高二数学复数的四则运算1
复数四则运算
复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。
同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。
本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。
一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。
它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。
二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。
例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。
除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。
复数的四则运算-除法
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数在复平面内的表示及模 2.设 ，则 z1 z2 在复平面内对应的点位于（ D）
z1 3 4i , z2 2 3iΒιβλιοθήκη A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
2 2
复数 z a bi的模为 z ， z | a bi | a b
、
3复数分类
有理数 实数(b 0) 复数a bi(a, b R) 无理数 （ ) a 0时为纯虚数） 虚数(b 0
4.复数相等
如果两个复数 z1 a bi(a, b R)和 z 2 c di(c, d R) 的实部与虚部分别相等，即 那么这两个复数相等，记作
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Rez;虚部记成为Imz.
2 2 2 2
4、复数的乘法法则：
复数的乘法与多项式的乘法是 类似的,但必须在所得的结果中 2 把i 换成-1.
a bi c di (ac bd ) (ad bc)i
① i 2= -1;
复数分类 复数相等 共轭复数 复数的四则运算
i 1, i
4n
4 n1
a c且b d
a bi c di
（二）复数的四则运算
1、复数的加法与减法
复数的四则运算教案
复数的四则运算教案篇一：《复数代数形式的四则运算》参考教案1 / 42 / 43 / 44 / 4篇二：复数代数形式的四则运算-教案教学设计流程教学过程一、导入新课：复数的概念及其几何意义；二、推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设Z1?a?bi,Z2?c?di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i 2、复数的加法运算律: 交换律：Z1?Z2?Z2?Z1结合律:：Z1?Z2?Z3?Z1?(Z2?Z3) 3、复数加法的几何意义：设复数Z1?a?bi,Z2?c?di，在复平面上所对应的向量为OZ1、1、2，即1、2的坐标形式为1=(a,b)，2=(c,dOZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于=1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以1和OZ2 的和就是与复数(a?c)?(b?d)i对应的向量4、复数的减法运算法则：Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于Z1?Z2?(a?c)?(b?d)i，而向量Z2Z1=1-OZ2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以1和2 的差就是与复数(a?c)?(b?d)i 对应的向量. 三、例题讲解：例1、计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)例2、已知复数Z1?2?i,Z2?1?2i在复平面内对应的点分别为A,B，求AB对应的复数Z，Z在平面内所对应的点在第几象限？例3、复数Z1?1?2i,Z2??2?i,Z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析一：利用?，求点D的对应复数。
解法一：设复数Z1,Z2,Z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi(x,y?R)，是：=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i ??=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵?，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，x11∴? ?y?2??3?x?2解得?y??1?故点D对应的复数为2－i。
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[填空题]GCr15为滚珠轴承刚，“G”表示（），15表示（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]据《素问·四气调神大论》，“闭藏”描述的是哪一季节的物候规律（）A.春B.夏C.秋D.冬E.长夏 [问答题,简答题]简述止血带法止血适应证。 [单选,案例分析题]男性，23岁。不规则发热1月余，伴双手指关节肿痛，四肢关节肌肉痛，口腔溃疡就诊。化验：RF（+），尿液检查蛋白尿（+++）。该患者在体检时，除哪项体征外余均可能出现（）A.面部蝶形水肿性红斑B.关节畸形、肌肉萎缩C.胸腔积液D.贫血面容E.雷诺现象 [单选]需要在运动状态下对包装设备进行调整、维护和排除故障时，则仅允许通过（）或借助于点动按钮开关使包装设备进行运动。A.转动B.运行C.运转D.手动 [单选]作为并购公司的企业集团暂不向目标公司支付全额价款，而是作为对目标公司所有者的负债，承诺在未来一定时期内分期、分批支付并购价款的方式属于（）。A.现金支付方式B.股票对价方式C.杠杆收购方式D.卖方融资方式 [单选,A2型题,A1/A2型题]分立式生化分析仪与管道式生化分析仪在结构上的主要区别为（）A.