中国科学技术大学自主招生数学试题解答
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题
2023年中国科学技术大学强基计划测试数学试题一、填空题1. 二元函数 22(,)(cos )(23sin )f x y x y x y =++++ 的值域是_______. 解：令22(,)(,)[(cos )][(23)(sin )]d x y f x y x y x y ==--++--考虑其几何意义表示直线:23l y x =+上的点到单位圆上点的距离.如图, 过O 点做线段OA 垂直于l 于A , 易得min 2335(,)1512d x y OA r -=-=-=+显然当(,)(,)x y →+∞+∞时, (,)d x y →+∞, 因此235(,)5f x y ⎛⎫-≤<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以(,)f x y 的值域是1465,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭2. 设复数z 满足||1z =, 且 11z z ω+=-, 则 2214ωω+ 的最小值为_________. 解：设i z a b =+, 其中,a b ∈且221a b +=, 则21(1)(1)i,1(1)(1)1||()1z z z z z bz z z a z z z ω++--====-----++ 所以221011b a t a a ω+⎛⎫-===> ⎪--⎝⎭. 于是我们有22221111444244,t t t t ωωωω+=-=+≥⋅=-当且仅当12t =时取等号, 故2214ωω+的最小值为4.3. 已知2023(12)x +展开式中nx 的系数最大, 则正整数n 的值为________.解: 由二项式定理知:kx 的系数为2023C 2k kk T =, 令1111202320232023!2C 2404624045(1)!(2022)!11349,13C 22023!2!(2023)!k k k k k kk k T k k k k T k k k ++++⨯-+-⎡⎤===<⇒>=⎢⎥+⎣⎦- 所以0110481049104910502023,T T T T T T T <<<<>>>且即2023(12)x +展开式中1049x的系数最大, 故n 的值为10494. 设抛物线22,y x a y x a =+=--都与22,x y a x y a =+=--相切, 则由上述四条抛物线所围成的封闭图形的面积为__________.解：注意到当0a ≤时, 上述四条抛物线均相交, 故0a >, 所以2y x a =+与2x y a =+相切于第一象限, 联立22(1)()0,y x ax y x y x y x y a ⎧=+⇒++-=⇒=⎨=+⎩代入2y x a =+得20x x a -+=, 此时11404a a ∆=-=⇒=如图, 封闭图形的面积S 即为曲边梯形ABCD 的面积, 其中11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭. 由图形的对称性可知:12201188d ,43OAE S S x x x ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰曲边三角形所以围成的封闭图形的面积为13.二、解答题5. 已知实系数函数32()f x x ax bx c =+++满足当11x -≤≤时, |()|1f x x ≤+恒成立, 求证()0f x =的根均为实数.解: 由题取1x =-, 我们有|(1)|110f -≤-+=, 所以(1)0f -=, 从而不妨设()2()(1),f x x x px q =+++于是当11x -≤≤时有()22(1)(1)111x x x px q x x px q -+≤+++≤+⇒-≤++≤分别取x =1和 x = -1有1112011120p q q p p q q p ⎧-≤-+≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨-≤++≤-≤+≤⎪⎩⎩①②①+②可得:20q -≤≤ . 因此对于方程20x px q ++=而言, 其判别式240p q ∆=-≥ , 这足以说明方程()2()(1)0f x x x px q =+++=的三个根均为实数.6. 设数列{}n a 与{}n b 分别为各项均为正整数的等差数列和等比数列, 且111a b == , 设n n n c a b =+. 若存在*k N ∈使得237,307k k c c +==, 求{}n c 的通项公式.解: 设数列n a 的公差为*d ∈ ,数列n b 的公比为 *q ∈, 则有11(1),n n n a n d b q -=+-= .由题 11(1)n n n n c a b n d q -=+=+-+于是有：111121(1)(1)36(*)1(1)(1)306,k k k k k k c k d qk d q c k d q k d q --+++⎧⎧=+-+-+=⎪⇒⎨⎨=+++++=⎪⎩⎩ 两式相减可得()1221270k d q q -+-=, 对(*)式分类讨论: (1) 若k -1=1 从而()2336(6)63303306d q q q q d q +=⎧⇒-++=⎨+=⎩ 从而d =30, q =6, 故163029n n c n -=+-.