(新)高中必修五线性规划试题
高中数学必修五线性规划问题检测(解析版)
高中数学必修五线性规划问题检测(解析版)一、选择题1．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yB.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y【解析】 由题意易知选A.【答案】 A2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2【解析】 作出可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0，得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 【解析】 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.【答案】 A4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】 A5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】 D6．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A －2k ，0.∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D. 【答案】 D7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.【答案】 B二、填空题8．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．【解析】首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大．【答案】 (0,5)9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________.【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 【答案】 110．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．【解析】 画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)， 所以|AO |2＝5. 【答案】 511．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.【答案】 －2三、解答题12．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900.13．变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2的最小值．【解】不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方．由图可知，当点P 的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2的最小值为5.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．【解】 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3,4)时z 取得最小值－2，过C (1,0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．。
高中数学必修五线性规划
高中数学必修五：线性规划1. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为() A ．20 B ．35 C ．45 D ．552..若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23 D ．3.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A. -5B. 1C. 2D. 34.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则co s P O Q∠的最小值为( ) A ．12B．15 ．当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥220y x y x 时,恒有3ax y +≤成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a ≥ C ．02a ≤≤ D ．3a ≤6 ．已知实数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,13,1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．3117.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过A 中的那部分区域面积为（ ）A ．2B ．1C ．34D ．748．设实数,x y 满足约束条件:360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325 C ．1 D ．29．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是（ ） A ．]617,21[B ．]43,21[C ．]617,43[D ．),21[+∞10.若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+表示区域的面积为（ ）A ． 34B. 43C. 12D. 111.设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] 12.设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
人教版高中数学必修五简单的线性规划问题同步练习题
课时训练18 简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,若z=x+2y ,则z 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y ,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点A (0,1)时,直线y=-12x+z2的截距最大,此时z 最大,代入目标函数得z=2.故选B .2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥3,x -y ≥-1,2x -y ≤3,则目标函数z=2x+3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式{x +y ≥3,x -y ≥-1,2x -y ≤3表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-2x 3+z3在可行域上平移,知在点B 处目标函数取到最小值,解方程组{x +y =3,2x -y =3,得(2,1). 所以z min =4+3=7.故选B . 3.设变量x ,y 满足约束条件{y ≥x ,x +2y ≤2,x ≥-2,则z=x-3y 的最小值为 .答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z 经过点A (-2,2)时,z 有最小值,此时z 的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x ,y 满足{x -y +1≤0,x >0,则yx 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x ,y 满足{x -y +1≤0,x >0的相关区域如图中的阴影部分所示.y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,y x的取值范围为(1,+∞). 5.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是 . 答案:√2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x+y-2=0的距离,即d min =|-2|√2=√2.三、求线性规划中的参数6.x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0,若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a 的值为( ) A.12或1 B.2或12C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x ,y 满足{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3),若z=2x+y 的最小值为1,则a= . 答案:12解析:因为a>0,作出不等式组{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3)表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A (1,2),B (1,-2a ),C (3,0).由z=2x+y 得y=-2x+z ,将直线y=-2x 进行平移,可得当经过点B 时,目标函数z 达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=12. 8.当实数x ,y 满足{x +2y -4≤0,x -y -1≤0,x ≥1时,1≤ax+y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案:[1,32]解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y ,则y=-ax+z ,要使1≤z ≤4恒成立, 则a>0,数形结合知满足{1≤2a +1≤4,1≤a ≤4,1≤a +32≤4即可,解得1≤a ≤32,所以a 的取值范围是[1,32].四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v 1 km/h(30≤v 1≤100)匀速从A 地出发到相距300 km 的B 地,在B 地不作停留,然后骑摩托车以v 2 km/h(4≤v 2≤20)匀速从B 地出发到相距50 km 的C 地,计划在当天16:00至21:00到达C 地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x ,y 小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x )+2(8-y )元,那么v 1,v 2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元? 解:由题意得,x=300v 1,y=50v 2, ∵30≤v 1≤100,4≤v 2≤20, ∴3≤x ≤10,52≤y ≤252.由题设中的限制条件得9≤x+y ≤14,于是得约束条件{9≤x +y ≤14,3≤x ≤10,52≤y ≤252,目标函数p=100+3(5-x )+2(8-y )=131-3x-2y ,作出可行域(如图),设z=3x+2y ,当y=-32x+z 2平移到过(10,4)点时在y 轴上的截距最大, 此时p 最小.所以当x=10,y=4,即v 1=30,v 2=12.5时,p min =93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x ,y )构成的平面区域如图所示,z=mx+y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m 的值为( )A.-720 B.720C.12D.720或12答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z 与直线AC 重合,则{225=-m +z ,3=-5m +z ,解得m=720.2.设变量x ,y 满足约束条件{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,则目标函数z=y-2x 的最小值为( )A .-7B .-4C .1D .2答案:A解析:作约束条件{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为y=2x+z ,z 表示直线在y 轴上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y=2x ,平移l 0,当l 0过点A (5,3)时,z 取最小值,且为-7,选A .3.