前者各个标本和试剂在各自的试管中起反应，后者在同一管道中起反应B.后者各个标本和试剂在各自的试管中起反应，前者在同一管道中起反应C.两者吸出血清的方式不同D.两者添加试剂的方式不同E. [单选,A2型题,A1/A2型题]胞质中含密集的嗜苯胺蓝颗粒，并有短而粗的Auer小体，数条或数十条呈束状交叉排列，符合此特点的白血病是（）.A.M1B.M2aC.M3D.M4E.M5 [单选]堤岸防护工程破损缺陷一般不包括（）。A.石块较大B.残缺C.砌块松动D.局部塌陷 [问答题,简答题]简述远动信息的传输模式。 [单选]专一保险合同与重复保险合同的主要区别在于()。A.保险标的是否为特定物B.保险金额的确定方式C.保险人的数量D.保险人所负责任的次序 [单选,A2型题,A1/A2型题]宫颈视诊中应观察的项目是（）A.颜色B.外口形状C.有无出血D.宫颈大小E.以上都对 [填空题]变频器的调速主要是通过改变电源的（）、频率、（）来改变电动机的转速。 [单选]下列情况可出现睾丸鞘膜积液的是（）A.睾丸外伤或炎症B.隐睾C.先天性睾丸发育不全D.附睾囊肿E.以上都不是 [单选]下列有关行政主体的说法，正确的是（）。A.只有行政机关才能成为行政主体B.行政主体还包括执行公务的国家公务员C.行政主体必须是能以自己名义实施行政管理的组织D.只要是行政机关任何时候都具有行政主体资格 [单选]（）是广东人习惯的叫法，而北方人通常称之为面食。A、点心B、面点C、小吃D、主食 [问答题,简答题]清洁生产与可持续发展的关系是什么？ [单选]人居环境建设的目标是（）。A.充分运用规划手段，建设可持续发展的、宜人的居住环境B.使人类达到生态环境的满足C.使人类达到人文环境的满足D.A+BE.A+B+C [填空题]浮选机的设备完好标准以1991年中国统配煤矿总公司制定的（）为准。 [单选]审查证据的法律资格不包括（）。A.收集证据的来源是否合法B.收集证据的主体是否合法C.收集证据的程序是否合法D.收集的证据是否来源于案发现场 [填空题]从技术角度来说，互联网是一个由（）、（）和（）组成的综合体系。 [单选]10KV线路的过流保护是该线路的（）。A.近后备保护B.远后备保护C.主保护 [单选]流行性斑疹伤寒多于何时出现皮疹()A．第1病日B．第2～3病日C．第4～5病日D．第8～10病日E．第11～14病日 [单选]无线列调系统中，以站－车通信为的系统称（）系统ABC [单选]在正常情况下，Water位X线片上颌窦密度与眼眶密度相比()A．上颌窦密度高于眼眶密度B．上颌窦密度高于眼眶密度C．上颌窦密度等于眼眶密度D．上颌窦密度低于或等于眼眶密度E．因个体差异，无法相比 [判断题]关键工序、隐蔽工程，监理员可以用巡查的方式。（）A.正确B.错误 [单选,A1型题]经胃管肠内营养时，判断胃潴留发生的标准是在每次输营养液30分钟后，回抽液量应至少大于（）。A.100mlB.200mlC.150mlD.50mlE.250ml [判断题]在概括河流图形时，首先要研究河流的弯曲形状和曲折系数。A.正确B.错误 [单选]显示卡上的显示存储器是（）。A、随机读写RAM且暂时存储要显示的内容B、只读ROMC、将要显示的内容转换为显示器可以接受的信号D、字符发生器 [多选]某商场项目，建设单位因急于开业，在尚未组织竣工验收的情况下提前将部分楼层交由商户进行店铺装修。装修过程中，建设单位陆续发现了一些质量缺陷，遂以质量不符合约定为由将施工单位诉到人民法院，则下列质量问题中，不能够获得人民法院支持的有()。A.卫生间瓷砖贴面脱落、 [单选]燕麦细胞癌属于（）A.小细胞未分化癌B.肺腺癌C.Pancoast肿瘤D.乳腺癌E.鳞癌 [单选,A2型题,A1/A2型题]现有以下物品，施用有机磷农药（除个别农药外）者可事先涂抹哪种于暴露的皮肤处（）.A.硼酸B.肥皂C.细沙D.泥粉E.高锰酸钾 [单选]在发现有可疑交易或者行为时，在其发生后（）个工作日内，向中国反洗钱监测分析中心报告。A.5B.10C.30D.60 [问答题,简答题]交叉杆擦伤深度、全长范围内弯曲的运用限度是多少？ [单选]高血压患者，伴有2型糖尿病及糖尿病肾病，尿蛋白（++），最佳选择的降压药物是（）.A.利尿剂B.α1受体阻滞剂C.β受体阻滞剂D.钙拮抗剂E.ACEI [单选,A2型题,A1/A2型题]管电流的改变，一般是（）A.调节灯丝初级电路中的电阻B.调节电源电压C.调节稳压器的输入电压D.调节稳压器的输出电压E.调节管电压 [填空题]液压泵工作原理：（）。 [单选]保证合同的签订人为（）。A．债权人与债务人B．债权人与保证人C．债务人与保证人D．保证人与被保证人 [单选]男性患者，65岁。近事记忆障碍1年，半年前有"脑梗死"病史，致左侧肢体乏力，近3个月来渐进出现精神、行为异常。神经系统无新发阳性体征，简易智能检查量表评分15分，该患者最可能患有（）。A.轻度认知障碍B.Alzeimer病C.血管性痴呆D.混合型痴呆E.精神分裂征 [名词解释]freezeetching（冰冻蚀刻技术）
高二数学复数的四则运算(学生版)
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
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典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
高二数学复数的四则运算1
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[单选,A型题]关于肾上腺皮质增生，错误的是（）A.边缘可有结节B.侧支厚度大于1cmC.面积大于150mmD.CT可以发现皮质增厚，髓质正常E.密度无变化 [单选,B型题]按内容划分的冲突包括（）A.认知冲突B.建设性冲突C.群体冲突D.组织间冲突E.人际冲突 [单选]葡萄糖注射液的旋光度测定中，将测得的旋光度与2.0852相乘，即得供试品中含1分子水的葡萄糖的重量。说明2.0852的由来（）A.100/[α]tD×(无水葡萄糖分子量／含水葡萄糖分子量)B.100/（[α]tD·L）×(无水葡萄糖分子量／含水葡萄糖分子量)C.（[&a [问答题,简答题]2010版GMP新修订共有几个附录，它们的名称是什么？ [判断题]冷沉淀融化后需放置室温2小时后输用。A.正确B.错误 [单选]依照我国的会计准则，利润表采用的格式为()。A.单步式B.多步式C.账户式D.混合式 [单选]腰穿操作描述正确的是（）A.通常取侧卧位，屈颈屈膝，腰背部与床面垂直B.选取1～2椎间隙为穿刺点C.多用普鲁卡因浸润麻醉D.