匀速运动点电荷产生的电磁场
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2 2
r 所以k系中作用力的最终表达式:
F F F
x
'
x y z a x vt y 2 z 2
'2 '2 '2 2 2
aq1q2 4 0 aq1q2 4 0 aq1q2 4 0
x vt 2 2 a x vt y 2
二.验证静电场高斯定理
4 a R 1b Sin q sin q d cos d 2 a 2 a 1b Sin 1
0 0 2 2 2 0 3 2
E ds d
2
q R sin
2
d
0
2
2
0
3 2
由狭义相对论力的变换公式:
vu v F 1 F u F c c F F vu vu 1 1 c c v ' F 1 vv ' c aF 1 F vu c 1 c v ' F 1 c 0 F vu 1 c
带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的， 所以说明带电物体的总电量与其运动 状态无关。
2.我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系K中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以V为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度V无关的常量，即总电 量的不变原理。
ˆ r
所以其旋度为:
E
3qb sin cos ˆ0 4 a r 1 b sin
2 3 2 5/ 2 0
这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理!
三.匀速运动点电荷的磁场
事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁 场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑 兹力检测出来,所以必须让q2动起来！
2
3/ 2
' q q z ' F 0 4 r '
1 2 z 3 0
下面进行q2的速度在两个惯性坐标系中的转 换,从而求出在k系中的作用力
ux v2 ; u y uz 0
由狭义相对论速度变换公式:
v v u ;u u 0 vv 1 c
' 2 1 ' ' x y z 1 2 2
主要内容:
求匀速运动点电荷形成的电场 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 求匀速运动点电荷形成的磁场 验证磁场的高斯定理 导出毕奥-沙伐尔定理
在做具体工作之前引进一个基本假设：
电荷量不变原理：
一个系统中总电量，在不 同的惯性系中观察都是一样的
对这条基本假设的几点看法：
1.通常气体宏观上是显电中性的，假如
1 2 12 2 2 2 2 3/ 2 0
1 2 21 2 2 2 3/ 2 0
12
上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的
由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式:
aq ( x vt )i yj zk E 4 a ( x vt) y z
设当k系与k’系的原点重合时t=t’=0
在k’系中可直接运用库仑定律:
qq x ' qq y ' qq z ' F ;F ;F 4 r 4 r 4 r
' ' 1 2 1 2 1 2 x '3 y '3 z 0 0 0
'
'3
根据狭义相对论力的变换公式
v F uF
若在一个惯性参考系k中,q2是静止的，而q1 相对k系匀速运动，在k系中若要求q2对q1的 作用力则直接用库仑定律即可；若要求q1对 q2的作用力，可以取另一个关于q1静止的惯 性参考系k’系，先在k’系中求出有关的 物理量，然后用狭义相对论中的惯性系k与 k’系之间的变换公式，将k’系中的物理 量转化到k系中，这样就可以求出在k系中q1 对q2的作用力了，并可以进一步求得匀速运 动的点电荷所成的电磁场,并可检验静电磁 场中的一些定理在这种情况下是否成立。
' q q aq q v v t x ' F 4 r ' 4 a v v t y
1 2 1 2 2 1 x 3 2 2 2 0 0 2 1
2
3/ 2
' qq y qq y ' F 4 r ' 4 a v v t y
1 2 1 2 y 3 2 2 2 0 0 2 1
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来的a的平方分之一。 2. θ=π/2
E
q
2 0
1 2 3 2
4 a r (1b)
r ˆ
aq
1 2
4 r
0
r ˆ aE
0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强 为原来的a倍。
用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：
x
Fx
'
c
2
1
vu
c
2
; Fy
'
F
y
1 vu
c
2
v
x
2
c ;F'
z
2
F
z
1 vu
c
2
v c
x
2
2
x
1
1
由上述公式可得:
F F ;F
' x x y
F
'
y 2
v 1 c
1
;F
z
F
'
z 2
2
v 1 c
2
注:为书写方便下文令
v b ;a c
2 2
v 1 c
2
2
0
0
bcos a
2 2
3 2
q 2 a b
2 0 3 2
1
dx
1 x a b
2 2 3 2
1
q 2
0
பைடு நூலகம்
b
arctana b
arctana b
cosd
q
0
b
sin
arctana b 0
q
0
b
b
q
0
可见,以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的,其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样,详见胡友秋等编 著的电磁学p27页。
z2
3 2
y
a a
y
2
x vt x vt
2
y2 z2 z y z
2 2
3 2
z
2
2
3 2
所以k系中作用力的矢量表达式:
aq q ( x vt )i yj zk F 4 a ( x vt ) y z q q ( x vt )i yj zk F F 4 ( x vt ) y z
匀速运动点电荷产生的电磁场
指导老师： 莫建勇
孙老师和助教老师 pb05203125
问题的提出：
库仑定律只告诉我们一个静止的 点电荷的成场规律,那么当点电荷 匀速运动时的成场规律怎样呢? 怎样求解一个匀速运动点电荷对 另一个点电荷的作用力呢？回答 是可以运用狭义相对论的理论来 进行求解.
