2020届中考数学专题复习《一元二次方程》专题训练
中考数学复习考点知识专题训练5---用一元二次方程解决问题(基础篇)
中考数学复习考点知识专题训练05 用一元二次方程解决问题（基础）1．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．2．已知T＝（1+2m−1）÷m2+2m+1m−1．（1）化简T；（2）若m是一元二次方程m2+m﹣2＝0的解，求T的值．3．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4．某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：（1）求每次下降的百分率；（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？5．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？6．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？7．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？8．今年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%、今年该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店今年8、9月份营业额的月增长率．9．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？10．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？11．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？12．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．13．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？14．重庆大学城融创茂“海世界”决定在国庆节期间推出优惠套票．在9月20日预售“亲子两人游”套票600张和“家庭三人行”套票150张，且预售中的“家庭三人行”套票的票价是“亲子两人游”套票票价的2倍．（1）若“海世界”的预售总额不低于31500元，则“亲子两人游”套票的预售价格最少为多少元？（2）套票在出售当天推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张．由于预售的火爆，“海世界”决定将“亲子两人游”套票的价格在（1）中最低价格的基础上增加157a %，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a 元，结果“亲子两人游”套票的销售量比计划少2a %．“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相同，求a 的值．15．2020年疫情期间，某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？16．某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题：（1）设销售单价定为每千克x 元（x ≥40），月销售量为y 千克，求y 与x 之间的函数关系式；（2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？17．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为65m的篱笆提供给该贫困户，并提供以下两种方案：（1）如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF 的长度为多少？（2）如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展BF，构成矩形ADEF，篱笆由BF、EF、DE和AD构成，求BF的长．18．某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？19．2019年底，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，到2020初，新冠肺炎席卷全国，掀起一场史无前例的防疫“战斗”．（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）某小区物管为预防业主感染传播，购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了3000元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的3倍，已知购买一个B 型口罩比购买一个A型口罩多花2元．则该物业购买A、B两种口罩的单价各为多少元？20．维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒（二十只装）40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，。
2020年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程复习题 (新版)湘教版
一元二次方程小结与复习类型之一 一元二次方程的有关概念1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．5x (x －1)＋7＝5x 2－42．2017·菏泽关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0的一个根是0，则k 的值是________．类型之二 一元二次方程的解法3．一元二次方程x 2＋6x －5＝0配方后变形正确的是( )A ．(x －3)2＝14B ．(x ＋3)2＝4C ．(x ＋6)2＝12D ．(x ＋3)2＝144．选择适当的方法解下列方程：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0; (2)x 2－6x －6＝0；(3)6000(1－x )2＝4860;(4)(10＋x )(50－x )＝800；(5)3x (x －2)＝2(2－x )．类型之三 一元二次方程根的判别式5．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．2017·凉山州若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．7．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．类型之四一元二次方程根与系数的关系8．2017·张家界已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________．9．2017·黄冈已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12＋x22的值．类型之五一元二次方程的应用10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？12．如图2－X－1，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另外三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)若养鸡场面积为200 m2，求养鸡场平行于墙的一边长．(2)养鸡场的面积能达到250 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．图2－X－113．2017·桂林为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？类型之六数学活动14．在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图2－X－2是小华与小芳的设计方案．图2－X－2(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图③中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．1．C [解析] 一元二次方程必须满足三个条件：(1)是整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.2．0 [解析] 由于关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k 2－k ＝0，解得k 1＝1，k 2＝0.当k ＝1时，由于二次项系数k －1＝0，方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0不是关于x 的二次方程，故k ≠1.所以k 的值是0.3．D [解析] 原方程变形为x 2＋6x ＝5，方程两边都加上32，得x 2＋6x ＋32＝14，∴(x ＋3)2＝14.4．(1)x 1＝1，x 2＝13(2)x 1＝3＋15，x 2＝3－15 (3)x 1＝1.9，x 2＝0.1 (4)x 1＝10，x 2＝30 (5)x 1＝－23，x 2＝25．B [解析] ∵Δ＝b 2－4ac ＝42－4×3×(－5)＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选B.6．k ≤5且k ≠1 [解析] ∵一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，∴k －1≠0，且b 2－4ac ＝16－4(k －1)≥0，解得k ≤5且k ≠1.7．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4m (m ＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5＝3m (m ＋1)＋5，∵方程的一个根为x ＝0， ∴m (m ＋1)＝0，∴原式＝3m (m ＋1)＋5＝5.8．17 [解析] ∵m ，n 是一元二次方程x 2－3x －4＝0的两个根， ∴m ＋n ＝3，mn ＝－4，则m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝9＋8＝17.9．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4k 2＝4k ＋1＞0，解得k ＞－14.(2)当k ＝1时，方程为x 2＋3x ＋1＝0， ∵x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝9－2＝7.10．81 [解析] 设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为x ＋7，依题意，得(x ＋7＋x )2＝10(x ＋7)＋x ，整理得4x 2＋17x －21＝0，解得x 1＝1，x 2＝－214(舍去)，所以x ＝1，x ＋7＝8，所以这个两位数是81.11．解：(1)设每件衬衫应降价x 元， 根据题意得(40－x )(20＋2x )＝1200，整理得2x 2－60x ＋400＝0，解得x1＝20，x2＝10.因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价20元．(2)设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利y元，则y＝(20＋2x)(40－x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x2－30x－400)＝－2[(x－15)2－625]＝－2(x－15)2＋1250.所以当x＝15时，y取最大值．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．12．解：(1)设养鸡场垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(40－2x)m，根据题意得x(40－2x)＝200，－2x2＋40x－200＝0，解得x1＝x2＝10，则40－2x＝20.答：养鸡场平行于墙的一边长为20 m.(2)假设能达到，根据(1)中所设，根据题意得x(40－2x)＝250，∴－2x2＋40x－250＝0.∵b2－4ac＝402－4×(－2)×(－250)＜0，∴方程无实数根，∴不能使养鸡场的面积达到250 m2.13．解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得5000(1＋x)2＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2018年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)．设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，根据题意得3500m＋2000(1500－m)≤86400000×5%，解得m≤880.答：最多可购买电脑880台．14．解：(1)不符合．理由：设小路的宽度均为x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝1×16×12.2解这个方程得x1＝2，x2＝12.但x＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2 m.(2)答案不唯一. 例如：说明略．。
