高中数学《根式与指数幂》导学案

2．1.1指数与指数幂的运算

第1课时根式与指数幂

1．根式的定义

(1)a的n次方根的定义：□1如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，□2a的n次方根表示为n a，a∈R；

②当n是偶数时，□3a的n次方根表示为±n a，其中－n a表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．

(3)根式：□4式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质

(1)(n

a)n＝□5a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞

1)．

(2)n

a n＝□6

⎩⎪

⎨

⎪⎧a(n为奇数，且n＞1)，

|a|(n为偶数，且n＞1)

(n∈N*且n>1)．

3．分数指数幂的意义

(2)0的正分数指数幂等于□90,0的负分数指数幂□

10没有意义．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为32＝9，所以3是9的平方根．( ) (2)当n ∈N *

时，(n

－16)n 都有意义．( ) (3)

(3－π)2＝π－3.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做

(1)(教材改编P 54T 1)用根式的形式表示下列各式(a >0)：

(2)(教材改编P 54T 2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a >b >0)．

① 5(a －b )7

＝________，②

4

(a 2－b 2)3＝________， ③

4

a 2

b －ab 2＝________，④

4

(a 2－b 2)2＝________.

(3)若n 为偶数时， n (x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为________． 答案 (1)①5a ②4

a 3

③15a 3 ④13a

2

(2)①(a －b )75

②(a 2－b 2)34

③(a 2b －ab 2) 14

④(a 2－b 2)

12

(3)x ≥1

『释疑解难』

1.n a n 与(n

a )n 的区别

(1)n

a n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，n

a n ＝a ；当n 为偶数时，

n

a n

＝|a |＝⎩⎨

⎧

a ，a ≥0，

－a ，a <0.

(2)(n

a )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .

2．分数指数幂的理解

(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a m n

不可理解为m

n 个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

(2)把根式 n

a m

化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m

n 进行约

分．

探究1 根式的概念 利用根式的性质化简

例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________； ②已知x 7＝6，则x ＝________；

③若4

x －2有意义，则实数x 的取值范围是________． (2)化简：① n

(x －π)n (x <π，n ∈N *)；

②

4a 2

－4a ＋1⎝ ⎛

⎭

⎪⎫a ≤12.

解析 (1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.

②∵x 7＝6，∴x ＝7

6.

③要使4

x －2有意义，则需x －2≥0，即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2，＋∞)．

(2)①∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时， n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时， n

(x －π)n ＝x －π.

综上，

n

(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *

.

②∵a ≤1

2，∴1－2a ≥0， ∴

4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a .

答案 (1)①±4

5

－27 ②7

6 ③[2，＋∞)

(2)见解析

拓展提升

1.判断关于n次方根的结论应关注的两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

2．根式化简求值解题思路

解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答．

【跟踪训练1】(1)下列说法正确的个数是()

①16的4次方根是2；②4

16的运算结果是±2；③当n为大于1

的奇数时，n

a对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，

n

a只有当a≥0时才有意义．

A．1 B．2 C．3 D．4

(2)已知m10＝2，则m等于()

A.10

2 B．－

10

2 C.210D．±

10

2

(3)化简下列各式：

①3

－27；②(

3

－9)3；③(a－b)2.

答案(1)B(2)D(3)见解析

解析(1)①16的4次方根应是±2；②4

16＝2，所以正确的应为

③④.

(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数，∴m＝±102.