若A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34B.1C.74D.2答案:C解析:如图所示,区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当a 从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.S 四边形ODEC =S △OBC -S △BDE =2-14=74.4.如果点P 在平面区域{2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0上,点Q 在曲线x 2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.√5-1B.√5-1 C.2√2-1 D.√2-1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P 到点Q 的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min =√12+22-1=√5-1.5.已知x ,y 满足条件{x ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )A.-16B.-6C.-83D.6答案:B解析:由z=x+3y 得y=-13x+z3.先作出{x ≥0,y ≤x的图象,因为目标函数z=x+3y 的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x 的交点为C ,解得C (2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B .6.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤1,x +y ≥0,x -y -2≤0,则z=x-2y 的最大值为 .答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y ,得y=x 2−z 2,当直线y=x 2−z 2在y 轴上的截距最小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点A 时,在y 轴上的截距最小,由{x +y =0,x -y -2=0,解得A (1,-1).所以z max =1-2×(-1)=3.7.记不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域为D ,若直线y=a (x+1)与D 有公共点,则a 的取值范围是 . 答案:[12,4]解析:作出如图所示的可行域,且A (0,4),B (1,1).又∵直线y=a (x+1)过点C (-1,0),而k BC =12,k AC =4. 从而直线y=a (x+1)与D 有公共点时,a ∈[12,4].8.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取最大值.又A (1,2),∴z max =1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.解:作出满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域如图:作直线l :2y-2x=t ,当l 过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8. 当l 过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 所以,z 的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z 万元,由题意得:{x +y ≤300,500x +200y ≤90 000,x ≥0,y ≥0,目标函数为z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组{x +y ≤300,5x +2y ≤900,x ≥0,y ≥0所表示的区域,即可行域,如图:作直线l ,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l ,从图中可知,当直线l 过点M 时,目标函数取得最大值.由{x +y =300,5x +2y =900,解得{x =100,y =200,即M (100,200).则z max =3 000x+2 000y=700 000(元),即该公司在甲电视台做100 min 广告,在乙电视台做200 min 广告,公司收益最大,最大收益是70万元.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
2020年高一下学期必修五人教版3.3.2简单的线性规划问题(一)含答案
3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题(一)题型一 求线性目标函数的最值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，求2x ＋3y 的最大值．跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是．题型二 已知线性目标函数的最值求参数例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．题型三 求非线性目标函数的最值例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．引申探究1.把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．2.把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1 B.45 C.12 D.23类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 【课堂练习】1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.522．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．233．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，3B.⎝⎛⎭⎫13，2C.⎝⎛⎭⎫15，2D.⎝⎛⎭⎫13，3 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值．1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”． 【巩固提升】 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．453．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,35．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10 6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,2)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1) 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤2C ．a <2D ．a <18．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12 C ．1 D ．2 二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是 ．10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是 ． 11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为 ．12．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则ba 的最大值为________．三、解答题13．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．14．等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋xy的取值范围．3．3.2 第1课时 简单的线性规划问题(一)答案例1解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是． 答案 3解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为． 答案 (1，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，目标函数为z ＝ax ＋y (a >0)，由题意可知，当直线y ＝－ax ＋z 经过点C 时，z 取得最大值， ∴－a <k CD ，即－a <－1，则a 的取值范围为(1，＋∞)．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．解 如上例中图形，若使z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，所以－a ＝k CD ，即－a ＝－1，此时a ＝1. 例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)， 故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，7.2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例1解得－12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 反思感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1B.45C.12D.23答案 B解析 画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝23，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23.y ＋2x ＋2表示可行域内的点(x ，y )与C (－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23时，y ＋2x ＋2有最大值45.类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x ≥0时，z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，由图象可知其经过A (0，－1)时，z min ＝－1，经过B (6，－1)时，z max ＝11；当x ≤0时，y ＝2x ＋z ，由图象可知其经过C (－2，－1)时，z max ＝3，经过A (0，－1)时，z min ＝－1，综上所述，－1≤z ≤11.[课堂练习]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0C.53D.52答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2b <4，a >0，b >0表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).b ＋1a ＋1的几何意义是可行域内的点M (a ，b )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M 与点B (0,2)重合时，b ＋1a ＋1最大；当点M 与点A (4,0)重合时，b ＋1a ＋1最小．由图知k PB ＝2＋10＋1＝3，k PA＝0＋14＋1＝15，因为a ，b 是正数，且点A ，B 不在可行域内，所以15<b ＋1a ＋1<3，故选A. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．解 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率． 由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. [巩固提升] 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6B ．