2020年中考数学高频重点《一元二次方程与化简求值》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题05 一元二次方程与化简求值【达标要求】1. 要掌握一元二次方程根与系数的关系式及相应的变形式；2. 会利用根于系数关系式进行相关的化简求值；【知识梳理】知识点一 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，称ac b 42-=∆为一元二次方程的根的判别式，当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-=∆ac b 时，方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x ，，则=+21x x a b -,=21x x ac . 【精练精解】1.关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（ ） A ．74 B ．75 C ．76 D ．02.关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ）A ．0或2B ．﹣2或2C ．﹣2D ．23.若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A ．12B ．10C ．4D ．﹣44.已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ）A ．2023B ．2021C ．2020D ．20195.若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A ．12B ．10C ．4D ．﹣46.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（ ）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．47.设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 8.设x 1，x 2是一元二次方程x 2–x –1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．9.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为 ．10.若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为 ．11.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．13.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．1x 2x 25320x x --=1211x x +（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．14.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．15.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．16.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1.x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．17.已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值．(要求先化简，再求值)18.已知关于x 的一元二次方程tx 2﹣6x +m +4＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）当t ＝m ＝1时，若x 1＜x 2，求x 1、x 2；（2）当m ＝1时，求t 的取值范围；（3）当t ＝1时，若x 1、x 2满足3|x 1|＝x 2+4，求m 的值．19.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.专题05 一元二次方程与化简求值【达标要求】3. 要掌握一元二次方程根与系数的关系式及相应的变形式；4. 会利用根于系数关系式进行相关的化简求值；【知识梳理】知识点一 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3. 关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，称ac b 42-=∆为一元二次方程的根的判别式，当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-=∆ac b 时，方程没有实数根.4. 一元二次方程的根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x ，，则=+21x x a b -,=21x x ac . 【精练精解】1.关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（） A ．74 B ．75 C ．76 D ．0【答案】A【解析】∵x 1+x 2=4，∴x 1+3x 2=x 1+x 2+2x 2=4+2x 2=5，∴x 2=12， 把x 2=12代入x 2﹣4x +m =0得：（12）2﹣4×12+m =0，解得：m =74， 故选A ．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a是解题的关键．2.关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2B．﹣2或2C．﹣2D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解析】解：△关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，△x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．△（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，△（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．△关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，△△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥22﹣1或k≤﹣22﹣1，△k＝2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．3.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：△方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，△α+β＝2，αβ＝﹣4，△α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．4.已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，△b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，△a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．5.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：△方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，△α+β＝2，αβ＝﹣4，△α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．6.若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【答案】D【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D ．7.设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵方程、是方程的两个实数根，∴，， ∴===． 故答案为：． 8.设x 1，x 2是一元二次方程x 2–x –1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2–x –1=0的两根，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=–1，∴x 1+x 2+x 1x 2=1–1=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=–b a ，x 1•x 2=c a． 9.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为 ．【分析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．【解答】解：△x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根，△x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．△（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，△2k 2+1+3k +1+1＝8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣21．，k 2＝1． △关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，△△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0，1x 2x 25320x x --=1211x x +32-1x 2x 25320x x --=1235x x +=1225x x =-1211x x +1212x x x x +32()55÷-32-32-解得：k ＜﹣3﹣23或k ＞﹣3+23，△k ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，求出k 值是解题的关键．10.若2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为 ． 【答案】﹣21．【解答】解：∵2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，∴4n 2﹣4mn+2n=0，∴4n ﹣4m+2=0，∴m ﹣n=﹣21． 故答案是：﹣21．11.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a +5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2＝6，x 1x 2＝2a +5，∵x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2≤30，∴36﹣3（2a +5）≤30，∴a ≥﹣23，∵a 为整数， ∴a 的值为﹣1，0，1．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．【答案】（1）m ≤413；（2）1 【解析】（1）由题意△≥0，∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤413． （2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．13.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，求a 的值．【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a ﹣1）]2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，代入x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝[﹣2（a ﹣1）]2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，解得：a ＜3，∵a 为正整数，∴a ＝1，2；（2）∵x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2＝16，∴[﹣2（a ﹣1）]2﹣3（a 2﹣a ﹣2）＝16，解得：a 1＝﹣1，a 2＝6，∵a ＜3，∴a ＝﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．14.关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k ≥0，然后解不等式即可；‘（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程x 2﹣3x +2＝0解得x 1＝1，x 2＝2，把x ＝1和x ＝2分别代入一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0求出对应的m ，同时满足m ﹣1≠0．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ≥0，解得k ≤49； （2）k 的最大整数为2，方程x 2﹣3x +k ＝0变形为x 2﹣3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，∴当x ＝1时，m ﹣1+1+m ﹣3＝0，解得m ＝23； 当x ＝2时，4（m ﹣1）+2+m ﹣3＝0，解得m ＝1，而m ﹣1≠0，∴m 的值为23． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根15.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m 的取值范围．②设x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0，求m 的值．【分析】①根据“关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣1）＞0，解得：m 41-φ，②根据题意得：x 1+x 2＝﹣（2m +1），x 1x 2＝m 2﹣1，x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝221）（x x +﹣x 1x 2﹣17 ＝（2m +1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝35，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为35． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系．16.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1.x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2＝6，x 1x 2＝4m +1，结合|x 1﹣x 2|＝4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1.x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．17.