(2) 若12k -≥, 则134k q-≤, 从而1,2,3,4,5q =.1) 若q =4或5 , 注意到()()3232212441270d q q d +-≥+->, 从而 12k -=, 代入有()22242361235,4306d q q d q ⎧+=⇒-=⎨+=⎩无解 2)若q =3, 则()12112331283270333k k k d d ---+-=+⨯=⇒<, 故k -1=3, 其中k -1=2 已舍. 于是有35333653306d d ⎧+=⎨+=⎩无解 3) 若q =2, 则()12112221232270290k k k d d ---+-=+⨯=⇒< , 故k -1=3,4,5,6, 其中 k-1=2已舍. 经检验, 此时方程组11(1)236(1)2306,k k k d k d -+⎧-+=⎨++=⎩均无解 4) 若q =1, 则有(1)136(1)1306k d k d -+=⎧⎨++=⎩ 无解 综上我们有163029n n c n -=+-7. 一个箱子里有m 个黑球和n 个白球(m <n ), 从箱子中不放回的每次抽取一个球, 直到取完. 记P (m , n )为在整个取球过程中, 黑球个数始终小于白球个数的概率, 求: (1) P (2,4)的概率值. (2) P (m , n )的表达式.解: 问题等价于在平面上由点 (0,0)行走到点(n, m), 规定每次只能向右或者向上前进1个单 位, 且不能触碰到直线y =x 的行走方法数.首先第一步一定是(0,0)(0,1)→, 之后每一条触碰直线y =x 的线路都一一对应着一条从点 (0,1)到点(n , m )的线路, 其对应方式为: 将第一次触碰直线y =x 之前的线路做关于直线y =x 对称, 如下图所示.我们注意到从点(0,1)到点(n , m )的行走方法数为1C nm n +-, 从而自点(0,0)到点(n , m )且末触碰到直线y =x 的行走方法数为11C C m nm n m n +-+--综上我们可得24241241224C C 1(1)(2,4).3C P +-+-+-==11C C (2)(,).C m n m n m n m m nn m P m n m n +-+-+--==+8.求证22222222221224212n n nn n n n n +++≤++++ 对任意的*n ∈均成立.解: 法(1)：要证 22221242ni i n nn i n =+≤++∑, 只需证22222211213.4242nni i i n n n n n n n i n i ==+-≥-⇔≥++++∑∑事实上, 由Cauchy 不等式有 ()22222211111n n n i i i n i n n i ===⎛⎫⎡⎤⎛⎫+≥= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑∑∑ 所以 22223116(1)(21)8316ni n nn n n n i n n n =≥=++++++∑ 由于22263660,4283183184n n nn n n n n n n-=-≥++++++当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有22221242ni i n nn n i =+≤++∑ 法(2)：注意到由基本不等式有 22221111.224nn ni i i i i i n ni n n i ===+≤==+∑∑∑ 而2211042484n n n n n n ++--=≥++ 当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有 22221242ni i n nn n i =+≤++∑。
2023中科大强基计划数学题解析
2023中科大强基计划数学题解析近年来，中科大的强基计划越来越受到广大学生的关注。
作为一项全面、深度和广度兼具的计划，其中的数学题也备受关注。
本文将针对2023年中科大强基计划中的数学题进行全面评估，并给出解析，帮助大家更深入地理解这一主题。
1. 第一部分：简单题解析在2023中科大强基计划的数学题中，第一部分通常包括一些基础的数学概念和简单的运算。
这些题目主要考察学生对基本知识的掌握情况，包括代数、几何、概率与统计等内容。
这部分题目的解析通常较为直观，需要学生熟练掌握基本技巧，例如因式分解、方程解法、图形的性质等方面的知识。
这些题目的解答一般比较简单，注重数学思维的灵活运用。
2. 第二部分：中等题解析第二部分的题目往往涉及到一些较为复杂的数学问题，需要学生具备一定的逻辑思维能力和数学建模能力。
这部分题目可能涉及到一些实际问题，需要学生将抽象的数学概念与实际情况相结合，从而得出解题思路。
在解析这些题目时，需要引导学生建立数学模型，分析问题的本质，找到解题的关键点。
这部分题目可能涉及到多种数学知识的综合运用，例如概率与统计、微积分等方面的知识。
对于这部分题目，学生需要全面掌握各种数学知识，并能够灵活运用，这对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。