基本想法:
1 0 2 2 2 3 2 2
匀速运动点电荷的电场
把电场用球坐标表示：
E
q
2 2 0
1 2 3 2
4 a r (1bsin )
r ˆ
从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊 的位置:
1.θ=0
E
4 0 a r
2
q
1
2
1 ˆ r E0 2 a
2.电子激发的电场
ˆ r 2r
由前面得到:
aq ( x vt )i yj zk E 2 2 2 2 4 a ( x vt) y z
1 0 3 2
因为电流是稳恒的,所以不妨取t=0
a dE 4
0
xi yj zk dx a x r
0 2 2 2
3 2
0
所以在这种情况磁场高斯定理是成立的
五.毕奥-沙伐尔定理的证明
有一根无限长通电直导线，设 其电子与离子的电荷线密度为λ, 求其距导线r处A的电磁场
该电场是由静止的离子和运动的电子 激发电场的合成
1.离子激发的电场
因为离子是静止的,由静电场的高斯定理:
E1 2rl l E1
二.检验静电场环路定理：
E 1 r sin
E
sin
E
r E 1 1 Er ˆ r sin r 1 rE E r ˆ r r 1 1 Er ˆ 1 Er ˆ r sin r
' ' 1 ' ' ' 1 x x 2 x 2 x ' ' 1 x 1 x 2 2 2 1 y 2 1 2 y ' y 2 1 x 2 2 1 z 2 z ' 1 x 2
'
x
所以得到k系中的作用力
aq q v v t F 4 a v v t y
1 2 2 1 x 2 2 2 0 2 1 2
3/ 2
vv aq q y 1 c F 4 a v v t y
1 2 1 2 2 y 2 2 2 0 2 1
2
3/ 2
F 0
z
取t=0时刻来说明问题
vv aq q 1 c F 0; F ;F 0 4 y
3.在精度较高的电子荷质比实验中，高
速运动的带电粒子的荷质比的测定实 验证明符合如下关系式：
e m
e m
0 0
1
v c
2
;m 2
m 1 v c
0
2 2
这就说明电子的总电荷不随其运 动状态改变而改变.
一 匀速运动点电荷的电场
在惯性系k中, q2是静止的，而q1相 对k系以v沿x轴正向运动，取另一 个关于q1静止的惯性参考系k’系
F B q2 (v2 B)
通过比较得到:
aq1 v1 B 2 2 4 0 y c
对一般情况有:
1 B 2 vE c
由前面得到的电场表达式得到磁场:
1 q1v sin ˆ B 2 3 2 2 c 4 2 0 a r (1 b sin ) 2 0 q1v sin ˆ 3 4 a 2 2 (1 b 2 r sin ) 2
x v t ; y y; z 0
2
Lorentz Transformations得到:
x
'
x v1t v 1 2 c
'2 2
av2 v1 t ; y y; z 0
' '
r
'
x y z
'2
'2
a v2 v1 t y
2 2 2
2
同前面方法得到k’系中的作用力
1 1 b
2
所以得到k系中的作用力
F
x
qq x
1 2 0
'
4 r
'3
;F
y
aq q y
1 2
'
4 r
0
'3
;F
z
aq q z
1 2
'
4 r
0
'3
Lorentz Transformations得到: x vt ' ' ' a x vt ; y ; y x z z v 1 c
2 2 2 3/ 2
由对称性,电场其垂直于导线:
a r E2 dx 2 2 2 3/ 2 4 0 a x r r 1 dx 3 / 2 2 4 0 a 2 r 2 x 2 a r a2 2 cos d 2 2 4 0 a r 2 2 0 r
1 2 1 2 2 x y 2 z 0
若q2相对于k系是静止的,则有 (t=0)
aq q F 0; F ;F 0 4 y
1 2 x y 2 z 0
比较两种情况得到：
aq q v v F 4 y c
1 2 1 y 2 2 0
2
正是因为q2在k系中以v2沿x轴正向运动 而多出这么一项,这就是Lorentz力!又 因为:
上式即q1为在q2处激发的磁场 下面验证磁场的高斯定理
四.验证磁场高斯定理:
1 r B 1 B sin 1 B B r sin r sin r r
2 r
2
1 vq sin r sin 4 a r 1bsin
r 所以k系中作用力的最终表达式:
F F F
x
'
x y z a x vt y 2 z 2
'2 '2 '2 2 2
aq1q2 4 0 aq1q2 4 0 aq1q2 4 0
x vt 2 2 a x vt y 2
二.验证静电场高斯定理
4 a R 1b Sin q sin q d cos d 2 a 2 a 1b Sin 1
0 0 2 2 2 0 3 2
E ds d
2
q R sin
2
d
0
2
2
0
3 2
由狭义相对论力的变换公式:
vu v F 1 F u F c c F F vu vu 1 1 c c v ' F 1 vv ' c aF 1 F vu c 1 c v ' F 1 c 0 F vu 1 c
带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的， 所以说明带电物体的总电量与其运动 状态无关。
2.我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系K中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以V为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度V无关的常量，即总电 量的不变原理。
ˆ r
所以其旋度为:
E
3qb sin cos ˆ0 4 a r 1 b sin
2 3 2 5/ 2 0
这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理!
