线性分组码的基本性质

当仅出现一位误码时，有如下关系
S0 e0 e1 e3 e4 S1 e0 e1 e2 e5 S2 e0 e2 e3 e6
若没有误码： e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 0 应使得
S0 S1 S2 0
表示为矩阵形式
c0
c1 ... cn 1 a0 a0
a1
m0, 0 m1,0 ... ak 1 ... m k 1, 0
m0,1 m1,1 ... mk 1,1
m0,n 1 m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1 ... ...
d min 2t 1
wi
t dmin 1 wj wj
t
禁禁禁禁 禁禁禁禁
性质3 若要线性分组码能够检出任一码字中的 e 位误码，同 时能够纠正其中 t ( e t )位的误码， 则应满足
wi t dmin e 1 wj wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
t
dmin e t 1
线性分组码的生成矩阵与监督矩阵 差错控制编码一般可表示为
则接收码字 R 中一定出现了错误；
若
如果错误图样是一个许用码字，在错误不能被检测出； 如何错误图样不是一个许用图样，则可检测出该错误。
示例：构建一个可纠正一位误码、具有系统码结构的（7，4） 线性分组码。
解：该码的码字长度n＝7，信息位k＝4，监督位有n－k＝3位
伴随式共有 2nk 23 8 刚好可对于无误码，不同位置的7种1比特误码共8种状态 设建立伴随式与误码的对应关系
主要性质 （1）生成矩阵G中的每一行都是一个许用码字；
因为
c0 a0
c1 ... cn 1 a0
方程的矩阵形式
c0 c0 c c 1 1 ... 0 ... ck 1 0 ck 1 T Pk ,n k | I n k 0n k ,1 ... ck ck 1 ck 1 ck 1 ... ... cn 1 cn 1
a1 ... ak 1 I k | Pk ,n k
可得生成矩阵
G I k | Pk ,nk
若系统码结构为
编码 a0a1...ak 2ak 1 k 1a0a1...ak 2ak 1 c0c1...ck 2ck 1ck 2cn1
c4 c0 c1 c3 c5 c0 c1 c2 c6 c0 c2 c3
由上面的(*)式可得监督方程
c0 c 1 1 1 0 1 1 0 0 c2 0 1 1 1 0 0 1 0 c 0 3 1 0 1 1 0 0 1 c 4 0 c5 c 6
生成矩阵相应地为
G P k ,nk | Ik
监督矩阵 在线性分组码的码生成方程组中的监督位为
ck m0,k a0 m1,k a1 ... mk 1,k ak 1 ck 1 m0,k 1a0 m1,k 1a1 ... mk 1,k 1ak 1 ...... ...... cn 1 m0,n 1a0 m1,n 1a1 ... mk 1,n1ak 1
线性分组码的一般记法： n, k 其中k表示码字中信息位的个数，n为码字的长度。
k 2 n , k 线性分组码 中许用码字的个数为 。
许用码字间的距离－－码距
w1 bn1bn2 ...b1b0 与 w2 cn1cn2 ...c1c0 定义8.6.1 两个n元的码字： 两者间的汉明距离定义为
系统码的生成矩阵 系统码的特点
a0a1...ak 2ak 1 编码 a0a1...ak 2ak 1ck 2cn1 c0c1...ck 2ck 1ck 2cn1
系统码的编码输出结构
信息位部份 监督位部份
c0c1...ck 2ck 1 a0a1...ak 2ak 1 ck 2cn1
因为 c0 a0 , c1 a1,...,ck 1 ak 1 因此可得
m0,k c0 m1,k c1 ... mk 1,k ck 1 ck 0 m0,k 1c0 m1,k 1c1 ... mk 1,k 1ck 1 ck 1 0 ...... ...... m0,n 1c0 m1,n 1c1 ... mk 1,n 1ck 1 cn 1 0
8.6
线性分组码的基本性质