－2C ．0D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ， 当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6.2．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max＝3×2＋5×3＝21，故选C.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值．易求得A (3,5)，B (5,3)． ∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10B ．22C ．8D ．10 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．因为(x ＋3)2＋y 2的几何意义是点A (－3,0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方，显然|AC |最小，所以(x ＋3)2＋y 2的最小值为|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，故选D.6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,2) C ．[－1，＋∞) D．[－1,1) 答案 B解析 作出可行域，如图(阴影部分)所示，x ＋y －1x ＝1＋y －1x ，k ＝y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴k l <1.综上，k ∈[－1,1)，k ＋1∈[0,2)．7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤2 C ．a <2 D ．a <1答案 D解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)， 所以可行域内的点与点(a ，－2)连线的斜率的取值范围是[0,2)．又直线2x －y －4＝0的斜率为2，所以由图可知点(a ，－2)在直线BA 上，且在A (1，－2)的左侧，所以a <1.故选D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是．答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界．三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. 10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是． 答案 (－∞，0)解析 可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．w ＝y －1x ＋1的几何意义为点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率． 由图知w ∈(－∞，0)．11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为． 答案 4解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的点(x ，y )与定点B (－1,1)连线的斜率， 由图可知，点A 与点B 连线的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －a ＝0，得A (1，a －1)．∴z 的最大值为a －22＝1，解得a ＝4.12已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则b a的最大值为________． 答案 7解析 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．且目标函数为z ＝yx，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72， 此时z max ＝7，即b a的最大值为7.三、解答题13已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎪⎫3222＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. 14等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围． 解 设a n ＝kn ＋b .则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3k ＋b <1，a 4＝4k ＋b ＞1，可行域如图阴影部分．a 7＝7k ＋b .当k ＝0，b ＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a 7∈(1，＋∞)．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋x y 的取值范围． 解 令k ＝y x ，则y ＝kx (因为x ≠0，所以k 存在)，直线y ＝kx 恒过原点，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝kx 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝kx 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，所以斜率k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，又z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k ，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，z ＝k ＋1k 为减函数；当k ∈[1,2]时，z ＝k ＋1k 为增函数，可得z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.。
高中数学新人教A版必修5练习附答案：第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题练习16.doc
高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇 巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析 由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析 可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线 重合时 ,max2, 此时线段 上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析 画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析 设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析 作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析 画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析 设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。
【高中数学新人教B版必修5】3.5.2《简单线性规划》测试
【高中数学新人教B 版必修5】3.5.2《简单线性规划》测试一．选择题：1．以下四个命题中，正确的是（ ）Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x －y=0同侧Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）A ．右上方B ．右下方C ． 左下方D ．左上方3．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．23 Ｃ．223 Ｄ．2 二．填空题： 4．若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤≤+≤822624y x y x ，则x+y 的范围是 。
6．非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是 。
7．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是 。
8．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（ ）A ． 2B ． 1C ． －2D ． －39．已知变量x 、y 满足约束条件1≤x+y ≤4，－2≤x －y ≤2。
若目标函数z=ax+y （其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围是 。
10．设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距离的最大值是 。
三．解答题：11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。
人教A版高中数学必修5第三章第3节《简单线性规划》专题训练(含解析)
简单线性规划专题训练一．选择题：共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x 表示的平面区域为D ，若直线1+=kx y 将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 A ．31 B ． 1 C ． 32D ． 2 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．233. 已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2220确定．若),(y x M 为D上的动点，点A 的坐标为)1,2(，则→→⋅=OA OM z 的最大值为A ．3B ．4C ．23D ．244. 若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+03203203y x y x y x 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A ．553 B ．2 C ．223 D ．5 5. 已知变量y x ,满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数y ax z +=(其中0>a )仅在点)0,3(处取得最大值，则a 的取值范围为 A ． ),21(+∞ B ．),21(+∞-C ．)21,(-∞D ．)21,(--∞ 6. 已知0>a ， y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则a 等于A ．41 B ．21C ．1D ．2 7. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．48. 设y x +=z ，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002,若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．09. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ,则122++x y 的最大值是A ．5B ．6C ．8D ．1010. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z的最大值为12，则ba 32+的最小值为 A ．625 B ．65 C ．256 D ．56二．填空题.11. 若点)3,1(和)2,4(-在直线02=++m y x 的两侧，则m 的取值范围是_______．12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则251022+-+=y y x z 的最小值为 ．13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则目标函数11++=x y z 的最大值和最小值分别为 ．三．