匀速运动点电荷产生的电磁场

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电磁场的相对论变换

一、问题的提出电流是电荷的定向流动,而静止或运动都是相对于特定的参考系而言的;很自然地可以想到,若在一个参考系S 中静止的电荷,在S 系中观察只存在电场,在相对于S 系匀速运动的S'系中观察则同时存在电场和磁场；同样,在S 系中静止的两个电荷间只存在静电力,而在S'系中这两个电荷间不仅存在电的相互作用,还存在磁的相互作用;经典电磁学中感应电动势分为感生和动生两种,只具有相对意义;例如一个磁铁和一个线圈,当磁铁静止、线圈运动时,因线圈切割磁感应线而在其中产生动生电动势,此电动势是由磁场产生的洛伦兹力引起的；若线圈静止、磁铁运动时,线圈中因磁通量变化而产生感生电动势,此电动势是由涡旋电场引起的;上述两种情形是同一物理过程在两个不同参考系中观察的结果,得到不同的描述,这个问题也正是1905年爱因斯坦创立狭义相对论的那篇论文论动体的电动力学中一开始就提出的;物理现象不应随参考系而异;在不同参考系中,电磁规律的形式为何不同已建立的电磁规律是相对于哪个参考系的不同参考系中得到的电磁规律之间有什么相互关系电磁学中,无论速度多么低,伽利略变化都不再适用,解决这些问题要靠相对论;二、相对论力学的相关结论1、洛伦兹变换设有两个惯性系S 系和S'系,其对应的坐标轴互相平行,S'系相对S 系以速度V 沿x 轴正方向运动,在t=t'=0时刻两个参考系的原点重合;把时间写成虚变量w=ict,以x,y,z,w 为闵可夫斯基空间中的时空四矢量,洛伦兹变换为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x i w w z z y y w i x x βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='=''-'=x i w w z z y y w i x x βγβγ 式中i 为虚数单位,c V =β,211βγ-=,c 为真空中的光速;若A x ,A y ,A z ,A t 与x,y,z,w 一样地服从洛伦兹变换,即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x xA i A A A A A A A i A A βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=xt t zz yy t xx A i A A A A A A A i A A βγβγ 则它也是个时空四矢量;2、四维速度相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔d τ=γdt 称为它的固有时,固有时是洛伦兹变换中的不变量;四维速度u x ,u y ,u z ,u t 定义为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧============ττττττττττττd d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d t ic t t w w u t v t t z z u t v t t y y u t v t t x x u t zz y y x x 四维速度是时空四矢量,它仍服从洛伦兹变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x u i u u u u u u u i u u βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t z z yy t x x u i u u u u u u u i u u βγβγ3、四维动量四维动量是由三维动量()z y x p p p p ,,=和能量W 组成的四维矢量m0为静质量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====tt zz y yx x u m c Wi p u m p um p u m p 0000 m 0为静质量;四维动量是时空四矢量,它仍服从洛伦兹变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x p i p p p p p p p i p p βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t zz yy t x x p i p p p p p p p i p p βγβγ三、电荷不变性与洛伦兹力公式的协变性在参考系变换时,物理量一般是变化的,规律的协变性要求规律中的物理量协同变换,而保持规律的形式不变;许多事实表明,一个物体中的总电荷量不因物体的运动而改变;例如实验测定速度为v 的带电粒子的荷质比满足22001cv m q m q -= 而质量随速度变化的相对论公式为2201c vm m -=比较这两个公式,暗示着带电体的电量q 不随运动速度而改变;又例如质子所带的正电量与电子所带的负电量精确相等;由于物体运动时,在其运动方向上长度将收缩,物体的体积也将收缩,故带电体的电荷密度不是不变量;若在某一参考系中观察到一个静止的带电体的电荷密度为ρ,在另一参考系中观察到带电体的运动速度为u,其电荷密度为ρ',则ρ'=γρ;相对性原理要求电磁学的基本方程在洛伦兹变换下要具有协变性;经典电磁学中的洛伦兹力公式B v q F⨯=只包含磁场力,不可能具有协变性,普遍的洛伦兹力公式应包含电场力,即()B v E q F ⨯+=这里的电场既包含库仑场,也包含涡旋场;四、电磁场的相对论变换公式在相对论力学中四维动量是时空四矢量,服从洛伦兹变化；但它对时间t 的导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========P c itW c i t p f t u m tp f t um t p f t u m t p t zz z y y y x x xd d d d d d d d d d d d d d d d 000 即由力的三个分量f x ,f y ,f z 和功率P 的组合并不构成时空四矢量;若把dt 换成固有时间隔d τ,或者说在上述四个量上乘以τd d t⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====ττττd d d d d d d d t P c i F t f F t f F t f F t zz y y x x就变成服从洛伦兹变换的时空四矢量()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x F i F F F F F F F i F F βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t zz yy t x x F i F F F F F F F i F F βγβγ 电磁学中电荷q 受到的洛伦兹力和功率为()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=-+=-+=z z y y x x x y y x z z z x x z y yy z z y x x E v E v E v q c iP ci B v B v E q f B v B v E q f B v B v E q f 乘以τd d t,得 ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=z z y y x x t x y y x z t z z x x z y t y y z z y x t xE u E u E u q c iF B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F根据洛伦兹变换下的协变性要求,从惯性系S 变换到惯性系S',上式应该具有的形式为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧''+''+''='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='z z y y x x t x y y x z t z z x x z y t y y z z y x t xE u E u E u q c iF B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F利用S 系到S'系的洛伦兹变换,有()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+='z z y y x x y z z y x t t x x E u E u E u q c i i B u B u E u c i q F i F F βγβγ把上式中的u x 、u y 、u z 、u t 作洛伦兹反变换,化简后得到()z z y y y z t x x u E c B q u E c B q u E c iq F '⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'--='βγβγβγ221由于上式对任意速度都成立,令其中u't 、u'y 、u'z 的系数与⎪⎭⎫⎝⎛''-''+''-='y z z y x t x B u B u E u c i q F 中u't 、u'y 、u'z 的系数对应相等,得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='='y z zz y yx x E c B B E c B B E E βγβγ 同样的方法运用到其他分量,得到电磁场的洛伦兹变换公式为()()⎪⎩⎪⎨⎧⋅+='⋅-='='y z zz y y x xB V E E B V E E E E γγ ()()⎪⎩⎪⎨⎧'⋅-'='⋅+'='=y z zz y y xx B V E E B V E E E E γγ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛+='='y z z z y y x x E c V B B E c V B B B B 22γγ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'='=y z zz y y xx E c V B B E c V B B B B 22γγ五、运动的点电荷的电场考虑一个电量为q 的点电荷静止于S'系的原点,它在所产生的电场为()304r r qE ''=' πε其分量为()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧''='''='''='30330444r z q E r y q E r x q E z yxπεπεπε 式中()()()222z y x r '+'+'=';S'系中不存在磁场,即0='='='z y x B B B现设参考系S'系相对S 系以速度v 沿x 轴正方向运动,两个参考系对应的对比澳洲相互平行且在t=t'=0时刻两个参考系原点重合,则S 系中的电场E就是所求的运动的点电荷的电场;利用洛伦兹变换公式,得()()()[]()()[]()()[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-⋅=''⋅='=++-⋅=''⋅='=++--=''='=232222030232222030232222030444444z y vt x z q r z q E E z y vt x yq r y q E E z y vt x vt x q r x q E E z z y y x x γγπεγπεγγγπεγπεγγγπεπε 考虑t=0时刻,有z y x E E E z y x ::::=也就是说,电场强度E 与坐标轴之间的夹角等于径矢与坐标轴之间的夹角,或者说电场强度E的方向沿着以点电荷的瞬时位置为起点的径矢方向;考虑电场强度大小的分布()()()()322222222222220322222222200222021144⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++===z y x z y zy xq z y x z y x q E E E E t z y x t ββπεγγπε故()()23222202322222222220sin 114114θββπεββπε--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-==rq z y x z y z y x q E t此结果表明,运动的点电荷的电场强度的大小除了与r 2成反比外,还依赖于径矢与运动方向之间的夹角θ以及电荷的运动速率v,电场强度的大小不是各向均匀的;随着电荷的运动,电场强度的这种分布以同一速度向前运动;当点电荷速度v 较小,β<<1而可忽略时,电场近似为库仑场;电荷的速度越大,电场线在yOz 平面附近的密集越高,在β→1的极限情形下,极强的电场局限在yOz 平面内,运动电荷携带这样的电场高速运动;六、运动的点电荷的磁场根据电磁场的洛伦兹变换公式,可得点电荷匀速运动时空间的磁感应强度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='=-='-=='=y y z z z y x x E c v E c v B E c v E c v B B B 22220γγ写成矢量表达式为E v cB ⨯=21该式表明,点电荷匀速运动时,空间的磁场也是随时间变化的,它总是垂直于速度矢量和电场矢量所决定的平面;磁感应线是一些以电荷运动轨迹为轴的同心圆;在t=0时刻点电荷恰好处于S 系原点时,磁感应强度的大小为()()232222200sin 1sin 14θβθβπε--==c v r q B t电场与磁场是相互联系的,真空介电常数ε0与真空磁导率μ0之间的关系为2001c=⋅με 于是()()23222200sin 1sin 14θβθβπμ--==r qv B t与电场线的分布对应,磁感应线也在yOz 平面附近较为密集;电荷的速度越大,磁感应线在yOz 平面附近的密集程度越高;随着电荷的运动,磁感应强度的这种分布以同一速度向前运动;当电荷运动速度较小,β<<1而可忽略时,磁感应强度的分布为200sin 4r qv B t θπμ==写成矢量表达式为24r r v q Bt⨯==πμ这就是低速情形下匀速运动的点电荷产生的磁场的公式;作l I v qd ⋅=⋅的代换,可过渡到电流元产生的磁场的公式20d 4d rr l I B⨯⋅=πμ⎰⨯⋅=L r r l I B 20d 4 πμ因此,毕奥-萨伐尔定律是低速下的近似公式;不过若求闭合回路的磁场,对整个回路积分后,所得结果与严格的公式一致;电荷的速度越大,磁感应线在yOz 平面附近的密集越高,在β→1的极限情形下,极强的磁场局限在yOz 平面内,运动电荷携带这样的电场高速运动;。