三.匀速运动点电荷的磁场
事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁 场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑 兹力检测出来,所以必须让q2动起来！
2
3/ 2
' q q z ' F 0 4 r '
1 2 z 3 0
下面进行q2的速度在两个惯性坐标系中的转 换,从而求出在k系中的作用力
ux v2 ; u y uz 0
由狭义相对论速度变换公式:
v v u ;u u 0 vv 1 c
' 2 1 ' ' x y z 1 2 2
主要内容:
求匀速运动点电荷形成的电场 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 求匀速运动点电荷形成的磁场 验证磁场的高斯定理 导出毕奥-沙伐尔定理
在做具体工作之前引进一个基本假设：
电荷量不变原理：
一个系统中总电量，在不 同的惯性系中观察都是一样的
对这条基本假设的几点看法：
1.通常气体宏观上是显电中性的，假如
1 2 12 2 2 2 2 3/ 2 0
1 2 21 2 2 2 3/ 2 0
12
上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的
由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式:
aq ( x vt )i yj zk E 4 a ( x vt) y z
设当k系与k’系的原点重合时t=t’=0
在k’系中可直接运用库仑定律:
qq x ' qq y ' qq z ' F ;F ;F 4 r 4 r 4 r
' ' 1 2 1 2 1 2 x '3 y '3 z 0 0 0
'
'3
根据狭义相对论力的变换公式
v F uF
若在一个惯性参考系k中,q2是静止的，而q1 相对k系匀速运动，在k系中若要求q2对q1的 作用力则直接用库仑定律即可；若要求q1对 q2的作用力，可以取另一个关于q1静止的惯 性参考系k’系，先在k’系中求出有关的 物理量，然后用狭义相对论中的惯性系k与 k’系之间的变换公式，将k’系中的物理 量转化到k系中，这样就可以求出在k系中q1 对q2的作用力了，并可以进一步求得匀速运 动的点电荷所成的电磁场,并可检验静电磁 场中的一些定理在这种情况下是否成立。
' q q aq q v v t x ' F 4 r ' 4 a v v t y
1 2 1 2 2 1 x 3 2 2 2 0 0 2 1
2
3/ 2
' qq y qq y ' F 4 r ' 4 a v v t y
1 2 1 2 y 3 2 2 2 0 0 2 1
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来的a的平方分之一。 2. θ=π/2
E
q
2 0
1 2 3 2
4 a r (1b)
r ˆ
aq
1 2
4 r
0
r ˆ aE
0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强 为原来的a倍。
用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：
x
Fx
'
c
2
1
vu
c
2
; Fy
'
F
y
1 vu
c
2
v
x
2
c ;F'
z
2
F
z
1 vu
c
2
v c
x
2
2
x
1
1
由上述公式可得:
F F ;F
' x x y
F
'
y 2
v 1 c
1
;F
z
F
'
z 2
2
v 1 c
2
注:为书写方便下文令
v b ;a c
2 2
v 1 c
2
2
0
0
bcos a
2 2
3 2
q 2 a b
2 0 3 2
1
dx
1 x a b
2 2 3 2
1
q 2
0
பைடு நூலகம்
b
arctana b
arctana b
cosd
q
0
b
sin
arctana b 0
q
0
b
b
q
0
可见,以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的,其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样,详见胡友秋等编 著的电磁学p27页。
z2
3 2
y
a a
y
2
x vt x vt
2
y2 z2 z y z
2 2
3 2
z
2
2
3 2
所以k系中作用力的矢量表达式:
aq q ( x vt )i yj zk F 4 a ( x vt ) y z q q ( x vt )i yj zk F F 4 ( x vt ) y z
匀速运动点电荷产生的电磁场
指导老师： 莫建勇
孙老师和助教老师 pb05203125
问题的提出：
库仑定律只告诉我们一个静止的 点电荷的成场规律,那么当点电荷 匀速运动时的成场规律怎样呢? 怎样求解一个匀速运动点电荷对 另一个点电荷的作用力呢？回答 是可以运用狭义相对论的理论来 进行求解.
