您的位置：360文档中心› 北京西城学习探究诊断高中数学选修2-全本练习

北京西城学习探究诊断高中数学选修2-全本练习

合集下载

北师高中大版数学练习题(选修2-3)含答案.docx

北师高中大版数学练习题(选修2-3)含答案.docx

目录：数学选修2-3数学选修2-3第一章：计数原理［基础训练A组］数学选修2-3第一章：计数原理［综合训练B组］数学选修2-3第一章：计数原理［提高训练C组］数学选修2-3第二章：离散型随机变量解答题精选新课程高中数学训练题组《选修2-3》（数学选修2-3）第一章计数原理［基础训练A组］一、选择题1.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A. 81B. 64C. 12D. 142.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A. 140 种B.84 种C.70 种D.35 种3.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A. A；B. 4A；C. A；—D. +4.a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A.20B. 16C. 10D. 65.现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A.男生2人，女生6人B.男生3人，女生5人C,男生5人，女生3人 D.男生6人，女生2人.6.在的展开式中的常数项是（）（2 4x）A.7B. -7C. 28D. -287.（1-2X）5（2+ X）的展开式中尸的项的系数是（）A. 120B. -120C. 100D. -1008.［右+ 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A. 180B. 90C. 45D. 360二、填空题1.从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法.（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2,4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.3,由0,1,3,5,7,9这六个数字组成个没有重复数字的六位奇数.4,在(x-V3)10的展开式中，/的系数是.5,在(1-x2)20展开式中，如果第4r项和第r + 2项的二项式系数相等，贝打=, 以=.6,在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有个？7,用1,4,5,%四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288,则x.8,从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有个？三、解答题1.判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？新课程高中数学训练题组《选修2-3》各有多少种不同排法？ 4,已知［子—j 展开式中的二项式系数的和比(3a + 2b)7展开式的二项式系数的和大128,求nI 展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5. (1)在(l+x )n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且〃等于多少？2. 7个排成一排，在下列情况下,C1)甲排头, C2)甲不排头，也不排尾,(3)甲、乙、丙三人必须在一起, C4)甲、乙之间有且只有两人,(5)甲、乙、丙三人两两不相邻, (6)甲在乙的左边(不一定相邻),(7)甲、乙、丙三人按从高到矮, 自左向右的顺序, (8)甲不排头，乙不排当中。

北京市西城区2011年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区2011年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（理科） 2011.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数12i-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2．设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()sin f x f x x '+=- （B ）()()cos f x f x x '+=- （C ）()()sin f x f x x '-= （D ）()()cos f x f x x '-=3．据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（ ） （A ）0.7 （B ）0.42 （C ）0.12 （D ）0.14．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ） （A ）36种 （B ）24种 （C ）18种 （D ）12种5．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则0123a a a a -+-+的值为（ ） （A ）27- （B ）27 （C ）1- （D ）16．函数2()e xf x x -=⋅的单调递增区间是（ ） （A ）(2,0)- （B ）(,2)-∞-，(0,)+∞ （C ）(0,2) （D ）(,0)-∞，(2,)+∞7．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖.每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ） （A ）80243（B ）100243（C ）80729（D ）1007298．已知函数()n f x x =，其中n ∈Z ，2n ≥．曲线()y f x =在点00(,())P x f x 0(0)x >处的切线为l ，l 与x 轴交于点Q ，与y 轴交于点R ，则||||PQ PR =（ ） （A ）11n - （B ）1n （C ）21n - （D ）2n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．61(2)x x+的展开式中的常数项为_________.10．直线2y x =与曲线2y x =所围成封闭图形的面积为_________.11．已知随机变量X 的分布列如下表所示：若()0E X =，()1D X =，则abc = ．12．在解析几何里，圆心在点00(,)x y ，半径是(0)r r >的圆的标准方程是22200()()x x y y r -+-=.类比圆的标准方程，研究对称轴平行于坐标轴的椭圆的标准方程，可以得出的正确结论是：“设椭圆的中心在点00(,)x y ，焦点在直线0y y =上，长半轴长为a ，短半轴长为b (0)a b >>，其标准方程为 ．”13．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为_________.14．设R 上的可导函数()f x 满足()()()4(,)f x y f x f y xy x y +=++∈R ，且(1)2f '=，则方程()0f x '=的根为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，14a =，149n n a a n +=-，1,2,3,n =.计算2a ，3a ，4a 的值，根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）经销某品牌的汽车，顾客通常采用分期付款的方式购车．根据以往资料统计，付款期数X 的分布列为：经销该品牌的汽车，若采用1期付款，其利润为410元；分2期或3期付款，其利润为41.510⨯元；分4期或5期付款，其利润为4210⨯元．（Ⅰ）求购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率； （Ⅱ）记Y 为经销一辆该品牌汽车的利润，求Y 的分布列及期望()E Y ．17．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．18．（本小题满分13分）学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X 为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且8(1)15P X ≥=． （Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数； （Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．19．（本小题满分14分）若实数,,x y m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）对任意0x >，证明：ln(1)x +比x 靠近0；（ⅱ）已知数列{}n a 的通项公式为112nn a -=+，证明：1232e n a a a a <．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：03ln 4()04f x +-<<.北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（理科）参考答案及评分标准 2011.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. D ；3. B ；4. B ；5. D ；6. C ；7. A ；8.B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 160； 10.43； 11. 136； 12.220022()()1x x y y a b--+=； 13.0.09； 14. 12.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）解：根据已知，27a =，310a =，413a =. ………………………… 3分 猜想 31n a n =+. ………………………… 5分 证明：① 当1n =时，由已知，左边4=，右边3114=⨯+=，猜想成立. ………………………… 6分 ② 假设当()n k k =∈*N 时猜想成立，即31k a k =+， ………………………… 7分 则1n k =+时，1494(31)9343(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++，所以 当1n k =+时，猜想也成立. ………………………… 12分 根据 ① 和 ②，可知猜想对于任何n ∈*N 都成立. ………………………… 13分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A ．则A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”. ………………………… 2分 故 3()(10.4)0.216P A =-=， ………………………… 4分 所以()1()0.784P A P A =-=． ………………………… 6分 （Ⅱ）Y 的可能取值为410元，41.510⨯元，4210⨯元． ………………………… 7分4(10)(1)0.4P Y P X ====，4( 1.510)(2)(3)0.20.20.4P Y P X P X =⨯==+==+=，4(210)(4)(5)0.10.10.2P Y P X P X =⨯==+==+=． ………………………… 10分Y 的分布列为：………………………… 11分4444()100.4 1.5100.42100.2 1.410E Y =⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯（元）． ………………………… 13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()312f x x ax '=-. ………………………… 2分 令()0f x '=，得10x =，24x a =. ………………………… 3分 ① 当0a =时，2()30f x x '=≥，故()f x 在R 上为增函数. ………………………… 4分 ② 当40a >，即0a >时，列表分析如下：所以函数()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减. ………………………… 7分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减.（Ⅱ）① 当0a =时，()f x 在区间(0,1)内为增函数，所以min ()(0)0f x f ==. ……………… 9分 ② 当041a <<时，即104a <<时，()f x 在区间(0,4)a 内为减函数，在(4,1)a 内为增函数，所以 3min ()(4)32f x f a a ==-. ………………………… 11分③ 当41a ≥时，即14a ≥时，()f x 在区间(0,1)内为减函数，所以min ()(1)16f x f a ==-. ………………………… 13分综上，当104a ≤<时，3min ()32f x a =-；当14a ≥时，min ()16f x a =-.18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n ，则文娱队共有12n -个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为122n -人． ………………………… 2分 由 8(1)15P X ≥=， 得 81(0)15P X -==， 所以 7(0)15P X ==． ………………………… 4分 所以 3122312C 7C 15n n --=， ………………………… 6分即(122)(112)(102)7(12)(11)(10)15n n n n n n ---=---．注意到1223n -≥，且n 是整数，从而0,1,2,3,4n =． 将n 的这5个值代入上式检验，得2n =符合题意．所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人． ………………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人． ………………………… 9分 设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A ， ………………………… 10分所以，121221372525310C C C C C C 11()C 15P A ++==． ………………………… 13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，|1(1)||(1)|x x +--<---，即|2||1|x x +<-． ………………………… 2分 此不等式同解于 22(2)(1)x x +<-，解得12x <-． ………………………… 4分 （Ⅱ）（ⅰ） 因为0x >，所以 ln(1)0x +>，所以 |ln(1)0||0|ln(1)x x x x +---=+-． ………………………… 6分 记()ln(1)f x x x =+-，则(0)0f =． 因为 1()1011xf x x x-'=-=<++，所以 ()f x 在(0,)+∞内单调递减． 所以 ()(0)0f x f <=，即 ln(1)x x +<．所以 ln(1)x +比x 靠近0． ………………………… 9分（ⅱ）显然120n ->．由（ⅰ）的结论，得1212323ln()ln ln ln ln(12)ln(12)ln(12)n n n a a a a a a ---=+++=++++++111121112(12)222211212n n---------<+++=<=--， 所以 23e n a a a <．又 12a =， 所以 1232e n a a a a <． ………………………… 14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 导数，得222()22a x x af x x x x-+'=-+=. ………………………… 3分显然，方程2()0220f x x x a '=⇔-+= (0)x >. 若()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根. ………………………… 5分所以 480,0,2a a ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得102a <<. ………………………… 6分（Ⅱ）设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <.所以2122()()22()x x x x x x a f x x x---+'==，列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12()()f x f x >.故只需证明213ln 4()()04f x f x +-<<<. ………………………… 8分 由 120x x <<，且121x x +=，得 121012x x <<<<. ………………………… 9分因为 102a <<，1102x <<，所以 1111()(2)ln 0f x x x a x =-+<. ………………………… 10分 由 222220x x a -+=，得 22222a x x =-+，所以 22222222()2(22)ln f x x x x x x =-+-+. ………………………… 12分对2x 求导数，得 222()2(21)ln f x x x '=--.因为 2112x <<， 所以2()0f x '>， 所以 2()f x 是1(,1)2上的增函数，故 213ln 4()()24f x f +>=-. ………………………… 14分综上 03ln 4()04f x +-<<.。

