2001年春季高考.上海卷.数学试题及答案
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2001年普通高等学校春季招生考试(上海卷)
数学试卷
考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分.
一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题.只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律是零分.
1.函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______.
2.若复数z 满足方程1-=i i z (i 是虚数单位),则z =________.
3.函数x
x y cos 1sin -=的最小正周期为________. 4.二项式6)1(x
x +的展开式中常数项的值为________. 5.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为________.
6.圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为________.
7.计算:n n n n )1
3(
lim ++∞→=________. 8.若向量α,β满足||||β-α=β+α,则α与β所成角的大小为________. 9.在大小相同的6个球中,2个红球,4个是白球.若从中任意选取3个,则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________.(结果用分数表示)
10.若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算,即2
b a b a +=*,则两边均含有运算符号“*”和“+”,且对于任意3个实当选a 、b 、
c 都能成立的一个等式可以是_______
11.关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题:
(1)对任意的φ,)(x f 都是非奇非偶函数;
(2)不存在φ,使)(x f 既是奇函数,又是偶函数;
(3)存在φ,使)(x f 是奇函数;
(4)对任意的φ,)(x f 都不是偶函数
其中一个假命题的序号是_______因为当φ=_______时,该命题的结论不成立
12.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存五年期定期储蓄,年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄每次计息时,储户须交纳利息的20%作为利息税,若存满五年后两人同时从银行取出存款,则甲与乙所得本息之和的差为__________元(假定利率五年内保持不变,结果精确到1分)
二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选,选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分
13.若a 、b 为实数,则0>>b a 是22b a >的( )
(A )充分不必要条件.
(B )必要不充分条件.
(C )充要条件.
(D )既非充分条件也非必要条件.
14.若直线1=x 的倾斜角为α,则α( )
(A )等于0 (B )等于4π (C )等于2
π (D )不存在 15.若有平面α与β,且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,,I ,则下列命题中的假命题为( )
(A )过点P 且垂直于α的直线平行于β.
(B )过点P 且垂直于l 的平面垂直于β.
(C )过点P 且垂直于β的直线在α内. (D )过点P 且垂直于l 的直线在α内.
16.若数列}{n a 前8项的值各异,且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立,则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为( )
(A )}{12+k a (B )}{13+k a (C )}{14+k a (D )}{16+k a
三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分12分)
已知R 为全集,}12
5|
{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ,求B A I 18.(本题满分12分)
已知)2
4(12sin sin 22π<α<π=α+α+αk tg ,试用k 表示ααcos sin -的值. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.
(1)求a 关于h 的函数解析式;
(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值.
(求解本题时,不计容器的厚度)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分 在长方体1111D C B A ABCD -中,点E 、F 分别1BB 、1DD 上,且B A AE 1⊥,D A AF 1⊥
(1)求证:AEF C A 平面⊥1; (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等
试根据上述定理,在4=AB ,3=AD ,51=AA 时,求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小(用反三角函数值表示)
21.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分9分,第2小题满分7分
已知椭圆C 的方程为1222
=+y x ,点),(b a P 的坐标满足12
22≤+b a 过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,点Q 为线段AB 的中点,求:
(1)点Q 的轨迹方程;
(2)点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数. 22.(本题满分18分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分13分.
已知}{n a 是首项为2,公比为2
1的等比数列,n S 为它的前n 项和.