解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ．（Ⅰ）设xyz =，求z 的最小值； （Ⅱ）设22y x z +=，求z 的取值范围；（Ⅲ）设134622+-++=y x y x z ，求z 的取值范围．15．实系数一元二次方程022=-+b ax x 有两实根，一根在区间)1,0(内，另一根在区间)2,1(内.若1-=a bz ，求z 的取值范围．16． 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x .（Ⅰ）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积； （Ⅱ）若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为4，求ba 321+的最小值.17．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，求可得最大利润z 的值.简单线性规划同步训练参考答案11．)6,5(- 12．29 13．3和21 1．A 【解析】由题意可得)1,0(A ，)0,1(B ，)3,2(C ．则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x 表示的平面区域为ABC ∆及其内部．直线1+=kx y 过定点A ， 要把ABC ∆分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ， 此时12323+⋅=k ，解得31=k . 2．B 【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，y x z 32+=经过点)1,2(A 时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．B 【解析】由线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2220，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y x OA OM z +=⋅=→→2，将其化为z x y +-=2，结合图形可知，当目标函数的图像过点)2,2(时，z 最大，将点)2,2(代入y x z +=2，得z 的最大值为4.4．B 【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得)2,1(A ， 由⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得)1,2(B ．由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即2)12()21(22=-+-=AB .5．A 【解析】依据约束条件，画出可行域．∵直线032=-+y x 的斜率211-=k ，目标函数)0(>+=a y ax z 对应直线的斜率a k -=2， 若符合题意，则需21k k >，即a ->-21，得21>a . 6．B 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线y x z +=2过交点B 时， z 取最小值，由⎩⎨⎧-==)3(1x a y x ，解得⎩⎨⎧-==a y x 21，∴122min =-=a z ，解得21=a . 7．D 【解析】可行域如图所示．y abx z +=可化为z abx y +-=，由图知A 为最优解，∴841=+⋅ab ，即4=ab ；∴42=≥+ab b a 当且仅当2==b a 时取等号，即 4)(min =+b a ．8．A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由y x +=z ，得z x +-=y ，由图可知当直线z x +-=y 经过点A 时， 直线z x +-=y 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，由⎩⎨⎧=-=0y x k y ,得⎩⎨⎧==k y k x ,即点),(k k A ，∴6=+=k k z ，得3=k .当直线z x y +-=经过点B 时， z 取得最小值，由⎩⎨⎧=+==023y x k y ，解得⎩⎨⎧=-=36y x ，即点)3,6(-B ，此时z 的最小值为336-=+-.9．D 【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，11++x y 的几何意义是点)1,1(--M 与可行域内的点),(y x P 连线的斜率，当点P 移动到点)4,0(N 时，斜率最大，最大值为5)1(0)1(4=----，∴1052)122(max =⨯=++x y ． 10．A 【解析】画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧=+-=--02063y x y x ，得)6,4(A ． 目标函数在)6,4(A 处取得最大值12， 所以632=+b a ， 从而有)6946(61)32)(326132ba ab b a b a b a +++=++=+（ 6252613)(613)66(61613=⋅+≥++=++=b a a b b a a b b a a b . 当且仅当56==b a 时取等号，所以b a 32+的最小值为625. 11．)6,5(-【解析】依题意有0]2)4(2)[312(<++-⨯++⨯m m ，即0)6)(5(<-+m m ，解得65<<-m ．12．29【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示， )3,1(A ， )1,3(B ，)9,7(C .22)5(-+=y x z 表示可行域内任一点),(y x 到点)5,0(M 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故22323)1(12502==-++-=MN .∴29223(22==）MN ,即z 的最小值为29. 13．3和21【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于)1()1(11----=++=x y x y z ,故z 的几何意义是点),(y x 与点）1-,1(-M 连线的斜率，因此11++x y 的最值是点),(y x 与点）1-,1(-M 连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵)2,0(B ， )0,1(C ,∴3max ==MB k z ， 21min ==MC k z . ∴z 的最大值为3，最小值为21. 14．【解析】由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎨⎧=-+=025531y x x ，解得)522,1(A ； 由⎩⎨⎧==+-1034x y x ，解得)1,1(C ； 由⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x ，解得)2,5(B （Ⅰ）因为00--==x y x y z ， 所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知52min ==OB k z ；（Ⅱ）22y x z +=的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知， 2min ==OC d ，29max ==OB d ；即292≤≤z ； （Ⅲ）2222)2()3(1346-++=+-++=y x y x y x z 的几何意义是可行域上的点到点)2,3(-的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点)2,3(-的距离中，43-1min =-=）（d ， 83-5max =-=）（d . 所以6416≤≤z . 15．【解析】设b ax x x f 2)(2-+=， 因为一元二次方程022=-+b ax x 有两实根，一根在区间)1,0(内，另一根在区间)2,1(内，所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<-+=>-=0224)2(021)1(02)0(b a f b a f b f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-<020120b a b a b ．作出不等式组表示的可行域，如图中ABC ∆内部的部分．又1-=a b z 表示可行域内的点与点)0,1(P 连线的斜率， 由图形可得过点A 和点P 的直线的斜率最小，过点)(C B 和点P 的直线的斜率最大． 由⎩⎨⎧=+-=+-02012b a b a 得)1,3(--A ， 又可得)0,2(),0,1(--C B ， 所以411301=----=PA k ，0=PC k ，故1-=a b z 的取值范围为)41,0(. 16．【解析】（Ⅰ）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.联立⎩⎨⎧=--=+-06302y x y x 得点C 坐标为)6,4(， 平面区域的面积1042216221=⨯⨯+⨯⨯=s ； （Ⅱ）当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点)6,4(C 时,目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 取得最大值4,即464=+b a , 即123=+b a . 所以432232)23)(321(321≥++=++=+ba ab b a b a a a ， 等号成立当且仅当31,21==b a 时取到，故ba 321+的最小值为4． 17．【解析】设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆， 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+<≥+≤+<∈≤≤∈≤≤192072610120,70,80y x y x y x N y y N x x ，设每天的利润为z 元，则y x z 350450+=.画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．)79(50350450y x y x z +=+=，由图可知直线079=+y x 经过点A 时，z 取得最大值． 又由⎩⎨⎧=+=+19212y x y x ，得⎩⎨⎧==57y x ，即)5,7(A∴当5,7==y x 时，z 取到最大值，490053507450max =⨯+⨯=z (元)．。
高中数学第三章不等式专题3.3.2简单的线性规划问题试题新人教A必修5
3.3.2 简单的线性规划问题1．简单线性规划的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．例如，就是一个关于x，y的约束条件．（2）线性约束条件：约束条件中都是关于变量x，y的一次不等式(或一次方程)，这样的不等式组称为x，y的线性约束条件．例如，就是一个关于x，y的线性约束条件．（3）目标函数：把要求最大值或最小值的函数称为目标函数．例如，已知x，y满足约束条件，分别确定x，y的值，使取得最小值，取得最大值，其中和均为目标函数．（4）线性目标函数：目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数．例如，上述例子中是线性目标函数，而不是线性目标函数．（5）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．（6）可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．（7）可行域：由所有_____________组成的集合叫做可行域．（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．注：（1）约束条件也可以是方程，线性约束条件也可以是二元一次不等式与二元一次方程的组合，而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合；（2）可行解必须使线性约束条件成立，而可行域是所有可行解构成的平面区域．2．简单线性规划问题的解法（1）目标函数z＝ax＋by(b≠0)的几何意义将目标函数z＝ax＋by变形为的形式，它表示斜率为，在y轴上的截距为，并随z变化的一组平行直线．把直线ax＋by＝0向上平移时，在y轴上的截距逐渐增大，当b＞0时，z的值随之_____________；当b＜0时，z的值随之_____________．把直线ax＋by＝0向下平移时，在y轴上的截距逐渐减小，当b＞0时，z的值随之_____________；当b＜0时，z的值随之_____________．