已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值) 【解析】：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.∴原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3m(m＋1)＋5＝5.18.已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1、x2．（1）当t＝m＝1时，若x1＜x2，求x1、x2；（2）当m＝1时，求t的取值范围；（3）当t＝1时，若x1、x2满足3|x1|＝x2+4，求m的值．【分析】（1）当t＝m＝1时，方程变形为x2﹣6x+5＝0，利用因式分解法解方程即可；（2）当m＝1时，方程变形为tx2﹣6x+5＝0，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到t≠0且（﹣6）2﹣4•t•5≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（3）当t＝1时，方程变形为x2﹣6x+m+4＝0，利用判别式的意义得到m≤5，根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1•x2＝m+4，讨论：当x1＜0时，﹣3x1＝x2+4，通过解方程组先求出x1、x2，再计算m的值；当x1＞0时，3x 1＝x 2+4，利用同样方法计算m 的值．【解答】解：（1）当t ＝m ＝1时，方程变形为x 2﹣6x +5＝0， （x ﹣5）（x ﹣1）＝0，∵x 1＜x 2，∴x 1＝1，x 2＝5；（2）当m ＝1时，方程变形为tx 2﹣6x +5＝0，根据题意得t ≠0且（﹣6）2﹣4•t •5≥0，∴t ≤59且t ≠0；（3）当t ＝1时，方程变形为x 2﹣6x +m +4＝0，△＝（﹣6）2﹣4（m +4）≥0，解得m ≤5，则x 1+x 2＝6，x 1•x 2＝m +4，当x 1＜0时，﹣3x 1＝x 2+4，解得x 1＝﹣5，x 2＝11，m +4＝﹣55，解得m ＝﹣59，当x 1＞0时，3x 1＝x 2+4，解得x 1＝25，x 2＝27，m +4＝435，解得m ＝419，∴m 的值为﹣59或41919.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1.【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤（2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）=（-1-x1）（-1+x2+2）=（-1-x1）（x2+1）=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1．。
(最新实用)2020年中考数学精选考点试卷7 一元二次方程(解析版)
专题7.1 一元二次方程（1）一、单选题1．A【解析】试题分析：一元二次方程的一般式为：ax 2+bx+c=0(a≠0),将原方程去括号为：x 2-6x+4+x+1=0,合并为：x 2-5x+5=0,所以选A.考点：一元二次方程的一般式.2．D【解析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∵210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.3．C【解析】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x 1与x 2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．∵1x ，2x 是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，∵1x +2x =﹣5，1x ·2x =﹣3， ∵2212x x +=21212()2x x x x +-=25+6=31．考点：根与系数的关系4．C【解析】利用根的判别式∵=b 2-4ac 分别进行判定即可．【详解】A 、∵=4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B 、∵=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C 、∵=16-4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D 、∵=25-4×3×2=25-24=1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与∵=b 2-4ac 有如下关系：①当∵＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当∵=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当∵＜0时，方程无实数根．5．D【解析】12(x 2)(x 3)0x 20x 30x 2,x 3-+=⇒-=+=⇒==-，。
2020-2021中考数学专题训练---一元二次方程组的综合题分类含详细答案
2020-2021中考数学专题训练---一元二次方程组的综合题分类含详细答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm ；∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．（16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，∴16-5x=±8，∴x 1=85，x 2=245； ∴经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y ， ∴12PB•BC=12，即12×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；②当163＜x≤223时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则12BP•CQ=12（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-23（舍去）； ③223＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.3．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1. 【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式24b b ac x -±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.4．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m的值为多少？【答案】（1）14m≥；（2）m的值为3．【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.7．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.8．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根13．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
2020苏科版初三数学中考复习《一元二次方程》常考题(含解析)
2020苏科版初三数学中考复习《一元一次方程》常考题（含解析）一、一元二次方程的定义1．若方程（a -2)x 2-2018x+2019=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a≠1 B ．a≠-2C ．a≠2D ．a≠3【答案】C2．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x ＝x 2﹣3 B ．ax 2+bx +c ＝0 C ．111x+= D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2＝0【答案】A3．关于x 的方程（m -1）x 2+（m+1）x+3m -1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.【答案】=1 ≠14．方程(31)(23)1x x +-=中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 【答案】6 -7 -45．若关于x 的方程||(2)20m m x m --=是一元二次方程，求不等式(1)1m x m +->的解集． 【答案】1x <．6．方程11(2)(4)60m m xm x +--+++=。
（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m 取何值时，方程是一元一次方程。
【答案】（1）m =－4，x =±1；（2）m =2或m =0或m =－2或m =1或m =－37．当m 为何值时，方程2(21)3(1)0m x mx m -+--=是关于x 的一元二次方程。
【答案】12m ≠二、解一元二次方程8．解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣99=0； （2）2x 2﹣3x ﹣2=0． （3）(1)(3)12x x -+= （4）235(21)0x x ++=（5）2481x = （6）2214x x ++= （7）2470x x --= （8）()2516x -=；（9）2410x x -+=. （10）()241360x --= （11）22240x x +-=【答案】（1）x=11或x=﹣9；（2）x=2或x=﹣12；(3) 125,3x x =-=;(4) 153x -+=，253x =-（6）9x 2=±（6）1231x x =-= （7）1222x x ==8）1219x x ==，；（9）1222x x ==10）14x =，22x =-；（11）14x =，26x =- 9、解方程32(1)2740x x x +-= 32(2)220x x x -+-=【答案】（1）x 1=0，x 2=-4，x 3=12；（2）x=2 10．利用因式分解法解下列方程（1）（x －2）2=（2x –3）2； （2）3(1)33x x x +=+；（3）x 2+3=0； （4）2(5)8(5)160x x ---+=．【答案】（1x 1=1，x 2=53；（2）x 1=–1，x 2=1；（3）x 1=x 2（4）x 1=x 2=9． 三、根的判别式解题（△=ac b 42-）11．关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数解，那么m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．．3m …C ．3m …D ．3m …且2m ≠【答案】D12．若关于x 的一元二次方程2240kx kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．0或4 B ．4或8C ．0D ．4【答案】D13．已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且关于x 的方程222222()()0x a b x a b c +--+-=有两个相等的实数根，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形【答案】C14．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +6＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．2或3D 【答案】B15．关于x 的方程2(23)10mx m x m --+-=有两个实数根,则m 的取值范围是（ ） A ．98m £B ．98m <C ．908m m ≤≠且 D ．908m m <≠且 【答案】C16．已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k 的值. 【答案】（1）当14k ≤时，原方程有两个实数根；（2）另一个根为0，k 的值为0.17．关于x 的方程2(6)260a x x --+=有实数根，求整数a 的最大值． 【答案】整数a 的最大值为6．四、配方法的应用18．若一元二次方程250x bx -+-=配方后为2(3)x k -=，则,b k 的值分别是（ ） A ．6，4 B ．6，5C ．6,5-D ．64-，【答案】A19．不论x 取什么实数，225x x ++的值一定是一个正数，你能说明理由吗？ 【答案】见解析20．已知223730216b a a b -+-+=，求a -的值．【答案】12a -=-．五、已知方程的根，求其它（此类题通常把方程的根代入方程计算）21．若一元二次方程26-0x kx +=的一个根是2x =，则原方程的另一个根是（ ） A ．3x = B ．3x =-C ．4x =D ．4x =-【答案】A22．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为（ ） A ．8 B ．7C ．8或7D ．9或8【答案】C23．已知m 是一元二次方程240x x --=的一个根 ， 则代数式22m m +-的值是_____ 【答案】2-.24．若x=a 是方程x 2﹣x ﹣2015=0的根，则代数式2a 2﹣2a ﹣2015值为 ________ 【答案】201525．若关于x 的一元二次方程mx 2＋(m －1)x -10＝0有一个根为2，则m 的值是______． 【答案】226．若x=a 是方程x 2 +x−1=0的一个实数根，则代数式3a 2+3a−5的值是______. 【答案】−2.27．在等腰ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，已知3,a b =和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，则ABC ∆的周长是__________．【答案】375或728．已知1x =是方程210x mx -+=【答案】0六、根与系数的关系（acx x a b x x =⋅-=+2121,）29．已知α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____． 【答案】130．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____． 【答案】731．已知m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则m 2+n 的值为_____． 【答案】2019；32．