基本想法:
1 0 2 2 2 3 2 2
匀速运动点电荷的电场
把电场用球坐标表示：
E
q
2 2 0
1 2 3 2
4 a r (1bsin )
r ˆ
从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊 的位置:
1.θ=0
E
4 0 a r
2
q
1
2
1 ˆ r E0 2 a
2.电子激发的电场
ˆ r 2r
由前面得到:
aq ( x vt )i yj zk E 2 2 2 2 4 a ( x vt) y z
1 0 3 2
因为电流是稳恒的,所以不妨取t=0
a dE 4
0
xi yj zk dx a x r
0 2 2 2
3 2
0
所以在这种情况磁场高斯定理是成立的
五.毕奥-沙伐尔定理的证明
有一根无限长通电直导线，设 其电子与离子的电荷线密度为λ, 求其距导线r处A的电磁场
该电场是由静止的离子和运动的电子 激发电场的合成
1.离子激发的电场
因为离子是静止的,由静电场的高斯定理:
E1 2rl l E1
二.检验静电场环路定理：
E 1 r sin
E
sin
E
r E 1 1 Er ˆ r sin r 1 rE E r ˆ r r 1 1 Er ˆ 1 Er ˆ r sin r
' ' 1 ' ' ' 1 x x 2 x 2 x ' ' 1 x 1 x 2 2 2 1 y 2 1 2 y ' y 2 1 x 2 2 1 z 2 z ' 1 x 2
'
x
所以得到k系中的作用力
aq q v v t F 4 a v v t y
1 2 2 1 x 2 2 2 0 2 1 2
3/ 2
vv aq q y 1 c F 4 a v v t y
1 2 1 2 2 y 2 2 2 0 2 1
2
3/ 2
F 0
z
取t=0时刻来说明问题
vv aq q 1 c F 0; F ;F 0 4 y
3.在精度较高的电子荷质比实验中，高
速运动的带电粒子的荷质比的测定实 验证明符合如下关系式：
e m
e m
0 0
1
v c
2
;m 2
m 1 v c
0
2 2
这就说明电子的总电荷不随其运 动状态改变而改变.
一 匀速运动点电荷的电场
在惯性系k中, q2是静止的，而q1相 对k系以v沿x轴正向运动，取另一 个关于q1静止的惯性参考系k’系
F B q2 (v2 B)
通过比较得到:
aq1 v1 B 2 2 4 0 y c
对一般情况有:
1 B 2 vE c
由前面得到的电场表达式得到磁场:
1 q1v sin ˆ B 2 3 2 2 c 4 2 0 a r (1 b sin ) 2 0 q1v sin ˆ 3 4 a 2 2 (1 b 2 r sin ) 2
x v t ; y y; z 0
2
Lorentz Transformations得到:
x
'
x v1t v 1 2 c
'2 2
av2 v1 t ; y y; z 0
' '
r
'
x y z
'2
'2
a v2 v1 t y
2 2 2
2
同前面方法得到k’系中的作用力
1 1 b
2
所以得到k系中的作用力
F
x
qq x
1 2 0
'
4 r
'3
;F
y
aq q y
1 2
'
4 r
0
'3
;F
z
aq q z
1 2
'
4 r
0
'3
Lorentz Transformations得到: x vt ' ' ' a x vt ; y ; y x z z v 1 c
2 2 2 3/ 2
由对称性,电场其垂直于导线:
a r E2 dx 2 2 2 3/ 2 4 0 a x r r 1 dx 3 / 2 2 4 0 a 2 r 2 x 2 a r a2 2 cos d 2 2 4 0 a r 2 2 0 r
1 2 1 2 2 x y 2 z 0
若q2相对于k系是静止的,则有 (t=0)
aq q F 0; F ;F 0 4 y
1 2 x y 2 z 0
比较两种情况得到：
aq q v v F 4 y c
1 2 1 y 2 2 0
2
正是因为q2在k系中以v2沿x轴正向运动 而多出这么一项,这就是Lorentz力!又 因为:
上式即q1为在q2处激发的磁场 下面验证磁场的高斯定理
四.验证磁场高斯定理:
1 r B 1 B sin 1 B B r sin r sin r r
2 r
2
1 vq sin r sin 4 a r 1bsin