（2）线性规划问题的求解方法——图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：①画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；②移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；③求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；④答：给出正确答案．K知识参考答案：1．可行解2．增大减小减小增大简单线性规划的有关概念问题（1）在线性规划中，下列命题正确的是A．最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值B．最优解指的是目标函数的最大值或最小值C．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解（2）目标函数z＝x－y，将其看作直线方程时，z的意义是A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线的横截距D．该直线纵截距的相反数【答案】（1）D ；（2）D．【解析】（1）最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解，即满足线性约束条件的解(x，y)，它是一个有序实数对，ABC错误，D正确．（2）目标函数可化为y＝x－z，从而z的意义是该直线纵截距的相反数．【名师点睛】熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键，注意区分可行域、可行解与最优解．求线性目标函数的最值求线性目标函数最值的两种方法：（1）平移直线．作出可行域，正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移直线得到最优解．（2）顶点代入法．依约束条件画出可行域，解方程组得出可行域各顶点的坐标，分别计算出各顶点处目标函数z＝ax＋by的值，经比较后得出z的最大（小）值．对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的顶点处取得，在求解此类问题时可由此快速找到最大值点或最小值点．（1）若变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最小值为_____________；（2）若x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为_____________；（3）如图1，及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x ＋3y的最大值为_____________．图1 图2 图3 【答案】（1）；（2）4；（3）7．【解析】（1）作出可行域，如图2中阴影部分所示，当直线经过点A时z取得最小值．由解得，，此时，z min＝3×1＋2×＝．（2）作出不等式组表示的可行域，如图3中阴影部分所示，作直线l0：3x＋y＝0，平移直线l0，当直线3x＋y＝z过点(1，1)时，z max＝3＋1＝4．【名师点睛】（1）目标函数本质是函数的解析式z＝f(x，y)，线性目标函数即关于x，y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解．线性规划在实际问题中的应用（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A，B，C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排（2）解答线性规划实际应用题的步骤：①模型建立．正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；②模型求解．画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；③模型应用．将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是300吨、750吨，A、B、C三地需要该产品的数量分别是200吨、450吨、400吨．甲厂运往三地的费用分别是6元/吨、3元/吨、5元/吨；乙厂运往三地的费用分别是5元/吨、9元/吨、6元/吨．则怎样调运可使总费用最少？依题意可得，即，作直线2x－5y＝0，并上下平移，由图知，当2x－5y＝z－7150过点(0，300)时，目标函数取得最小值，z min＝5650．故甲厂的产品全运往B地，乙厂运往A、B、C三地的产品分别是200吨、150吨、400吨时，总费用最少，为5650元．【名师点睛】（1）在线性规划的应用问题中，题中的条件较多，应认真审题，仔细判断线性约束条件中有无等号，判断未知数x，y是否有限制（如x，y为正整数、非负数等），分清线性约束条件和线性目标函数（线性约束条件一般是不等式组，而目标函数是一个等式）；（2）图形对解决线性规划问题至关重要，最关键的步骤是通过数形结合完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范（作图中必然会有误差，假如图上的最优解并不明显易辨时，需将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解）．线性规划中的整数解问题已知x，y满足不等式组，求使4x＋3y取得最大值的整数x，y．【答案】使4x＋3y取得最大值的整数，或，．设4x＋3y＝z(z)，则z＜4×＋3×＝37，取z＝37，由4x＋3y＝37，得x＝，代入约束条件解得≤y≤9，所以取y＝9，而此时x＝非整数，故不成立．再取z＝36，即4x＋3y＝36，得x＝，代入约束条件得≤y≤12，取y＝7，8，9，10，11，12，分别代入x＝，可知当x＝3，y＝8；x＝0，y＝12时为整数解，经验算得，最优整数解为(3，8)，(0，12)．【名师点睛】对于线性规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数时，可用下面的方法求解：（1）平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解；（2）检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解；（3）调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．非线性目标函数的最值问题（1）形如型的目标函数这是一个两点间的距离的模型，也可视为圆的模型，可化归为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的最值问题．常见的类似形式有或等．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为_______________．【答案】【解析】将目标函数化为，原问题等价于求可行域内的点(x，y)与点(2，0)距离的平方的最小值，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易得点(2，0)到直线的距离的平方即为所求，z min＝．【名师点睛】此模型借助于两点间的距离公式，利用数形结合思想巧妙求得最值，比较简捷．（2）形如型的目标函数这是一个斜率模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点(x，y)与点(，)连线的斜率的倍的范围或最值等问题．常见的类似形式有或等．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是A．－2 B．2C．－1 D．1【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为，故选D．【名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．（3）形如型的目标函数这是一个点到直线的距离模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值问题．实数x，y满足不等式组，则z＝|x＋2y－4|的最大值为______________．【答案】21【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝，其几何含义为可行域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时z max＝＝21．【名师点睛】认真体会数形结合思想以及目标函数的特征不难发现，无论可行域是线性条件表示的区域，还是非线性条件表示的区域，还是目标函数形式特别，其本质都是在研究二元函数的最值问题，其求解的方法都是数形结合思想．线性规划中的参数问题（1）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝A．B．C．1 D．2（2）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝______________；（3）已知变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝______________．【答案】（1）B；（2）－2；（3）1．（3）作出线性约束条件表示的平面区域，如图3中阴影部分所示，若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m≠0，目标函数z＝x＋my可看作动直线，若m＜0，则＞0，数形结合可知使z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m＞0，则＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即＝－1，则m＝1．图1 图2 图3 【名师点睛】（1）对于含有参数的线性规划问题，无论参数是在约束条件中还是在目标函数中，解题的关键是从参数的几何意义入手，数形结合进行求解；（2）最优解不唯一或者有无穷多个，即目标函数所对应的直线与约束条件中二元一次不等式所表示的边界直线重合．1．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x－2y的最大值为A．－9 B．0C．9 D．152．已知满足，则的最小值是A．1 B．2C．5 D．3．已知、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是A．B．C．D．4．在中，三个顶点分别为A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)，点P(x，y)在的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为A．[1，3] B．[－3，1]C．[－1，3] D．[－3，－1]5．已知变量满足约束条件则的最小值是A．1 B．C．D．06．设，其中实数满足，若的最大值为6，则的最小值为A．B．C．D．07．已知实数满足且数列为等差数列，则实数的最大值是_______________．8．已知实数满足则的最小值为_______________．9．已知x，y满足条件，求：（1）4x−3y的最大值；（2）x2+y2的最大值；（3）的最小值．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能要获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？11．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于A．7 B．5C．4 D．312．若满足条件，当且仅当时，取得最大值，则实数的取值范围是A．B．C．D．13．已知满足约束条件，则的取值范围是A．B．C．D．14．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A．B．C．D．15．设、满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为A．B．C．D．16．已知实数，，且点在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为_______________，的取值范围为_______________．17．已知，则的最小值为_______________．18．若目标函数z＝x＋y在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________________．19．