匀速运动点电荷产生的电磁场课件

04 磁场的基本概念
磁场的定义
磁场：是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊物质，它对处于其中的磁体、电流和运动电荷施加力的作用。
磁场是由磁体或电流的周围空间中存在的一种特殊物质，它具有方向性和强弱性。
磁场是由磁体或电流的周围空间中存在的一种特殊物质，它具有方向性和强弱性，对处于其中的磁体、电流和运动电荷施加力的作用。
有大小和方向。
在国际单位制中，磁感应强度的单位是特斯拉（T），常用的单位还有高斯（G）和奥斯特（Oe
）等。
05 匀速运动点电荷产生的磁场
匀速运动点电荷的磁场分布
磁场线分布
匀速运动的点电荷会产生闭合的磁场线，其分布与电荷的运动方向和速度有关。
磁场强度
磁感线方向
磁感线的方向由右手定则确定，即右手拇指指向点电荷运动的方向，其余四指握拳，则四指的指向即为磁感线的方向。
磁场强度与点电荷的运动速度和电荷量成正比，与距离的平方成反比。
匀速运动点电荷磁场的特性
动态特性
由于点电荷在运动过程中，其产生的磁场也在不断变化。
相对性
与相对论原理类似，匀速运动的点电荷产生的磁场也具有相对性，即观察者的参考系不同，所观察到的磁场也会有所不同。
方向性
磁场具有方向性，即磁场线总是从正电荷指向负电荷或无穷远处。
匀速运动点电荷产生的电磁场课件
目录
• 引言 • 点电荷的电场 • 匀速运动点电荷的电场 • 磁场的基本概念 • 匀速运动点电荷产生的磁场 • 点电荷电磁场的综合分析
01 引言
主题介绍
01
匀速运动点电荷产生的电磁场是电磁学中的一个重要概念，它涉及到电场和磁场的基本性质以及它们之间的相互作用。

13-6 匀速运动点电荷的磁场

一个电荷产生的磁场
dN = nsdl
+ q
v v v dB µ0 qv × er ˆ B= = 2 dN 4π r
一个电荷产生的磁场
方向：方向：垂直于
r v和
v v v dB µ0 qv × er ˆ B= = dN 4π r2 r 确定的平面， r 确定的平面，遵守右手螺旋定则
大小
µ0 qv sin θ B= 2 4π r
§13.8 利用安培环路定理求磁场的分布
例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。求无限长圆柱面电流的磁场分布。
R
系统有轴对称性，系统有轴对称性，解圆周上各点的 B 相同时过圆柱面外P r > R 时过圆柱面外点做一圆周
r
I
L
0
∫ Bcosθdl = B dl = B2πr = µ I ∫
v v −µ0 I L B⋅ dl = L 2πr rdϕ ∫ ∫
= −µ0I
µ0 I
2πr2
I v r dϕ L
v v′ B r
θ
环路中不包围电流
v dl
v B 1
B1 =
µ0 I
2πr 1
B2 =
对一对线元来说
v v v v B1 ⋅ dl + B2 ⋅ dl
= Bdl cosθ1 + B2dl cosθ2 1 µ0 Irdϕ µ0 Ir2dϕ 1 = − =0 2πr 2πr2 1
1 2
µ0 I [θ + (−θ )] = 2π
=0
推广到一般情况
∫
说明：说明：
L
r r B ⋅ dl = µ o ∑ I内
I3
电流分布
1）安培环路定理只适用于稳恒）电流（闭合或伸展到∞ 电流（闭合或伸展到∞）； 2） I 流向与绕向成右手）内流向与L绕向成右手关系时I 为正，关系时内为正， I内流向与绕向成左手流向与L绕向成左手关系时为负；关系时为负； 3）环路上各点的磁场为所有）电流的贡献；电流的贡献； 4）磁场是有旋场）

大学物理电磁场的相对论性变换

板内：
V
S系的电场分布：板面很大电荷均匀分布
O 板两侧为对称的均匀电场
板的运动空间对称性部分破坏场强不再与板面垂直
假设：
高斯定理同理（2）纵向电场变换：
一般结论：若S系相对S‘系以-V（或V）沿X轴反方向（或正方向）运动，则
静止电荷的电场分布
运动电荷的电场分布
运动电荷对静止电荷的作用力
11-7电磁场的相对论性变换
一电场强度的洛伦仑兹变换
1、电荷的相对论不变性
氢分子氦原子
运动状态的不同电中性
同位素光谱
Байду номын сангаас
电荷的相对论不变性在不同的参照系内，同一带电粒子的电量不变。
问题：如何求一个运动电荷的电场强度及对其它电荷的作用？
2 电场强度的洛伦仑兹变换
Y
Y`
S
S`
关系？
x x’
（1）横向电场静系S’: 板外：
O 相对论的速度变换式
的受力
电场力
磁场力磁感应强度
说明了电场和磁场的相对性及电磁场的统一性
三电场和磁场的洛伦仑兹变换系：
S系： O （，在系中静止）
例：计算匀速运动的点电荷的电场。为讨论方便，设一个点电荷静止地置于系的原点，且时刻S系的原点O与层迭，则
q
洛伦仑兹变换，
时刻，有
结论：在S系中的观测者O看来，运动电荷的电场仍沿以点电荷的瞬时位置为起点的矢径方向，只是该电场相对于O已不再是球对称的了。
q
二电场力的洛伦仑兹变换相对论力的变换式：

