]
1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1 ；
(2)商数关系： tanα＝csoinsαα
.
2．诱导公式
(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S－α；S
π 2±α
sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为 B＝π－A－C，所以 3sinAsinC－cosAsinC－sinC
＝0.
易知 sinC≠0，所以 3sinA－cosA＝1，
所以 sinA－π6＝12.又 0＜A＜π，所以 A＝π3.
(2)解法一：由(1)得 B＋C＝23π⇒C＝23π－B0＜B＜23π，
考点 正、余弦定理的实际应用 典例示法 典例 6 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先 从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、 乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min. 在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为
(7)A，B，C 成等差数列⇔ B＝60°； (8)a2＜b2＋c2(A 为三角形中的最大角)⇒三角形为 锐角 三角形(A 为 锐 角)； (9)a2＝b2＋c2⇒三角形为 直角 三角形(A 为 直 角)； (10)a2＞b2＋c2⇒三角形为 钝角 三角形(A 为 钝
角)．
2．射影定理
a＝bcosC＋ccosB.
33cos2B＋
2018届高考数学文新课标二轮专题复习课件：2-7 三角函数 精品
热点调研
调研一 三角函数求值
命题方向： 1．恒等变换求值；2.二倍角公式求值； 3．变角求值；4.齐次式求值；5.求角．
[恒等变换求值] π
(1)(2016·河北省三市二次联考)若 2sin(θ＋ 3 )＝3sin(π－θ)，
则 tanθ等于( )
A．－
3 3
23 C. 3
3 B. 2 D．2 3
(2)解给值求角问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角．
(3)①三角函数式的化简与求值的原则：化为同名同角，常用 的技巧有：切割化弦、降幂、异角化同角、高次化低次．
②三角函数恒等变形的基本策略： a．常值代换．特别是用“1”的代换，如 1＝cos2x＋sin2x 等． b．项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－ α－2 β等．
【解析】 ∵α，β∈(0，π2 )，∴－π4 <α－β2<π2 ，－π2 <α2－
β<π4 ，由 cos(α－β2)＝ 23和 sin(α2－β)＝－12，得 α－β2＝±π6 ，α2－β
π ＝－ 6 .
当
α－β2＝－π6 ，α2－β＝－π6 时，α＋β＝0，与
π α，β∈(0，2 )
矛盾；当 α－β2＝π6 ，α2－β＝－π6 时，α＝β＝π3 ，此时 cos(α＋β)
[求角]
已知
－
β) ＝
13 14
，
且
π 0<β<α< 2 ，则
β＝
________．
【解析】 由 cosα＝71，0<α<π2 ，得 sinα＝ 1－cos2α＝
2018届高三数学理二轮复习课件：3.2.1 精品
2 4x 1 1
4x 1 1， 2
设 4x -11=t(0<t<
-51)，则e1+e2=
2 t. t2
令f(t)= 2 t ,
t2
则f′(t)=
t 2t 2
2t 2
.
又0<t<5 -1，所以f′(t)在(0， -15)上有f′(t)<0，
故f(t)在(0， -51)上为减函数，所以f(t)>f( -15)= ， 5
B.2 2 1
C. 5 2 2
D. 5 2 2
【解析】选D.设|PF2|=m，|QF2|=n，
则由题意得|PF1|=|PQ|=m+n，|QF1|2=PQ 2 m n，
则
QF1 PF1
QF2 PF2
n
2 m
2a，
n
n
2a，
解得
m
2
2又 因2 a为，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
数形结合可知 0g
a
5
1,
h 5
,
则 2 loga 5,解得0 a
5. 5
2.已知函数f(x)= a(x 1 )-2lnx(a∈R)，g(x)=- a ，若
x
x
至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)>g(x0)成立，则实
数a的范围为( )
A.[ 2， ) e
B.(0， )
C［. 0， )
1,
x
0,
令φ(x)=sin
(
loga
x-)1(x<0),
x(a
0,
a
1),
x
0，
2
则φ(x)关于y轴对称的函数为g(x)=-sin ( x-)1(x>0),
福建专用2018年高考数学总复习4.6三角恒等变换课件文新人教A版
1
.