3. 第三部分：高难度题解析第三部分的题目通常是整个试卷的难点所在，这些题目可能涉及到一些前沿的数学知识和技巧，需要学生具备较强的数学素养和创新能力。
解析这部分题目时，需要引导学生形成扎实的数学基础，注重提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
这部分题目还可能涉及到一些数学定理的证明和推广，需要学生具备较强的数学推理和论证能力。
在解析这些题目时，需要引导学生分析问题的本质，找到解题的思路，并培养学生的数学探索精神和创新能力。
总结回顾：以上是对2023中科大强基计划数学题的全面解析，从简单题到中等题再到高难度题，我们探讨了每一类题目的解题思路和方法。
通过对这些题目的解析，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养数学思维能力和创新能力。
2018中科大自主招生考试数学
2018中科大自主招生考试数学准考证打印时间：2018年6月5日笔试时间：2018年6月10日8:30-11:30（提前半小时入场） 面试时间：2018年6月10日13：00 1.)20181-= .分析：复数三角形式解析：()201721-2212cos sin 33ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭i)()201820182017112212⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.2.已知3tan 25α=，则()()tan 15tan 15αα+=-oo. ()()()()()()tan 15sin 15cos 15sin 2sin 3011sin 2sin 30tan 15cos 15sin 15αααααααα++-+===--+-oo oooooo.2. 设12x >-，则()2121f x x x x =+++的最小值为 . 解析：()2211111212422f x x x x x x ⎛⎫=++=++-⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭12111111244422x x x ⎛⎫=+++-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14≥-14-=（等号当且仅当12x -=）.3. 设{}1,2,3,4,5S=，则满足()()f f x x =的映射:f S S→的个数是 . 解析：4. 设α为复数，i 为虚数单位，关于x 的方程20x x α++=i 有实根，则α的取值范围是 . 分析：复数代数形式解析:易得0x ≠，2x x α+==≥i5. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 是单射，对任意0x >，()1xf x >，()()12f xf x -=，则()2f = .解析：1 由()f x 为单射，故()1xf x -为常数，设其为C . 故()1C f x x+=，由()2f C =，代入可得1C =即()2f x x=，()21f =.135555326⨯++=C C C6. 在四面体ABCD 中，△ ABC 是斜边AB 为2的等腰直角三角形，△ABD是以AD 为斜边的等腰直角三角形，已知CD =点P 、Q 分别在线段AB 、CD 上，则PQ 的最小值为 . 解析：相当于求AB ，CD 之间的距离.建系，各种垂直关系不累述了，以C 为坐标原点建立空间坐标系，CB u u u r为y 轴正方向, ()0,0,0C，(A，()B，()D则(AB =u u u r，()CD =u u u r令(11,2n AB CD =⨯=r u u u r u u u r于是5CA n d n⋅==u u u r rr .7. 点P 在圆()()22211x y -+-=上运动，则向量PO u u u r（其中O 为坐标原点）绕点P 逆时针旋转90°得PQ u u u r，则点Q 的轨迹方程为 . 解析：相当于OP u u u r顺时针旋转45倍得到OQ u u u r.设()00,P x y ，(),Q x y ，在复平面内相当于()00cos45sin 452x y x y +=++i i i o o 即()()001212x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， DCBA1代入可得()()22424x y x y --++-=,即()()223310x y -+-=.8. 过点()1,0-的直线m 与抛物线2y x =相交于,A B ，若△ AOB 的面积为3（其中O 为坐标原点），求直线m 的方程.解析：设直线为y kx k =+(0k >)，联立抛物线可得20x kx k --=. 24k k ∆=+12132AOB S y y ∆=-==.即434360k k +-=.只能给出数值解. 9.求所有的二次实系数多项式()2f x x ax b =++，使得()()2|f x f x . 解析：由题意可知，若()0f α=，则一定()20f α=则()f x 的零点集合可能为{}0，{}1，{}0,1，{}1,1-，{}2,w w ，其中12w =-+. ()2f x x =,()221f x x x =-+,()2f x x x =-,()21f x x =-,()21f x x x =++.10.