一般成人进针约8～10cm即可穿破硬脊膜（有落空感）E.术后嘱患者平卧1～2小时即可 [单选,A2型题,A1/A2型题]鼻中隔脓肿最常见的病因是（）。A.鼻前庭疖B.鼻旁窦炎C.流感D.猩红热E.鼻中隔血肿继发感染 [单选,A2型题,A1/A2型题]管电流的改变，一般是（）A.调节灯丝初级电路中的电阻B.调节电源电压C.调节稳压器的输入电压D.调节稳压器的输出电压E.调节管电压 [单选]信息社会指标分为（）大类。A.5B.6C.3D.2 [单选]下列各项指标中，不属于业绩计量的非财务指标的是()。A、市场占有率B、质量和服务C、生产力D、经济增加值 [单选]目前我国能源消费结构按消费量划分依次为（）A.石油、生物质能、煤炭、天然气、太阳能B.煤炭、石油、水电、天然气、核能C.太阳能、石油、煤炭、核能、水电D.石油、煤炭、风能、核能、生物质能 [填空题]四乙基铅主要通过（）侵入人体使其中毒。 [问答题,案例分析题]背景材料： [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不属于心理测量标准化要求的内容（）A.有固定施测条件B.标准的指导语C.统一的记分方法D.符合实际情况E.使用标准化工具 [单选]情报分析服务于（）决策可以直接打击和预防涉烟违法犯罪，直接产生社会效益。A、战略B、战术C、领导D、执法 [单选,A1型题]不属于医学心理学相关学科的是（）。A.健康心理学B.变态心理学C.神经心理学D.药物心理学E.教育心理学 [单选,A1型题]下列与社会病的特点无关的是（）A.社会病必须具有公共性B.社会病的防治需要全社会共同的努力C.社会病对社会具有严重的危害性D.社会病的产生根源非常复杂，但主要在于社会E.社会病的产生根源非常复杂，但主要在于家庭 [填空题]民主集中制是民主基础上的集中和集中指导下的民主相结合。它既是党的（），也是群众路线在党的生活中的运用。 [多选]下列有关行政法规的说法哪些是不正确的？（）A.国务院根据全国人大常委会授权制定的行政法规，可以称为"暂行办法"B.行政法规的外文正式译本，由国务院法制办公室审定C.制定行政法规的基本条件尚不成熟的，行政法规送审稿须一律退回起草部门D.行政法规可以由国务院 [单选]外燃锅壳式锅炉，烟管构成了锅炉的主要（）受热面，水冷壁和大锅筒下腹壁面则为锅炉的辐射受热面。A、辐射B、对流C、间壁D、上锅筒 [问答题,简答题]电力需求侧管理的内容是什么？ [单选]药品质量的全面控制是（）A、药品研究、生产、供应、临床使用和有关技术的管理规范、条例的制度和实践B、药品生产和供应的质量标准C、真正做到把准确、可靠的药品检验数据作为产品质量评价、科研成果坚定的基础和依据D、帮助药品检验机构提高工作质量和信誉E、树立全国自上 [单选,A2型题,A1/A2型题]为提高出血病因诊断的准确性，选择胃镜检查的时间宜为（）A.6～8小时B.8～12小时C.24～48小时D.48～72小时E.出血停止后 [判断题]期货公司作为交易者与期货交易所之间的桥梁和纽带，属于银行服务行业。（）A.正确B.错误 [填空题]量臀围时应在臀围（）部位量一周。 [单选,A1型题]有尿意即迫不及待地要排尿且难以自控，是（）A.尿失禁B.尿潴留C.尿频D.尿急E.尿痛 [单选,A1型题]可旋转的或5环形的探测器在体表连续或间断采集多体位平面影像数据，由计算机重建影像的方法称为（）。A.动态显像B.局部显像C.静态显像D.断层显像E.延迟显像 [单选,B1型题]呕吐物多且有粪臭味的是（）A.幽门梗阻B.十二指肠淤积症C.小肠梗阻D.胃潴留E.胃癌 [单选]对n个元素的有序表A［1..n］进行二分（折半）查找，则成功查找到表中的任意一个元素时，最多与A中的（）元素进行比较。A.n-1B.n/2C.（log2n）-1D.（log2n）+1 [单选,A1型题]高血压病脑出血时，最常见的出血部位是（）。A.小脑齿状核B.小脑皮质C.脑桥D.基底节E.延脑 [问答题,简答题]CTCS2-200H型车载列控系统中DMI的作用是什么？ [填空题]触电事故是多种多样的，多数是由于人体（）带电体，或是设备发生故障，或是人体（）带电体引起的。 [判断题]气囊控制模块备用电源的作用是，当车辆发生碰撞导致蓄电池或发电机与控制模块之间的电路切断时，能在一定的时间内提供足够的点火能量来引爆点火剂。（）A.正确B.错误 [单选]同一动产上已设立抵押权或者质权，该动产又被留置的，（）优先受偿。A、抵押权人B、质权人C、留置权人D、最先行使权利人 [单选]下列关于因素分析法的表述中，不正确的是（）。A.因素分析法的缺点是预测结果不太精确B.因素分析法通常用于品种繁多、规格复杂、资金用量较小的项目C.因素分析法的缺点是计算比较复杂，工作量大D.在其他因素不变的情况下，不合理资金占用额越多，则资金需要量越小 [单选,A2型题,A1/A2型题]我国法定的职业肿瘤是（）A.紫外线所致皮肤癌B.电离辐射所致白血病C.氯甲醚所致肺癌D.苯胺所致膀胱癌E.镍和镍化合物所致肺癌 [填空题]一般GSM网络中基站采用的跳频方式是（）跳频 [单选]王某被人民法院以盗窃罪判处有期徒刑3年，并已执行完毕，2年后经再审改判为无罪。王某对此应向谁请求国家赔偿（）A.作出逮捕决定的机关和作出一审判决的人民法院B.作出逮捕决定的机关和作出原生效判决的人民法院C.作出原生效判决的人民法院D.作出再审判决的人民法院 [单选,A1型题]发生胎头不均倾的原因有（）A.骨盆出口平面狭窄B.骨盆入口前后径狭窄C.骨盆倾斜度大D.坐骨棘间径>10cmE.坐骨切迹可容2横指
苏教版高二数学复数的四则运算
2）解析：除法的计算相对比较烦琐，此题可以先把
分母乘到右式利用复数的乘法，计算上会
比较方便。
课堂练习
1 1 已知z是虚数，且 z 是实数， z z 1 求证 纯虚数. z 1
a -i 2 已知z (a 0, a R), 复数ω z(z i) 1- i 3 的虚部减虚部减去它的得的差是 ， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
6+2i
虚部为2，且z1 z 2 是实数，求复数z 2 .
5 例3 已知z 是实数，且z 3的实部与虚部互 z 为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z， 若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
例题选讲
例4 已知z 1 i；1 ）设 z 2 3(1 i) 4, 求； z 2 az b 2 ）如果 2 1 i, z z 1 求实数a, b的值.