(北师大版)数学高中选修2-1课时同步练习汇总(全书完整版)

(北师大版)数学高中选修2-1课时同步练习汇总(全书完整版)

（北师大版）高中数学选修2-1（全册）课时同步练习汇总[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2. 4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO，又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确； 由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． 所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． 得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ， 所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1， 即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q ，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2.所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β， α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得 Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数． 所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2. 答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.使不等式1a ＞1b 成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b ，故选D.2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D. 5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 解析：选B.6.a 为素数解析：由于a ＝2时不成立，∴a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，∴12＋a ＋2＝0，∴a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9.(1)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要{x |x ＜－m2}⊆{x |x ＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要{x |x ＜－m2}⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β/⇒ α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β/⇒ sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________． 解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数． ∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 014；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 014得|－x ＋3|≥2 014，即|x －3|≥2 014，所以x －3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x ≥2 017或x ≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D . 答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1.∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性． ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q .∴a ＋b ＝0. (2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n＝S n－S n－1＝(aq n－a)－(aq n－1－a)＝a(q－1)q n－1(n＞1)，∴a n＋1a n＝a（q－1）q na（q－1）q n－1＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.[A.基础达标]1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2， 所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}． 由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}． 显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b22＋ac ＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2； (3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .。

高中数学选修2-1-各章节同步练习及答案解析

高中数学选修2-1-各章节同步练习及答案解析

第一章第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为( )①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数( )A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案] B[解析] 当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案] D[解析] 验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案] B[解析] A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案] C[解析] 该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案] ②④[解析] ②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案] 0[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析] (1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析] (1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案] A[解析] “红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0， 故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b＝b 2－a 2a ＋2b b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b ， 故③错；④由2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案] C[解析] “若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案] B[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是( )A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案] A[解析] 若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案] C[解析] 否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析] 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案] 假[解析] 原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案] 若a∉B，则a∉A[解析] 一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析] 逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)(3)

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -3．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确4．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球5．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品DD ．作品A 与作品D6．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。

北京市西城区2021届高三二模数学试题(word版,含答案)

北京市西城区2021届高三二模数学试题(word版,含答案)

北京市西城区2021届高三二模数学试题数 学2021.5本试卷共6页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题共40分）一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}2|9,}2{|A x Z x B x x =∈≤=>-，则A B ⋂=（A ）{}0,1,2,3（B ） {}1,2,3 （C ） {}101,2,3-，，（D ） 3{|2}x x -<≤（2）已知复数21-z ai i=+，其所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （A ）(1),-∞ （B ）()1,+∞ （C ） ()1,-+∞（D ） (),1-∞-（3）要得到函数sin 23y x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2x y =的图象（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移3π个单位长度 （D ）向右平移3π个单位长度 （4）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（A ）83（B ）43（C ）8（D ）4（5）在△ABC 中， 2,A 6a π==，则“3B π=”是“b 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若直线2y x =与双曲线2222:1x y C a b+=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（A ） （B ）1 （C ）2 （D ） （7）“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）（0）为了防止混淆，有时要将“”“”“”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“”，在B 点处里程碑刻着“”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为 （A ）29（B ）30（C ）58（D ）59（8）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知148,1a a ==-，则数列{}n S（A ）有最大项，有最小项 （B ）有最大项，无最小项 （C ）无最大项，有最小项（D ）无最大项，无最小项（9）在平面直角坐标系xOy 中，点()()()1,1,2,1,2,2A B C ，P 是圆()22:42M x y +-=上一点，Q 是△ABC 边上一点，则·OP OQ 的最大值是（A ） 8+ （B ）12（C ） 8+（D ）16（10）甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛（至少包含数学和物理），在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中, ,x y z 是三个互不相等的正整数.在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则（A ）甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛 （B ）, ,x y z 这三个数中的最大值可以取到21（C ）在甲乙丙这三个学生中，甲的物理竞赛成绩可能排名第二 （D ）在甲乙丙这三个学生中，丙的物理竞赛成绩一定排名第二第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评15 Word版含答案

高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评15 Word版含答案

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)一、选择题．对于以＝()在内汽车作直线运动经过的路程，下列叙述正确的是( )．将等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的是的不足估计值．将等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的是的过剩估计值．将等分，越大，求出的近似替代的精确度越高．将等分，当越大时，求出的就是的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当→＋∞时，估计值才是准确值．【答案】．已知定积分()＝，且()为偶函数，则()＝( )．．．．【解析】偶函数图像关于轴对称，故()＝()＝.故选.【答案】．设()＝则()的值是( )＋＋【解析】被积函数()是分段函数，故将积分区间分为两个区间和，由定积分的性质知选.【答案】．图­­中阴影部分的面积用定积分表示为( )图­­(－)(＋)(－)【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为－＝(－).【答案】．下列各阴影部分的面积不可以用＝求出的是( )【解析】定积分＝的几何意义是求函数()与()之间的阴影部分的面积，必须注意()的图像要在()的图像上方，对照各选项，知中()的图像不全在()的图像上方．【答案】二、填空题．定积分(－)＝．【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－)表示由＝，＝与＝－，＝所围成图形面积的相反数．所以(－)＝－(×)＝－.【答案】－．定积分＝. 【导学号：】【解析】如图，＝＋＝.【答案】．由直线＝，＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，将区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是．。

北京市西城区2014年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区2014年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区2013 — 2014学年度第二学期期末试卷高二数学 2014.7（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数3i 1i-等于 ( )A.11i 22+ B.11i 22- C. 11i 22-+ D. 11i 22-- 2．3244A C -= ( )A. 6B. 12C. 18D. 203．计算定积分2xdx =⎰( )A. 2B. 1C. 4D. 2-4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率 为25. 现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是( ) A. 215 B. 25 C. 715 D. 355．从0,1,2,3中随机选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有( )A. 24个B. 20个C. 18个D. 15个6． 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，那么应假设( ) A. 数列{}n a 的各项均大于2 B. 数列{}n a 的各项均大于或等于2 C. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a >D. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥7．已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好 抽出2件次品的抽法种数是( )A. 21398C CB. 21398A AC. 21397C CD. 21397A A8．由直线,,033x x y π2π===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 1B.12C.D.9．若5个人站成一排,且要求甲必须站在乙、丙两人之间,则不同的排法种数有（ ） A. 80种B. 40种C. 36种D. 20种10．函数32()f x ax bx cx =-+ 的图象如图所示，且()f x 在0x x =与1x =处取得极值，给出下列判断：① 0c >；② (1)(1)0f f +->；③ 函数()y f x '=在区间(0,)+∞上是增函数.其中正确的判断是（ ） A. ①③ B. ②C. ②③D.①②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 已知函数()sin f x x =，则()2f π'=_______.12. 已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且()6E X =，则a =_______；b =_______. 13. 曲线2y x=在点(1,2)处切线的斜率为 . 14. 二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于_______；二项式系数和为_______.15. 抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为 .16. 已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点.给出以下几个命题：①010e x <<； ②01ex >； ③00()0f x x +<； ④00()0f x x +> 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，11=a ，7421+-=+n a a n n ，其中1,2,3,n =．(Ⅰ)计算2a ，3a ，4a 的值；(Ⅱ)根据计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18.（本小题满分14分）已知函数32()34f x x ax =-+，其中0a ≥. (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值点和极值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.19.（本小题满分13分）某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调,由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关,甲、乙两种品牌的空调保修期均为3年.现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台,求首次出现故障发生在保修期内的概率； (Ⅱ)若该厂生产的空调均能售出,记生产一台甲品牌空调的利润为1X ,生产一台乙品牌空调的利润为2X ,分别求1X ，2X 的分布列；(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌空调销量相当,但由于资金限制,只能生产其中一种品牌空调,若仅从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由.20.（本小题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．21.（本小题满分13分）已知函数()e xxf x m =+，m ÎR . （Ⅰ）当0m =时，求()f x 的单调区间、最大值；（Ⅱ）设函数()ln ()g x x f x =-，若存在实数0x ，使得0()0g x <，求m 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知()ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =. （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）设函数2()()2x g x mf x mx =+-，其中13m <<. 求证：当[1,e]x ∈时，23e (1ln 3)()222g x -+<<-.北京市西城区2013 — 2014学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4. B5. C6.D7.C8. A9.B 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 0 12. 0.3，6 13. 2- 14. 540,64- 15.2916. ①③ 注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或③得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)根据已知，21241721475a a =-⨯+=⨯-+=；32242725879a a =-⨯+=⨯-+=；4324372912713a a =-⨯+=⨯-+=. ………………3分(Ⅱ)猜想 34-=n a n . ………………5分 证明：① 当1n =时，由已知，等式左边1=，右边1314=-⨯=，猜想成立.…………7分② 假设当()n k k =∈*N 时猜想成立，即34-=k a k ， ………………8分 则1n k =+时，3)1(41474)34(27421-+=+=+--=+-=+k k k k k a a k k ，所以，当1n k =+时，猜想也成立. ………………12分 综合 ① 和 ②，可知34-=n a n 对于任何n ∈*N 都成立. ………………13分18. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)当1a =时，32()34f x x x =-+，2()36f x x x '=-. ………………2分令()0f x '=，得0x =或2x =.所以，在区间(,0)-∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数；在区间(0,2)上，()0f x '<，函数()f x 是减函数；在区间(2,)+∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数.……………4分所以，函数()f x 的极小值点为2x =，极小值为(2)0f =；极大值点为0x =，极大值为(0)4f =. ………………8分 (Ⅱ)当0a =时，3()4f x x =+是R 上的增函数，在区间[0,)+∞上的最小值为(0)4f =. ………………10分 当0a >时，()3(2)f x x x a '=-.在区间(0,2)a 上()0f x '<，()f x 是减函数，在区间(2,)a +∞上()0f x '>，()f x 是增函数. ………………12分所以，在区间[0,)+∞上()f x 的最小值为(2)f a ， ………………13分333(2)812444f a a a a =-+=-. ………………14分综上，函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为344a -.19. （本小题满分13分）解: (Ⅰ) 设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A ,则1247()5050P A ++==. ………………4分 (Ⅱ) 依题意1X 的分布列如下:………………7分2X 的分布列如下:………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)得111243()12 2.5 2.7 2.62250252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）； ………………11分 2139() 1.5 2.6 2.8 2.736255010E X =⨯+⨯+⨯=（千元）. ………………12分所以12()()E X E X <，故应生产乙品牌空调. ………………13分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“取出的4个球中没有红球”为事件A ．则22332246C C 1()C C 10P A ==， 所以取出的4个球中没有红球的概率为110. ………………4分 （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C ．由于事件B ，C 互斥，且2113332246C C C 133()C C 2510P B ⋅=⋅=⨯=， ………………6分 12332246C C 111()C C 2510P C =⋅=⨯=． ………………8分所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为312()()()10105P B C P B P C =+=+=． ………………9分 （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0,1,2,3． ………………10分由（Ⅰ）（Ⅱ）知1(0)10P ξ==,2(1)5P ξ==. 111223333322224646C C C C C 333332(2)C C C C 6156155P ξ⨯⨯⨯==⋅+⋅=+=⨯⨯．12332246C C 111(3)C C 2510P ξ==⋅=⨯=, 所以，ξ的分布列为： ………………12分所以ξ的数学期望1221301231055102E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分21. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当0m =时，()(e )e e (1)e x x x x f x x x x ----''==-=-. ………………4分当1x <时，()0f x '>，函数()f x 在区间(,1)-∞上是增函数； ………………5分 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数； ………………6分 所以()f x 的最大值为1(1)ef =. ………………7分 故函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞，最大值为1e. （Ⅱ）由已知0x >.当01x <<时，()ln ()g x x f x =--，1()(1)e 0x g x x x-'=-+-<，函数()g x 在区间(0,1)上是减函数； ……………9分当1x >时，()ln ()g x x f x =-，1()(1)e 0x g x x x-'=+->，函数()g x 在区间(1,)+∞上是增函数；……………11分 所以()g x 的最小值为1(1)eg m =--. ………………12分 若存在实数0x ，使得0()0g x <，则 10em --<，解得1em >-. 所以m 的取值范围为1(,)e-+∞. ………………13分22. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）()bf x a x'=+， ………………2分 依题意(1)0f =，且(1)0f '=. ………………3分 所以10a -=，0a b +=.解得1a =，1b =-. ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()ln 1f x x x =--，0x >.所以2()ln 2x g x m x m =--，0x >. 2()m x mg x x x x-'=-=. ………………6分当0m >时，由()0g x '>得x >，由()0g x '<得0x <<所以()g x 在区间上是减函数，在区间)+∞上是增函数，x =()g x 的极小值点. ………………8分当13m <<，[1,e]x ∈[1,e]，所以()g x 的最小值为g ，最大值为max((1),(e))g g . ………………9分设()ln 22m m h m g m ==--，则1()1ln 2h m m '=--， 因为13m <<，所以ln 0m >，()0h m '<. 所以()h m 在13m <<上单调递减， 所以，333()(3)ln 3(1ln 3)222h m h >=--=-+. ………………11分 所以，当13m <<，[1,e]x ∈时，3()(1ln 3)2g x >-+. 又因为13m <<，22e e (e)2222g m =-<-， ………………12分 21e (1)0222g m =-<<-. ………………13分所以当13m <<，[1,e]x ∈时，2e ()22g x <-. ………………14分 综上，当13m <<，[1,e]x ∈时，23e (1ln 3)()222g x -+<<-.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测题(包含答案解析)(2)

