平行线综合问题解决策略-2019.3.1
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M
N
C D
A B
1
2
F
H
E
G
平行线综合问题解决策略
总则:先解决同顶点处的角的算;不同顶点处的角先通过平行线转化到同一顶点处,再通过计算或方程思想解决角之间的关系;
一、有平行,用平行:
【例】已知:如图,AB//CD,MN截AB、CD
【练习】
1.如图,DE∥BC,EF∥AB,求∠A+∠B+∠C
2.如图,AB∥CD,BC∥DE,求∠B+∠D的度数.
3.如图,D、G是△ABC中AB边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,
则图中相等的角共有对。
F E D C B
A A
B
C D
E
图5A B C D
E 图4
A B
C D E 图3A B C D E 图2图1E D C B A
G F M
H G F G F F 图5A B C D E
图4A B C D E 图3A B C D E 图2图1F E D C B A F E D C B
A 4.如图,A
B ∥CD ,BE ∥DF ,∠B 与∠D 之间有何数量关系,说明理由.
5.已知AB ∥CD ,探索下列图形中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系.
(1)图1中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系为 ; (2)图2中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系为 ; (3)图3中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系为 ; (4)图4中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系为 ; (5)图5中,∠B ,∠E ,∠D 之间的数量关系为 ;
6.已知AB ∥CD ,运用上题的结论,解决下列问题: (1)图1中,∠B ,∠E ,∠F ,∠D 之间的数量关系为 ;
(2)图2中,∠B ,∠E ,∠F ,∠D 之间的数量关系为 ; (3)图3中,∠B ,∠E ,∠F ,∠D ,∠G 之间的数量关系为 ; (4)图4中,∠B ,∠E ,∠F ,∠D ,∠G ,∠H ,∠M 之间的数量关系为 ; (5)图5中,∠B ,∠E ,∠F ,∠D ,∠G ,∠H 之间的数量关系为 ;
7. 如图,AB ∥CD ,BF 平分∠ABE ,DF 平分∠CDE ,∠E 与∠F 之间有何数量关系,说明理由.
6543
21F E
C
B
A D C
B A
2
1G
F A B C D E
图2A B C D E 图1E D C B A 二、用好角之间的数量关系:
①同顶点处:对顶角,邻补角,平分线 ,和差关系等; ②不同顶点处:(同位角,内错角,同旁内角)看是否能判定两直线平行; ③等量代换或等式的性质; 【例1】如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,求证:ED ∥FB .
【例2】如图,∠A =∠C ,∠B =∠D ,求证:AB ∥CD ,AD ∥BC.
【练习】
1.已知,如图,DE ⊥AC 于点E ,BC ⊥AC 于点C ,FG ⊥AB 于点G ,且有∠1=∠2,求证:CD ⊥AB .
2.已知∠ABC =∠ADC ,AB ∥CD ,E 为射线BC 上一点,AE 平分∠BAD . (1)如图1,当点E 在线段BC 上时,求证:∠BAE =∠BEA ;
(2)如图2,当点E 在线段BC 延长线上时,连接DE ,若∠ADE =3∠CDE ,∠ADE =60°,求∠CED 的度数.
C
D A B C
D
E
F
G A B C
D E
F
H G F
E D C B A
K
P E D C
B A 三、方程(组)思想:
1、如图,AB ⊥BC ,AE 平分∠BAD 交DC 于E ,AE ⊥DE ,∠1+∠2=90°,
M 、N 分别是BA 、CD 延长线上的点,∠EAM 和∠EDN 的平分线相交于点F , 则∠F 的度数为
2、如图,把一张两边分别平行的纸条折成如图所示,EF 为折痕, ED 交BF 于点G ,且∠EFB =48°,则∠EGF=
3、如图,已知四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =∠ACD =∠D ,
AE 平分∠CAD ,下列说法:①AB ∥CD ;②AE ⊥CD ;③S △AEF =S △BCF ; ④∠AFB =∠BAD -∠ABE ,其中正确的结论有( )
4、如图,已知AB ∥CD ,点E 为AB 上一点,∠CDF =∠FDG , FE 平分∠BEG ,则∠F 与∠G 之间满足的数量关系是
5、如图,AC ⊥BD 于C ,E 是AB 上一点,CE ⊥CF ,DF ∥AB ,EH 平分∠BEC , DH 平分∠BDG ,则2∠H 与∠ACF 之间的数量关系为__________.
6、如图,AB ∥DE ,∠ABC 的角平分线BP 和∠CDE 的角平分线DK 的反向延长线交于点P ,
且∠P -2∠C =54°,则∠C =__________度.
G F
E D C B
A
图2
图1
四、分类思想:
1.如图,P 是∠AOB 的内部一点,过P 作∠MPN ;
(1)若PM ∥OA ,PN ∥OB ,画出图形,则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ; 结论:
(2)若PM ⊥OA ,PN ⊥OB ,画出图形,则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ;
结论:
(3)若PM ∥OA ,PN ⊥OB ,画出图形,则∠P 和∠O 之间的数量关系是 ; 结论:
2.方向问题: (1)A ,B 两人行走的方向互相平行,若A 向北偏西48°的方向行走,则B 行走的方向是 ;
(2)公路两次改变方向后互相平行,第一次的拐角为110°,则第二次的拐角为 ; (说明:公路的拐角为路的夹角)
(3)汽车两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向互相平行,若第一次向右拐72°,
那么第二次应该 ;
3.如图,一副三角板按图1位置放置,AC 与AD 重合,现将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转,当DE 与三角板ABC 中的一条边平行时,旋转的角度(AD 转过的角度)为 .