设11a =，()3111n n a n a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求证：（1）132111n nk a n k -=⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑； （2）113nk k k a =⎛⎫+< ⎪⎝⎭∏.（1）()133211n n a a n n n +=++，叠加可得答案.（2）()31311k k k k ka kk a k a a k a +++==+()13111nn kk a k a n +=⎛⎫+==⎪+⎝⎭∏()121111112331nn k k k k n k-==+<+=-<+∑∑.。
中科大自主招生部分试题
中科大自主招生部分试题（回忆版）：作者：hlh数学：选择（选项顺序已记不清，共四道）第一题：a^2+b^2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是1.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<02.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<03.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=04.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。
另一道记不得。
第四道：sin6*sin42*sin66*sin78的值1.1/22.1/43.1/164.1/32编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把sin66打印成sin56。
着实吓我。
填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）1.x属于（-π/2,π/2，编者注：不确定）,求8/sinx+1/cosx的最小值。
2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是3.复数z的模为|z|=2，求|z-1/z|的最小值为编者评价：等我想起其他题，再补充。
解答题：（共六道）1.证明：x^2+xy+y^2>=3*(x+y-1)对任意的实数x，y都成立。
2.数列Xn，Yn满足下式：X(n+2)=2X(n+1)+Xn,Y(n+2)=Y(n+1)+2Yn求证：存在n。
，使得一切正整数n>n。
，都使Xn>Yn。
3.如图，三角形ABC的面积为1，D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.,求三角形GIH的面积。
4.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。
5.N+是正整数集，为全集。
（n+n!，n是正整数）为A的集合，B是A的补集。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题及解答
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题及解答作者：甘志国来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期一、填空题（每小题6分，共48分）1.32016除以100的余数是.2.复数z1，z2满足z1=2，z2=3，z1+z2=4，则z1z2=.3.用S（A）表示集合A的所有元素之和，且A{1，2，3，4，5，6，7，8}，S（A）能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A的个数是.4.已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最大值是.5.若对任意实数x都有2x-a+3x-2a≥a2，则a的取值范围是.6.若a∈π4，π2，b∈（0，1），x=（sina）logbsina，y=（cosa）logbcosa，则x y（填>，=，或7.在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD交于P1，过P1作AB的平行线交BC于点Q1，AQ1交BD于P2，过P2作AB的平行线交BC于点Q2，….若AB=a，CD=b，则PnQn= （用a，b，n表示）.8.在数列{an}中，an是与n最接近的整数，则∑2016n=11an=.二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）9.已知a，b，c>0，a+b+c=3，求证：a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥32.10.求所有函数f：N*→N*，使得对任意正整数x≠y，011.求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解（x，y，z）.