半角模型题

半角模型

例1(如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

A B

C

D

例2.已知在ABC △

中，

90=∠ACB ，26==CB

CA ，AB CD ⊥于D ，

点E 在直线CD 上，CD DE 2

1

=

，点F 在线段AB 上，M

是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点.

（1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________； （2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：

45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得

45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．

D

C

B

A

N

M F

E

D C

B

A

24. （本小题满分8分）

（1）AE ⊥CM ，AE =CM

（2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H .

∵ 90=∠ACB ,26==CB CA ,

∴∠CAB =∠CBA =45°，

12=. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥,

∴CD=AD=BD =162

AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =,

∴4 2.AF DF ==，

∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF ,

∴FG =

∴.FG FM =

在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，，

， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠．

∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

，，

， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠=.

由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE .

（3）存在.

AF =8.

M'

A

B C

D

E

F M

N

例3．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ， 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足2

2

2

DN BM MN +=，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点． ①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________________； ②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α2

1

时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是____________________．【参考：1cos sin

22

=+αα】

24． (1) 在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，

∠ABM =∠ADN=45°．

把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到M AD '∆． 连结M N '．则，，AM AM BM M D =='',

︒=∠='∠45ABM M AD ，BAM M DA ∠='∠．

∵∠EAF =45°，∴∠BAM +∠DAN =45°,

∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆． ∴N M '=MN ．

在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M ,

2

22''DM DN N M +=

∴2

2

2

BM DN MN +=

（2）① 2

22EC EC BD BD DE +⋅+=； -

② 2

22cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α

A

B C

D E

F 图1

B C

D

E 图2

A

B C

D

E 图3

A

M

N

例4.半角模型的应用:如图1，平面直角坐标系中，抛物线2

12

y x bx c =

++与轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB

．直线BE 与轴平行，点F 是射

线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .

（1）若点F 的坐标为（

9

2

，1），AF . ①求此抛物线的解析式；

②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q

为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；

的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°

xOy x y