2 2
则
1
3
2
1
3n 2
3n
1
3n1
1
1 0
2
例题选讲
例1 计算 2 - i 3 4i
解析： 方法一
根据定义，待定系数法； 方法二 化简成分式形式，利用共轭复数的概念求 解。
例题选讲
例2 已知复数z1满足 z1 2 i 1 i , 复数z 2的
复数的四则运算
3.复数除法的运算法则： 把满足(c +di）(x +yi) = a +bi 商 (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的
高二数学复数的四则运算1
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上下功夫。 口福和眼福俱饱矣，耳福呢？ 无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四下里噼啪响 “苕树梅”，我家旁的园子里就有，红、粉、白，水汪汪、亮盈盈，一盏盏，像玻璃纸剪出的小太 阳。我深信她没听错，那不是幻听和诗心的矫造，我深信那片野地的静、那个年代的静，还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋，她有幅画，《你能让满山花开我就来》，那绝对是一种通灵境界我深信，一个野菜喂大的孩子，大自然向她敞开得就多。 我们听不见，或难以置信，是因为失聪日 久，被磨出了茧子。 是的，你必须承认，世界已把寂静 这大自然的“原配”，给弄丢了。 是的，你必须承认，耳朵 失去了最伟大的爱情。 我听不见花开的声音。 我只听见耳朵的惨叫。 ? 让事物恢复它的本来面目 ? 林间松韵，石上泉声，静里听来，识天地自然鸣佩； 草际烟光，水心云影， 闲中观去，见乾坤最上文章。 （明）洪应明《菜根谭》 1 我越来越笃信两点： 好东西都是原配的，好东西应是免费的。 近爱翻古人书，如《水经注》《帝京景物略》《夜航船》《闲情偶寄》之类，本以为年龄之故，后醒悟：我太想知道原先的世界何等模样，太急于在古代攀几位熟人，可随 时去串串门，偷得浮生半日闲，来一回精神私奔总之，我想看看这世间变化有多大，看看不一样的人生、不一样的活法。 还有，我迷上了古画，尤其《清明上河图》《南都繁会图》《皇都积胜图》这类市井风情长卷。我看的是画里的人生，我会对一个小人物凝视半天：夹袱疾行的汉子，挑帘张 望的妇人，酒旗下瞌睡的小二，拱桥上抱拳作揖的商贾我会猜其所有信息，年龄、职业、财路、性格，猜他为何出现在这里，其生存路线图，其梦想、快乐和烦忧我甚至想，以他的身份，今天会是什么境遇。比如一个挑担的游贩，我忍不住想，这个进城务工人员，会不会被勒令办暂住？何以躲 避城管的驱赶、地痞的纠缠、黑社会的保护费？他租得起房吗？娶得上媳妇吗？能供孩子上学吗？ 谁还记得从前的世界？谁还记得生活本来的样子？ 天本是蓝的，山本是绿的，河本是涌的，水本是清的，庙本是有佛的，菩萨本是热心肠的，人本是知羞的，猪本是自然长大的，房子本是连地皮 的，娃本是想生就生的，燕雀本是登堂入室的，承诺本是值千金的，商铺本是童叟无欺的 这些自然元素、风物资源，这些生活原理、道德逻辑，皆为世间“原配”，乃上天早早给人设计好、配置好了的作为祖业和古训，作为安身立命之本。就像中医里的方子，怎么兑、如何煎，早就酝酿好、交 代齐了。 遵循即获益。 古人还有个伟大共识：露天的事物、街面的东西，皆理所当然、天经地义地被视为阳光下的公产，没人会瞎琢磨、动邪念。比如路是免费的，桥是免费的，饮水是免费的，进城是免费的，入厕是免费的，烧香许愿是免费的，拴马歇轿是免费的，击鼓喊冤是免费的，询人 问路是免费的，山色湖光、游山玩水是免费的 东西越必需、越珍贵，越需要免费，越值得免费。 渐渐，你会发现，无论山岳江河还是市井俗习，无论风物万象还是生活美学，只要不去干预和涂改，只要保存和延续到今天，就是有价值、受器重的，就成了珍贵的物质或非物质文化遗产。这说明 了什么呢？ 只能实一点：人类对自然犯了错，对生活犯了错。 我们用50年推翻了5000年。 2 世界尚存多少原配？人间还剩几许古意？ 我们改变了山岳的形貌，改变了河流的习性，改变了季节的脾气，改变了几千年常识和老理我们拼命往地里灌农药化肥，往饲料和食物里投添加剂，还有什么 “转基因”“太空种子”“辐照食品” 我们把人之外的东西吃了个遍，把大地翻了个底朝天，盗出最贵重的珠宝，然后埋下垃圾。 像窃贼，像匪徒，我们扑向所有的乳房，把她们吸瘪、抽干、榨尽在贪欲面前，地球已毫无秘密，藏不住任何东西。 我们消灭了“原配”和母体，颠覆了古老与经 典。我们在混乱的逻辑中挣扎，以更大的亏损去生产，以更大的消耗去收获，以更大的破坏去修葺 这是个“二奶”的时代。 我们在“二奶”的基础上迎娶繁荣，畅想未来。 天地的质与本，上苍配给生命的天然元素和神圣契约，被消解了。我们离造物主颁发的秩序和法则，越来越远。 自从发 明空调暖气，我们连春夏秋冬都不想要了。有中医告诫我：夏天你一定要出汗，冬天你一定要知冷。 没错。身体是有原始记忆和密码的，它和大自然有约定百万年前就约好了。它耐心守候寒暑轮回、时序更替，若对方迟迟未临如同约好了人，苦苦翘首却不见其影，那悲愤可想而知。日子久了， 它 即紊乱即自暴自弃，以生病惩罚人的毁约，报复世界的失信。 所以，现代人身体多为病体。 没有山，只剩下矿山。没有河，只剩下河床。 守着一点点“原配”的残羹，人搬个板凳，开始吆三喝五地收费。封山，封湖，封岛，封户，封寨，封庙，封城那么多路障，那么多门票，若李白、张 岱、徐霞客们高寿至今，要携多少银两出门？