线性分组码的基本性质
线性分组码编码的一般表达形式 输入信息码组 a0a1...ak 1 输出编码码字 c0c1...ck 1 其中
c0 f1 a0 , a1 ,...,ak 1
c1 f 2 a0 , a1 ,...,ak 1 ...... cn1 f n a0 , a1 ,...,ak 1
d min min Dwi , w j ,
i j
i, j 1,2,...2k
线性分组码的基本性质 性质1 若要线性分组码能够检测出任一码字中的小于等于 e 位的误码，则应满足
dmin e 1
wi e dmin wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
1
性质2 若要线性分组码能够检出并纠正任一码字中的小于等 于 位的误码，则应满足
由 c0 c1 ... cn 1
a0 a0 a1 1 0 ... ak 1 ... 0 0 ... 0 m0,k 1 ... 0 m1,k ... ... ... ... 0 ... 1 mk 1,k m0,k 1 m1,k 1 ... mk 1,k 1 ... m0, n 1 ... m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1
1 0 G I k | Pk ,n k ... 0 0 ... 0 p11 p12 p22 ... pk 2 p1,n k ... p2,n k ... ... ... pk ,n k ...
1 ... 0 p21 ... ... ... ... 0 ... 1 pk 1
c0 f1 a0 , a1,...,ak 1 , c1 f 2 a0 , a1,...,ak 1 , ......, cn 1 f n a0 , a1,...,ak 1
特别地，对线性分组码
c0 m0,0 a0 m1,0 a1 ... mk 1,0 ak 1 c1 m0,1a0 m1,1a1 ... mk 1,1ak 1 ...... cn 1 m0,n 1a0 m1,n 1a1 ... mk 1,n 1ak 1
T T
定义伴随式为
S HE T
伴随式是一个 n k 维的向量，总共有 2nk 种不同的组合。
2nk 个不同的伴随式可对应 2nk 种不同错误图样。
伴随式只与错误图样和监督矩阵有关。 若
S HE T 01 n k S HE T 01 n k
R C E c0 c0 e0
c1 ... cn 1 e0
e1 ... en 1
c1 e1 ... cn 1 en 1
若没有出错，显然有 R C
伴随式(校正子) 因为
HR H C E HC T HE T HE T
Hale Waihona Puke m1,k m0,k m 0,k 1 m1,k 1 ... ... m0,n 1 m1,n 1
...
mk 1,k
1
0 ...
... mk 1,k 1 0 1 ... ... ... ... ... ... ... mk 1,n 1 0 0 ...
定义监督矩阵为
T H P k ,n k | I n k
相应地监督矩阵为
T H P 4,3
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 , PT 1 1 1 0 I3 4,3 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
由监督矩阵与生成矩阵的关系式，可得生成矩阵
（3）三角不等式成立：对任意的三个码字 w1 an1an2 ...a1a0 、
w2 bn1bn2 ...b1b0 和 w3 cn1cn2 ...c1c0 ，它们间的码距关系满足
Dw1, w2 Dw2 , w3 Dw1, w3
码距与码的检错纠错能力之间的关系 码字间的最小距离：最小码距定义为
H P

T k ,nk
| I nk

p11 p 12 ... p1,n k
p21 p22 ... p2 , n k
... ... ...
pk 1 pk 2 ...
... pk ,n k
0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 1
监督矩阵确定了码字没有错误的必要条件。
错误图样：描述错误及位置的一个矢量。
E e0 e1 ... en 1 , 0, 第i位没有出错 ei 1， 第i位出现错误
对于定义在二元域上的码字，知道了错误的位置等效于知道 了错误。 若将 E e0 e1 ... en1 0 0 ... 0 看作一特殊的错误图样 接收码字可一般地表示为：
a1 ... ak 1 G
生成矩阵 生成矩阵定义为
m0, 0 m1, 0 G ... m k 1, 0 m0,1 m1,1 ... mk 1,1 m0, n 1 ... m1, n 1 ... ... ... mk 1, n 1 ...
D w1 , w2 i 0 bi ci
n 1
有关码距的性质 （1）自反性：任一码字 w cn1cn2 ...c1c0与其自身间的码距为零。
（2）对称性：对任两码字 w1 bn1bn2 ...b1b0与 w2 cn1cn2 ...c1c0 ，
w1 与 w2 间的码距与 w2 与 w1 间的码距相等
因为错误的比特实际上并不能够单独提出进行伴随式的计算
因此编码时应保证
S0 c0 c1 c3 c4 0 S1 c0 c1 c2 c5 0 S2 c0 c2 c3 c6 0
(*)
对于系统码结构的分组码， c0c1c2c3 已由输入信息位决定
c4 , c5 , c6 ，使得上述关系式成立，即 因此应选择监督位，
1 0 G I 4 P4,3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
注意：线性分组码中伴随式与误码的对应关系并非可任意设定 纠错编码监督矩阵和生成矩阵更一般的求解方法将在稍后讨论。
生成矩阵与监督矩阵的有关性质 系统码结构的生成矩阵与监督矩阵结构