已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝_______________．20．某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下表所示的数据(以班级为单位)：因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班．（1）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)（2）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？21．（2018天津文理）设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．22．（2018新课标全国Ⅲ文）若变量，满足约束条件，则的最大值为_______________．23．（2018浙江）若，满足约束条件，则的最小值是_______________，最大值是_______________．24．（2018北京文理）若，满足，则的最小值是_______________．25．（2018新课标全国Ⅰ理）若，满足约束条件，则的最大值为_______________．26．（2018新课标全国Ⅱ文理）若，满足约束条件，则的最大值为_______________．27．（2017新课标全国II文理）设，满足约束条件，则的最小值是A．B．C．D．28．（2017天津理）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．1C．D．329．（2017北京文理）若满足，则的最大值为A．1 B．3C．5 D．930．（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是A．[0，6] B．[0，4]C．[6，D．[4，31．（2017新课标全国I文）设x，y满足约束条件，则的最大值为A．0 B．1C．2 D．332．（2017新课标全国III文）设x，y满足约束条件，则的取值范围是A．[–3,0] B．[–3,2]C．[0,2] D．[0,3]33．（2017新课标全国III理）若，满足约束条件，则的最小值为_____________．34．（2017新课标全国I理）设x，y满足约束条件，则的最小值为_______________．35．（2016新课标全国III理）若x，y满足约束条件，则的最大值为_______________．36．（2016新课标全国I文）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_______________元．1．【答案】D【解析】不等式组对应的区域为直线所夹的区域，区域顶点为，将其代入目标函数得的最大值为15．故选D．2．【答案】D【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，由，解得，代入，就可以求得的最小值为．故选D．4．【答案】C【解析】先画出三角形区域（如下图），然后转化为线性规划问题，求线性目标函数z＝y－x的取值范围．由图易知当y＝x＋z过点C时，z取得最小值为0－1＝－1；当y＝x＋z过点B时，z取得最大值为2－(－1)＝3．故y－x的取值范围是[－1，3]，故选C．5．【答案】C【解析】不等式组对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，可看作点连线的斜率，结合图形可知当点位于直线的交点时取得最小值．故选C．7．【答案】【解析】因为数列为等差数列，所以，即目标函数为，画出可行域如图所示，由图可知，当直线过点时取到最大值，最大值为．8．【答案】4【解析】画出约束条件表示的可行域，如下图中阴影部分所示，，令，则目标函数可以看作可行域内点与定点连线的斜率．观察图象可知当定点与点A连线时斜率最小，由解得则，此时目标函数取得最小值，所以的最小值为4．9．【答案】（1）最大值为13；（2）最大值为37；（3）最小值为−9．（2）x2+y2的最大值表示为区域内与原点距离平方的最大值，因此点（−1，−6）满足题意，最大值为37．（3）表示的为区域内的点与（5，−8）连线的斜率，可知过点（4，1）取得最小值为−9．10．【答案】投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．【解析】设投资人分别用万元，万元投资甲、乙两个项目，获得的利润为z万元，则，由题意知，上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分（含边界）即为可行域．作直线，并作出平行于直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点，这里点是直线和的交点．解方程组得，，此时（万元）．答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．12．【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，因为目标函数仅在处取得最大值，所以直线的斜率需满足且，．故选C．13．【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图可知，，解方程组得所以，解方程组得所以，所以，所以的范围是，故选C．14．【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由得A(1，2)，由得B(2，1)，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两条平行直线间的距离最小，因为，所以选B．15．【答案】C16．【答案】【解析】由题意得，，画出不等式组所表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，作直线：，平移，从而可知当，时，，当，时，，故的取值范围是．而的几何意义为点与原点距离的平方，故取值范围是．17．【答案】【解析】设，则，所以当最小时，取得最小值．作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为表示可行域内的点到坐标原点距离的平方，所以当位于点时，取最小值，由方程组解得，即，所以，的最小值为．18．【答案】(2，＋∞)【解析】先根据作出如下图中阴影部分所示的平面区域，欲使目标函数z＝x＋y取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，当且仅当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或线段BC的一部分．19．【答案】2【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z．当－a＞1，即a＜－1时，只能在点O(0，0)处取最大值，z max＝0，与已知矛盾；当0≤－a≤1，即－1≤a≤0时，在点B(1，1)处取最大值，此时a＋1＝4，无解；当－a≤－1，即a≥1时，在点A(2，0)处取得最大值，此时2a＋0＝4，a＝2；当－1＜－a＜0，即0＜a＜1时，在点B(1，1)处取最大值，此时a＋1＝4，无解．综上，a＝2．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）设年利润为z万元，则目标函数为，由（1）作出可行域（图略）．由方程组得则交点M(20，10)．作直线，平移，当平移后的直线过点M(20，10)时，z取最大值70．∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．21．【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为，所以．故选C．22．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由图可知目标函数在直线与的交点处取得最大值，最大值为．23．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值．【名师点睛】线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；③线性规划的实际应用．本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．24．【答案】【解析】不等式可转化为，即，作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，故的最小值为．【名师点睛】此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大．25．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点时，取得最大值，由，解得，此时．26．【答案】9【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当，时，．【名师点睛】线性规划问题是高考中的常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等．27．【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A．【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．29．【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D．30．【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，故选D．31．【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．32．【答案】B33．【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示．目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为．34．【答案】【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为．35．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由图可知当目标函数经过点A(1，)时取得最大值，即．作出二元一次不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，将z＝2 100x＋900y变形得，当直线经过点时，z 取得最大值，解方程组，得点的坐标为(60，100)．所以当x＝60，y＝100时，2100×60＋900×100＝216 000．故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．。
新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习-精选教育文档