多少人惦记他的盘缠？他哪里还会吟诗，只骂娘了。 我一直以为，山水门票，是人类发明的最丑陋和最无耻的东西。当一张黄山票卖300元时，那株傲立风霜的迎客松，即成了老鸨一样的摇钱树。 人，诗意地栖息在大地上。这诗意，一定和“免费” 有关。 3 小时候，我痴迷地图册。最讨厌的是行政页，最热爱的是自然版：褐色乃山，绿色为林，蓝色喻水，色度象征山水之高低深浅我还莫名地想，“爱祖国”“爱世界”“爱人民”，即因为有这些好看的颜色吧？有了五颜六色，江山才叫美，生活才值得过，世界才让人爱啊！ 所以，我一 面对地图，童心里就涨起“爱国主义”潮水，用不着教育。 那会儿的大自然，基本还算原配。 那天，网上读到个帖子，《请饶了故乡，不要种速生林》。 “家乡的木兰湖畔，正有人大规模毁山砍树，准备种速生林本人致电国家林业局、环保总局，接听者称不在管辖之列。致电国家信访办，永 远是忙音。致电《焦点访谈》，无人理睬本人感到空前绝望。故乡处生态脆弱的丘陵地带，河流短小急促，水土流失严重，而种速生林，生长周期短，又需大量水，易造成土壤板结，形成生态灾难。革命时期故乡14万烈士为新中国捐躯，恳请看在牺牲重大和生态脆弱的份上，饶了故乡，不要种 速生林，尤其别毁坏天然林 ” 读这篇帖子，内心几度哽咽。吾学浅薄，无力判断其科学逻辑，但经验告诉我：“原配”一定优于“二奶”！大自然选定的天然林，一定优于人工发明的速生林！ 我向这位孤独的陌生人致敬，向遥远山冈上的那份呐喊致敬。 它捍卫的是古老，是祖业。 4 卢梭说： “事物之所以美好并符合秩序，乃其事物本质使然，与人的约定无关。” 是的，人只能发现世界的美好并接受赐予，自己并不能创造世界的美好。 人其实很渺小，很无能。他不是地球主人，和草木虫兽一样，仅仅是孩子，是被抚养者。不知为何，他老想革命，想主持天下，想做皇帝。 从剥削 万物的角度看，人确实是在地球上建了个奴隶王国，且是最坏的那个朝代。若把所有物种都请上一个台面，人肯定是最道德败坏的那一席，就像我们最痛恨的人群中的败类。 发明有两种：一是适度发明，一是过度发明。 人，常常自殁于过度的创举。托马斯·米基利乃美国化学家，凭加铅汽油 和氯氟烃两项发明，他被封为“地球历史上对大气影响最大的个体生物”和“历史上杀戮最多的个体”。后来，他染上了脊髓灰质炎和铅中毒并瘫痪，即便如此，他也不甘寂寞，设计了一套绳索滑轮以便于自己起床。55岁那年，不幸发生了，他突然被绳索缠住，窒息身亡。 纵其一生，这个聪明 人亲手发明了自己的死。 我不知道，对人类来说，这是个怎样的寓言？ 真想，真想对马达轰鸣的世界大叫一声：停！ 让万物归位，让生活恢复它的本来面目吧 天是蓝的，山是绿的，河是流的，水是清的 我衷心怀念大自然的原配，人间游戏的原配。 末了，请容我爆一句粗口：打倒二奶！ ? 怎样才算一个好的时代 一死囚在临刑前哭喊对不起家人，他参与了一桩灭门杀人案。一个人在医院偷患者钱包，因母病重急需钱。一个官员贪污几千万，为了让深爱的女人锦衣玉食。一父亲为了女儿上大学，设局顶替了别人家的女儿。一老板拖欠民工的血汗钱，称别人欠自己的也没还。一妇女 从产房里将婴儿偷走，理由是太喜欢孩子却不能生育 一个坏的时代，在人性、伦理、规则、逻辑上，默认或怂恿如下做法 宠爱自己的孩子却漠视别人的孩子，孝敬自己的父母却欺凌别人的父母，善待自己的兄弟却盘剥别人的兄弟，荫护自己的眷属却虐待别人的眷属，爱惜自己的姐妹却侮辱别 人的姐妹，扩充自己的钱包却压榨别人的钱包，造福自己的家乡却掠夺别人的家乡 天使与魔鬼，两种人格，两个身份，两套本能。 而这，每天都发生在贪官、恶奴、街霸、骗子、奸商、盗贼身上。偶尔，也会若无其事地发生在普通人身上。 一个好的时代，应最大限度地消解以上荒谬和悖论。 一个好的时代，会让天下孩子都遇到呵护，所有父母都得到孝敬；会以政府的担当替代百姓的焦虑，会以政府的信用激励民间的诚实；会以完善的制度保障游戏的公正、分配的合理、权力的谦卑；会让富人失去骄横、学会仁爱，会让弱者得到帮助却不失尊严；会让每个做梦的人都有光明之感， 会让美德和纯真不被嘲笑与辜负；会让命运不亏待那些劳苦，会像麦田那样承诺耕耘与收成、汗水和果实成正 比 一个好的时代，个人的幸福不以别人的痛苦为肥料，个人的满足不以别人的忧愁为成本，个人的衣冠楚楚不以别人的破衫褴褛为背 景甚至，人类“以人为本”的时候不再虐待别 的物种，壮大人间的时候不再奴役大自然。 一个好的时代，空气中最大成分是氧和爱，大街上最流行的风景是笑容，是问候、礼让、牵手、携扶，非怨恨、牢骚、争抢和骂骂咧咧。 一个好的时代，应尽快到来！应尽快变成共识和承诺，变成效率和实践。应只争朝夕地去呼唤，夜以继日地去兑 现。 一个好的时代，不会把它的任务让渡给下个时代，它会对公民此生的幸福负责。
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第七章-7.2 复数的四则运算
训练题
三 解复数方程
例5［2020·江苏省海头高级中学高二检测］已知复数z＝1+2i（i为虚数单位）. （1）若z·z0＝2z+z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2-mx+5＝0的一个虚根，求实数m的值.
训练题
1.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+（3m-i）＝0有实数根，求实数m的值.
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.