参考答案1.21.由32016=91008=（-1+10）1008≡（-1）1008+C11008（-1）1007·10≡-79≡21（mod100）可得答案.2.16±156i.复数z1z2的模z1z2=z1z2=23，接下来求其幅角.图1如图1所示，设复数z1，z2，z1+z2在复平面内对应的点分别是A，B，C，得OACB.在△OAC中应用余弦定理，可求得cosA=22+32-422·2·3=-14.所以cos∠AOB=14，进而可得z1z2=2314±154i=16±156i3.70.将集合{1，2，3，4，5，6，7，8}划分为A1={1，4，7}，A2={2，5，8}，A3={3，6}.于是，使得S（A）能被3整除的非空集合A的个数是[（C03+C33）2+（C13）2+（C23）2]·22-1=87.接下来，考虑S（A）能被15整除的非空集合A的个数，此时S（A）=15或30.当S（A）=15时，按集合A的最大元素分别为8，7，6，5分类，可得分别有5，4，3，1个，此时共计13个.当S（A）=30时，共有4个.综上所述，可得答案是87-13-4=70.4.33.由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC及题设可得tanC=-3tanB，所以由均值不等式，可得tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33进而可得：当且仅当tanB=13即（A，B，C）=π6，π6，2π3时，（tanA）max=33.5.-13，13.由零点讨论法可得，当且仅当x=2a3时，（2x-a+3x-2a）min=a3.所以题设即a3≥a2，进而可得答案.6.>.可得lnx=ln2sinalnb，lny=ln2cosalnb.由a∈π4，π2，可得0又由b∈（0，1），可得lnblny，x>y.图27.aba+bn.如图2所示，设PnQn=xn（n∈N），其中P0Q0=x0=CD=b.由平行线分线段成比例定理，可证得1xn+1=1xn+1a.所以1xn=1x0+na.PnQn=xn=aba+bn.8.888.设k是与n最接近的整数，得k=n+12，得k≤n+12k2-k+14≤n所以数列a1，a2，…，a2016即1，12个，2，2，2，24个，...，k，k，...，k2k个，44，44，...，4488个，45，45， (4536)进而可得∑2016n=11an=∑44k=11k·2k+145·36=88.89.由三元柯西不等式，可得2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c·4（a+b+c）=（2a）22a+b+c+（2b）2a+2b+c+（2c）2a+b+2c[（2a+b+c）+（a+2b+c）+（a+b+2c）]≥（2a+2b+2c）2=2（a+b+c）2.所以2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥a+b+c2=32.再由二元均值不等式，可得a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥32.10.在题设所给的不等式中，可令y=x+1（x∈N*），得0即f（x+1）-f（x）=1.由对任意正整数x≠y，0因为象的集合为N*，所以f（x+1）-f（x）≡1.进而可得，f（n）=n+f（1）-1，其中f （1）∈N*.11.由题设，可得（-1）x-（-1）y≡1（mod3），所以x为奇数，y为为偶数.可设x=2m+1，y=2n（m，n∈N），得原方程即2·4m-25n·7z=1.若n∈N*，可得2（-1）m=-2≡1（mod5），这不可能！所以n=0，y=0.又得原方程即2·4m-7z=1.（1）当z=0时，得m=0，此时的解为（x，y，z）=（1，0，0）.（2）当z∈N*时，得-（-1）z≡1（mod4），所以z为正奇数，设z=2p+1（p∈N）.再得原方程即2·4m-7·49p=1.①当p=0时，得m=1，此时的解为（x，y，z）=（3，0，1）.②当p∈N*时，得m≥4，所以-7·1p≡1（mod16），这不可能！综上所述，可得原方程的所有非负整数解（x，y，z）=（1，0，0），或（3，0，1）.。
中国科学技术大学2022年强基计划测试数学试题及参考答案
2022年中国科学技术大学强基计划测试数学试题及参考答案考试时间2022年7月2日数学满分100分，共5道解答题.1.在ABC ∆中，A ，()1a b b c =+=，求ABC ∆的面积.2.已知*,m n N ∈，求2(+9)(29)m n n m ++素因子个数的最小值.3.已知43()f x x px q=++（1）求,p q 满足什么条件()0f x >恒成立；（2）若存在1234,,,a a a a R ∈，使得1234()=()()()()f x x a x a x a x a ----，则,p q 满足什么条件.4.90位学生参加面试，学生来自,,A B C 三校，其中A 校20人，B 校30人，C 校40人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后再选择下一位面试，求A 校学生先于其他两校学生完成面试的概率.5.12345,,,,A A A A A 是五个矩形区域（边平行于坐标轴），存在两个集合45,A A ，证明：12345()()A A A A A ⊂参考答案1.