§8-4毕奥-萨伐尔定律

§8-4 毕奥—萨伐尔定律电场叠加原理点电荷电场+任意带电体的电场磁场叠加原理电流元的磁场+任意载流导体的磁场寻找磁场与场源的关系困难在于没有孤立的电流元毕奥、萨伐尔、安培等人对电流周围的磁场进行了大量研究，由拉普拉斯概括为毕奥萨伐尔定律.?IP *rlI d B d θlI d rBd 一、毕奥—萨伐尔定律电流元在空间任一P 点产生的磁场dB 与r 、⎝有关把闭合电流分成许多小段,元段dl 内电流密度与同向,乘积称为电流元.jdl dB 的大小2d sin d I l B k rθ=dB 的方向垂直于与组成的平面r2d d I l r B kr⨯= 毕—萨定律的数学表达式002d d 4I l r B rμπ⨯= 真空磁导率270AN 10π4--⋅⨯=μ在以Idl 为轴线的任一圆周上的各个点,由于距离r 一定,θ也一定,故dB 的大小都相同,方向处处沿圆周的切线方向.Bd PrlId πμ40=k任意载流导线在点P 处的磁感强度磁感强度叠加原理实验表明:磁感应强度B 遵从叠加原理.磁场叠加原理电流元的磁场+任意载流导体的磁场注意d B B=⎰ d B B =⎰与的区别θπμsin 42⎰⎰==lrdlI B d B例判断下列各点磁感强度的方向和大小.1、5 点：0d =B 3、7点：20π4d d RlI B μ=2045sin π4d d RlI B μ=2、4、6、8 点：02d d 4πI l r B rμ⨯= 毕奥—萨伐尔定律+++51234678lId RIPMNoa*1载流长直导线的磁场解方向均垂直于纸面向里Bd 二、毕——萨定律应用举例⎰⎰==MNrIdy dB B 20sin 4θπμ20sin 4rIdy dB θπμ=θθsin /,cot a r a y =-=rθdyy1θ2θB d θθ2sin /d d a y =⎰=21d sin π40θθθθμa IB )cos (cos π4210θθμ-=aI无限长载流长直导线的磁场aIB π20μ=PMNoI B+a1→θπθ→2I)cos (cos π4210θθμ-=aIB 1θ2θ半无限长载流长直导线的磁场aIB π40μ=21πθ→πθ→2)cos (cos π4210θθμ-=aIB PMNIB+a1θ2θ载流长直导线延长线上的磁场＊pMNIr02d d 4I l r B rμπ⨯= 载流长直导线延长线上的磁场B =0真空中,半径为R 的载流导线,通有电流I ,称圆电流.求其轴线上一点p 的磁感强度的方向和大小. 2 圆形载流导线的磁场290sin d π4d rl I B μ=解根据对称性分析0=⊥BrBd p*IxRolId⎰==ϕsin d B B B x xRpϕϕoBd rlI d x*222xR r +=rR=ϕsin ⎰=Rl rIRB π203d π4μrRrl I B x2d π4d μ=2/32220)(2R x IR+=μ圆形载流导线的磁场分布RIB 20μ=2）圆电流中心的磁场1）若线圈有N 匝圆电流轴线上的磁场3）半个圆电流中心的磁场RIB 2210μ=2/32220)(2R x IRB +=μ2/32220)(2R x IR B +=μN 讨论例3oI2R 1R *1010200π444R IR IR IB μμμ--=Ro I例2RI B 2410μ=O 点的磁感应强度方向垂直纸面向里选垂直纸面向里为正方向例4 两根导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并在很远处与电源相连,求环心O 的磁感应强度.解: O点的磁感应强度为1、2、3、4、5段载流导线在O点产生的磁感应强度的矢量和：O点在3和4的延长线上, 5离O点可看作无限远,故:,设：1圆弧弧长l1====2圆弧弧长l,2====圆的周长为l故设为导线电阻率, S为截面积R1、R2分别为1导线和2导线的电阻, R1= I2R2= V AB, 因此B0= 0显然I1R++++++++++++++p *3载流直螺线管的磁场一长为L , 半径为R 的载流密绕直螺线管，总匝数为N ，电流I . 求管内轴线上的磁感强度.2/322202）（R x IRB +=μ解由圆形电流磁场公式o xxd x距p 点x 处取长为dx 的元段，其上有ndx 匝线圈，相当于dI=nIdx 的圆电流。

14稳恒磁场习题思考题

习题1414-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I IB R Rμθμπ==，方向：垂直纸面向外；直导线在O点的磁感应强度：000020[cos30cos(150)]4cos602II B R Rμππ=-=，方向：⊗；∴总场强：01)23IB Rμπ=-，方向⊗。

14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。

解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2032222()I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20132222[()]2P I R B a R x μ=++，右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20232222[()]2P I R B aR x μ=+-，1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向左，∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=2330222222[()][()]222I R a a R x R x μ--⎧⎫++++-⎨⎬⎩⎭；（2）因为P B 随x 变化，变化率为d Bd x，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。

对B 求一阶导数：d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭当0x =时，0d Bd x=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。

对B 求二阶导数：22()d d B d B d x d x d x==222057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪+++++-+-⎪⎪⎩⎭当0x =时，202x d B d x==222072223[()]2a R I R a R μ-+，可见，当a R >时，2020x d Bd x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值，当a R <时，2020x d Bd x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，当a R =时，2020x d Bd x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。

