三垂线定理及其逆定理之欧阳歌谷创编
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3PAB PAc π∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
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3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
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D1 A1
D A
解 题 反 思
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C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
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[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
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[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
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P
oa A α
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三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
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P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
高二数学三垂线定理和逆定理
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B
C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 由三垂线定理知 A1 A1C⊥BC1
C1
同理可证， A1C⊥B1D1
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
?
?
?
A
C 结 论 成 立
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
《三垂线定理》课件
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理
三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设A 为面上一点，过A 的直线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为： cos ∠OAC=cos ∠BAC ×cos ∠OAB(cos ∠BAC 和cos ∠OAB 只能是锐角）斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值． 证明：如上图，自点O 作OB ⊥AB 于点B ，过B 作BC ⊥AC 于C ，连OC ，则易知△ABC 、△AOC 、△ABO 均为直角三角形．OA AC AB AC OA AB ===θθθcos ,cos ,cos 21∴ 21cos cos cos θθθ⨯=辅助记忆：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角1θ是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
三垂线定理（三余弦定理的特殊情况）平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
三正弦定理设二面角M －AB －N 的度数为α，在平面M 上有一条射线AC ，它和棱AB 所成角为β，和平面N所成的角为γ，则 sin γ=sin α·sin β（如图）证明：如上图，过C 作CO ⊥平面N 于点O ，过O 作直线OB ⊥二面角的棱于点B ，连OA ，CB ，则易知△CAO ，△CBO ，△ABC 均为直角三角形．于是，sin=AC CO，sin=BC CO ，sin β=AC BC∴ sin γ=sin α·sin β附：β。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
正射影及三垂线定理及其逆定理
P
又∵AO⊥BC，
B
O
C
∴PA ⊥BC。
（三垂线定理）
练习：如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB
的中点，求证AB⊥PC。
证明： ∵AC=BC，D是BC的中点， ∴AB⊥CD，
P
C
∵PD⊥平面ABC，
A D B
∴CD是PC在平面ABC内的射影，
∴ AB⊥PC（三垂线定理）
练习.在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
CDB 45 , CD BC ,
0
CD 20m. BC 20m.
在RtABC中,AC= AB BC 15 20 25m.
2 2 2 2
练习: 如图, A是平面BCD外一点, AB CD, AC BD. 求证： AD⊥ BC 证明： 设O是A在平面BCD内的射影，
A．垂直 B．不垂直 C．垂直且相交 D．以上都有可能
4.在正方 体AC1中，求证： (1)AC⊥平面D1DB; (2)D1B⊥平面ACB1
(1) ABCD是正方形, DB是D1B在平面AC内的射影
证明:
D1 A1 D
C1
AC BD, AC D1B,
B1
C
(2)连结A1B, 则A1B是D1B在平面 A A1B内的射影.
正射影 正射影和三垂线定理 和三垂线定理
9.4(2)
蝇
一、点在平面上的射影
自点P向平面α 引垂线 l ，垂足P1叫 做点P在平面α内的正射影(简称射影)
P
l
α
P1
二、图形在平面内的射影
如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图 F 形 F ,则 叫做图形F在这个平面上的射影.
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
三垂线定理及其逆定理三垂线定理的应用三垂线法求二面角
三垂线定理及其逆定理•正射影的概念：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。
•三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
•三垂线定理与其逆定理的关系：即：•三垂线定定理的主要应用：证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。
应用两个定理解题的一般思路：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
证明：1）用线面垂直证明已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明三垂线定理的证明求证：OP⊥a证明：过P做PA垂直于α∵PA⊥α且a⊆α∴a⊥PA又a⊥OAOA∩PA=A∴a⊥平面POA∴a⊥OP（2）用向量证明三垂线定理1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，∴PA⊥向量b。
2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
用途在做图中，做二面角的平面角在证明中，证明线线垂直在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算口诀线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。
三垂线定理及其逆定理
例如：当 b⊥ 时， 但 b不垂直于OP b⊥OA
P
b b
O
a
α
A
注意： 直线a 一定要在平面内，如
果 a 不在平面内，定理就不一定成 立。
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 A ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P
D1
C1
B1
D
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直。 已知 ：PO、PA分别是平面的垂线、斜线， AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO。
求证：a⊥pA
P
a
A
O
P a
证明： PO⊥ a
A
O PO⊥a AO⊥a PO∩AO=O
§9.4.2 三垂线定理 及其逆定理
§9.4.2 三垂线定理及其逆定理
复习回顾
P 导入新课 讲授新课 巩固新课 A B
C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？ 2、总结： A
B
O C
D
小结：
三垂线定理及其逆定理 使用三垂线定理及其逆定理时应注意的问题：
作业： 课本24页 1、2
复习回顾：1、直线和平面垂直的定义及判定定理 2、斜线的定义、斜足、直线在平面 l 内的射影。 l
三垂线定理逆定理证明和应用求二面角
∵BC = 1，CD = 2，∴ GF ? 1 ?BC ?CD ? 12? ? 1
2 BD 25
5
而EF = 1，在△EFG中
ta n ? E G F
?