解：222222()1cos 2222cos a b b c a b bcb c a c bc c b A bc bc bb Ac b=+=∴=++---∴===∴=- ，于是有：2sin cos sin sin sin()sin sin cos cos sin sin B A C A A B BA B A B B=-=+-=+- 即：sin()sin()B A B -=-又0,+()B B A B A B B A B ππππ-<-<-<-<∴-=---=- 或因此得2A B A π==或（舍去）又1=24A B C A π∴== 又由()1a b b c =+=，得2==2b c 所以1124ABC S bc ∆==2.解：首先，当9,3m n ==时，原式4591236=23=⨯⨯⨯，只有2个素因子2,3，其次证明不可能只有1个素因子因为，m 与229n m ++奇偶性不同，故一奇一偶故原式必有素因子2与另一个奇素因子故最小值为23．解：先求导原式得'32()43(43)f x x px x x p =+=+于是，()f x 在3()4p -∞-，上递减，在3(+)4p -∞，上递增；故4438127()=0425664f p p p q --+>，即27256q p >.（2）因()f x 的增减区间只有2段当3()=04f p -，即27=256q p ，则()f x 有4重根a ，即4()=()f x x a -比较系数知=00a p q ∴==，当3()04f p -<即27256q p <.则()f x 有2个不同根，于是只能一个根α是3重，另一个根β为1重根，所以3()=()()f x x x αβ--2233+3=03+=0ααβαβα⎧⎪∴⎨⎪⎩，=0α∴30,30q p αβαβ∴===--≠综上，0q ∴=4.解：首先，最后一位面试的学生只能来自B 校或C 校.（1）当最后面试的学生来自B 校时，其概率为301=20+30+403（2）接着只需A C 、两校的所有学生中，最后面的那位学生来自C 校即可其概率为402=20+403（3）当最后面试的学生来自C 校时，其概率为404=20+30+409（4）接着只需要A B 、两校的所有学生中，最后面试的那位学生来自B 校即可，其概率为303=20+305综上，概率为124422+=339545⨯⨯5.解：首先任意三个交集非空，否则取这个集合即可，故由凯莱定理知12345A A A A A 非空注意5个矩形的交集仍是矩形，其左横坐标是5个矩形，左去除左横坐标最大，右横坐标最小的2个矩形（可能是同一个）①再考虑剩下3个矩形，考虑纵坐标，删去上上纵坐标最大，求下纵坐标最小的，取剩下的1或2个矩形②；与前面横坐标选出的1或2个矩形构成123A A A ，其他作45A A ，则123A A A 的横坐标方位包含于45A A ，中，且45A A ，的纵坐标范围覆盖了②的纵坐标范围.故12345()()A A A A A ⊂。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题
保密★启用前2016年中国科学技术大学自主招生数学试题 2016.6一、填空题（每小题6分，共48分）1．20163除以100的余数为 .2．复数12,z z 满足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，则12z z 的值是 . 3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆，，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 .4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是 .5．若对任意实数x 都有2|2||32|x a x a a -+-≥，则a 的取值范围是 .6．若(,)42ππα∈，(0,1)b ∈，logsin log cos (sin ),(cos )b b x y αααα==，则x y (填,,>=<)7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，若,AB a CD b ==，则n n P Q = . （用,,a b n 表示）8． 数列{}n a 中，n a最接近的整数，则201611n na ==∑ . 二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）9．已知,,0a b c >，3a b c ++=22232≥ 10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.11．求方程2571x y z -⋅=的所有非负整数解(,,)x y z .。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题及其详解
１. 满足 ｘ ＋ ２ｙ ＋ ３ｘ ＋ ４ｙ ≤５ ( ｘꎬｙ∈Ｒ) 的点( ｘꎬｙ)
所构成的区域的面积是 .