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于24．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y <5．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确6．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．47．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．328．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．19．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分．14．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．15．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．16．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________．17．将自然数1，2，3，4，…排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是______．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝31nn a a + (n ∈N *)，可以猜测数列通项a n 的表达式为________.20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.三、解答题21．已知数列{}n x 满足1111,,21n nx x x +==+其中n *∈N . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.22．（本小题满分14分）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．23．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明. 24．观察下列不等式：413<； 218125+<； 2211121237++<；2221111612349+++<； ……（1）由上述不等式，归纳出与正整数n 有关的一个一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论. 25．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2． （Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 26．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．2．D解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.4．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．5．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.6．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)4π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．7．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.8．B解析：B 【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的， 只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.9．A解析：A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A. 【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ． 【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．11．C解析：C 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项． 【详解】由n=k时，左边为11112k k k k+++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1) k k k k k k k k +++++++++++++所以增加项为两式作差得：11121221k k k+-+++，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．12．B解析：B【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21，…从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）•22015=2018×22015故答案为：B．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n++【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

北京西城学习探究诊断高中数学选修全本练习

北京西城学习探究诊断高中数学选修全本练习

北京西城区学习探究诊断高中数学选修2- 1第一章 常用逻辑用语 测试一 命题与量词Ⅰ 学习目标会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列语句中不是命题的是( )(A)团结就是力量 (B)失败乃成功之母 (C)世上无难事(D)向雷锋同志学习2．下列语句能作为命题的是( ) (A)3＞5(B)星星和月亮(C)高一年级的学生 (D)x 2＋｜y ｜＝0 3．下列命题是真命题的是( )(A)y ＝sin ｜x ｜是周期函数 (B)2≤3(C)空集是集合A 的真子集 (D)y ＝tan x 在定义域上是增函数4．下列命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数； ③∃x ∈{x ｜x 是无理数}，x 2是有理数． (A)0(B)1(C)2(D)35．下列语句中表示真命题的是( )(A)x ＞12(B)函数21x y =在(0，＋∞)上是减函数(C)方程x 2－3x ＋3＝0没有实数根(D)函数222++=x xx y 是奇函数6．已知直线a ，b 和平面??，下列推导错误的是( )(A)b a ab a ⊥⇒⊂∀⊥⎪⎭⎪⎬⎫α(B)b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂∃αα(C)αα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥∃a b b a 或α//a (D)b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂αα7．下列命题是假命题的是( )(A)对于非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b (B)若｜a ｜＝｜b ｜，则a ＝b (C)若ab ＞0，a ＞b ，则ba 11< (D)a 2＋b 2≥2ab8．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0对x ∈R 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是( )(A)0≤a＜3 (B)0≤a≤3 (C)0＜a＜3 (D)0≤a＜3二、填空题9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对于∀x ∈R 均成立，则实数a 的取值范围是______．10．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A ⊆/B ⇔A ∩B ＝∅③A ⊆/B ⇔A ⊇B④A ⊆/B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)平行四边形的对角线相等且互相平分； (3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ； (5)余弦函数是周期函数吗？ 12．用符号“∀”、“∃”表达下列命题：(1)实数的平方大于等于0； (2)存在一个实数x ，使x 3＞x 2；(3)存在一对实数对，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0．参考答案第一章 常用逻辑用语测试一 命题与量词1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．2321<<-a ； 10．④ 11．(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)是命题，是假命题(4)是命题，是真命题 (5)不是命题 12．(1)∀x ∈R ，x 2≥0．(2)∃x ∈R ，使x 3＞x 2．(3)∃(x ，y )，x 、y ∈R ，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．(1)全称命题，真命题． (2)存在性命题，真命题． (3)存在性命题，真命题．测试二 基本逻逻辑联结词Ⅰ 学习目标1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A)简单命题(B)“非p ”形式的命题(C)“p 且q ”形式的命题 (D)“p 或q ”形式的命题 2．下列结论中正确的是( )(A)p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题 (B)p 是假命题时，“p 且q ”不一定是假命题 (C)“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题 (D)“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题 3．如果“p 或q ”与“非p ”都是真命题，那么( )(A)q 一定是真命题 (B)q 不一定是真命题 (C)p 不一定是假命题(D)p 与q 的真假相同4．“xy ≠0”是指( )(A)x ≠0且y ≠0(B)x ≠0或y ≠0(C)x ，y 至少一个不为零 (D)x ，y 不都为零 5．命题5:p 的值不超过2，命题2:q 是无理数，则( )(A)命题“p 或q ”是假命题 (B)命题“p 且q ”是假命题(C)命题“非p ”是假命题 (D)命题“非q ”是真命题6．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∀x ∈R ，x 2－2x ＋2≥0(B)所有的菱形都是平行四边形(C)∃x ∈R ，｜x －1｜＜0 (D)∃x ∈R ，使得x 3＋64＝07．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∃x ∈R ，x 2＝1(B)∃x ∈R ，使得2x ＋1≠0成立 (C)∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0(D)∃x ∈R ，x 是x 3－2x ＋1＝0的根8．已知U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题A p ∈2:∪B ，则命题∈“⌝p ”是( )(A)2∉A (B)2∈U B (C)2∉A ∩B(D)2∈(U A )∩(U B )9．由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真、“p 且q ”为假、“非p ”为真的是( )(A)p ：11不是质数，q ：6是18和15的公约数 (B)p ：0∈N ，q ：{0}{－1，0}(C)p ：方程x 2－3x ＋1＝0的两根相同，q ：方程2x 2－2＝0的两根互为相反数 (D)p ：矩形的对角线相等，q ：菱形的对角线互相垂直10．命题p ：∃a ∈R ，使方程x 2＋ax ＋1＝0有实数根，则“⌝p ”形式的命题是( )(A)存在实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (B)不存在实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (C)对任意实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根 (D)至多有一个实数a ，使方程x 2＋ax ＋1＝0有实数根 二、填空题11．命题“∀x ∈A ，x ∈A ∪B ”的命题的否定是________________．12．“l ⊥??”的定义是“若∀g ⊂??，l ⊥g ，则称l ⊥??”，那么“直线l 不垂直于平面??”的定义是_____________________________．13．已知命题：“非空集合A 的元素都是集合B 的元素”是假命题．那么给出下列命题：①“A 中的元素都不是集合B 的元素”；②“A中有不属于B的元素”；③“A中有B的元素”；④“A中的元素不都是B的元素”．其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)14．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2)∀x∈R，3x－5＞2x；(3)∀A⊆U(U为全集)，∅是集合A的真子集．16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断其真假．测试二基本逻辑联结词1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C11．∃x∈A，但x∉A∪B12．∃g⊂?，l不垂直g，则称直线l不垂直于平面??13．②④14．若∃x∈A但x∉B，则称A不是B的子集15．解：(1)命题的否定：质数不都是奇数，真命题(2)命题的否定：∃x∈R，使3x－5≤2x，真命题(3)命题的否定：∃A⊆U，∅不是集合A的真子集，真命题16．答：p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题)p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)非p：正方形不是菱形．(假命题)测试三充分条件、必要条件与四种命题Ⅰ学习目标1．了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．Ⅱ基础性训练一、选择题1．“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )(A)它们的面积相等(B)它们的三边对应成比例(C)这两个三角形全等(D)这两个三角形有两个对应角相等2．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3．条件p：ac2＞bc2是条件q：a＞b(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4．若条件甲：“=”，条件乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )(A)逆命题 (B)否命题(C)逆否命题 (D)非四种命题关系 6．原命题的否命题为假，可判断( )(A)原命题为真(B)原命题的逆命题为假 (C)原命题的逆否命题为假 (D)都无法判断 7．已知集合A ＝{x ｜x 2－5x －6≤0}，B ＝x ｜x 2－6x ＋8≤0，则x ∈A 是x ∈B 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是( )(A)命题“若ac ＞bc ，则a ＞b ”(B)命题“若a n 是n 的一次函数，则数列{a n }是等差数列”的逆命题 (C)命题“若x ＝3，则x 2－4x ＋3＝0”的否命题 (D)命题“若x 2＝4，则x ＝2”的逆命题9．设x ，y ∈R ，｜x －1｜＋(y －2)2≠0等价于( )(A)x ＝1且y ＝2 (B)x ＝1或y ＝2 (C)x ≠1或y ≠2(D)x ≠1且y ≠210．下列4组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是( )(A)甲：a ＞b ，乙：ba 11< (B)甲：ab ＜0，乙：｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜ (C)甲：a ＝b ，乙：ab b a 2=+(D)甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a二、填空题11．原命题“若x ＜3，则x ＜4”的逆否命题是_________________________. 12．“直线l ∥平面??”是“直线l 在平面??外”的__________________条件． 13．命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题是__________________.14．“函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[1，＋∞)是单调函数”的充要条件是__________________． 15．举一个反例，说明命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是假命题：____________________________________. 16．给出下列命题：①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题 ②“圆内接四边形的对角互补”的否命题 ③“若ac ＞bc ，则a ＞b ”的逆命题 ④“若a ＋5∈Q ，则a ∈Q ”的逆命题其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)． 17．①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若a ≤－1，则方程x 2－2ax ＋a 2⊆＋a ＝0有实数根”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号) 18．设全集为S ，集合A ，B ⊆S ，有下列四个命题：①A ∩B ＝A ； ②s A ⊇s B ； ③(s B )∩A ＝∅； ④(s A )∩B ＝∅．其中是命题A ⊆B 的充要条件的命题序号是______．测试三 充分条件、必要条件与四种命题1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．若x ≥4，则x ≥3 12．充分不必要13．若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0 14．b ≥－2 15．2,2-==b a 都是无理数，但a ＋b ＝0是有理数；也可举例2,21-=+=b a 等．16．①②④ 17．①③ 18．①②③第二章 圆锥曲线与方程 测试四 曲线与方程Ⅰ 学习目标1．了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想． 2．初步掌握求曲线方程的基本方法．