(1)利用求根公式计算，结合①①①你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ①方程x 2-3x -1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ①方程3x 2+4x -7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2) 利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a≠0，且b 2-4ac≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x -1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211+x x ； ①2212+x x ． 【答案】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；① -1；-1；-2；1；① ；3；-1；① 73-；1；43-；73-；(2) 2b a -+；2b a-；b a -；c a ；(3)1232x x +=-，1212x x ⋅=-．①3；①134． 33．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若①ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5， ①若①ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，求k 的值． ①若①ABC 是等腰三角形，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）①3k =,①k 的值为5或4．七、灵活创新题34．已知a 、b 、c 21(3)0b c +++=，则方程 2a 0x bx c ++= 的根为（ ） A ．-1，0.5 B ．1，1.5C ．-1，1.5D ．1, -0.5【答案】C35．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c -+=，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c ==B ．a b =C ．b c =D ．a c =【答案】D36．已知2P m m =-，2Q m =-，其中m 为任意实数，则P 与Q 的大小关系为（ ） A ．P Q > B ．P Q = C ．P Q <D ．无法确定【答案】A37．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．八、方程解应用题38．如图所示，某小区规划在一个长AD=40 m、宽AB=26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行（如图），其余部分种草。
一元二次方程(2020年全国中考原题)
一元二次方程(2020年全国中考原题) 分项汇编(全国通用)专题5 一元二次方程 (共50道)一．选择题 (共24小题)1.(2020·临沂) 解一元二次方程 x^2-4x-8=0 的解是()A。
x1=-2+2√3，x2=-2-2√3B。
x1=2+2√3，x2=2-2√3C。
x1=2+2√2，x2=2-2√2D。
x1=2√3，x2=-2√32.(2020·菏泽) 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 x 的方程 x^2-4x+k=0 的两个根，则 k 的值为()A。
3B。
4C。
3 或 4D。
73.(2020·凉山州) 一元二次方程 x^2=2x 的根为()A。
x=0B。
x=2C。
x=0 或 x=2D。
x=±24.(2020·泰安) 将一元二次方程 x^2-8x-5=0 化成 (x+a)^2=b (a，b 为常数) 的形式，则 a，b 的值分别是()A。
-4，21B。
-4，11C。
4，21D。
-8，65.(2020·黑龙江) 已知2+√3 是关于 x 的一元二次方程 x^2-4x+m=0 的一个实数根，则实数 m 的值是()A。
B。
1C。
-3D。
-16.(2020·河南) 定义运算：m☆n=mn^2-mn-1.例如：4☆2=4×2^2-4×2-1=7.则方程 1☆x=0 的根的情况为() A。
有两个不相等的实数根B。
有两个相等的实数根C。
无实数根D。
只有一个实数根7.(2020·南京) 关于 x 的方程 (x-1)(x+2)=p^2 (p 为常数) 的根的情况，下列结论中正确的是()A。
两个正根B。
两个负根C。
一个正根，一个负根D。
无实数根8.(2020·黑龙江) 已知关于 x 的一元二次方程 x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0 有两个实数根 x1，x2，则实数 k 的取值范围是()A。
2020届初三数学中考复习 一元二次方程练习题 含答案
2020届初三数学中考复习 一元二次方程 专题复习练习题1. 下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是( )A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝0 2. 下列方程是一元二次方程的是( ) A ．x(x ＋3)＝5 B ．ax 2－x ＋2＝0 C ．x 2＋1x＋1＝0 D ．3x 2－2y ＋4＝03. 若1﹣是方程x 2﹣2x+c=0的一个根，则c 的值为( )A ．﹣2B ．4﹣2 C ．3﹣D ．1+4. 若方程(a －3)x 2＋a ＋1x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≠3C ．a ＞3D ．a ≥－1且a≠3 5. 用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝2 B ．(x ＋1)2＝2 C ．(x ＋2)2＝3 D ．(x ＋1)2＝3 6. 用公式法解方程2x 2＝3x ＋7，则a ，b ，c 的值依次是( ) A ．2，3，7 B ．2，－3，7 C ．2，－3，－7 D ．2，3，－7 7. 一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断8. 用因式分解法解方程3x(2x －1)－2(2x －1)＝0，则原方程应变为( )A ．6x 2－7x ＋2＝0B ．(2x －1)(3x ＋2)＝0C ．(2x －1)(3x －2)＝0D ．3x ＝29. 关于x 的方程ax(x －b)＋(b －x)＝0的根是( )A ．x 1＝b ，x 2＝aB ．x 1＝b ，x 2＝1aC ．x 1＝a ，x 2＝1b D ．x 1＝a 2，x 2＝b 210. 若关于x 的方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( )A ．－9或11B ．－7或－8C ．－8或9D ．－6或711. 若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( )A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．112. 制造一种产品，原来每件成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该商品销售价为第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该商品的成本价平均每月应降低( ) A ．5% B ．10% C ．20% D ．25%13. 如图，在宽为20米、长为32米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽应为( )A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米14. 已知方程(m－2)x|m|＋mx－8＝0是关于x的一元二次方程，则__________．15. 已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+x21的值为________．16．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．17．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．18.已知01a ab x≠≠=，，是方程2100ax bx+-=的一个解，则2222a ba b--的值是．19．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22baba-=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x的解为20. 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2x(2x＋1)＝x＋3；(2)(7x－1)2＝6.21. 用开平方法或配方法解方程．(1)(x－3)2＝4(3x＋1)2；(2)x2＋10x＋9＝022. 用公式法解下列方程：(1)3x2＝6x－2；(2)2x2－43x－22＝023. 请用因式分解法解下列方程：(1)(x＋2)2＝2(x＋2)；(2)x(x－12)＝－36.24. 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x2＋4x－3＝0；(2)4x2＝12x－9；(3)7y＝5(y2＋1)．25. 用适当的方法解这下列方程．①2310-+=；x x②2x-=；(1)3③230-=；x x④224x x-=．26. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．27. 已知方程2x2－3x－7＝0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程各根的相反数．28. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0.(1)求证：该方程有两个不等的实根；(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋2x2＝9，求m的值．29. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，请问该校共购买了多少棵树苗？30. 已知一个长方形周长为56厘米．(1)当长方形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的长方形吗？请说明理由．31. 东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？答案：1---13 DAADB CBCBA DBC14. m＝－215. 216. 017. 018. 519. 320. (1) 解：一般形式：2x2＋(2－1)x－3＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是2，2－1，－3(2) 解：一般形式：49x 2－14x －5＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是49，－14，－521. (1) 解：x 1＝－1，x 2＝17(2) 解：x 1＝－1，x 2＝－922. (1) 解：x 1＝3＋33，x 2＝3－33(2) 解：x 1＝6＋22，x 2＝6－2 223. (1) 解：(x ＋2)2－2(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x ＋2－2)＝0， ∴x＋2＝0或x ＝0，∴x 1＝－2，x 2＝0(2) 解：x 2－12x ＋36＝0，(x －6)2＝0，∴x 1＝x 2＝6 24. (1)解：方程有两个不相等的实数根 (2)解：方程有两个相等的实数根 (3)解：方程没有实数根25. ①12x =，②121x =， ③10x =，23x =；④121x =，26. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2， ∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m ≥0， 解得：m ≤5，∴m 的取值范围为m ≤5．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1+x 2=6①，x 1•x 2=m+4②． ∵3x 1=|x 2|+2，当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③， 联立①③解得：x 1=2，x 2=4， ∴8=m+4，m=4；当x 2＜0时，有3x 1=﹣x 2+2④，联立①④解得：x 1=﹣2，x 2=8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的m 的值为4．27. 解：设方程2x 2－3x －7＝0的两根分别为α，β， 则新方程的两根为－α，－β，∵α＋β＝32，αβ＝－72，∴(－α)＋(－β)＝－32，(－α)(－β)＝－72，∴所求的方程为x 2＋32x －72＝0，即2x 2＋3x －7＝028. 解：(1)∵在方程x 2－4x －m 2＝0中， b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－m 2)＝16＋4m 2＞0， ∴该方程有两个不等的实根(2)∵该方程的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝4①，x 1·x 2＝－m 2②.∵x 1＋2x 2＝9③， ∴联立①③解之，得x 1＝－1，x 2＝5， ∴x 1·x 2＝－5＝－m 2，解得m ＝± 529. 解：因为60棵树苗售价为120×60＝7200(元)＜8800(元)，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x 棵树苗，由题意得：x[120－0.5(x －60)]＝8800，解得x 1＝220，x 2＝80.当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220(不合题意，舍去)；当x ＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗30. 解：(1)设长方形的长为x 厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18，28－x ＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米(2)设长方形的长为x 厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝200，即x 2－28x ＋200＝0，则(－28)2－4×200＝784－800＜0，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的长方形31. 解：（1）设此批次蛋糕属第x 档次产品，则10＋2(x －1)＝14，解得x ＝3． 答：此批次蛋糕属第3档次产品．（或：∵14－102＋1＝3，∴此批次蛋糕属第3档次产品．）（2）设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080，解之，得x 1＝5，x 2＝11(舍去)． 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品。