变化的电磁场之匀速直线运动的电荷产生的位移电流和磁场

推导的磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律推导的结果相同。
取圆的边界作为回路，回路上磁场大小都相同，根据全电流定律
ID
q 2
(z2
a2v a2 )3/2
L1
H
ds
I
I
由于传导电流I = 0，可得位移电 D流与磁场强度的关系H2πa = ID，
磁感应强度为
B
0 H
0qv
4π
(z2
a a2 )3/ 2
ID
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d D
dt
q [ 2
z2 a2 (v) z2 (v) / z2 a2
位移电流与距离
和圆的半径有关。
z2 a2 ]
{范例12.8} 匀速直线运动的电荷产生的
位移电流和磁场
如图所示，点电荷q以速度v向O点运动，电荷到O点的距离为 z。以O点为圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直，试计算通
过此圆面的电位移通量和位移电流。证明：根据全电流定律
{范例12.8} 匀速直线运动的电荷产生的位移电流和磁场
如图所示，点电荷q以速度v向O点运动，电荷到O点的距离为 z。以O点为圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直，试计算通过此圆面的电位移通量和位移电流。证明：根据全电流定律推导的磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律推导的结果相同。
E
q
2 0
( |
z z|
v q
θ φz
r
aO Rz
根据毕奥-萨伐尔定律可得运动电荷的磁感应强度
B
04qπvr3根r 据位移电流和毕奥-萨E
大小为 B 0qv sin 0qva 伐尔定律求得运动电荷的
4πr 2
4πr 3
磁感应强度完全相同。

电磁学运动电荷的电场

x' x
结论： E x E x , E y E y , Ez Ez
1
1 v c
2
2
纵向场强不变，横向场强增加到倍。
3
匀速直线运动点电荷的电场：
E
z
1 2 ˆ r 40 r 2 (1 2 sin2 ) 3 2 E Q
P
若 v c 得
r
E
Q 40 r
2
ˆ r
Q v
是 r 和 v 的夹角注意：
x
低速情况回到库仑定律。
4
E
1 2 ˆ r 2 2 2 32 40 r (1 sin ) Q
E 0,
Q 2 ( 1 ) 2 40 r
Q +
Q 1 E 2 40 r 2 (1 2 )1 2
变换到S系，为
Fx Fx qEx F y F y qE y Fz Fz qE 6z
电荷间的相互作用：
静
源电荷
F qE
q静
F qE F qE
动
F qE qv B
洛仑兹力
q动
7
v
E 2 E0,
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电场对运动电荷的作用力电场对运动电荷q的作用力（电力）,与该电荷的运动速度无关。即 F qE
用特例说明： S参考系：无磁场； q运动。电场（ Ex,Ey,Ez ）；
S'(q静止)参考系：
E Fx qE x Ex x qE x E F y qE y E y y qE y E z Fz qE z Ez qEz

各向同性介质中点电荷的电磁场

各向同性介质中点电荷的电磁场山东省单县第一中学紫韵（朱叶）运动电荷的电磁场，以前有人讨论过，但都是以定时场来表达的，虽然有人用过运动的变时场来表达过，如文献【1】1、【2】2、【3】3，但那也是直接用爱因斯坦的相对论理论来表达的，而使用传统时空观表达的还没有，本文拟对此作一尝试并对比、探讨。

本文假设所讨论的介质（真空）为各向同性介质，介质的介电常数为ε，磁导率为μ，介质中光的传播速率为εμ1=c ，并不考虑色散、吸收和散射等情况。

场电荷带电量为Q 。

一、相对介质静止时的电磁场介质与电荷都为静止或者同时在做匀速运动时，点电荷Q 的电场由库仑定律得到r q04πεφ=，r r r Q E241πε= 因电磁场（波）的传播速度只与介质有关，与场源（此处即点电荷）无关，故其等值面为球面，不同的等值面之间，是同心圆的关系，且在有限时间内无穷远处的地方不可能产生场强。

在实验室球坐标系下的电场表达式，若记⎩⎨⎧<≥=)0( 0)0( 1)(UnitStep x x x 则E 可表示为]-UnitStep[4102r t t c rr r Q πεE -=）（时间t 的计时，应该从点电荷产生时算起。

在大于ct 处的场强，因为电磁作用尚未传递过来，所以场强为零，测试电荷在此处就不可能受到电场力。

但随着时间的推移，t 的增大，ct 必将大于此一有限的具体值r ，而使其受到电场力。

若假设点电荷在0t 为负无穷大时即存在，则空间处处都存在电场，于是有412rr r Q E πε=图表 1 场强等值面图（使用mathematica 计算得到，本文所有程序在windows xp 平台mathematica7.0下运行通过）二、相对介质运动时的电磁场现在考察0=t 时刻产生的点电荷相对于介质以速度v 运动。

其中，这又有两种情况，一是介质静止于实验室坐标系，二是点电荷静止于实验室坐标系。

现在分别考虑。

（一）场源运动此时，场源点电荷的位置不再固定，其产生的电磁场的等值面也应该不再是同心的球面。

8第八讲运动电荷的磁场、磁场的高斯定理和安培环路定理

r r r r B = B1 + B2 + B3 B3 ≠ 0 r r r B1 ← I1 B2 ← I2 B3 ← I3
r r B1 ⋅ dl = µ0 I1
但回路积分：但回路积分：
∫
L
∫
L
r r B2 ⋅ dl = − µ0 I 2
∫
L
r r B3 ⋅ dl = 0
2.安培环路定理是说明磁场基本性质的方程， 2.安培环路定理是说明磁场基本性质的方程，即安培环路定理是说明磁场基本性质的方程磁场是涡旋场。 ●磁场是涡旋场。
r r r v
4
§19-5 磁场的高斯定理和安培环路定理 19一、磁通量，磁场的高斯定理磁通量，
磁通量—穿过某一面积的磁力线数目。磁通量穿过某一面积的磁力线数目。穿过某一面积的磁力线数目 r r
r r dS B
dΦm = B⋅ dS r r Φm = ∫ B ⋅ dS = ∫ BcosθdS
L
L内
→ B ⋅ 2π r = µ 2 I
r
L
µ2 µ1
12
µ2 I B= 2π r
r B
( R ≤ r < ∞)
圆柱体内由电流分布的对称性知，由电流分布的对称性知，导体柱内磁场也为轴对称分布。分布。 I 在导体内作一半径r的环路的环路L，在导体内作一半径的环路，应用安培环路定理：环路定理：
S S
S
磁场的高斯定理穿过任一闭合曲面的磁通量为零: 穿过任一闭合曲面的磁通量为零:
∫∫
S
r r B⋅ dS = 0
S
N
依据—磁力线是闭合线依据磁力线是闭合线
5
例：半径R的无限长圆柱形导体置于真空中，电流 I 半径的无限长圆柱形导体置于真空中，沿截面均匀分布，求通过阴影区的磁通量。沿截面均匀分布，求通过阴影区的磁通量。取如图面元ds=ldr，且ds与B同向，则同向，解：取如图面元，与同向