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在点A (4，4)，B (3，4)，C (－3，3)，)62,2(D 中，有几个点在方程x 2－2x ＋y 2＝24的曲线上( )(A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个2．方程x 2＋3(y －1)2＝9的曲线一定( )(A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称 (C)关于原点对称(D)以上都不对 3．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) (A)y ＝x(B)y ＝x (x ≠2)(C)y ＝－x(D)y ＝－x (x ≠2) 4．方程log (2x )y ＝1与下列方程表示同一曲线的是( )(A)y ＝2x (x ≥0) (B)y ＝2x (x ＞0且21=/x ) (C)y ＝2x (x ＞0) (D)y ＝2x (y ＞0)5．方程(2x －y －1)(3x ＋2y ＋1)＝0与方程(2x －y －1)2＋(3x ＋2y ＋1)2＝0的曲线是( )(A)均表示两条直线 (B)前者是两条直线，后者表示一个点 (C)均表示一个点(D)前者是一个点，后者表示两条直线二、填空题6．直线x ＋2y －9＝0与曲线xy ＝10的交点坐标为______．7．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)经过坐标原点的充要条件是______． 8．到两平行线l 1：3x ＋2y －4＝0，l 2：3x ＋2y －8＝0距离相等的点的轨迹方程是______． 9．若动点P 到点(1，1)的距离等于它到y 轴的距离，则动点P 的轨迹方程是______． 10．已知两定点A (－1，0)，B (3，0)，动点P 满足21||||=PB PA ，则动点P 的轨迹方程是 ________________________． 三、解答题11．已知动点P 到两定点M (1，3)，N (3，1)的距离平方之和为20，求动点P 的轨迹方程．12．试画出方程｜x ＋｜y ｜＝1的曲线，并研究其性质．13．如图，设D 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0的圆心，若P 为圆C 外一动点，过P 向圆C 作切线PM ，M为切点，设2=PM ，求动点P 的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．如图，已知点P (-3，0)，点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且0=⋅AQ PA ，AQ QM 2=．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．(5，2)，)25,4( 7．F ＝0 8．3x ＋2y －6＝0 9．)21(2)1(2-=-x y 10．3x 2＋3y 2＋14x －5＝011．x 2＋y 2－4x －4y ＝0． 12．方程的曲线如图．(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；(2)曲线与坐标轴的交点：四个交点分别是(1，0)、(0，1)、(－1，0)、(0，－1)； (3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称 13．圆C 化简为：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2， ∴圆心D (2，－2)，半径2=r ，设点P (x ，y )，由题意，得DM ⊥PM ， ∴｜PD ｜2＝｜PM ｜2＋｜DM ｜2， ∵2=PM ,2||=DM ,6||=PD , ∴6)2()2(22=++-y x ，故动点P 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6． 14．设动点M (x ，y )，A (0，b )，Q (a ，0)，∵P (－3，0)，∴),(),,(),,3(y a x b a b -=-==，∵0=⋅AQ PA，∴(3，b )·(a ，－b )＝0，即3a －b 2＝0． ① ∵2=，∴(x －a ，y )＝2(a ，－b )，即x ＝3a ，y ＝－2b ． ② 由①②，得y 2＝4x ． ∴轨迹E 的方程为y 2＝4x ．测试五 椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A)1422=+y x (B)1422=+y x(C)11622=+y x(D)11622=+y x2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( )(A)(0，3)，(0，－3) (B)(3，0)，(－3，0) (C)(0，5)，(0，－5)(D)(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( )(A)4(B)194(C)94(D)144．已知F 1，F 2是定点，821=F F ，动点M 满足｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝8，则动点M 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )(A)k ＜1 (B)k ＞1(C)0＜k ＜1(D)k ＞1，或k ＜0二、填空题6．经过点)2,3(-M ，)1,32(-N 的椭圆的标准方程是______． 7．设a ，b ，c 分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a 、b 、c 的大小关系是______．8．设P 是椭圆14522=+y x 上一点，若以点P 和焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为_______．9．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的△ABF 2的周长是_______． 10．已知△ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________． 三、解答题11．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥，F 1F 2，34||1=PF ，314||2=PF ，求椭圆C 的方程． 12．已知椭圆164100:221=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．13．设椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上的动点，若021<⋅PF 求点P 的横坐标的取值范围测试五 椭圆A1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x 11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，所以a ＝3．在Rt △PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ，故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x ．12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e； (2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：53=e． 13．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，则),5(),,5(21y x PF y x PF --=---=，所以052221<+-=⋅y x PF ，由14922=+y x ，得94422x y -=，代入上式，得094122<--x x ，解得553553<<-x ． 测试六 椭圆BⅠ 学习目标1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．椭圆)2(12522>=-++m m y m x 的焦点坐标是( )(A)(±7，0)(B)(0，±7)(C))0,7(±(D))7,0(±2．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )(A)1101522=+y x (B)110522=+y x (C)1151022=+y x(D)1202522=+y x3．曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 有相同的( ) (A)短轴(B)焦点(C)长轴(D)离心率4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( )(A)20<<e (B)220<<e (C)210<<e (D)122<<e 5．已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN ｜＝4的点P 有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______.7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为________.8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是________.9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则ON ＝________.10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1、F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 三、解答题11．求出直线y ＝x ＋1与椭圆12422=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求线段AB 中点的坐标．12．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一个动点，A (0，5)，求｜PA ｜的最值． 13．求过点P (3，0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；(2)设P 是“果圆”的半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 上任意一点．求证：当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处；(3)若P 是“果圆”上任意一点，求｜PM ｜取得最小值时点P 的横坐标．测试六 椭圆B1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364 提示：9．设F 2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义｜MF 2｜＋MF 1｜＝2a ，得｜MF 2｜＝10－2＝8，在△MF 1F 2中，∵｜MN ｜＝NF 1｜，｜OF 1｜＝｜OF 2｜， ∴4||21||2==MF ON． 10．设｜PF 1｜＝r 1，｜PF 2｜＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20……①由余弦定理，得60cos 2)2(2122212r r r r c -+=，即② 144212221=-+r r r r ，由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴33642332562160sin 212121=⨯⨯==∆ r r S F PF ．11．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x ＋1代入椭圆方程12422=+y x ，得3x 2＋4x －2＝0，解得3102,310221--=+-=x x ， 所以)3101,3102(),3101,3102(---++-B A ，故AB 中点)2,2(2121y y x x ++的坐标为)31,32(-．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算) 12．设P (x ，y )，则2510)5(||2222+-+=-+=y y x y x PA ，因为点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，所以x 2＝98－2y 2，－7≤y ≤7， 则148)5(2510298||222++-=+-+-=y y y y PA ，因为－7≤y ≤7，所以，当y ＝－5时，372148|max ==PA ；当y ＝7时，｜PA ｜min ＝2．13．圆的方程整理为(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径R ＝10．设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 则有⎩⎨⎧-==.||,||1r R CC r CP 消去r ，得CC 1｜＋CP ｜＝10，又C 1(－3，0)，P (3，0)，｜C 1P ｜＝6＜10，所以，由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1，P 为焦点的椭圆， 且半焦距c ＝3，2a ＝10，a ＝5，从而b ＝4，所以，所求的动圆的圆心C 的轨迹方程为1162522=+y x ．14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴1)(||32220==+-=b c c b F F ,12||2221=-=c b F F ，于是47,432222=+==c b a c， 所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ．(2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -，设P (x ，y )，则12222=+c x b y ，即22222x c b b y -=，又222)2(||y c a x PM +=--=0,4)().()1(22222≤≤-+-+---=x c b c a x c a x cb ，∵0122<-cb ∴|PM |2的最小值只能在x ＝0或x ＝－c 处取到．即当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处．(3)∵｜A 1M ｜＝｜MA 2｜，且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222≥=+x by a x和半椭圆)0(12222≤=+x c x b y 上，所以，由(2)知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆2222by a x +＝1(x≥0)上的情形即可．22222222224)(4)(]2)([c c a a c a b cc a a x a c ---++--=． 当a c c a a x ≤-=222)(即a ≤2c 时，｜PM ｜2的最小值在222)(c c a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a - 当a cc a a x >-=222)(，即a ＞2c 时，由于｜PM ｜2在x ＜a 时是递减的， ｜PM ｜2的最小值在x ＝a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若a ＞2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．测试七 双曲线Ⅰ 学习目标1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数形结合的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．双曲线117822=-x y 的焦点坐标为( )(A)(±5，0)(B)(±3，0)(C)(0，±3)(D)(0，±5)2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e的双曲线为( ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x(C)116922=-y x (D)1162522=-y x3．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( )(A)m ＞－1(B)A ＞－2 (C)m ＞－1，或m ＜－2(D)－2＜m ＜14．设动点M (x ，y )到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( )(A)116922=-y x(B)116922=-x y(C))3(116922-≤=-x y x(D))3(116922≥=-x y x5．若双曲线经过点)3,6(，且渐近线方程是x y 31±=，则双曲线的方程是( )(A)193622=-y x (B)198122=-y x(C)1922=-y x (D)131822=-y x二、填空题6．双曲线4x 2－9y 2＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是__________.7．与双曲线191622=-y x 共渐近线，且过点)3,32(-A 的双曲线的方程为________．8．椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则a ＝____________. 9．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为_____________________.10．已知双曲线)2(12222>=-a y a x 两条渐近线的夹角为3π，则此双曲线的离心率为_________________. 三、解答题11．已知三点P (5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)．(1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．12．已知定圆O 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．13．以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e . 测试七 双曲线1．D 2．A 3．C 4．D 5．C6．x y 32,313),0,13()0,13(±=-、7．144922=-x y 8．－1或1 9．7或23 10．332 11．(1)521||,55211||222221=+==+=PF PF ，由椭圆定义，得6,56||||221==+=c PF PF a ， 所以b 2＝a 2－c 2＝9，所以，椭圆的方程为194522=+y x ；(2)点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P '(2，5)，F 1'(0，－6)，F 2 '(0，6)，由双曲线定义，得2a ＝｜''1F P ｜－｜''2F P ｜＝54，c ＝6，所以，b 2＝c 2－a 2＝16，所以，双曲线的方程为1162022=-x y ．