２. 方程 ｓｉｎ２ｘ ＋ ｃｏｓ３ｘ ＝ ０(０ < ｘ≤２π) 根的和是
.
３. 若△ＡＢＣ 三个顶点的坐标分 别 是 Ａ (０ꎬ１ ) ꎬＢ (１ꎬ
０) ꎬ Ｃ ç ｘꎬ
２０１９ 年中国科学技术大学
自主招生数学试题及其详解
甘志国
( 北京市丰台二中 １０００７１)
摘 要:２０１９ 年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含 ８ 道填空题和 ３ 道解答题ꎬ试题难度是中等.
解得由笔者给出.
关键词:２０１９ 年科学技术大学自主招生数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ回忆版ꎻ详解
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)３４ － ００４６ － ０４
４
注 由以ＢꎬＣꎬＤ 的坐标分别是 (５ꎬ － ２. ５ ) ꎬ( － １０ꎬ
７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ(１０ꎬ － ７. ５) . 可求得 ＡＢ ＝ ５ １３ ꎬ直
５
线 ＡＢꎬＣＤ 的距离是
ꎬ所以题中的区域的面积是 ５ １３
ï
î － ２ｘ － ２ｙ≤５ꎬ
Ｃ 的坐标分别是( － １０ꎬ７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ进而可求得其
１
５
２５
面积是 ５ ２
＝ .
２
２２ ４
ìｘ ＋ ２ｙ≤０ꎬ
ïï
(３) í３ｘ ＋ ４ｙ≤０ꎬ
ï
î － ４ｘ － ６ｙ≤５ꎬ
可得该区域即△ＯＣＤꎬ其中点 Ｃꎬ
１
５
２５
面积是 ５ １３
( ｎ∈Ｎ ∗ ) 有唯一的零
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。
答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。
答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016 年中国科学技术大学自主招
生
数学试题解析一、填空题（每小题 6 分，共48 分）
1．32016除以100的余数为.
2．复数z1,z2满足| z1 | 2,| z2 | 3，|z1 z2| 4，则z1的值是
.
z2
3．用S( A)表示集合 A 的所有元素之和，且 A {1，2，3，4，5，6，7，8} ，S( A)能被 3 整除，但不能被 5 整除，则符合条件的非空集合A的个数是.
4．已知ABC中，sinA 2sin BcosC 0，则tan A的最大值是.
5 ． 若 对 任 意 实 数 x 都 有 |2x a| |3x 2a| a 2
， 则 a 的 取 值
范 围 是 .
6．若 (4
, 2
)，b (0,1) ，x (sin )
log b
sin
,y (cos )
log b
cos
，则x y ( 填 , , )
7．梯形ABCD中，AB// CD ,对角线AC,BD交于P1,过P1作AB的平行线交BC
于点Q1，AQ1交BD 于P2,过P2作AB的平行线交BC于点Q2 ，⋯，若AB a,CD b ，则P n Q n .
（用a,b,n 表示）
8．数列{a n}中，a n是与n 最接近的整数，则2016
n 1 a n
N ，使得对任意正整数 x y ，0 | f (x) f (y)| 2| x
y|.
二、解答题（第 9
小题满分 16 分，第 10、 11 小题满分 18 分） 9．已知 a,b,c 0 ，
abc 3 求
2
a
a bc
22
b c 3 b ca c ab
2
10．求所有函数 f : N
11．求方程2x5y7z1的所有非负整数解
(x,y,z) .。