匀速运动点电荷的电场

匀速运动点电荷的电场
如今，研究点电荷在匀速运动下的电场是物理学里一个重要的课题，对此有着深入探究的好奇心。

下面我们将对点电荷在匀速运动下的电场做一个具体的讨论。

首先，无论点电荷处于什么样的状态，在它周围永远存在一个由它产生的电场。

在点电荷匀速运动的情况下，根据电磁耦合方程，可以得出关于点电荷在匀速运动下产生的电场的表达式。

假设这个电场中心位置不随点电荷的移动而改变，则点电荷的电场是相同的，且只和点电荷的移动速度有关。

其次，在点电荷在匀速运动的情况下，拉普拉斯定理告诉我们，它在匀速运动的情况下会产生旋转的电场。

而且，由于电磁耦合规则的关系，当测试点电荷在相同速度下运动时，电场的强度也是相同的。

再次，无论点电荷如何移动，在其附近一定存在一个由它产生的电磁场，只要点电荷的电场不改变，那么就存在电动势。

而，点电荷在某一方向上运动时，它的运动会使其电磁场的静态强度发生改变，从而产生一个动态电磁场。

最后，由于点电荷在匀速运动时可产生恒定的电场，利用这一特性可用于很多科技领域，例如军事，航空航天等等，都可运用点电荷在匀速运动时产生的电场来达到更好的效果。

因此，研究点电荷在匀速运动时产生的电场还是非常重要的。

总结来看，点电荷在匀速运动的情况下一定会产生一个电场，其电场强度主要取决于点电荷的移动速度，利用这一特性可以大大提高科技发展的效率。

匀速运动点电荷的电磁场求法探讨

ｇ的作用力为厂＝
一ｒ
写成分量式并应用洛仑兹变换得
＝
一
ｒ
蔫
＝
＝
ｒ
＋
＋
厂，
（）２
南
／
１一寻
ｕｙ
速度变换式为
（）３
将（）３１、（）式代人（）式，整理得２
・
２・６
维普资讯
Байду номын сангаас
力的变换式和库仑定律两种方法对匀速运动点电荷的电磁场问题进行了讨论。
［关键词］狭义相对论；洛仑兹变换；标势；矢势；库仑定律
［中图分类号］０４４２
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１８１Ｘ２０）５Ｏ２．０ — ７（３０一Ｏ５３０８／７０
兰
ｒ
罴学
（）４
再由洛仑兹公式：ＱＱ茜云＋ ×
即Ｑ × 蚕三云茵耋兰＝Ｑ｛三三＋茎荔；妻三
ｙ丽
Ｂ＝０
（）５
｛ｙ＝
ｙ
Ｂ＝一号
Ｃ
Ｂ＝
Ｃ
Ｅ
通过以上讨论，们对相对论变换以及在这种变换下各个物理量之间的相互关系有一个深刻的认识，而我从更好地掌握匀速运动电荷电磁场问题的求解方法。
在教学实际中常常碰到一类物理问题可以从不同角度、不同方法进行讨论，这样可以开阔思路，激发学生的学习兴趣，取得良好的教学效果。本文对匀速运动点电荷的电磁场的解法进行不同角度的讨论。

电动力学复习总结第一章电磁现象的普遍规律2012答案

第一章电磁现象的普遍规律一、填空题 1.已知介质中的极化强度Z e A P =，其中A 为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度=P ρ ；与P 垂直的表面处的极化电荷面密度P σ分别等于和。

答案: 0, A, -A 2.已知真空中的的电位移矢量D =（5xy x e +2z y e ）cos500t ，空间的自由电荷体密度为。

答案: 5cos500y t3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。

答案: B t∂-∂ 4.介电常数为ε的均匀介质球，极化强度z e A P =A 为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案0,cos A θ 5.一个半径为R 的电介质球,极化强度为ε，电容率为2rr K P =,则介质中的自由电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 .答案: 20r K f ）（εεερ-= 20r r K εε- 二、选择题1.半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为M ，则介质球的总磁矩为A ．M B. M R 334π C.343R M π D. 0 答案:B2.下列函数中能描述静电场电场强度的是A ．z y x e x e y e x ++32 B.φθe cos 8C.y x e y e xy 236+D.z e a （a 为非零常数）答案: D3.充满电容率为ε的介质平行板电容器，当两极板上的电量t q q ωsin 0=（ω很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：A ．t dC q ωωεcos 0 B. t dC q ωωsin 0 C. t dCq ωωεsin 0 D. t q ωωcos 0 答案:A4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的a 为非零常数A ．r e ar (柱坐标) B.y x e ax e ay +- C. y x e ay e ax - D.φe ar答案:A5.变化磁场激发的感应电场是A.有旋场,电场线不闭和B.无旋场,电场线闭和C.有旋场,电场线闭和D.无旋场,电场线不闭和答案: C6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度ρ满足A.J ⋅∇=ρB.0=∂∂t ρC.0=ρD. 0≠∂∂tρ 答案: D7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:A.只有法向分量;B.只有切向分量 ;C.表面外无电场 ;D.既有法向分量,又有切向分量答案:A8.介质中静电场满足的微分方程是 A.;,0tB E E ∂∂-=⨯∇=⋅∇ ερ B.0,=⨯∇=⋅∇E D ρ; C.;0,0=⨯∇=⋅∇E E ερ D.;,tB E D ∂∂-=⨯∇=⋅∇ ρ 答案:B9.对于铁磁质成立的关系是A.H B μ=B.H B 0μ=C.)(0M H B +=μD.)(M H B +=μ答案:C10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ⋅21; C. ρφ D. E D ⋅ 答案:B三、思考题1、有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。