12．圆O 1方程化为：(x ＋5)2＋y 2＝1，所以圆心O 1(－5，0)，r 1＝1，圆O 2方程化为：(x －5)2＋y 2＝16，所以圆心O 2(5，0)，r 2＝4， 设动圆半径为r ，因为动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，所以｜MO 1｜＝r ＋1，｜MO 2｜＝r ＋4， 则｜MO 2｜－MO 1＝3，由双曲线定义，得动点M 轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支(左支)，所以491,5,2322=--===a c b c a， 故双曲线的方程为)23(19149422>-≤=-x y x ． 13．(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b ac +=，所以离心率ab a ace 221+==； 双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a x by α，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=． 所以，1112222222221=+++=+ba b b a a e e．测试八 抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( )(A)y 2＝20x(B)x 2＝20y(C)x y 2012=(D)y x2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( )(A)(－4，0) (B)(0，－4) (C)(－2，0) (D)(0，－2)3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( )(A)(18，12)(B)(18，－12)(C)(18，12)，或(18，－12)(D)(12，18)，或(－12，18) 4．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( )(A)一椭圆和一双曲线的离心率 (B)两抛物线的离心率 (C)一椭圆和一抛物线的离心率(D)两椭圆的离心率5．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )(A)x y 612=(B)y 2＝4x (C)y 2＝16x (D)y 2＝24x二、填空题6．准线为x ＝2的抛物线的标准方程是____________． 7．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是___________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝________. 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线2y ＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程． 13．设P 是抛物线221x y =上任意一点，A (0，4)，求｜PA ｜的最小值． 测试八 抛物线A1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．x y 82-= 7．x y342=或y x 292= 8．161-=y 9．4 10．②，④ 11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0) 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=知，可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由222b a c +=，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1， 所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ，因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x 2＝2y ，y ≥0， 代入上式，得7)3(166|22+-=+-=y y y PA ，因为y ≥0，所以当y ＝3时，｜PA ｜min ＝7， 即当点)3,6(±P 时，｜PA ｜有最小值7．测试九 抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( )(A)4x ＋1＝0(B)4y ＋1＝0(C)2x ＋1＝0(D)2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( )(A)32(B)3(C)321 (D)341 3．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( )(A)21+-(B)223- (C)21+(D)223+ 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )(A)34 (B)57 (C)58 (D)35．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为( ) (A))22,2(± (B)(1，2)(C)(1，±2)(D))22,2(二、填空题6．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝_________．7．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为_________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝_________． 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，则｜AB ｜＝_________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则｜MA ｜＋｜MF ｜的最小值是_________． 三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求其抛物线的标准方程．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线C 上，且2x 2＝x 1＋x 3，求证：2|FP 2｜＝｜FP 1|＋｜FP 3｜．13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△PAB 面积的最小值及取到最小值时P点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求｜BM |的最小值f (m )．测试九 抛物线B1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．6 7．)41,0(a -8．2 9．8 10．211 11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上， 所以(－3)2＝2pm ，即Pm29=① 因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+P m②由①②得，5229=+pp ，解得p ＝1或9， 所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ．12．由抛物线定义，知2||11p x PF +=,2||22p x F P +=,2||33px F P +=, 所以｜FP 1｜＋｜FP 3｜＝x 1＋x 2＋p ，2｜FP 2｜＝2x 2＋p ， 又x 1＋x 3＝2x 2，所以2｜FP 2｜＝｜FP 1｜＋｜FP 3｜． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d , 故当)49,23(P 时，△PAB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S ． 14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为x y 42=；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)，∴2020*******)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=， ∵20y ＝4x 0， ∴44)]2([42||2002020-+--=++-=m m x x m mx x BM ．∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，｜BM ｜min ＝｜m ｜； 当m －2≥0时，44||min -=m BM ;综上，对于C 上的动点M ，｜BM ｜的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f ． 测试十 圆锥曲线综合练习(选学)Ⅰ 学习目标1．能熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系问题．2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．过点P (2，4)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是( )(A)348(B)324(C)3916(D)3463．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上总存在点P ，使021=⋅PF PF ，其中F 1，F 2是椭圆的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( ) (A)]21,12[-(B))12,0(- (C)]22,21[ (D))1,22[5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) (A)相切 (B)相交(C)相离(D)以上情况都有可能二、填空题6．直线y ＝x ＋1与抛物线y 2＝4x 的公共点坐标为____________．7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是___________． 8．设P 是等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若=⋅212F F PF 0，｜PF 1｜＝6，则该双曲线的方程是_____________________．9．过椭圆192522=+y x 的焦点，倾斜角为45°的弦AB 的长是_______________．10．若过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x ab y =的垂线与双曲线左、右两支都相交，则此双曲线的离心率e 的取值范围是_______________． 三、解答题11．中心在原点，一个焦点为)50,0(F 的椭圆C ，被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为0.5，求椭圆C 的方程．12．已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若10||=AB ，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．13．正方形ABCD 在坐标平面内，已知其一边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形ABCD 的面积．Ⅲ 拓展性训练14．设点M 在x 轴上，若对过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 左焦点F 的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，都有MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”． (1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由；(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的“左特征点”定义，并指出该点坐标．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)1．B 2．A 3．C 4．D 5．A6．(1，2) 7．m ≥1且m ≠5 8．x 2－y 2＝4 9．179010．2>e 11．由题意，设椭圆150:2222=-+a x ay C , 把直线y ＝3x －2代入椭圆方程150222=-+a x ay , 得(a 2－50)(3x －2)2＋a 2x 2＝a 2(a 2－50)，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x －a 4＋54a 2－200＝0， 设直线与椭圆的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有45010)50(122221--=-a a x x ,?＝144(a 2－50)2－4(10a 2－450)(－a 4＋54a 2－200)＞0， 由题意，得2145010)50(622221=--=+a a x x ，解得a 2＝75， 所以椭圆方程为1257522=+x y ． 12．(1)设直线l ：y ＝kx －1或x ＝0(舍去)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧-==-.1,1322kx y y x消去y ，得(3－k 2)x 2＋2kx －2＝0．由题意，得3－k 2≠0，?＝(2k )2－4·(3－k 2)·(－2)＝24－4k 2＞0， 且32,32221221-=-=+⋅k x x k kx x ， ∴||1)()(||212221221x x k y y x x AB -+=-+-=⋅2122124)(1x x x x k -++=⋅．∴10324)32(12222=-⨯--+⋅k k k k， 解得k ＝±1，或733±=k ．验证知3－k 2≠0且?＞0，∴直线l 的方程为：y ＝±x －1，或1733-±=x y ；(2)由A 、B 在y 轴的同一侧，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=∆>-==/-0424032.0322212k k x x k ，解得：)3,6(--∈k ∪)6,3(．13．因为AB //CD ，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋t ，把y ＝x ＋t 代入y 2＝x ，消去y ，得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0， 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝1－2t ， x 1·x 2＝t 2，?＝(2t －1)2－4t 2＞0， 所以)41(2]4)21[(2)()(||22221221t t t y y x x CD -=--=-+-=，又AB 与CD 间的距离为2|4|||-=t AD ， 由正方形ABCD ，得｜AD ｜＝｜CD ｜，即2|4|)41(2-=-t t ， 解得t ＝－2，或t ＝－6， 从而，边长|AD|＝23或25，所以正方形面积为18)23(21==S 或50)25(22==S ． 14．(1)判断：椭圆的“左特征点”存在，具体证明如下．方法1：设x 轴上点M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，F (－c ，0)， 其中c 2＝a 2－b 2(c ＞0)．设过F 与两坐标轴都不垂直的直线AB ： y ＝k (x ＋c )(k ≠0)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(12222c x k y b y a x ，消去y ，得：(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0，∴22222212ka b c k a x x +-=+， 2222222221.k a b b a c k a x x +-=， ?))((4)2(22222222222b ac k a k a b c k a -+-=＞0． 又∵直线AM 的斜率为：011011)(0x x c x k x x y k AM -+=--=，直线BM 的斜率为：022022)(0x x c x k x x y k BM -+=--=．∴))(())(())(()()(0201012021022011x x x x x x c x k x x c x k x x c x k x x c x k k k BM AM ---++-+=-++-+=+，上式中的分子：k (x 1＋c )(x 2－x 0)＋k (x 2＋c )(x 1－x 0) ＝k [2x 1·x 2＋c (x 1＋x 2)－x 0(x 1＋x 2)－2cx 0]∵M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF ＝∠BMF ． ∴k AM ＝－k BM ，即k AM ＋k BM ＝0， ∴分子0222220222222222222222222[cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯＝0，∵上式要对任意非零实数k 都成立， ∴02222202222202222222222222=-+-⨯-+-⨯++-⨯cx ka b c k a x k a b c k a c ab b ac k a k∴2a 2k 2c 2－2a 2b 2－2a 2k 2c 2＋2a 2k 2cx 0－2b 2cx 0－2a 2k 2cx 0＝0，∴0220222=--cx b b a ∴ca x 20-=．故对过F 与两坐标轴都不垂直的任意弦AB ，点)0,(2c a M -都能使MF 为△AMB 的一条内角平分线，所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点)0,(2c a M -．方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB ，如斜率为1的直线)找出符合“左特征点”性质的一个点M (具体找的过程略，可找到点)0,(2c a M -，即为椭圆的左准线与x 轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，∠AMF＝∠BMF 都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方法证明)如图，椭圆的左准线与x 轴的交点为M ，过A 作AP 垂直左准线于P ，过B 作BQ 垂直左准线于Q ， 由椭圆第二定义，得e AP AF BQ BF ==|||||||| (其中e 为椭圆离心率) ∴||||||||BF AF BQ AP =．又∵AP //BQ //x 轴, ∴||||||||BF AF MQ MP =,∴||||||||BQ AP MQ MP =．∵∠APM ＝∠BQM ＝90°， ∴△APM ∽△BQM ． ∴∠PAM ＝∠QBM ，∵∠PAM ＝∠AMF ，∠QBM ＝∠BMF ， ∴∠AMF ＝∠BMF ．。