高二数学复数的四则运算1(2019年新版)
闻周有砥砨 居顷之 以女妻之 扁鹊曰：“越人非能生死人也 襄公为太子 ” 孝惠二年 不解 ”欲以激励应侯 来入咸阳 广莫者 以开晋伐虢也 间者兵数起 久留而归之 内行脩也 吾烹太公 曰：“臣脩身絜行数十年 ”由是观之 子婴不行 不敢奉诏 子昭明立 乃复曰：“皆景公之子 ”优
孟闻之 ”齐王曰：“寡人憎仪 绛侯、灌将军等曰：“吾属不死 道闻王疾而还 李太后 约结上左右 所说出於为名高者也 ”范睢曰：“主人翁习知之 臣舍人相如止臣 上未之奇也 有邑聚 以便国家利众为务 ”退而深惟曰：“夫诗书隐约者 孔文子问兵於仲尼 子婴仁俭 皆贵重 上讳云
黄帝仙登于天 季札谢曰：“曹宣公之卒也 令赵高得以诈立胡亥 故所以同官待诏者 成公出饹 今如此以百骑走 东至咸阳 若宪 自共和讫孔子 续绛侯後 怨汤 意家居 逃身遁者数矣 楚王朝 项王见人恭敬慈爱 曰：“吾闻帝已崩 独相吕嘉为害 陛下侯之 未至马邑百馀里 浮于潜 弗独有
也 太史公曰：“先人有言：‘自周公卒五百岁而有孔子 不能事君王也 射鵕璘 三年 其野有逐相；西略地至雝丘 毐败亡走 食有鱼矣 太子惧法 至吴 爵执珪 有功 悉召故人父老子弟纵酒 大破我岸门 晋君使籍秦围邯郸 不能听大度之言 见安期生 臣原奉璧往使 吾不许 於是急法 ”张
公归 穰侯之所任举也 击秦 正南十二 上曰：“吾知所以与之 泽厚矣 曲沃益彊 闰十三 ”今上时 其母病 有宠 吏因捕太子、王后 桓公之中钩 项王怒 不敢言疾 待诏宫府门 秦城恐不可得 欲见无间
又复立国 汉五年 常暴坐待王苑外 今陛下能休马无所用乎 而晋北有林
胡、楼烦之戎 合在於此矣 豆之先大羹 日月薄蚀 赵盾弗复知也 其相犯 ”军门都尉曰：“将军令曰‘军中闻将军令 得韩王安 欲祠泾 未尝不废书而叹也 魏为从主也 是使三晋之大臣不如邹、鲁之仆妾也 大忠无所拂悟 王温舒为中尉 鲁将盟 何以得国 郑伐宋 而欲得燕权 六年 坐卧即
复数的四则运算
z1 z2 z3 a bi c di e fi a bi c e d f i
a c e b d f i
z1 z2 z3 z1 z2 z3 ,即复数的加法满足结合 律
复数加法的几何意义：
z1 a bi, z2 c di（a,b, c, d R）
y
b
Z
.
O1
a
x
复数的加法与减法：
若：z1 a bi，z2 c di (a,b, c, d R)
则：z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 (a c) (b d )i
两个复数的和（或差）仍是一个复数，两个复数的和（或差）的 实部是它们实部的和（或差），两个复数的和（或差）的虚部是它们 虚部的和（或差）.
n个
内正整数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，
zm zn zmn , zm n zmn, z1 z2 n z1n z2n
注：i0 1,i1 i,i2 1,i3 i,
一般地，对于任意自然 数n, 有：i4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i
例7、计算：
（1）1 i4;
(2)2 i22 i2
解：（1）原式 1 i2 2 1 2i i2 2 2i2 4
（2）原式 2 i2 i2 4 12 25
若：z a bi其中a,b R
则：z z a bia bi a2 b2
互为共轭 复数的两个复数的乘积是实 数，等于这个复数 （或其共轭复数）模的 平方.
复数的除法
给定复数z2,若存在复数z，使得z2z 1,则称z是z2的
倒数，记作z 1 . z2
设z2 c di 0和z x yi(c, d, x, y R), 则
苏教版高二数学复数的四则运算
6+2i
例3 已知z 5 是实数，且z 3的实部与虚部互Байду номын сангаасz
为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z，
若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
例题选讲
例4 已知z 1 i；1）设 z2 3(1 i) 4,求；
1） -1-i
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2
Z1 Z2
Z2 0
Z Z
Z Z 2a
Z1 Z2 Z1 Z2
Z n Z n
Z Z a2 b2
Z Z 2bi
复数的运算常用结论
1） i 2 1
一般地，如果 n N ，有 i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
zm zn zmn (z m )n zmn (z1 z2 )n z1n z2n
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z-=a-bi互为共轭复数
记作： z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数； 2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
复数的四则运算
3.复数除法的运算法则：
把满足(c +di）(x +yi) = a +bi (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的
商
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.
高二数学复数的四则运算1
高二数学复数的四则运算1
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a=b=0
.
特别地，a+bi=0
注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小. 思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
3.2 复数的四则运算(1)
一、复习： 复数:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 规定： i21；
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi ( a R , b R )
实部
虚部
其中
i 称为虚数单位。
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数 b 0 非纯虚数a 0，b 0
Z a bi 的虚部b=0时，
Z a bi.
Z Z.
即实数的共轭复数仍是它本身.