§5 不同参照系之间电磁场的变换

vu x a a x 1 2 x c
3 3
vu 3 ax a 1 2x x c
2
3
u v vu x 2 ay 2 y ay ax 1 2 c vu x c
u v vu y a y a 2 a 2 1 2x y x c vu x c
比较 f y 的表达式，有：
同理，对 f z 重复上述过程有：
E E y v Bz y
Bx Bx v Bz Bz 2 E y c
Ez Ez vBy
v B By 2 Ez y c Ex Ex
f q E v B

——广义洛仑兹力公式。
按照狭义相对论，不同惯性系之间的时空坐标变换是洛
仑兹变换，相对性原理要求从一个惯性系变换到另一个惯性系时基本物理规律的形式保持不变，即：基本物理规律
的洛仑兹协变性。
（这里所说的基本物理规律是指麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式）
dt dp y f y dt
dp z fz dt dp f z z dt
v f x f x 2 uy f y uz f z c vu x
vu f y f y 1 2x c
vu f z f z 1 2x c
§5 不同参照系之间电磁场的变换
一、不同参照系内对电磁现象的观测
1. 电荷
y
K
y
K
v
② ①
z
o
q
x
q
o

匀速运动点电荷产生的电磁场

主要内容:
▪ 求匀速运动点电荷形成的电场 ▪ 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 ▪ 求匀速运动点电荷形成的磁场 ▪ 验证磁场的高斯定理 ▪ 导出毕奥-沙伐尔定理
在做具体工作之前引进一个基本假设：
电荷量不变原理：
一个系统中总电量，在不同的惯性系中观察都是一样的
对这条基本假设的几点看法：
1.通常气体宏观上是显电中性的，假如
E
q 1
4 0
a2
r
2
3
(1b)2
rˆ
aq 1
4 r2 0
rˆ
aE
0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强为原来的a倍。
用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点电荷所激发电场的差异：
二.验证静电场高斯定理
E•
ds
2
0
d
0
4
0
q
a2
R2 sin
R2 1bSin2
3 2
d
0
2
0
q sin
a2 1bSin2
带电物体的总电量与它的运动状（即参考系的选择）有关的话，那么我们知道气体中例如氧气中的质子与电子的运动状态不相同的，也就是说氧气分子对外是有电性的，若说这个电量很小不易被观测到，那么一个系统中的大量分子的总和一定是容易测到的，所以说明带电物体的总电量与其运动状态无关。
2.我们知道电荷有一个很重要的特点：电荷是量子化的。如果说电荷总量与其运动状态有关的话，那么我们知道在狭义相对论中标量一般是在原惯性系K中测量，乘以或除以一个因子或者其它形式。总之一般都是以V为自变量的连续函数，这与电荷是量子化的相对矛盾。所以总电量应该是一个与两惯性系相对速度V无关的常量，即总电量的不变原理。

大学物理第12章

L
0
( L围)

1
I3
L
说明：关于电流符号的规定：当电流流向与回路 L 的绕向成右手螺旋法则时，I > 0 ；否则，I < 0 。
“L 所围”指闭合的恒定电流与 L 的相套合。
( L围)
I 2I
I1 0 , I 2 0
1
I2
定理是 Boit-Savert 定律的推论，但证明过程比较复杂。一般可以借助无限长直线电流产生的磁场，对定理加以说明。积分式中的 B 在路径 L 取值，它是所有电流（无论是否被 L 所围）共同产生的场，只是积分的结果仅与被 L 所围电流有关。定理只适用于真空中恒定电流产生的磁场。
第十二章
磁场和它的源
运动电荷相互作用是靠磁场传递的，这意味着两方面含义：
运动电荷激发磁场；磁场对运动电荷作用——磁力。恒定电流是运动电荷的最典型的例子。本章主要就是讨论恒
定电流所激发的磁场——恒定磁场的规律，并进一步讨论这种
磁场的性质。对磁场性质的研究，运用的是研究静电场的方法，即研究：场对闭合面的通量 B dS
磁感应线的特点： 1. 无头无尾的闭合曲线。 2. 任何两条磁感应线不相交； 3. 磁感应线的环绕方向与电流方向服从右手螺旋定则。
右手螺旋定则：（1）大拇指—电流方向，四指弯曲方向—磁感应线的环绕方向；（2）四指弯曲方向—圆环电流方向，大拇指—圆环轴线上磁感应线的方向。
4. 磁通量
磁通量：d m B dS m B dS
第十二章磁场和它的源
Magnetic Field
本章主要内容
§12-1 磁力与电荷的运动