北师大版高中数学选修2-3综合测试题及答案2套.doc

北师大版高中数学选修2-3综合测试题及答案2套.doc

最新北师大版高中数学选修2-3综合测试题及答案2套模块综合检测（A ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题KI 要求的）1.某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有（）A. 2°种C. 10 种 B. 5?种D. 7种解析： 每层楼均有2种走法，故共有2X2X2X2=24种不同的走法.答案：A2.在（丫一吉）°的展开式中，的系数为（）A ・—120B. 120C. -15D ・15解析：在（X-韵”的展开式中，｛项是ChU （_ ^3=-15/. 答案：C3.已知随机变量X 的分布列为P （X=k ）= £=1,2,…，n.则P （2VXW4）为（ ）A ・寻U 16解析： P(2 VXW 4)=P(X= 3)+P(X= 4)=7+ 7= 16-答案：A4. 某产品40件，其屮有次品数3件，现从屮任取2件，则其屮至少有一件次品的概率约是（） A. 0.146 2 B. 0.153 8D- 0.853 8答案：A5. 己知离散型随机变量g 的概率分布如卞:J 1 35 p0.5m0.2C. 0.996 2解析: =0.1 46 2.则其数学期望£•＜等于()A. 1B. 0.6C. 2+3〃？D. 2.4解析： •••0.5+加+0.2=1,・••加=0.3. ・収=1 X 0.5+ 3 X 0.3+5 X 0.2=24 答案：D6.若X-M-L62),且 P(—3WXW — l)=0.4,则 P(XN1)等于()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4解析： P(-3WXWl)=2P(-3WXW-l)=0.8,2P(X21) = 1 一0.8=0.2,・•・P(X21)=0.1.答案：A7. 设(1 —兀)7 = 00 + °］兀 + °2兀2 ClyX f 则 ^1+03 + 05+07 为( )A. 27 B ・ C. 26D. 一2°解析： 令x=l,有ao+a\+a 2-\ --------- 如=0, 令 x= —1, 有如 ----------------- ^7 = 27,两式相减得 2(% +03+^5+07)= —27, ・°・。

(完整版)北师大版高二理科数学选修2-1测试题及答案,推荐文档

(完整版)北师大版高二理科数学选修2-1测试题及答案,推荐文档

选修 2－1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 6 页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若 A = B ，则cos A = cos B ”的否命题是A. 若 A = B ，则 cos A ≠ cos B C. 若cos A ≠ cos B ，则 A ≠ BB. 若cos A = cos B ，则 A = B D. 若 A ≠ B ，则cos A ≠ cos B 2. “直线 l 与平面 平行”是“直线 l 与平面 内无数条直线都平行”的A. 充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件 3. 已知命题 p ： 2 3 ，q ： 2 3 ，对由 p 、q 构成的“p 或 q ”、 “p 且 q ”、“ p ”形式的命题，给出以下判断：①“p 或 q ”为真命题； ②“p 或 q ”为假命题； ③“p 且 q ”为真命题； ④“p 且 q ”为假命题； ⑤“ p ”为真命题； ⑥“ p ”为假命题. 其中正确的判断是 A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤ 4.“=5”是“ cos 2 - sin 2 = 1”的62A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 若方程x 2 y 2k 3 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是k 1 A. k 1 C. k36. 抛物线 y 2 x 2 的焦点坐标是B. 1 k 3 D. k1 或 k 3A. 01 8B. 01 4C. 1 , 08D. 1 , 0457. 以下给出了三个判断，其中正确 判断的个数为.(1) 向量 (2) 向量 a = (3, -2,1) 与向量 b= (-3, 2, -1) 平行 = (3, -6, 4) 与向量 = (0, -2, 3) 垂直a b1 （3）向量 a = (1,-2, 0) 与向量 b = (2 , -1, 0) 平行A. 0B. 1C. 2D. 38. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（）“ b 2 ac ”是“ b 为a 、c 的等比中项”的充分不必要条件；（） “ a > b ”是“ a 2 > b 2 ”的充要条件；（）“ A = B ”是“ tan A = tan B ”的充分不必要条件； （） “ a + b 是偶数”是“ a 、b 都是偶数”的必要不充分条件. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个9. 抛物线 y1x 2 , (a 0) 的准线方程是 aA. y a 4B. y 4aC. y a 4D. y4a10. 抛物线 y 2 = 12x 上与焦点的距离等于 7 的点的横坐标是A. 6B. 5C. 4D.3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京市西城区普通中学2016年6月高二数学(理科)人教B版选修2-3测试卷Word版含答案