2020年中考数学一元二次方程专题卷(附答案)
2020年中考数学一元二次方程专题卷（附答案）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人 得分一、选择题 2的根是A ．2x =B ．0x =C ．12x =-，20x =D ．12x =，20x =2.若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是( ).A ．15-B ．16-C ．15D ．163.一元二次方程2210x x ++=的根的情况（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（ ）A ．168（1+a ）2=128B ．168（1-a%）2=128C ．168（1-2a%）=128D ．168（1-a 2%）=1285.若一元二次方程x 2+4x ﹣2a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞2B ．a ≥﹣2C ．a ≤﹣2D ．a ＜﹣46.若一元二次方程x 2﹣2x ﹣a=0无实数根，则一次函数y=（a+1）x+（a ﹣1）不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b ﹣8a+3的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．6D ．98.关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+p 2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p 的值是（ ）.A ．4B ．0或2C ．1D ．﹣19.下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）A ．ax 2－bx ＝0B ．2x 2＋2x 2－2＝0 C ．(x －2)(3x+1)＝0 D ．3x 2－2x ＝3(x ＋1)(x －2)10.关于x 的方程3x 2﹣5=2x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）A ．3，﹣2B ．3，2C ．3，5D ．5，211.若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+5x+2=0是一元二次方程，则m 的值不能为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12 D ．0 12.已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则m 的值为（ ）3评卷人得分 二、解答题x 2+2x+（m ﹣2）=0．（1）当m=1时，判断方程根的情况；（2）当m=﹣1时，求方程的根．14.（1）－＋； （2）245x -=,求x .三、填空题2x 2+kx+1=0有两个相等的实根，则k=_____．16.方程（x-2）2=3x 的根为 ．17.已知m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m=______．18.关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．19.把方程x （x ﹣1）=2（x ﹣2）化为一元二次方程的一般形式为 ．20.已知实数x 、y 满足12x 2＋2x ＋y －1＝0，则x ＋2y 的最大值为_________ ．四、计算题（1）(2)(3)12x x --= （2）231y +=22.已知关于x 的一元二次方程22)(5)0x x m ---=（． （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．答案1.D2.A.3.B ．4.B ．5.B ．6.A7.D8.C ．9.C10.A11.A12.B ．13.（1）当m=1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x 1=1，x 2=﹣3．14.（1） －13（2）±3 15.± 16.x 1=2，x 2=12．17.618.1m ≤ 19.x 2﹣3x+4=0． 20.174． 21.(1)、6,121=-=x x ；(2)、3321==y y 22.(1)、证明过程见解析；(2)、m=±2，6.。
2020中考数学 限时训练 一元二次方程 巩固专题(含答案)
2020中考数学限时训练一元二次方程巩固专题（含答案）基础过关1.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为()A.2＝14B.2＝4C.2＝14D.2＝42.方程x2＋x－12＝0的两个根为()A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝33.下列方程中，没有．．实数根的是()A．2x＋3＝0 B．x2－1＝0C.2x＋1＝1 D．x2＋x＋1＝04.关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则k的值为()A. k＝－4B. k＝4C. k≥－4D. k≥45.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为()A. －1B. －3C. 1D. 36.一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是()A. x1＝－1，x2＝2B. x1＝1，x2＝－2C. x1＋x2＝3D. x1x2＝27.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2019年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2019年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得()A. 10(1＋x)2＝16.9B. 10(1＋2x)＝16.9C. 10(1－x)2＝16.9D. 10(1－2x)＝16.98.方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为______．9.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．10.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的一边长为x cm，则可列方程为______________．11.解方程：2(x－3)2＝x2－9.12.已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．13.红旗连锁超市花2000元购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？14.某地区2017年投入教育经费2900万元，2019年投入教育经费3509万元．(1)求2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2020年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2020年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4)基础过关1. A【解析】x2－6x－5＝0，x2－6x＝5，x2－6x＋9＝5＋9，(x－3)2＝14，故选A.2. D【解析】∵x2＋x－12＝0，∴(x＋4)(x－3)＝0，解得x1＝－4，x2＝3.3. D【解析】4. B【解析】－4ac＝42－4k＝0，解得k＝4.5. D【解析】设方程的另一个根为x2，则根据根与系数关系有－1＋x2＝2，解得x2＝3.6. C【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2，排除A、B、D选项，故选C.7. A【解析】因为年增长率为x，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x)2＝16.9.8. －3【解析】∵2x－4＝0，解得x＝2，把x＝2代入方程x2＋mx＋2＝0，解得m ＝－3.9. 2016【解析】把m代入方程得m2＋2m的值，再用根与系数的关系求出两根之和m ＋n的值，再把所求代数式化成此两代数式的形式，即可整体代入求解，∵m、n是一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，∴m2＋2m－2018＝0，即m2＋2m＝2018，且m＋n ＝－2，则原式＝(m2＋2m)＋(m＋n)＝2018－2＝2016.10. x (402－x )＝64 【解析】矩形一边长为x ，则另一边长为402－x ，所以可列方程x (402－x )＝64.11. 解：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0，(x －3)(x －9)＝0，∴x －3＝0或x －9＝0，∴x 1＝3，x 2＝9.12.证明：根据根的判别式b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m ＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：将x ＝0代入方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0得：0－(2m ＋1)·0＋m (m ＋1)＝0，即m 2＋m ＝0，原式＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5＝3(m 2＋m )＋5，将m 2＋m ＝0代入式中，原式＝5.13. 解：设每次降价的百分率是x ，则2000元糖果按80%的利润定价为：2000(1＋80%)＝3600(元)，∴3600(1－x )2＝2000(1＋45.8%)，∴(1－x )2＝0.81，∴1－x ＝±0.9，∴x ＝0.1＝10%，或x ＝1.9(舍去)，答：每次降价的百分率是10%.14. 解：(1)设2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ，由题意得 2900(1＋x )2＝3509，解得x 1＝0.1 x 2＝－2.1(不合题意，舍去)，答：2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)按10%的增长率，到2020年投入教育经费为3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)， 因为4245.89<4250.答：按此增长率到2020年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．。
2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程(组)
2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程（组）考点精析一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）． 典例精析典例1 下列方程中，是一元一次方程的是 A ．243x x -= B ．0x = C ．21x y +=D ．11x x-=【答案】B【解析】对于A ，243x x -=的未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故A 错误； 对于B ，0x =符合一元一次方程的定义，故B 正确； 对于C ，21x y +=是二元一次方程，故C 错误； 对于D ，11x x-=，分母中含有未知数，是分式方程，故D 错误． 故选B ．【名师点睛】本题考查了一元一次方程，解答此题明确一元一次方程的定义是关键．一元一次方程是指只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程就叫做一元一次方程.据此逐项分析再选择即可． 拓展1．若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1． 典例精析典例2 x =-5是下列哪个方程的解 A ．x -1=6B ．2x -5=2C ．2-3x =17D ．x 2-1=26【答案】C【解析】把x=-5代入2-3x=17得：左边=2+15=17，右边=17，∵左边=右边，∴x=-5是方程2-3x=17的解，故选C．【名师点睛】本题主要考查方程的根，关键在于等式的性质应用．拓展2．如果30a+=，那么a的值是A．3B．3-C．13D．13-3．方程2y-12=12y-中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是53y=-.这个常数应是A．1 B．2C．3 D．4一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．典例精析典例3 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是A．4x-5=3（x-5）B．4x+5=3（x+5）C．3x+5=4（x+5）D．3x-5=4（x-5）【答案】D【解析】设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得：3x-5=4（x-5）．故选D ．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 拓展4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 A ．(22162)7x x =-B ．(16222)7x x =-C ．2162227()x x ⨯=-D ．2221627()x x ⨯=-二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组． 