2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形 精品

故 tan B＝csoins BB＝4.
考点二
考点一 考点二 考点三
在解三角形中，用正弦定理求角时易忽视判断角的范围，导致求 角错误.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
[巩固题组·增分练]
1．(2016·武汉调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向 400
所以 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
从而 sin A＋sin B＝2sin C，
由正弦定理得 a＋b＝2c.
考点三
考点一 考点二 考点三
(2)由(1)知 c＝a＋2 b， 所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋b22－aba＋2 b2 ＝38ab＋ba－14≥12， 当且仅当 a＝b 时，等号成立， 故 cos C 的最小值为12.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
4．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
考点二
考点一 考点二 考点三
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为54π<x<74π，所以 π<x－π4<32π，
又 cosπ4－x＝－45，所以 cosx－π4＝－45，
sinx－π4＝－35，所以 sin x－cos x
＝
2sinx－π4＝
2×－35＝－3
5
2 .
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
3．(2016·合肥检测)已知 cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2. (1)求 sin 2α 的值； (2)求 tan α－ta1n α的值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故csions αα＝－ 22，由 sin2 α
＋cos2 α＝1 可得 cos2 α＝23，cos α＝ 36，sin α＝－ 33.cos2α－π2
＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
考点二
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
[师生共研·析重点] [例 1]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a＝3， c＝2b，且2sinsCin－Bsin B＝ab22＋ ＋cc22－ －ba22，则 b＝____3____.
考点二
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝12，所以 C＝π3.
(2)由已知得21absin
C＝3
2
3 .
又 C＝π3，所以 ab＝6.
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 通解 优解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋ 22cos2(α＋π)＝( D )
A．－
2 3
C．－13
B.
2 3
1 D.3
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
(2) 由 (1) 知
tan
α
－
1 tan
α
＝
sin cos
α α
－
cos sin
α α
＝
sin2 α－cos2 sin αcos α
α
＝
－s2inco2sα2α＝－2×1－ 23＝2 3. 2
考点一
考点一 考点二 考点三
关于π4＋x，π4－x,2x 间关系问题 (1)π4＋x 与π4－x 互余即 sinπ4－x＝cosπ4＋x. (2)cos 2π4－x＝sin 2x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x.注 意变换应用.
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
2．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35， 则 tanθ－π4＝__－__43____.
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 解析
将 θ－π4转化为θ＋π4－π2. 由题意知 sinθ＋π4＝35，θ 是第四象限角，所以 cosθ＋π4>0，所以
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)cosπ6＋ α ·cosπ3－ α＝cosπ6＋ α ·sinπ6＋ α＝12sin2α＋π3 ＝－14，
即 sin2α＋π3＝－12，
因为 α∈π3，π2，所以 2α＋π3∈π，43π，
所以
cos2α＋π3＝－
3 2.
所以 sin 2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cos π3－cos2α＋π3sin π3＝12.
由
正
、
余
弦
定
理
得
2sin C－sin sin B
B
＝
a2＋c2－b2 b2＋c2－a2
＝
acos bcos
B A
＝
sin sin
Acos Bcos
BA，所以
2sin
Ccos
A＝sin(A＋B)＝sin
C，因为
sin
C≠0，
故 cos A＝12，所以 A＝π3，由 a＝3，c＝2b，A＝π3，可得 32＝b2
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
考点二
考点一 考点二 考点三
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝ 2abcos C. (3)S△ABC＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
考点二
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(2)
由
已
知
，
b2
＋
c2
－
a2
＝
6 5
bc
，
根
据
余
弦
定
理
，
有
cos
A＝
b2＋c2－a2＝3， 2bc 5
所以 sin A＝ 1－cos2 A＝45.
由(1)，知 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以45sin B＝45cos B＋35sin B，
考点三
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)证明：由题意知
sin 2cos
AA＋csoins
BB＝cossiAncAos
B＋cossiAncBos
B.
化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即 2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.
因为 A＋B＋C＝π，
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝
sin2
α＋sin αcos α＋ 22cos2 sin2 α＋cos2 α
由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝3b2，解得 b＝ 3.
考点二
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
由正弦定理得2c－b b＝ab22＋ ＋cc22－ －ba22，又 a＝3，c＝2b，所以4b－ b b＝ 3b22＋ ＋44bb22－ －b322，即 3＝35bb22＋ －99，得到 b2＝3，解得 b＝ 3.
考点二
试题 解析
考点一 考点二 考点三
[例 2](2016·高考四川卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
是
a，b，c，且coas
A＋cobs
B＝sinc
C .
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若 b2＋c2－a2＝65bc，求 tan B.
考点二
考点一 考点二 考点三
第二讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
试题 解析
考点一 考点二 考点三
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝( A )
A.6245
B.4285
C．1ห้องสมุดไป่ตู้
D.1265
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝coss2inα2＋α4＋sicnoαs2coαs α＝ 1ta＋n24tαa＋n 1α＝1＋3424＋×134＝6245.故选 A.
考点二
考点一 考点二 考点三
解三角形
[经典结论·全通关]
正、余弦定理、三角形面积公式
(1)sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R(R
为△ABC
外接
圆的半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR；
A＝45，cos
C＝153，a＝1，则
21 b＝___1_3____.
考点二
考点一 考点二 考点三
试题 解析
先求出 sin A，sin C 的值，进而求出 sin B 的值，再利用正弦定理 求 b 的值． 因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝45，cos C＝153， 所以 sin A＝35，sin C＝1123， 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝35 ×153＋45×1123＝6635. 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝assiinnAB＝ssiinn BA＝6635×53＝2113.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
α tan2 ＝
α＋tan α＋ tan2 α＋1
21 2 ＝23＝13，故选
D.
2
考点一
试题 通解 优解
考点一
考点二 考点三
2．若 cosπ4－x＝－45，且54π<x<74π，则 sin x－cos x＝_－__3_5__2__.
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 通解 优解
由54π<x<74π得 sin x<cos x，于是 sin x－cos x<0，由于 sin 2x＝ cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1 ＝2×－452－1＝275， 所以 sin x－cos x＝－ sin x－cos x2＝－ 1－275 ＝－3 52.
cosθ＋π4
＝
1－sin2θ＋π4＝45.
tanθ－π4 ＝tanθ＋π4－π2 ＝－tanθ1＋π4 ＝－csoinsθθ＋＋π4π4＝－4535＝－43.
考点二 解三角形
试题 解析
考点一 考点二 考点三
3．(2016·高考全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，若
cos