北京市西城区普通中学2016年6月高二数学(理科)人教B版选修2-3测试卷Word版含答案

北京市西城区一般中学2016 年 6 月高二数学（理科）人教 B 版选修 2-3 测试卷本卷满分： 100 分一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合要求的.1. 已知A n220 ，则n()A 7B6 C 5D．．．． 42. 有不一样的红球 5 个，不一样的白球 4 个.从中随意拿出两个不一样颜色的球，则不一样的取法有( )A．9种B．16种C．20种D．32种3．(1 2x)5睁开式的二项式系数和为（）A．243B．32C．24D．164.甲、乙两组各有 6 人，现从每组中分别选出 3 人参加科普知识比赛，则参加比赛人员的构成方式共有 ( )A．400种B．200种C．40种D．20种5. 5 个人站成一排，甲、乙 2 人中间恰有 1 人的排法共有 ( )．72种．36种．18种． 12种A B C D6.在研究抽烟与患慢性支气管炎能否相关时，经过采集数据，整理、剖析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎相关”的结论，而且有99%以上的掌握以为这个结论是正确的.则以下说法正确的选项是( )A．100 个抽烟者中起码有99 个患慢性支气管炎B．某个人抽烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C．在 100 个抽烟者中必定有患慢性支气管炎的人D ．在 100 个抽烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有7. 已知在 10 件产品中有 2 件次品， 现从中随意抽取 2 件产品，则起码抽出 1 件次品的概率为 ( )A ．4B ．2C ．17D ．2815 5 45 458. 从 0， 1，2，3，4 这 5 个数字中选出 4 个不一样的数字构成四位数，此中大于3200 的数有( )A ．36 个B ．30 个C ．28 个D ．24 个9. 现给以下图的 4 个地区涂色， 要求相邻地区不得使用同一颜色，共有 3 种颜色可供选择，则不一样的涂色方法共有( )A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．12 种10. 已知 X ~ B(8 , 1) ，当 P( X k) (kN ,0 k8) 获得最大值时， k 的值是 ( )2A ． 7B ． 6C ． 5D ． 4二、填空题：本大题共 6 小题，每题4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .11.(2 x 1)5 的睁开式中 x 2 项的系数是_____．12. 5 个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有___________种（用数字作答） .13. X 听从正态散布 N (3,2)，若 P(X 4) 0.2，则 P(2 X 3)___ ____.14.从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1 件，设事件 A“拿出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品” ，且 P( A) 0.91 ．则从该批产品中任取1 件是二等品的概率为________.15. 随机变量 X 的散布列以下：X10 1Pa 1c3若E(X)1，则 D(X) 的值是．316. 若对于任意的实数x，有a0233，则a0的值为a1( x 1) a2 ( x 1)a3 (x 1)x_______；a2的值为_______ ．三、解答题：本大题共 3 小题，共36 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）甲、乙两名魔方喜好者在30 秒内还原魔方的概率分别是0.8 和 0.6 .假如在 30 秒内将魔方还原称为“还原成功”，且每次还原成功与否互相之间没有影响，求：（1）甲还原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次还原中起码有一人成功的概率.18.（本小题满分 12 分）一个口袋中有 4 个白球， 2 个黑球，每次从袋中拿出一个球.（1）若有放回的取 2 次球，求第二次拿出的是黑球的概率；（2）若不放回的取 2 次球，求在第一次拿出白球的条件下，第二次拿出的是黑球的概率；（3）若有放回的取 3 次球，求拿出黑球次数X 的散布列及E( X ) .19. （本小题满分 12 分）已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为 2 ．3（1）求甲同学投篮 4 次，恰有 3 次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则以下：最多投篮 6 次，连续 2 次不中则游戏停止 . 设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的散布列.参照答案及评分标准一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共40 分.1. C;2.C ;3.B ;4.A;5. B;6. D;7. C;8. A;9.B;10. D.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共24分 .（一题两空的试题每空 2 分）11. 40 ; 12.36 ; 13.0.3 ;14.0.3 ; 15.5; 16. 91， 3.三、解答题：本大题共 3 小题，共36 分 . （若有其余方法，仿此给分）17.（本小题满分 12 分）解：记“甲第i 次还原成功”为事件A i，“乙第i次还原成功”为事件B i，依 意，P( A i )0.8，P(B i )0.6 ．（ 1）“甲第三次才成功” 事件A 1 A 2 A 3 ，且三次还原 程互相独立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因此，P( A 1 A 2 A 3)P(A 1)P(A 2)P( A 3 )0.2 0.2 0.80.032 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）“甲、乙两人在第一次还原中起码有一人成功” 事件C ．因此P(C)1 P(A 1B 1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1 P( A 1 ) P(B 1)1 0.2 0.40.92 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18. （本小 分 12 分）解： A i “第 i次取到白球” ， B i “第 i 次取到黑球”（ 1）每次均从 6 个球中取球， 每次取球的 果互不影响， 因此 P( B 2 )1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯33 分（ 2） 相当于“从3 个白球， 2 个黑球中取一次球，求取到黑球的概率” ，2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因此，所求概率 P5（3）有放回的挨次拿出 3个球，取到黑球次数 X的可能取0 ,1, 2,3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分三次取球互不影响，由（1）知每次拿出黑球的概率均1 ，2 831 2 2 4因此，0 31P(X 0) C 3( 3)27；P(X1) C 3(3) ( 3)9；P( X 2) C 32 (1) 2(2)12；C 33(1)31 339P( X3) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分3 27X0 1 23 P8 42 1 279927⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分个 3 次独立重复事件， X 听从二 散布，即X ~ B(3,1) ，3因此， E(X) 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19. （本小 分 12 分）解：（ 1） “甲投 4 次，恰有 3 次投 ” 事件 A ，31P A C342132 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分3381（ 2）依意，X的可能取2,3,4,5,6 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分P( X2)111⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分33；9P(X3)2112；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分33327P( X4)(21 )2112；⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3333327“ X 5 ”表示投5次后止投，即“最后两次投未，第三次投中，第一次与第2二次起码有一次投中”. 因此P(X5)1112116 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 103333243分P(X6)1[P(X2)P( X3)P( X4)P( X5)]164⋯⋯⋯⋯⋯.243⋯11 分因此，所求X 的散布列：X23456P 12216164 92727243243⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分。

