平行线综合问题解决策略-2019.3.1

M

N

C D

A B

1

2

F

H

E

G

平行线综合问题解决策略

总则：先解决同顶点处的角的算；不同顶点处的角先通过平行线转化到同一顶点处，再通过计算或方程思想解决角之间的关系；

一、有平行，用平行：

【例】已知：如图，AB//CD，MN截AB、CD

【练习】

1.如图，DE∥BC，EF∥AB，求∠A＋∠B＋∠C

2.如图，AB∥CD，BC∥DE，求∠B＋∠D的度数.

3.如图，D、G是△ABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，

则图中相等的角共有对。

F E D C B

A A

B

C D

E

图5A B C D

E 图4

A B

C D E 图3A B C D E 图2图1E D C B A

G F M

H G F G F F 图5A B C D E

图4A B C D E 图3A B C D E 图2图1F E D C B A F E D C B

A 4.如图，A

B ∥CD ，BE ∥DF ，∠B 与∠D 之间有何数量关系，说明理由.

5.已知AB ∥CD ，探索下列图形中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系.

（1）图1中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系为 ； （2）图2中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系为 ； （3）图3中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系为 ； （4）图4中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系为 ； （5）图5中，∠B ，∠E ，∠D 之间的数量关系为 ；

6.已知AB ∥CD ，运用上题的结论，解决下列问题： （1）图1中，∠B ，∠E ，∠F ，∠D 之间的数量关系为 ；

（2）图2中，∠B ，∠E ，∠F ，∠D 之间的数量关系为 ； （3）图3中，∠B ，∠E ，∠F ，∠D ，∠G 之间的数量关系为 ； （4）图4中，∠B ，∠E ，∠F ，∠D ，∠G ，∠H ，∠M 之间的数量关系为 ； （5）图5中，∠B ，∠E ，∠F ，∠D ，∠G ，∠H 之间的数量关系为 ；

7. 如图，AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，DF 平分∠CDE ，∠E 与∠F 之间有何数量关系，说明理由.

6543

21F E

C

B

A D C

B A

2

1G

F A B C D E

图2A B C D E 图1E D C B A 二、用好角之间的数量关系：

①同顶点处：对顶角，邻补角，平分线 ，和差关系等； ②不同顶点处：（同位角，内错角，同旁内角）看是否能判定两直线平行； ③等量代换或等式的性质； 【例1】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，求证：ED ∥FB .

【例2】如图，∠A =∠C ，∠B =∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.

【练习】

1.已知，如图，DE ⊥AC 于点E ，BC ⊥AC 于点C ，FG ⊥AB 于点G ，且有∠1=∠2，求证：CD ⊥AB .

2.已知∠ABC ＝∠ADC ，AB ∥CD ，E 为射线BC 上一点，AE 平分∠BAD ． （1）如图1，当点E 在线段BC 上时，求证：∠BAE ＝∠BEA ；

（2）如图2，当点E 在线段BC 延长线上时，连接DE ，若∠ADE ＝3∠CDE ，∠ADE ＝60°，求∠CED 的度数．

C

D A B C

D

E

F

G A B C

D E

F

H G F

E D C B A

K

P E D C

B A 三、方程（组）思想：

1、如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交DC 于E ，AE ⊥DE ，∠1＋∠2＝90°，

M 、N 分别是BA 、CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线相交于点F ， 则∠F 的度数为

2、如图，把一张两边分别平行的纸条折成如图所示，EF 为折痕， ED 交BF 于点G ，且∠EFB ＝48°，则∠EGF=

3、如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ACD ＝∠D ，

AE 平分∠CAD ，下列说法：①AB ∥CD ；②AE ⊥CD ；③S △AEF ＝S △BCF ； ④∠AFB ＝∠BAD －∠ABE ，其中正确的结论有（ ）

4、如图，已知AB ∥CD ，点E 为AB 上一点，∠CDF ＝∠FDG ， FE 平分∠BEG ，则∠F 与∠G 之间满足的数量关系是

5、如图，AC ⊥BD 于C ，E 是AB 上一点，CE ⊥CF ，DF ∥AB ，EH 平分∠BEC ， DH 平分∠BDG ，则2∠H 与∠ACF 之间的数量关系为__________．

6、如图，AB ∥DE ，∠ABC 的角平分线BP 和∠CDE 的角平分线DK 的反向延长线交于点P ，

且∠P －2∠C ＝54°，则∠C ＝__________度．

G F

E D C B

A

图2

图1

四、分类思想：

1.如图，P 是∠AOB 的内部一点，过P 作∠MPN ；

（1）若PM ∥OA ，PN ∥OB ，画出图形，则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ； 结论：

（2）若PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，画出图形，则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ；

结论：

（3）若PM ∥OA ，PN ⊥OB ，画出图形，则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ； 结论：

2.方向问题： （1）A ，B 两人行走的方向互相平行，若A 向北偏西48°的方向行走，则B 行走的方向是 ；

（2）公路两次改变方向后互相平行，第一次的拐角为110°，则第二次的拐角为 ； （说明：公路的拐角为路的夹角）

（3）汽车两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向互相平行，若第一次向右拐72°，

那么第二次应该 ；

3.如图，一副三角板按图1位置放置，AC 与AD 重合，现将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转，当DE 与三角板ABC 中的一条边平行时，旋转的角度（AD 转过的角度）为 .