-7知识梳理
考点自测
5.已知 0<θ<π,则
解析:原式= =cos ·
������
(1+sin������+cos������) sin2-cos2
√2+2cos������
������ ������ ������ ������
������
������
=
-cos θ
.
2sin2cos2+2cos2 2 sin2-cos2
4.6
三角恒等变换
-2-
考纲要求 五年考题统计 命题规律及趋势 能运用和与差 1.高考对本节内容考查的特 的三角函数公 2013 全国Ⅱ,文 6 点如下:(1)把三角恒等变换和 式进行简单的 2014 全国Ⅱ,文 14 三角函数的图象、 性质结合起 恒等变换(包括 2016 全国Ⅱ,文 11 来考查;(2)把三角恒等变换与 导出积化和差、 2016 全国Ⅲ,文 14 解三角形结合起来考查;(3)单 和差化积、 半角 2017 全国Ⅰ,文 11 独命题考查. 公式,但这三组 2017 全国Ⅱ,文 16 2.从考查形式上看,在选择题、 公式不要求记 2017 全国Ⅲ,文 4 解答题中都有所涉及,题目为 忆). 中、低档难度.
sin10°cos10°
√3sin10°-cos10°
√3
=
2sin(10°-30°) -2sin20°
=2cos 2x.
1
-9考点一
考点二
考点三
(3)(方法一)∵sin α=2+cos α,
1
1 π ∴sin α-cos α=2,∴√2sin ������- 4 π √2 ∴sin ������- 4 = 4 . π π π π 又 α∈ 0, 2 ,∴α-4 ∈ - 4 , 4 , π √14 ∴cos ������- 4 = 4 , π ∴cos 2α=-sin 2 ������- 4 =-2sin √2 √14 √7 =-2× 4 × 4 =- 4 .
2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件理
tan x 等于 ( 4
(
7 A.
)
9 B. 4
5 9 D. 或 4
4 5 7 C. 或 4 4
4
答案 (1)A (2)A
2 2 解析 (1)由cos 2 x =sin x得sin 2x=sin x, 2
tan x 1 1 x ∵x∈(0,π),∴tan x=2,∴tan = . =
a2 1 解析 (1)由题设得 acsin B= , 3sin A 2 a 1 即 csin B= . 3sin A 2 sin A 1 由正弦定理得 sin Csin B= . 3sin A 2 2 故sin Bsin C= . 3
2 2 2
3.三角形面积公式 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.
1 2 1 2 1 2
典型例题
(2017课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
a2 △ABC的面积为 . 3sin A
(1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
2 1 7 1 把sin 代入,原式=- 1 2 =- . α = 4 3 4 8
3
1 4
3
.
7 8
2来自2
cos10(1 3 tan10) 2.(2017新疆第二次适应性检测) 的值是 cos50
1.正弦定理及其变形
c a b sin A sin B sin C a Rsin A,sin A= ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2R
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题三 三角2
.
2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=
2tan ������
1-ta n 2 ������
.
1-cos2 ������ 2 sin2 ������ 2
3.降幂公式
cos2α=
1+cos2 ������ 2
二、填空题
2.(2017广西名校联考,理9)已知△ABC的面积为S,且 ������������ ·������������ =S,则 tan 2A的值为( D )ຫໍສະໝຸດ A. C.12 3 4
B.2 D.4 3
解析: 设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
∵������������ ·������������ =S, 1 ∴bc cos A=2bcsin A, ∴tan A=2, 2tan ������ 2×2 4 ∴tan 2A=1-ta n 2 ������ = 1-22=-3,故选 D.