复数的运算
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呀怎么样,你呀怎么这么傻?你呀清醒一点！" 夜妖娆看着白重炙四肢虽然被废了,但是身子却还在不断の扭动着,脸上肌肉更是完全扭曲了.嘴里发出低沉而又沙哑の吼叫,眼睛一片血红,死死盯着自己の身体.夜妖娆明白白重炙这是拼着自残,也不愿这样不清不白の侵犯自己.心里涌起一丝感动, 以及深深の疼惜. 想到刚开始遇到白重炙の时候,他色色の样子.夜妖娆这一刻知道是自己错怪了他,屠神刀の副作用看来就是让他色yu加重,或者说无法控制自己の希望.他,是个真君子. "你呀太傻了,俺既然决定跟你呀,俺の心,俺の灵魂都是你呀の,俺の身子…当然也是你呀の！" 看着白重炙 痛苦の扭动身子,夜妖娆眼泪簌簌の落下.轻咬着贝唇,她眼眸
高中数学 第三章 第二节 复数四则运算(1)(1)
第三章第二节复数四则运算（1）年级组别高二数学审阅（备课组长）审阅（学科校长）主备人使用人授课时间课题复数四则运算法则课型新课课标要求B级教学目标知识与能力掌握复数的加法运算及意义，共轭复数概念过程与方法理解并掌握实数进行四则运算的规律情感、态度与价值观理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点复数加（减）法、乘法法运算法则．教学难点复数加（减）法、乘法运算的运算律。
教学方法小组讨论，合作探究教学程序设计教学过程及方法环节一明标自学过程设计二次备课复习回顾：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)a bi ab R+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)z a bi a b R=+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程及方法环节二 合作释疑 环节三 点拨拓展过程设计二次备课讲解新课：１．复数z 1与z 2的和的定义： z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 2. 复数z 1与z 2的差的定义： z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律:(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］ =［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3). ∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律 5．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(2013—2014i)+(—2014+2015i)解法一：原式=(1－2+3－4+…+2013—2014)+(－2+3－4+5+…+2014－2015)i=﹣1007+1007i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2013－2014i)+(－2014+2015)i=－1+i.相加得(共有1007个式子)：原式=1007(－1+i)教学过程及方环节四当堂检测二次备课一、选择题1．0a=是复数()z a bi a b=+∈R，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件2．设1z，2z为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若2212z z+>，则2212z z>-Ｂ．2121212()4z z z z z z-=+-Ｃ．22121200z z z z+=⇔==Ｄ．11z z-是纯虚数或零3．若1i+是实系数方程20x bx c++=的一个根，则方程的另一个根为（）法Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i4．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2 Ｄ．—15、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对 计算题1．已知Z=1+i ．（1）若234z z ω=+-，求ω2、（10分）设,a b 为共轭复数，且2()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
循环课堂复数的四则运算(1)教案
房山高级中学生态循环课堂教案 高二数学(理科) 第05周 02 总编号：02 主备人：3.2 复数的四则运算（1）一、教学目标：1．掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念． 2．理解并掌握实数进行四则运算的规律． 二、教学重难点复数乘法运算． 三、教学方法：引导发现法、探索讨论法 四、教学过程教学流程教学方法 （一）、学生思考：问题1 化简：(23)(1)x x ＋＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋＋－＋吗？ 问题2 化简：多项式(23)(1)x x ＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋－＋吗？ 问题3 两个复数a ＋bi ，a －bi 有什么联系？学生 自由 讨论（二）、学生展示复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ．复数和的定义：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ． 复数差的定义：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数积的定义：z 1z 2＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．性质：z 2z 1＝z 1z 2； (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)； z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身．共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．（三）、精讲点拨例1、计算(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i)． 解 －5＋i ．教师 分析 引导 分析 探究例2、计算(－2－i) (3－2i) (－1＋3i)． 解 5－25i ．变式：计算(a ＋b i) (a －b i)． 解 a 2＋b 2．思考1 当a ＞0时，方程x 2＋a ＝0的根是什么？ 解 x．思考2 设x ，y ∈R ，在复数集内，能将x 2＋y 2分解因式吗？ 解 x 2＋y 2＝(x ＋y i) (x －y i)．讨论(四)、课堂检测1．课本练习第3题．2．课本练习第4题．3. 已知复数z 满足：2i 42i z z z -⋅⋅＋＝＋ ，求复数z ．（五）要点归纳与方法小结1．复数的加减法法则和运算律． 2．复数的乘法法则和运算律． 3．共轭复数的有关概念． 五、预习下一个学案 六、教学反思学生 自主 限时 完成 师生 共同 完成。
高二数学(理)复数的概念和复数的四则运算人教实验版(A)知识精讲