典例精析典例4 下列方程中，是二元一次方程的是 A ．345x y z += B ．20xy += C ．231y x+=D ．142y x -=【答案】D【解析】A 、345x y z +=，不是二元一次方程，因为含有3个未知数； B 、20xy +=，不是二元一次方程，因为其最高次数为2；C 、231y x+=，不是二元一次方程，因为不是整式方程； D 、142y x -=，是二元一次方程．故选D ．典例5 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩【答案】A【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程；C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【名师点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程． 拓展5．若方程234mx y x -=+是关于x y ，的二元一次方程，则m 满足 A ．2m ≠- B ．0m ≠ C ．3m ≠D ．4m ≠解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法． 典例精析典例6 方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解是_______________．【答案】24x y =⎧⎨=⎩【解析】3142x y y x +==⎧⎨⎩①②，把②代入①得614x x +=，解得2x =，把2x =代入②得4y =，故方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩．故填24x y =⎧⎨=⎩．典例7 方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_______________．【答案】51x y =⎧⎨=-⎩【解析】23738x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用①+②得315x =，即5x =，把5x =代入②得538y -=，解得1y =-，所以方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=-⎩，故填51x y =⎧⎨=-⎩．拓展6．二元一次方程组632x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是A ．51x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩7．已知⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5202y x y x 的解，则3a b -=_______________． 二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤： ①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．典例精析典例8 母亲节那天，很多同学给自己的妈妈准备了鲜花和礼盒，由图中信息可知一束鲜花的价格是_______________元．【答案】15【解析】设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由题意可得2552390x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1520xy=⎧⎨=⎩，所以一束鲜花15元．故填15．典例9 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百+器田七亩，价五百．今并买一頃，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好，坏田1顷（1顷=100亩），价线10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x南，坏田买了y亩，根意可列方程组为A．300500100100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．100500300100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．3100500300100007x yx y+==⎧⎪⎨+=⎪⎩D．100300500100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【解析】1顷=100亩，设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意有：100500 300100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩．故选B．【名师点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．拓展8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为_______________．9．某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨．I ．请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；Ⅱ．目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？ 同步测试1．若方程270a x --=是一元一次方程，则a 等于 A ．3- B ．3 C ．3±D ．02．已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是 A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+ 3．已知7x =是方程27x ax -=的解，则a = A ．1B ．2C ．3D ．74．如果230a +=，那么a 的值是A ．32 B ．32-C ．23D ．23-5．下列方程组中是二元一次方程组的是A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩CD6．若2153x -=与115kx -=的解相同，则k 的值为 A ．8B ．6C ．-2D ．27．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店 A ．不赔不赚 B ．赚了10元 C ．赔了10元D ．赚了50元8．用加减法解方程组4519433x y x y +=⎧⎨-=⎩消去未知数x 得到的方程是A ．216y =B ．222y =C ．816y =D ．822y =9．已知方程521m n -=，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是 A ．22m n =⎧⎨=⎩B ．33m n =-⎧⎨=-⎩C ．11m n =-⎧⎨=-⎩D10．若二元一次方程组3354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为x ay b =⎧⎨=⎩，则a -b 的值为A ．1B ．3C ．14-D ．7411．如果x my n =⎧⎨=⎩是方程20x y +=的一个解（0m ≠），那么 A ．0m ≠，0n = B ．m ，n 异号C ．m ，n 同号D ．m ，n 可能同号，也可能异号12．某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x 米，根据题意可列方程为 A ．4804804(150%)x x -=+B ．4804804(150%)x x -=- C ．4804804(150%)x x-=+ D ．4804804(150%)x x-=-13．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x ，宽为y ，则依据题意可得二元一次方程组为A ．153x y x y+=⎧⎨=⎩B ．1523x y x y+=⎧⎨=⎩C ．1523x y x x y -=⎧⎨=+⎩D ．21523x y x x y -=⎧⎨=+⎩14．古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为 A ．30尺和15尺 B ．25尺和20尺 C ．20尺和15尺D ．15尺和10尺15．若33125m n x y --=﹣是二元一次方程，则m =_______________，n =_______________．16．方程2x -4=0的解是__________．17．一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是_______________元．18．若方程x -y =-1的一个解与方程组221x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解相同，则k 的值为__________．19．为配合枣庄市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小丽同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款__________元． 20．已知234||x y -+与25)2(x y -+互为相反数，则2017()y x -=_______________．21．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为__________人．22．若二元一次方程组232x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为_______________．23．对于方程123x x--=1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得3x-2（x-1）=1①，去括号，得3x-2x-2=1②，合并同类项，得x-2=1③，解得x=3④，∴原方程的解为x=3⑤，（1）上述解答过程中的错误步骤有__________（填序号）；（2）请写出正确的解答过程．24．解方程组：（1）52311x yx y+=⎧⎨+=⎩；（2）⎩⎨⎧=-=+331yxyx；（3）34150275x yx y+=⎧⎨+=⎩；（4）7541x yx y-=⎧⎨+=-⎩.25．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本15元、35元，甲、乙两种图书的售价分别为每本20元、45元．（1）若书店购书恰好用了2300元，求购进的甲、乙图书各多少本？（2）销售时，甲图书打8.5折，乙图书不打折．若甲、乙两种图书全部销售完后共获利15，求购进的甲、乙图书各多少本？。
2020-2021中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及详细答案
2020-2021中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及详细答案一、一元二次方程1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】 【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0， ∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根为m ，n ， ∴m ＋n ＝5，mn ＝5，==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．2．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝，∴x 1＝2，x 2＝23．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．4．解方程：（3x+1）2=9x+3． 【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可. 试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0， 分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0， 可得3x+1=0或3x ﹣2=0， 解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.5．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】 由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=6．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.7．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。
2020年九年级中考数学复习 ：一元二次方程 专题练习 包含答案