3.2 三角变换与解三角形专项练
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α± β)=
tan ������ ±tan ������ 1∓tan������ tan ������
co s 2 ������ +4sin ������ cos ������ co s 2 ������ +si n 2 ������
=
1+4× 1+
=
4
25 16
=
4 64 25
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 含解析 精品
专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形高考导航利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ， 即cos C (2sin B －sin A )＝0， 所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ， 即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A. 解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2ba (a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A. [答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14，∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154，∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14，0<∠BDC <π2， ∴cos ∠BDC ＝104. [答案]1521044．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A . 故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .[对点训练]1．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. [答案] D2．(2017·福建省福州市高三综合质量检测)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( )A.12B.34C.32 D ．2[解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B ＝2，故选D.[答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________．[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] 7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A. [答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[对点训练]1．[角度1](2017·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状一定是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] 在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C2sin C ＝12·sin B sin C ＋12，∴1＋cos A ＝sin B sin C ＋1，∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．故选B. [答案] B2．[角度2](2017·辽宁师大附中模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝( )A.π6或5π6B.π3C.π6D.5π6[解析] ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B . 又∵sin B ≠0，∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，解得sin(A ＋C )＝sin B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π6或5π6.故选A. [答案] A3．[角度3](2017·威海模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由正弦定理得，(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，又a ＝2，所以b 2＋c 2－bc ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c 时取等号．[答案]3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2017·济南二模)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km [解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2.[答案] B2．(2017·广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.[解析]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin(90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cosθ，得到cosθ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤热点课题8 解三角形中的范围问题[感悟体验](2017·河南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围．[解] (1)由正弦定理将原等式化为3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0， 于是cos A ＝32.又A 为三角形的内角，因此A ＝π6.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2 ＝sin B ＋cos C －1＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －1＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1 ＝32sin B －32cos B －1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6－1，由A ＝π6可知，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，所以B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，因此，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1.。
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：3-5解析几何 精品
热点调研
解析几何解答题是整套试卷的把关题，也是同学们得分的冲 关题．通常涉及求曲线方程、最值及范围、定点、定值、定曲线 等一系列的问题．
解析几何型解答题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求解时除了运用设而不求，整体思维外，还要用到平面几何的基 本知识和向量的基本方法，解题过程始终围绕如何简化运算展 开．有些问题用常规方法解答，运算往往比较复杂，此时若能以 形助数，运用平面几何以及向量的方法，则会大大简化解题过程， 考生应逐渐掌握这一基本技能．
【回顾】 (1)本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的 位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力， 考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．
(2)求解此类问题的关键为：(ⅰ)运用椭圆的几何性质解决问 题，要充分挖掘题目中所隐含的条件，如①半焦距 c、长半轴长 a、短半轴长 b 之间的关系：c2＝a2－b2，②离心率 e＝ca∈(0，1)．③
设切点 Q(x0，y0)，由O→Q·P→Q＝0 得 x0(x0－t)＋y02＝0，即 x0＝1t ，
联立xy＝2＋k4（y2x＝－4t，），化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝ 0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝1＋8tk42k2. 因为线段 AB，PQ 中点重合，即有 x1＋x2＝t＋x0，因此1＋8tk42k2 ＝t＋1t .④ 联立③④化简得 k2＝21，将其代入③式，可得 t＝± 3.
②方法 1：由①知，k3k4＝k1k2＝－34，
故 y1y2＝－34x1x2.
∴196x12x22＝y12y22＝34(4－x12)·43(4－x22)， 即 x12x22＝16－4(x12＋x22)＋x12x22，∴x12＋x22＝4. 又 2＝(x412＋y312)＋(x422＋y322)＝x12＋4 x22＋y12＋3 y22，故 y12＋y22 ＝3. ∴|OB|2＋|OC|2＝x12＋y12＋x22＋y22＝7.(12 分)
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专
考点一
考点二
考点三
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将 y＝kx＋1 代入圆 C 的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋ k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
考点三
41＋k 7 所以 x1＋x2＝ ， x x ＝ . 1 2 1＋k2 1＋k2
试题
解析
考点一
考点二
考点三
5．(2016· 高考全国Ⅰ卷)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay
4π ． －2＝0 相交于 A， B 两点， 若|AB|＝2 3， 则圆 C 的面积为______
考点三
试题
解析
圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
考点一
考点二
考点三
D＝－2， 1＋D＋F＝0， 4 3 ∴3＋ 3E＋F＝0， ∴E＝－ ， 3 7＋2D＋ 3E＋F＝0， F＝1，
2 3 ，故△ABC 外接圆的圆心到 ∴△ABC 外接圆的圆心为1， 3
原点的距离为
2 32 21 1＋ ＝ . 3 3
考点一
所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x |0－a＋2a| 2 32 ＋2a 即 x－y＋2a＝0 的距离 d＝ ，由勾股定理得 2 2
|0－a＋2a|2 ＝a2＋2，解得 a2＝2， ＋ 2
考点二
考点三
所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π.