单个运动电荷产生的磁场

单个运动电荷产生的磁场
电荷的运动，产生了变化的电场；均匀的电场变化，才能产生磁场。

1.
因此，电荷必须有规律的运动，才能产生有规则的电场，如此方面产生稳定的磁场。

2.
以上可以理解为一种相对论效应：
举个例子：有两根平行导线静止且带有相同的线电荷密度，它们将产生沿垂线方向的库伦静电力。

再举个例子：这两根导线沿平行方向匀速运动，它们的线电荷密度比静止参考系中的更大，因而库伦力更大。

与此同时，运动产生的电流将产生磁场，这种协变性正是电磁场最重要的性质之一，也正是狭义相对论提出的动机。

提示：以上是人类长期观察得到的观察结果，人类通过长期观察，无一例外每次都是这个结果，就把该现象定为事实了。

电场与磁场之间的关系也是长期观察得到的事实。

电荷的运动自屏蔽效应-电动力学研究会

电荷的运动自屏蔽效应刘显钢北京师范大学本文摘要：本文用Maxwell 方程组导出了自由电荷的电场电荷关系，发现了电荷的运动自屏蔽效应，并利用该效应对库仑定律和洛仑兹力公式进行了修正关键词：运动自屏蔽效应，库仑定律，洛仑兹力本文的目的就是利用Maxwell 方程组推导运动电荷与唯一地由该电荷产生的电场的对应关系，并由这种关系展开进一步的分析。

如果在考察某个运动电荷的空间中存在着其他电荷或电场，或者该运动电荷受到其他外力的作用，那么由Maxwell 方程组描述的电场就一定不是唯一地由该运动电荷产生的，其中必定包含其他电荷、电场、外力的贡献。

因此，求运动电荷与唯一地由该电荷产生的电场的对应关系，只能考察在自由空间中运动的自由电荷，即匀速运动的电荷。

一、自由电荷的电磁波方程我们考察：质量为m 、带电量为q 的电荷q 作为点物质，当它以匀速υ在真空中运动时，它对空间自由电荷密度ρ和电流密度j的贡献为：)(t r q υδρ-= )(t r q j υδυ -=其中：⎩⎨⎧≠-=-=-0001)(t r t r t r υυυδ因此，在真空中，唯一考虑自由电荷q 贡献的Maxwell 方程组为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+-=⨯∇=∙∇∂∂-=⨯∇-=∙∇tD t r q H B t BE t r q D)(0)(υδυυδ (1.1)其中：D为电感应强度（电位移）矢量，E 为电场强度，B 为磁感应强度，H 磁场强度，满足关系：E D 0ε= H B 0μ=其中：0ε为真空介电常数，0μ为真空磁导率，它们与光速c 存在关系：01εμ=c二、自由电荷的电场方程下面，我们根据上面的Maxwell 方程组，推导匀速运动的电荷所产生的电磁场的电场强度E所满足的电场电荷关系方程（电场方程）。

由Maxwell 方程组(1.1)中的方程：tB E ∂∂-=⨯∇可以得到方程： )()(B tE⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇ (2.1)由∇ 算符的运算公式： A A A 2)()(∇-∙∇∇=⨯∇⨯∇和Maxwell 方程组(1.1)中的方程： )(t r q D υδ-=∙∇以及关系： E D0ε=可以得到方程(2.1)等号左边：E E E 2)()(∇-∙∇∇=⨯∇⨯∇E t r q20)(∇--∇=υδε由Maxwell 方程组(1.1)中的方程： tDt r q H ∂∂+-=⨯∇)(υδυ以及关系： E D0ε=H B0μ=因为是匀速运动，所以有： 0=∂∂t υ)()(t r t r tυδυυδ -∇∙-=-∂∂[注] 可以得到方程(2.1)等号右边：))(()(000tE t r q t B t ∂∂+-∂∂-=⨯∇∂∂-εμυδυμ 220000)()(tEt r t q t t r q ∂∂--∂∂-∂∂--=εμυδυμυυδμ 22000)(tEt r q ∂∂--∇∙=εμυδυυμ 对方程(2.1)等号两边各项进行移项整理，并利用关系：2001c =εμ，得到自由电荷的电场方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇∙--∇=∂∂-∇)()(1202222t r c t r q E t c E υδυυυδε(2.2)三、电荷的运动自屏蔽效应为了便于理解，我们先在笛卡儿坐标系中利用自由电荷的电场方程来讨论运动对自由电荷的电荷和电场的关系的影响。

匀速运动点电荷产生的电磁场

电磁场的相对论变换

匀速运动点电荷产生的电磁场课件

13-6 匀速运动点电荷的磁场

大学物理 电磁场的相对论性变换

§8-4毕奥-萨伐尔定律

14稳恒磁场习题思考题

变化的电磁场之匀速直线运动的电荷产生的位移电流和磁场

电磁学运动电荷的电场

各向同性介质中点电荷的电磁场

8第八讲 运动电荷的磁场、磁场的高斯定理和安培环路定理

匀速运动点电荷的电场

匀速运动点电荷的电磁场求法探讨

电动力学复习总结第一章 电磁现象的普遍规律2012答案

§5 不同参照系之间电磁场的变换

匀速运动点电荷产生的电磁场

大学物理第12章

单个运动电荷产生的磁场

电荷的运动自屏蔽效应-电动力学研究会

大学物理电磁场的相对论性变换

8第八讲运动电荷的磁场、磁场的高斯定理和安培环路定理

电动力学复习总结第一章电磁现象的普遍规律2012答案