一元二次方程1. 下列方程中一定是一元二次方程的是( )2-1=0 B. 5x2-6y-3=0 C. ax2-x+2=0 D. 3x2-3x-1=0A. 3x2+x2. 方程x2－2(x＋3)(x－4)＝10化成一般形式为( )A．x2－2x－14＝0 B．x2＋2x＋14＝0 C．x2＋2x－14＝0 D．x2－2x＋14＝0 3．下列方程采用配方法求解较简便的是( )A．3x2＋x－1＝0 B．4x2－4x－5＝0 C．x2－7x＝0 D．(x－3)2＝4x24．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7m B．8m C．9m D．10m5．下面是李刚同学在一次测验中解答的题目，其中答对的是( )A．若x2＝4，则x＝2B．方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1C．若方程－0.5x2＋x＋k＝0一根等于1，则k＝－0.5D ．若分式x 2－3x ＋2x －1的值为零，则x ＝1或26．若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A ．－13B ．12C ．14D ．157．关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋(2m ＋1)x ＋m －2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞34B ．m ＞34且m≠2C ．－12＜m ＜2 D.34＜m ＜210. 等腰三角形的边长分别是a,b,2,且a,b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( ) A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或1011. 已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 .12．已知b ，c 为实数，且满足(b －c －1)2＝－b ＋1，则一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的根为 .13．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m≠n，则m 2＋n 2 ＝ .14．关于x 的一元二次方程(m －3)xm 2－5m ＋8＋(m －2)x ＋5＝0的解15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为____．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AB向终点B移动，点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．连接PQ，若经过x s后P，Q两点之间的距离为42，那么x的值为 .17. 若关于x的方程（x+1）2＝k﹣1没有实数根，则k的取值范围是 .18. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有两个正整数根，则m可能取的值为 .19. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．20. 若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的21. 用适当的方法解下列方程：(1)4x2＋8x＋1＝0；(2)(3t＋2)2＝6t＋4.22. 已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．23. 若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，求ba的值．24. 已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．25. 一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．26. 已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的实数根 x 1，x 2．(1) 求m 的取值范围； (2) 若x 2＜0，且＞﹣1，求整数m 的值．27. 已知关于x 的方程k 2x 2－2(k ＋1)x ＋1＝0有两个实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k ＝1时，设所给方程的两个根分别为x 1和x 2，求x 2x 1＋x 1x 2的值．28. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0. (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝－3时，求方程的根．28. 解：(1)∵当m ＝3时，Δ＝b 2－4ac ＝22－4× 3＝－8＜ 0， ∴原方程无实数根．(2)当m ＝－3时，原方程变为x 2＋2x －3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.29. 随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能 灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到14.4万只．求该地区 2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．30. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98 元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率． 答案：1---10 DABAC BDACB 11. x 2－7x ＋12＝0. 12. x 1＝－1，x 2＝2 13. 22314. x ＝± 5. 15. 12 16. 2或2517. k ＜1 18. ﹣4，﹣519. （x ﹣2）2+（x ﹣4）2＝x 220. 121. (1) 解：原方程可化为x 2＋2x ＋14＝0，配方，得(x ＋1)2＝34，开平方，得x ＋1＝± 32，∴x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32.(2) 解：去括号，得9t 2＋12t ＋4＝6t ＋4，整理，得9t 2＋6t ＝0， ∴3t(3t＋2)＝0，∴t 1＝－23，t 2＝0.22. 解：把x ＝n 代入方程得：mn 2﹣4n ﹣5＝0，即mn 2﹣4n ＝5， 代入已知等式得：5+m ＝6，解得：m ＝1．23. 解：方程ax 2＝b 可变形为x 2＝ba(ab ＞ 0)，∴x＝±b a， ∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1， ∴一元二次方程ax 2＝b(ab ＞ 0)的两个根分别是2与－2， ∴b a ＝2，∴ba＝4. 24. 解：把x ＝m 代入方程得：m 2+m ﹣1＝0，即m 2+m ＝1， 则原式＝m 2+2m+1+m 2﹣1＝2（m 2+m ）＝2．25. 解：由x 2－2x －54＝0得(x －1)2＝94.解得x 1＝52，x 2＝－12.当x ＝52时，⎝ ⎛⎭⎪⎫522－52(k ＋2)＋94＝0，∴k＝75.当x ＝－12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12(k ＋2)＋94＝0，∴k＝－7.又由Δ＝[－(k ＋2)]2－4× 94≥0，得k≥1或k≤－5，∴k 的取值符合． ∴k 的值为75或－7.26. 解：（1）由已知得：m ≠0且△＝（m+2）2﹣8m ＝（m ﹣2）2＞0， 则m 的范围为m ≠0且m ≠2； （2）方程解得：x ＝，即x ＝1或x ＝，∵x 2＜0，∴x 2＝＜0，即m ＜0， ∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m ＞﹣2，∵m ≠0且m ≠2，∴﹣2＜m ＜0， ∵m 为整数，∴m ＝﹣1．27. 解：(1)∵Δ＝4(k ＋1)2－4k 2＝4(2k ＋1)≥0，∴k≥－12且k≠0，故k 的取值范围是k≥－12且k≠0.(2)当k ＝1时方程为x 2－4x ＋1＝0，∵x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1.∴x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝16－2＝14. 28. 解：(1)∵当m ＝3时，Δ＝b 2－4ac ＝22－4× 3＝－8＜ 0， ∴原方程无实数根．(2)当m ＝－3时，原方程变为x 2＋2x －3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.29. 解：设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x ， 依据题意，列出方程10（1+x ）2＝14.4， 化简整理，得：（1+x ）2＝1.44， 解这个方程，得1+x ＝±1.2， ∴x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2，∵该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数．∴x＝﹣2.2舍去．∴x＝0.2＝20%．答：该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．30. 解：设该种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得200(1－x)2＝98.解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.。
2020-2021中考数学复习一元二次方程组专项综合练含详细答案
2020-2021中考数学复习一元二次方程组专项综合练含详细答案一、一元二次方程1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．5．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．6．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：7．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】8．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】 由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=9．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．11．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．12．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1，故答案为：60，3n 2﹣3n+1；（2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0，（n ﹣10）（n+9）=0，n 1=10，n 2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．14．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。
2020中考数学试题分类汇编(150套) 一元二次方程专题
2020中考数学试题分类汇编（150套）一元二次方程专题一、选择题1．（2020年贵州毕节）已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．abC ．a b +D ．a b - 【答案】D.2．（2020湖北武汉）若12,x x 是方程2x =4的两根，则12x x +的值是（ ）A.8B.4C.2D.0 【答案】D3．（2020 山东滨州） 一元二次方程x 2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A.3B.-1C.-3D.-2 【答案】C 4．（2020山东潍坊）关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．k ≤92B ．k ＜92C ．k ≥92D ．k ＞92【答案】B5．（2020湖南常德）方程2560x x --=的两根为( )A ． 6和-1B ．-6和1C ．-2和-3D ．2和3 【答案】A6．（2020云南楚雄）一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ）A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ． x 1＝2，x 2＝0 【答案】A7．（2020河南）方程230x -=的根是 (A) 3x = (B) 123,3x x ==- (C) 3x =（D ）123,3x x ==-【答案】D8．（2020云南昆明）一元二次方程220x x +-=的两根之积是（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2 【答案】B9．（2020四川内江）方程x (x －1)＝2的解是A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝2 【答案】D10．（2020江苏苏州）下列四个说法中，正确的是A ．一元二次方程22452x x ++=有实数根； B ．一元二次方程23452x x ++=C ．一元二次方程25453x x ++=有实数根； D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a ≥1)有实数根． 【答案】D11．（2020安徽芜湖）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 【答案】A12．（10湖南益阳）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 【答案】B13．（2020山东日照）如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=2，x 2=1，那么p ，q 的值分别是（A ）－3，2 （B ）3，-2 （C ）2，－3 （D ）2，3 【答案】A14．(2020四川眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为A ．7-B ．3-C ．7D ．3【答案】D15．（2020台湾） 若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为何？(A) 5 (B) 6 (C) 83 (D) 10-17 。
2020年中考数学精选考点试卷7 一元二次方程(解析版)