考点一
试题
解析
→ → OM· ON＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝ 4k1＋k ＋8. 1＋k2
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由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)cosπ6＋ α ·cosπ3－ α＝cosπ6＋ α ·sinπ6＋ α＝12sin2α＋π3 ＝－14，
即 sin2α＋π3＝－12，
因为 α∈π3，π2，所以 2α＋π3∈π，43π，
所以
cos2α＋π3＝－
3 2.
所以 sin 2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cos π3－cos2α＋π3sin π3＝12.
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝
sin2
α＋sin αcos α＋ 22cos2 sin2 α＋cos2 α
试题 解析
(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝12，所以 C＝π3.
(2)由已知得21absin
C＝3
2
3 .
又 C＝π3，所以 ab＝6.
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故csions αα＝－ 22，由 sin2 α
＋cos2 α＝1 可得 cos2 α＝23，cos α＝ 36，sin α＝－ 33.cos2α－π2
＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
cosθ＋π4
＝
1－sin2θ＋π4＝45.
tanθ－π4 ＝tanθ＋π4－π2 ＝－tanθ1＋π4 ＝－csoinsθθ＋＋π4π4＝－4535＝－43.
考点二 解三角形
试题 解析
考点一 考点二 考点三
3．(2016·高考全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，若
cos
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
4．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 点三
A＝45，cos
C＝153，a＝1，则
21 b＝___1_3____.
考点二
考点一 考点二 考点三
试题 解析
先求出 sin A，sin C 的值，进而求出 sin B 的值，再利用正弦定理 求 b 的值． 因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝45，cos C＝153， 所以 sin A＝35，sin C＝1123， 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝35 ×153＋45×1123＝6635. 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝assiinnAB＝ssiinn BA＝6635×53＝2113.
由
正
、
余
弦
定
理
得
2sin C－sin sin B
B
＝
a2＋c2－b2 b2＋c2－a2
＝
acos bcos
B A
＝
sin sin
Acos Bcos
BA，所以
2sin
Ccos
A＝sin(A＋B)＝sin
C，因为
sin
C≠0，
故 cos A＝12，所以 A＝π3，由 a＝3，c＝2b，A＝π3，可得 32＝b2
故 tan B＝csoins BB＝4.
考点二
考点一 考点二 考点三
在解三角形中，用正弦定理求角时易忽视判断角的范围，导致求 角错误.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
[巩固题组·增分练]
1．(2016·武汉调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向 400
第二讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
试题 解析
考点一 考点二 考点三
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝( A )
A.6245
B.4285
C．1
D.1265
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝coss2inα2＋α4＋sicnoαs2coαs α＝ 1ta＋n24tαa＋n 1α＝1＋3424＋×134＝6245.故选 A.
考点二
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
[师生共研·析重点] [例 1]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a＝3， c＝2b，且2sinsCin－Bsin B＝ab22＋ ＋cc22－ －ba22，则 b＝____3____.
考点二
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
(2) 由 (1) 知
tan
α
－
1 tan
α
＝
sin cos
α α
－
cos sin
α α
＝
sin2 α－cos2 sin αcos α
α
＝
－s2inco2sα2α＝－2×1－ 23＝2 3. 2
考点一
考点一 考点二 考点三
关于π4＋x，π4－x,2x 间关系问题 (1)π4＋x 与π4－x 互余即 sinπ4－x＝cosπ4＋x. (2)cos 2π4－x＝sin 2x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x.注 意变换应用.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
[例 2](2016·高考四川卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
是
a，b，c，且coas
A＋cobs
B＝sinc
C .
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若 b2＋c2－a2＝65bc，求 tan B.
考点二
考点一 考点二 考点三
考点二
考点一 考点二 考点三
解三角形
[经典结论·全通关]
正、余弦定理、三角形面积公式
(1)sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R(R
为△ABC
外接
圆的半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR；
考点三
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)证明：由题意知
sin 2cos
AA＋csoins
BB＝cossiAncAos
B＋cossiAncBos
B.
化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即 2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.
因为 A＋B＋C＝π，
考点二
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(2)
由
已
知
，
b2
＋
c2
－
a2
＝
6 5
bc
，
根
据
余
弦
定
理
，
有