EF GF
?
5
∴所求二面角大小为 arctan 5
小结： ①定基面 平面BCD ②定垂线 过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影 作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现 连结EG
OA是PA在内? 的射影?? ? a ? PA
a ? ? 且a ? OA ??
三垂线定理及逆定理包含四线一 面以后称这个平面为基面
2．什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
的平面角，而用三垂线定理求作二面角 的平面角是最
常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来 回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：
（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影 或斜线自现，L随便；
（2）垂线在垂面内．
四、课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 ? 内，AC、BC 与平面? 所成角分别为30o和 45o，求△ABC所在平面与?
射影
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影A
B
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知：在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
射影定位（三棱锥定位）
三垂线逆定理
C1
H
A
B1
4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面B A1 D
D1
C D
A1
B A定理来自逆定理线斜垂直线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明： ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 同理可得OF⊥AC
三垂线逆理
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P A
线斜垂直
第15讲 立体几何中的有关证明之欧阳地创编
数学高考综合能力题选讲15立体几何中的有关证明题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。
三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。
范例选讲例1． 已知斜三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B ’在底面上的射影D 落在BC 上。
（1）求证：AC ⊥面BB ’C ’C 。
（2）当α为何值时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。
讲解：（1）∵ B ’D ⊥面ABC ，AC 面ABC ， ∴ B ’D ⊥AC ，又AC ⊥BC ，BC ∩B ’D=D ， ∴ AC ⊥面BB ’C ’C 。
C'（2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥BC ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C ⊥BC ’。
即四边形BB ’C ’C 为菱形。
此时，BC=BB ’。
因为B ’D ⊥面ABC ，所以，BD B '∠就是侧棱B ’B 与底面ABC 所成的角。
由D 恰好落在BC 上，且为BC 的中点，所以，此时BD B '∠=︒60。
即当α=︒60时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。
例2． 如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。
（1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。
讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是AC一件困难的事情。
∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ， ∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。
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三垂线定理及其逆定理
欧阳歌谷（2021.02.01）
知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程：
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；
已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：
（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；
（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂
P
直的判定定理。
例
1.已知P 是平面ABC 外一点，
,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例 2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角
线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
命题： 已知： 求证：
证明： 说明：
例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；
（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
说明：可以作为定理来用。
B
D
A
B
C
A
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,4
2
A A
B A
C π
∠=
==，PA 是面ABC 的斜
线，
3PAB PAc π
∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;
(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； 作业：
1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证:1EF EB ⊥。
2.已知：PA ⊥平面PBC ，,PB PC M =是BC 的中点。
求证：BC AM ⊥；
3.填空并证明：
（1）在四面体ABCD 中，对棱互相垂直，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心。
（2）在四面体ABCD 中，AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心
（3）在四面体ABCD 中，AB=AC=AD ，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心。
（4）在四面体ABCD 中，顶点A 到BC 、CD 、DB 的距离相等，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心。
4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ，
（1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值；
P
A
B
（2）求证：PQ ⊥AD ．
5.在正方体1111D C B A ABCD -中，设E 是棱1AA 上的点，且
1:1:2
A E EA =，F 是棱A
B 上的点，
12C EF π
∠=。
求
AF ：FB 。
6.点P 是ABC ∆所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC 。
若O 和Q 分别是ΔABC 和ΔPBC 的垂心，试证：OQ ⊥平面PBC 。
7.已知EAF ∠在平面
α
内，,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠，
,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。
求证：D AT ∈；。