简单的线性规划问题知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1.目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答：写出答案.例题讲解：已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)求2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值；(3)求yx 的最大值和最小值.解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最大， 点N 到原点的距离最小.又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13， ∴x 2＋y 2的最小值为92，最大值为13.(3)∵y x 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，知k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤yx ≤2，∴y x 的最大值为2，最小值为12. 题型一：求线性目标函数的最值问题1、 已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0x ＋3≥0y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是3解析 画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0y ＝2，得点M (－1,2)．∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，且z max ＝－1＋2×2＝3． 2、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为1解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (1，0)，设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值，∴z 最大值＝F (1，0)＝13、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为4.解析 作出可行域，如图所示.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 当目标函数z ＝3x －y 移到(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.4、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为8.解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0，2)处取得最大值8.5、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为－7解析 可行域如图阴影部分(含边界).令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5，3).∴z min ＝3－2×5＝－7. 6、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是[2，6]解析 如图，作出可行域， 作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6].7、设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围.解 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0). z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞).8、已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是[0，2] 解析 作出可行域，如图所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0，2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0，2].9、设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为__－10__解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10、在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为__[－1,3]__．解析 画出三角形区域如图，易知k AB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3， 题型二：非线性目标函数的最值1、变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为5解析 作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，2、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为5解析x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.3、实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是[－1，1)解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1).4、已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是5解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝x 2＋y 2， 即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5.5、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |解析 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题． 不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝2．6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( )解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D.7、已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围. （3）z ＝|x ＋2y －4|的最大值解析 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3，1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －－表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线的斜率的2倍，因为k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎡⎦⎤34，72. （3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 题型三：由目标函数的最值求参数的值1、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于5解析 作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝52、在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y 的最大值．解析 由题意得：S ＝12×2a ×a ＝4，∵a >0，∴a ＝2．设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx ＝2，得(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6．3、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为-3解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x＋ay 取最小值，则a ＝－3.4、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为1解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝15、若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是(－4,2)解析 作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－a2<2，即－4<a <2．6、已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围． 解析 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.7、x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a ＜2时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.] 8、若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝－2解析 如图，画出可行域，l 0：2x ＋y ＝0，当l 0：2x ＋y ＝0运动到过点A (k ，k )时，目标函数取得最小值－6，所以2k ＋k ＝－6，k ＝－2.题型四：线性规划的实际应用1、某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于错误!作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200).所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元). 所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.2、某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为2 300元.解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元.。
高一下数学必修五第3章 3.3.2 简单的线性规划问题练习题课件
易错点1 忽略截距与目标函数值的关系而致错
9．设E为平面上以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝ 4x－3y的最大值与最小值．
解
易错 警示
把目标函数z＝4x－3y化为y＝43x－13z.根据条件画出可行域如图所示， 当动直线y＝43x－13z经过点B(－1，－6)时，z取得最大值； 当动直线y＝43x－13z经过点C(－3，2)时，z取得最小值． 故zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
3.3.2 简单的线性规划问题 刷基础
题型1 线性目标函数的最值问题
2．[山东青岛2018高三二模]设实数x，y满足 A．有最小值2，最大值3 B．有最大值3，无最小值 C．有最小值2，无最大值 D．既无最大值也无最小值
则z＝x＋y( C )
解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
x+ x∈
4y ≤ 11 Z, y ∈ Z
，求S＝5x＋4y的最大值．
x > 0, y > 0
解
依据已知条件作出图形如图所示，
因为B(2，1)是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，
同理，可得C(1，2)，SC＝5×1＋4×2＝13，由于14>13，故Smax＝14.
题型3 线性规划的实际应用
6．[福建厦门2017高二上学期期末]4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支
铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( B )
A．0.5元
B．1元
C．4.4元
D．8元
2020年高一下学期必修5人教版3.3.2简单的线性规划问题(二)含答案
力等限制数据列在下表中， 那么为了获得最大利润， 甲、乙两种货物应各托运的箱数为
.
货物 甲 乙
托运限制
体积 (m 3/箱 ) 重量 (50kg/ 箱 ) 利润 (百元 /箱 )
5
2
20
4
5
10
24
13
如何从实际问题中建立线性规划模型 从实际问题中建立线性规划模型一般有 3 个步骤
1．根据影响目标的因素找到决策变量． 2．由决策变量与目标的关系确定目标函数．
若目标函数 z＝ax＋ y 的最大值有无数个最优解，求
实数 a 的值．
1． 画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能 准确，图上操作尽可能规范． 2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅 速解决相关问题 . 【巩固提升】 一、选择题
的最大值为
元．
11．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件
＝ 10x＋ 10y 的最大值是
．
三、解答题
5x－ 11y≥－ 22， 2x＋ 3y≥ 9， 2x≤ 11， x， y∈ N*，
则z
2x＋y≥ 4， 12．设 x， y 满足 x－y≥－ 1，
x－2y≤ 2，
求 z＝ x＋y 的取值范围．
5x＋ 3y－ 5<0
A．1 二、填空题
B． 2
C．3
D．4
9．给出平面区域如图所示，其中 A(5,3)， B(1,1)， C(1,5)，若使目标函数 z＝ ax＋ y(a>0) 取得最
大值的最优解有无穷多个，则 a＝
.