专题7.1 一元二次方程（1）考试范围：一元二次方程；考试时间：90分钟；总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2005·广东中考）一元二次方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ） A ．x 2－5x+5=0 B ．x 2+5x －5=0 C ．x 2+5x+5=0 D ．x 2+5=0 2．（2019·四川中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-3．（2015·湖南中考真题）设1x ，2x 是方程2x +5x ﹣3=0的两个根，则2212x x +的值是（ ） A ．19B ．25C ．31D ．304．（2018·山西中考真题）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．220x x -= B ．2410x x -=+C ．22430x x -+=D ．23520x x -+= 5．（2013·河南中考真题）方程(x 2)(x 3)0-+=的解是（ ） A ．x 2= B ．x 3=- C ．12x 2,x 3=-= D ．12x 2,x 3==-6．（2015·四川中考真题）关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m <且2m ≠D ．3m ≤且2m ≠7．（2012·广东中考真题）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1﹣x ）2=4000 C ．4000（1﹣x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2=55008．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x += 9．（2011·湖南中考真题）若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）A ．－2B ．2C ．－5D ．510．（2019·山东初三期中）一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯 55 次，设参加酒会的人数为x ，则可列方程为（ ） A ．12 x （x ﹣1）＝55 B ．x （x ﹣1）＝55 C ．12x （x +1）＝55D ．x（x +1）＝55二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2019·辽宁初三期中）若x 1，x 2是一元二次方程3x 2+7x ﹣9＝0的两根，则x 1•x 2的值是_____．12．（2019·吉林初三期中）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______．13．（2019·上海市南洋模范中学初二月考）在实数范围内分解因式：2231x x --＝______.14．（2019·忠县三汇中学校初三期中）若()()28m n m n +++=，则：m n +=________．15．（2018·湖北中考真题）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.16．（2016·四川中考真题）设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______.17．（2019·山西中考真题）如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.三、解答题一（每小题6分，共18分)18．（2019·黑龙江中考真题）解方程：267x x +=-19．（2015·广东中考真题）解方程：2320x x -+=.20．（2019·湖南中考真题）解方程:x 2−3x −2=0.四、解答题二（每小题8分，共24分)21．（2019·黑龙江中考真题）已知关于x 的方程2310kx x +﹣＝有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为1x 和2x ，当12124x x x x ++＝时，求k 的值．22．（2018·辽宁中考真题）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．23．（2019·忠县三汇中学校初三期中）已知△ABC 的边BC 长为5，另两边AB,AC 的长分别为关于x 的一元二次方程()22x 2k 3x k 3k 20-++++=的两个实数根。
2020-2021中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题含详细答案
2020-2021中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题含详细答案一、一元二次方程1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0和（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2． 【解析】试题分析：（1） 本题二次项系数为(k －1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x 1+x 2=====2k-2=2， 解得k=2，∴当k=2时，S 的值为2 ∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．3．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.4．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，2x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)如果m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)m ＜3；(2)m ＝2． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根． ∴△＝4﹣4(m ﹣2)＞0． ∴m ＜3；（2）∵m ＜3 且 m 为正整数， ∴m ＝1或2．当 m ＝1时，原方程为 x 2﹣2x ﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当 m ＝2时，原方程为 x 2﹣2x ＝0．∴x(x ﹣2)＝0．∴x 1＝0，x 2＝2．符合题意． 综上所述，m ＝2． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m 的值和m 的范围是解此题的关键．7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4． 【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．8．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1，故答案为：60，3n 2﹣3n+1； （2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0， （n ﹣10）（n+9）=0， n 1=10，n 2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．10．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-；∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.11．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6． 【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1 【解析】 【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0， 解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0， ∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0， ∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1． 【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.12．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.13．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a%，求a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35.【解析】【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602?元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x +-=，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.14．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形 ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14， 则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
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一元二次方程
A级基础题
1．一元二次方程x2－3x＝0的根是( )
A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(2017浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3
3．(2017年江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( )
A．配方法 B．直接开平方法 C．因式分解法 D．公式法
4．(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( ) A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定
5．(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
6．如图214，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
图214
A．7 m B．8 m
C．9 m D．10 m
7．(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________．
9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________．
10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
11．(2018年沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
12.先化简，再求值：(x －1)÷⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x2＋3x ＋2＝0的根．
B 级 中等题
13．已知2是关于x 的方程x2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( )
A ．10
B ．14
C ．10或14
D ．8或10
14．(2018年四川南充)若2n(n≠0)是关于x 的方程x2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为________．
15．(2018年四川绵阳)已知a ＞b ＞0，且2a ＋1b ＋3b －a ＝0，则b a
＝________. 16．(2017年黑龙江绥化)已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m ＋1)x ＋m2－4＝0.
(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．
C 级 拔尖题
17．(2017年江苏盐城)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
(1)2014年这种礼盒的进价是多少元每盒？
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
参考答案
1．D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A
7．－1 8.x1＝0，x2＝2 9.－4,2
10．解：(1)∵关于x 的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4()a －2>0.解得a<3.
(2)∵该方程的一个根为1，
∴1＋2＋a －2＝0.解得a ＝－1.
∴原方程为x2＋2x －3＝0.解得x1＝1，x2＝－3.
∴a ＝－1，方程的另一根为－3.
11．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.
根据题意，得400(1－x)2＝361.
解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．
答：每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
12．解：原式＝(x －1)÷2－x －1x ＋1＝(x －1)÷1－x x ＋1
＝(x －1)×x ＋11－x
＝－x －1.
由x 为方程x2＋3x ＋2＝0的根，解得x ＝－1，或x ＝－2.
当x ＝－1时，原式无意义，所以x ＝－1舍去；
当x ＝－2时，原式＝－(－2)－1＝2－1＝1.
13．B 14.12 15.－1＋32
16．解：(1)∵方程x2＋(2m ＋1)x ＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m ＋1)2－4(m2－4)＝4m ＋17＞0，解得m ＞－
174. ∴当m ＞－174
时，方程有两个不相等的实数根． (2)设方程的两根分别为a ，b ，
根据题意，得a ＋b ＝－2m －1，ab ＝m2－4.
∵2a,2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝(－2m －1)2－2(m2－4)＝25.
解得m ＝－4或m ＝2.
∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝－2m －1＞0.
∴m ＝－4.
17．解：(1)设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x －11)元/盒．根据题意，得 3500x ＝2400x －11
. 解得x ＝35.
经检验：x ＝35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
(2)设年增长率为a ，
2014年的销售数量为3500÷35＝100(盒)．
根据题意，得
(60－35)×100(1＋a)2＝(60－35＋11)×100.
解得a ＝0.2＝20%或a ＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：年增长率为20%.。