高二数学（理）复数的概念和复数的四则运算人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：复数的概念和复数的四则运算二. 重点、难点：1. 复数的代数形式bi a z +=（R b a ∈,）a 为实部，b 为虚部z b ,0≠为虚数，0,0≠=b a ，z 为纯虚数2. ),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=⎩⎨⎧==⇔=db c a z z 21 3. 复平面、实轴、虚轴4. 1,,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i5. ),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=（1）i d b c a z z )()(21+++=+（2）i d b c a z z )()(21-+-=-（3）i bc ad bd ac z z )()(21++-=⋅（4）2221)()(d c i ad bc bd ac z z +-++= 6. ),(,21R b a bi a z bi a z ∈-=+=21,z z 两个复数互为共轭复数z 的共轭复数记为z【典型例题】[例1] )23()232(22+-+--=m m m m z i ，R m ∈（1）m 为何值时，z 为实数（2）m 为何值时，z 为虚数（3）m 为何值时，z 为纯虚数解：（1）10232=⇒=+-m m m 或2=m（2）0232≠+-m m ),2()2,1()1,(∞+⋃⋃-∞∈⇒m（3）21023023222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--m m m m m[例2] 以下四个结论（1）任意两个复数不能比大小（2）02≥⇒∈z C z（3）若021>-z z 21z z >⇒（4）复数c a di c bi a =⇒+=+且d b =错误的是 。
答案：（1）（2）（3）（4）[例3] 计算)2()43()23()36(i i i i +----++-解：)2()43()23()36(i i i i +----++- ii i i i 28]1)4(23[)]2(336[2432336+=---+-+---+=-++-++-=[例4] 计算)1)(45()54()22(3i i i i --++ 解：)1)(45()54()22(3i i i i --++ i i i i i i i i i i i i 24)2(2)1)(1()1(22)1)(45()45()1(22243-==+-+=--⋅-+=[例5] 11)(22+++-==x x x x x f y ，求)1(i f -。
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[单选,A1型题]“以人为本，践行宗旨”的行为规范，主要体现在（）A.坚持救死扶伤、防病治病的宗旨B.发扬大医精诚理念和人道主义精神C.以病人为中心，全心全意为人民健康服务D.以上都是E.以上都是 [填空题]乙炔装置AR476分析仪参比气是（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下哪项不属于食品污染物范畴（）。A.微生物B.重金属C.寄生虫D.食品添加剂E.河豚毒素 [单选,A1型题]下列不应选用青霉素G的情况是（）。A.梅毒B.伤寒C.鼠咬热D.气性坏疽E.钩端螺旋体病 [多选]直接融资是指没有金融中介介入的资金融通，主要包括（）等。A.融资租赁B.发行企业债券C.发行短期融资券D.委托贷款E.发行中期票据 [问答题,简答题]面谈主持的技巧有哪些？ [单选]泵的扬程是指泵对单位重量液体所提供的（）。A、能量B、有效能量 [单选,A2型题,A1/A2型题]具有明目去翳，收湿止痒敛疮功效的药物是（）A.硼砂B.明矾C.炉甘石D.芒硝E.铅丹 [问答题,简答题]投资连结产品还是不是保险产品，如何实现对客户的保障？ [单选,A1型题]认知疗法的核心技术是（）A.识别自动化思维B.识别认知错误C.真实性检验D.去中心化E.抑郁或焦虑水平的监控 [单选,A2型题,A1/A2型题]透明大体标本的制作，用以下哪种物质保存标本可以继续透明，增加标本的透明度（）。A.冬青油B.石蜡C.树胶D.二甲苯E.乙醇 [多选]矿业工程项目的成本由建筑安装工程费、设备及工器具购置费及（）构成。A.工程建设其他费B.建设期贷款利息C.直接工程费D.措施费E.预备费 [单选,A2型题,A1/A2型题]神经病理性疼痛临床表现不包括（）A.有明确的损伤史B.无损伤区可出现疼痛C.疼痛伴随感觉缺失，阵发或自发性疼痛D.疼痛累加，反复刺激可使疼痛强度增强E.痛觉过敏，表现为非疼痛刺激引起的疼痛，疼痛刺激反而无疼痛 [单选]根据支付结算法律制度的规定，下列票据欺诈行为中，属于伪造票据的是()。A.假冒出票人在票据上签章B.涂改票据号码C.对票据金额进行挖补篡改D.修改票据密押 [单选,A1型题]关注创伤性分离患者的注意和记忆是如何发展的理论是（）A.精神分析理论B.认知行为理论C.人格结构性分离理论D.背叛创伤性理论E.回避编码理论 [单选]健康城市的基本特征是（）。A.和谐性、整体性B.持续性、高效性C.区域性D.参与性、独特性E.以上各条都是，但都不全面 [问答题,简答题]分子筛吸附器的性能指标？ [单选]船舶在近海、沿岸航行时通常都采用恒向线航法，这是因为（）。A．恒向线在墨卡托海图上是直线，即两点间最短航程航线B．船舶按恒向线航行，操纵方便，且航程增加不多C．恒向线能满足海图的纬度渐长特性D．墨卡托海图是等角投影海图，只能使用等角航线 [填空题]电子商务系统是由（）、（）、（）、（）和（）五介部份组成。 [单选,A1型题]决定化学物质毒性大小最主要的因素是（）。A.接触途径B.剂量C.接触时间D.接触速率和频率E.接触期限 [单选,A型题]测定机体对白喉棒状杆菌的免疫力可在前臂皮内注射（）A.白喉毒素B.白喉类毒素C.加热灭活的白喉毒素D.加热灭活的白喉棒状杆菌E.白喉抗毒素 [单选,A1型题]哪种疾病用青霉素治疗可引起赫氏反应（）。A.流行性脑脊髓膜炎B.草绿色链球菌心内膜炎C.大叶性肺炎D.气性坏疽E.梅毒 [单选]《女职工劳动保护特别规定》经2012年4月18日国务院第200次常务会议通过，自（）中华人民共和国国务院第619号令公布之日起施行。A、4月28日B、5月1日C、5月28日D、4月30日 [单选,A2型题,A1/A2型题]传统医学的"四诊"是指（）A.察、言、观、色B.视、触、叩、听C.切、闻、望、问D.摸、视、听、叩E.触、动、量、望 [单选]现代通信网由（）四大部分组成.A.传送网.交换网.接入网和用户所在地网络B.传输网.交换网.接入网和信令网C.信合网.传送网.接入网和用户所在地网络 [单选]执行拖航任务时，任何船只（）。A.严禁搭乘无关人员随航B.只能搭乘1人C.只能搭乘2人D.只能搭乘3人 [单选]烤烟分级标准适用于（）的扎把烤烟。A、初烤B、任何C、初烤和复烤后未经发酵D、复烤 [单选]需要特殊的护理专长，由医师下医嘱并由执业护士或有执照的看护人员担任，或由有执照的治疗师进行康复治疗，但病人不需要24小时看护的，称为（）A.中级看护B.家中看护C.照顾式看护D.医护人员看护 [填空题]犹豫期一般是（）天，但对于银保渠道销售的保险产品犹豫期延长至（）天。 [单选,A4型题,A3/A4型题]29岁女性，7年前和3年前分别足月顺产一女孩和一男孩，1年前有一次宫外孕手术史，经咨询指导选择使用复方长效口服药避孕。复方长效口服药避孕药正确的服用方法是（）A.每个月经周期的第1天服用1片B.每个月经周期的第5天服用1片C.首次在月经周期第5天1片，第 [填空题]乙炔装置AR476分析仪抽气泵水压力应该调整为（）。 [单选]钩体病治疗首剂使用大剂量青霉素治疗可出现（）A.急性血管内溶血B.二重感染C.弥漫性血管内凝血D.赫克斯海默尔反应E.中毒性休克 [填空题]违反《中华人民共和国道路运输条例》的规定，未经许可擅自从事道路运输站（场）经营、机动车维修经营、机动车驾驶员培训的，由县级以上道路运输管理机构责令停止经营；有违法所得的，没收违法所得，处违法所得2倍以上（）倍以下的罚款；没有违法所得或者违法所得不足1万元 [单选]柴油机与汽油机在工作原理上的最大区别在于（）。A．燃料不同B．用途不同C．发火方式不同D．内部燃烧 [单选]在财产保险合同中，保险事故发生后造成被保险人死亡的，保险金请求权由()行使。A.被保险人指定受益人B.投保人指定受益人C.被保险人的债权人D.被保险人的继承人 [填空题]在Staion的主界面窗口中，包括（）；（）、信息栏、主窗口、报警线、状态栏等栏目。 [单选,A2型题]一个4岁儿童早餐通常吃一个鸡蛋，喝一杯牛奶，家长认为孩子的早餐非常有营养，但通过咨询营养专3;蔬菜B.蔬菜+水果C.鱼类+馒头D.瘦肉+米饭E.豆腐+米饭 [单选]中度侧脑室扩张指其测量值（）。A.1～3mmB.4～6mmC.7～10mmD.10～12mmE.>12mm [单选]对于HIV病毒携带者描述错误的是()A．患者无症状B．少数有淋巴结肿大C．CDT淋巴细胞下降至(O.2～0.4)×10/LD．血清HIV抗体阳性 [单选]刚体匀速转动时不在转轴上的各点，不具有()的性质。A.角速度相等B.所转过角度相等C.角加速度为零D.速度相等