10．某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品
高中必修五线性规划试题
二元一次不等式组和简单的线性规划模拟试卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A. a ＜－1或a ＞24B. a =7或a =24C. －7＜a ＜24D. －24＜a ＜72.若x , y 满足约束条件210,0,0.x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则x +2y 的最大值是 ( )A.［2，6］B.(2，5)C.(3，6)D.(3，5)3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x , y )的个数是 ( )A.16B.17C.40D.414.不等式x －2y +6＞0表示的平面区域在直线x －2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方5.不等式组3,0,20x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积等于 ( )A.28B.16C.439 D.1216.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0x y x y x y y ->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点有 ( )A.3个B.4个C.5个D.6个7.点P (a , 4)到直线x －2y +2=0的距离等于且在不等式3x + y －3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐标为（ ）A ．(16，－4)B ．(16，4)C ．(－16，4)D ．(－16，－4)8.在直角坐标平面上，满足不等式组224640,233x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨-+-≥⎪⎩面积是 ( )A ．6π+10B ．9π－18C ．8π－10D ．18π－99．如图220x y -<表示的平面区域是 （ ）10．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =24 11．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ） A ．32B ．21C ．2D ．23 12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( )A.5种B.6种C.7种D.8种二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.13.变量x , y 满足条件430,35250,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩设z=y x , 则z min = ，z max = .14.已知集合A ={(x , y )│|x |+|y |≤1}，B ={(x , y )｜(y －x )(y +x )≤0}，M =A ∩B ，则M 的面积为 . 15.设m 为平面内以A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)，当点(x , y )在区域m 上变动时，4x -3y 的最小值是 .16.设P (x ,y )是区域|x |+|y |≤1内的动点，则函数f (x ,y )=ax +y (a ＞0)的最大值是 . 17．下图所示的阴影区域用不等式组表示为18．若x ，y 满足不等式组5,26,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则使k =6x+8y 取得最大值的点的坐标是 .20. （本题满分12分）设实数x 、y 满足不等式组14,2|23|.x y y x ≤+≤⎧⎨+≥-⎩(1)作出点(x , y )所在的平面区域(2)设a ＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ,y )=y －ax 的最大21. （本题满分14分）某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.22．（本题满分14分）某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?23. （本题满分14分）私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：市场调查表根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?。
人教版高中数学高二人教A版必修5练习 .1简单的线性规划问题
第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5 B．6 C．7 D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由⎩⎨⎧y＝x，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝－1，y＝－1，所以A(－1，－1)．由⎩⎨⎧x＋y＝1，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝2，y＝－1，所以B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，z min＝2×(－1)－1＝－3＝n，当直线y＝－2x＋z经过点B时，z max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案：B2．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x －y的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：作出可行域如图所示．l o：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－32，在B点处z取最大值为6.答案：A3．已知实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx －y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1 B.12C．－12D．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个．答案：A4．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y 的最大值为2，则实数a的值是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝12x－12t在点(2，a－22)处取得最大值，即t max＝2－2·a－22＝4－a＝2，得a＝2.答案：C5．设关于x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2＞0，解得m ＜－23，故选C.答案：C 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0.则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由⎩⎨⎧x＝1，x－y＋1＝0，得A(1，2)，所以|AO|2＝5.答案：58．若点P(m，n)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－7≤0，x－2y＋5≤0，2x－y＋1≥0所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎨⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎨⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9x＋4y≤300，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥15，y≥15.z＝7x＋12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－712x＋z12，得到斜率为－712，在y轴上截距为z12，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距z12最大，z最大．解方程组⎩⎨⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300得点A坐标为(20，24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B 级 能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32.所以a的取值范围是1≤a≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a的取值范围为(－4，2)．。
人教版高中数学必修五简单的线性规划问题一测试题
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12 B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)， 即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
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二元一次不等式组和简单的线性规划模拟试卷
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ( )
A. a ＜－1或a ＞24
B. a =7或a =24
C. －7＜a ＜24
D. －24＜a ＜7
2.若x , y 满足约束条件210,0,0.x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则x +2y 的最大值是 ( )
A.［2，6］
B.(2，5)
C.(3，6)
D.(3，5)
3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x , y )的个数是 ( )
A.16
B.17
C.40
D.41
4.不等式x －2y +6＞0表示的平面区域在直线x －2y +6=0的 ( )
A.右上方
B.右下方
C.左上方
D.左下方
5.不等式组3,0,20x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域的面积等于 ( )
A.28
B.16
C.
4
39 D.121
6.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0
x y x y x y y ->⎧⎪+-<⎪
⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点有 ( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
7.点P (a , 4)到直线x －2y +2=0的距离等于25且在不等式3x + y －3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐
标为（ ）
A ．(16，－4)
B ．(16，4)
C ．(－16，4)
D ．(－16，－4)
8.在直角坐标平面上，满足不等式组22
4640,
233x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨-+-≥⎪⎩
面积是 ( )
A ．6π+10
B ．9π－18
C ．8π－10
D ．18π－9
9．如图220x y -<表示的平面区域是 （ ）
10．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）
A ．a <－7或a >24
B ．a =7或a =24 11．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1），
C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ） A ．
32
B ．21
C ．2
D ．2
3 12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根
据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( )
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.
13.变量x , y 满足条件430,
35250,1.
x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
设z=y x , 则z min = ，z max = .
14.已知集合A ={(x , y )│|x |+|y |≤1}，B ={(x , y )｜(y －x )(y +x )≤0}，M =A ∩B ，则M 的面积为 . 15.设m 为平面内以A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)，当点(x , y )在区域m 上变动时，4x -3y 的最小值是 .
16.设P (x ,y )是区域|x |+|y |≤1内的动点，则函数f (x ,y )=ax +y (a ＞0)的最大值是 . 17
．下图所示的阴影区域用不等式组表示为
18．若x ，y 满足不等式组5,
26,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
则使k =6x+8y 取得最大值的点的坐标是 .
20. （本题满分12分）
设实数x 、y 满足不等式组14,
2|23|.
x y y x ≤+≤⎧⎨
+≥-⎩
(1)作出点(x , y )所在的平面区域
(2)设a ＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ,y )=y －ax 的最大
21. （本题满分14分）
某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：
工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.
22．（本题满分14分）
某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?
23. （本题满分14分）
私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：
市场调查表
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理
地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?。