北京西城学习探究诊断高中数学选修全本练习

北京西城学习探究诊断高中数学选修全本练习

北京西城区学习探究诊断高中数学选修2- 1第一章 常用逻辑用语测试一 命题与量词Ⅰ 学习目标 会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列语句中不是命题的是( )(A )团结就是力量(B )失败乃成功之母 (C )世上无难事 (D )向雷锋同志学习2．下列语句能作为命题的是( )(A )3＞5 (B )星星和月亮 (C )高一年级的学生 (D )x 2＋｜y ｜＝03．下列命题是真命题的是( )(A )y ＝sin ｜x ｜是周期函数(B )2≤3 (C )空集是集合A 的真子集 (D )y ＝tan x 在定义域上是增函数4．下列命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x ∈{x ｜x 是无理数}，x 2是有理数．(A )0 (B )1 (C )2 (D )35．下列语句中表示真命题的是( )(A )x ＞12(B )函数21x y =在(0，＋∞)上是减函数 (C )方程x 2－3x ＋3＝0没有实数根 (D )函数222++=x x x y 是奇函数 6．已知直线a ，b 和平面??，下列推导错误的是( )(A )b a a b a ⊥⇒⊂∀⊥⎪⎭⎪⎬⎫α (B )b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂∃αα(C )αα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥∃a b b a 或α//a (D )b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂αα7．下列命题是假命题的是( )(A )对于非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b(B )若｜a ｜＝｜b ｜，则a ＝b(C )若ab ＞0，a ＞b ，则b a 11<(D )a 2＋b 2≥2ab8．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0对x ∈R 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是( )(A )0≤a ＜3 (B )0≤a ≤3 (C )0＜a ＜3 (D )0≤a ＜3二、填空题9．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对于∀x∈R均成立，则实数a的取值范围是______．10．设A、B为两个集合，下列四个命题：①A⊄B⇔对任意x∈A，有x∉B②A⊆/B⇔A∩B＝∅③A⊆/B⇔A⊇B④A⊆/B⇔存在x∈A，使得x∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；(5)余弦函数是周期函数吗？12．用符号“∀”、“∃”表达下列命题：(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一个实数x，使x3＞x2；(3)存在一对实数对，使2x＋3y＋3＜0成立．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)∃x∈{x｜x∈Z}，log2x＞0．参考答案第一章常用逻辑用语测试一命题与量词1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A9．2321<<-a ； 10．④ 11．(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)是命题，是假命题(4)是命题，是真命题 (5)不是命题12．(1)∀x ∈R ，x 2≥0．(2)∃x ∈R ，使x 3＞x 2．(3)∃(x ，y )，x 、y ∈R ，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．(1)全称命题，真命题． (2)存在性命题，真命题． (3)存在性命题，真命题．测试二 基本逻逻辑联结词Ⅰ 学习目标1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A )简单命题 (B )“非p ”形式的命题(C )“p 且q ”形式的命题(D )“p 或q ”形式的命题 2．下列结论中正确的是( )(A )p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题(B )p 是假命题时，“p 且q ”不一定是假命题(C )“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题(D )“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题3．如果“p 或q ”与“非p ”都是真命题，那么( )(A )q 一定是真命题(B )q 不一定是真命题 (C )p 不一定是假命题 (D )p 与q 的真假相同4．“xy≠0”是指( )(A)x≠0且y≠0(B)x≠0或y≠0(C)x，y至少一个不为零(D)x，y不都为零5．命题5:q是无理数，则( ):p的值不超过2，命题2(A)命题“p或q”是假命题(B)命题“p且q”是假命题(C)命题“非p”是假命题(D)命题“非q”是真命题6．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∀x∈R，x2－2x＋2≥0(B)所有的菱形都是平行四边形(C)∃x∈R，｜x－1｜＜0(D)∃x∈R，使得x3＋64＝07．下列命题的否定是真命题的是( )(A)∃x∈R，x2＝1(B)∃x∈R，使得2x＋1≠0成立(C)∀x∈R，x2－2x＋1＞0(D)∃x∈R，x是x3－2x＋1＝0的根8．已知U＝R，A⊆U，B⊆U，若命题A:∪B，则命题∈“⌝p”是( )2p∈(A)2∉A(B)2∈U B(C)2∉A∩B(D)2∈(U A)∩(U B)9．由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题中，“p或q”为真、“p且q”为假、“非p”为真的是( )(A)p：11不是质数，q：6是18和15的公约数(B)p：0∈N，q：{0}{－1，0}(C)p：方程x2－3x＋1＝0的两根相同，q：方程2x2－2＝0的两根互为相反数(D)p：矩形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直10．命题p：∃a∈R，使方程x2＋ax＋1＝0有实数根，则“⌝p”形式的命题是( )(A)存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(B)不存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(C)对任意实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(D)至多有一个实数a，使方程x2＋ax＋1＝0有实数根二、填空题11．命题“∀x∈A，x∈A∪B”的命题的否定是________________．12．“l⊥??”的定义是“若∀g⊂??，l⊥g，则称l⊥??”，那么“直线l不垂直于平面??”的定义是_____________________________．13．已知命题：“非空集合A的元素都是集合B的元素”是假命题．那么给出下列命题：①“A中的元素都不是集合B的元素”；②“A中有不属于B的元素”；③“A中有B的元素”；④“A中的元素不都是B的元素”．其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)14．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A⊆B”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2)∀x∈R，3x－5＞2x；(3)∀A⊆U(U为全集)，∅是集合A的真子集．16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断其真假．测试二基本逻辑联结词1．C2．D3．A4．A5．B6．C7．C8．D9．C10．C11．∃x∈A，但x∉A∪B12．∃g⊂?，l不垂直g，则称直线l不垂直于平面??13．②④14．若∃x∈A但x∉B，则称A不是B的子集15．解：(1)命题的否定：质数不都是奇数，真命题(2)命题的否定：∃x∈R，使3x－5≤2x，真命题(3)命题的否定：∃A⊆U，∅不是集合A的真子集，真命题16．答：p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题)p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)非p：正方形不是菱形．(假命题)测试三充分条件、必要条件与四种命题Ⅰ学习目标1．了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．Ⅱ基础性训练一、选择题1．“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )(A)它们的面积相等(B)它们的三边对应成比例(C)这两个三角形全等(D)这两个三角形有两个对应角相等2．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3．条件p：ac2＞bc2是条件q：a＞b(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4．若条件甲：“=”，条件乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 是r 的( )(A )逆命题(B )否命题 (C )逆否命题 (D )非四种命题关系6．原命题的否命题为假，可判断( )(A )原命题为真(B )原命题的逆命题为假 (C )原命题的逆否命题为假 (D )都无法判断7．已知集合A ＝{x ｜x 2－5x －6≤0}，B ＝x ｜x 2－6x ＋8≤0，则x ∈A 是x ∈B 的( )(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是( )(A )命题“若ac ＞bc ，则a ＞b ”(B )命题“若a n 是n 的一次函数，则数列{a n }是等差数列”的逆命题(C )命题“若x ＝3，则x 2－4x ＋3＝0”的否命题(D )命题“若x 2＝4，则x ＝2”的逆命题9．设x ，y ∈R ，｜x －1｜＋(y －2)2≠0等价于( )(A )x ＝1且y ＝2(B )x ＝1或y ＝2 (C )x ≠1或y ≠2 (D )x ≠1且y ≠210．下列4组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是( )(A )甲：a ＞b ，乙：ba 11< (B )甲：ab ＜0，乙：｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜(C )甲：a ＝b ，乙：ab b a 2=+(D )甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a 二、填空题11．原命题“若x ＜3，则x ＜4”的逆否命题是_________________________.12．“直线l∥平面??”是“直线l在平面??外”的__________________条件．13．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题是__________________. 14．“函数y＝x2＋bx＋c，x∈[1，＋∞)是单调函数”的充要条件是__________________．15．举一个反例，说明命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是假命题：____________________________________.16．给出下列命题：①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题②“圆内接四边形的对角互补”的否命题③“若ac＞bc，则a＞b”的逆命题④“若a＋5∈Q，则a∈Q”的逆命题其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)．17．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若a≤－1，则方程x2－2ax＋a2⊆＋a＝0有实数根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号)18．设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：①A∩B＝A；②s A⊇s B；③(s B)∩A＝∅；④(s A)∩B＝∅．其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是______．测试三充分条件、必要条件与四种命题1．C2．B3．A4．B5．B6．B7．B8．D9．C10．D11．若x≥4，则x≥312．充分不必要13．若x≠0且y≠0，则xy≠014．b ≥－215．2,2-==b a 都是无理数，但a ＋b ＝0是有理数；也可举例2,21-=+=b a 等．16．①②④17．①③18．①②③第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程Ⅰ 学习目标1．了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2．初步掌握求曲线方程的基本方法．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在点A (4，4)，B (3，4)，C (－3，3)，)62,2(D 中，有几个点在方程x 2－2x ＋y 2＝24的曲线上( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个2．方程x 2＋3(y －1)2＝9的曲线一定( )(A )关于x 轴对称(B )关于y 轴对称 (C )关于原点对称 (D )以上都不对3．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( )(A )y ＝x (B )y ＝x (x ≠2) (C )y ＝－x (D )y ＝－x (x ≠2)4．方程log (2x )y ＝1与下列方程表示同一曲线的是( )(A )y ＝2x (x ≥0)(B )y ＝2x (x ＞0且21=/x ) (C )y ＝2x (x ＞0) (D )y ＝2x (y ＞0) 5．方程(2x －y －1)(3x ＋2y ＋1)＝0与方程(2x －y －1)2＋(3x ＋2y ＋1)2＝0的曲线是( )(A )均表示两条直线 (B )前者是两条直线，后者表示一个点(C )均表示一个点 (D )前者是一个点，后者表示两条直线二、填空题6．直线x ＋2y －9＝0与曲线xy ＝10的交点坐标为______．7．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)经过坐标原点的充要条件是______． 8．到两平行线l 1：3x ＋2y －4＝0，l 2：3x ＋2y －8＝0距离相等的点的轨迹方程是______． 9．若动点P 到点(1，1)的距离等于它到y 轴的距离，则动点P 的轨迹方程是______． 10．已知两定点A (－1，0)，B (3，0)，动点P 满足21||||=PB PA ，则动点P 的轨迹方程是________________________． 三、解答题11．已知动点P 到两定点M (1，3)，N (3，1)的距离平方之和为20，求动点P 的轨迹方程．12．试画出方程｜x ＋｜y ｜＝1的曲线，并研究其性质．13．如图，设D 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0的圆心，若P 为圆C 外一动点，过P向圆C 作切线PM ，M 为切点，设2=PM ，求动点P 的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．如图，已知点P (-3，0)，点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且0=⋅AQ PA ，AQ QM 2=．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．(5，2)，)25,4( 7．F ＝0 8．3x ＋2y －6＝0 9．)21(2)1(2-=-x y 10．3x 2＋3y 2＋14x －5＝0 11．x 2＋y 2－4x －4y ＝0． 12．方程的曲线如图．(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；(2)曲线与坐标轴的交点：四个交点分别是(1，0)、(0，1)、(－1，0)、(0，－1)；(3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称 13．圆C 化简为：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2， ∴圆心D (2，－2)，半径2=r ， 设点P (x ，y )，由题意，得DM ⊥PM ， ∴｜PD ｜2＝｜PM ｜2＋｜DM ｜2， ∵2=PM ,2||=DM ,6||=PD , ∴6)2()2(22=++-y x ，故动点P 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6． 14．设动点M (x ，y )，A (0，b )，Q (a ，0)，∵P (－3，0)，∴),(),,(),,3(y a x QM b a AQ b PA -=-==， ∵0=⋅，∴(3，b )·(a ，－b )＝0，即3a －b 2＝0． ① ∵2=，∴(x －a ，y )＝2(a ，－b )，即x ＝3a ，y ＝－2b ． ② 由①②，得y 2＝4x ． ∴轨迹E 的方程为y 2＝4x ．测试五 椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A )1422=+y x (B )1422=+y x (C )11622=+y x (D )11622=+y x2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( )(A )(0，3)，(0，－3) (B )(3，0)，(－3，0) (C )(0，5)，(0，－5)(D )(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( )(A )4(B )194(C )94(D )144．已知F 1，F 2是定点，821=F F ，动点M 满足｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝8，则动点M 的轨迹是( ) (A )椭圆(B )直线(C )圆(D )线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )(A )k ＜1 (B )k ＞1(C )0＜k ＜1(D )k ＞1，或k ＜0二、填空题6．经过点)2,3(-M ，)1,32(-N 的椭圆的标准方程是______．7．设a ，b ，c 分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a 、b 、c 的大小关系是______．8．设P 是椭圆14522=+y x 上一点，若以点P 和焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为_______．9．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的△ABF 2的周长是_______．10．已知△ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________． 三、解答题11．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥，F 1F 2，34||1=PF ，314||2=PF ，求椭圆C 的方程．12．已知椭圆164100:221=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．13．设椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上的动点，若021<⋅PF 求点P 的横坐标的取值范围测试五 椭圆A1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x 11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，所以a ＝3．在Rt △PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ， 故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x ．12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e ；(2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：53=e ．13．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，则),5(),,5(21y x PF y x --=---=，所以052221<+-=⋅y x PF ，由14922=+y x ，得94422x y -=，代入上式，得094122<--x x ， 解得553553<<-x ． 测试六 椭圆BⅠ 学习目标1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．椭圆)2(12522>=-++m m y m x 的焦点坐标是( )(A )(±7，0) (B )(0，±7) (C ))0,7(± (D ))7,0(±2．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )(A )1101522=+y x (B )110522=+y x (C )1151022=+y x (D )1202522=+y x3．曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 有相同的( ) (A )短轴 (B )焦点 (C )长轴 (D )离心率4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( ) (A )20<<e(B )220<<e (C )210<<e (D )122<<e5．已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN ｜＝4的点P 有( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______. 7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为________.8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是________.9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则ON ＝________.10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1、F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 三、解答题11．求出直线y ＝x ＋1与椭圆12422=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求线段AB 中点的坐标．12．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一个动点，A (0，5)，求｜P A ｜的最值． 13．求过点P (3，0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；(2)设P 是“果圆”的半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 上任意一点．求证：当｜PM ｜取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；(3)若P是“果圆”上任意一点，求｜PM｜取得最小值时点P的横坐标．测试六 椭圆B1．C 2．A 3．B 4．B 5．C6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364 提示：9．设F 2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义｜MF 2｜＋MF 1｜＝2a ，得｜MF 2｜＝10－2＝8，在△MF 1F 2中，∵｜MN ｜＝NF 1｜，｜OF 1｜＝｜OF 2｜， ∴4||21||2==MF ON ． 10．设｜PF 1｜＝r 1，｜PF 2｜＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20……①由余弦定理，得ο60cos 2)2(2122212r r r r c -+=，即②ΛΛ144212221=-+r r r r ， 由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴33642332562160sin 212121=⨯⨯==∆οr r S F PF ． 11．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x ＋1代入椭圆方程12422=+y x ，得3x 2＋4x －2＝0，解得3102,310221--=+-=x x ， 所以)3101,3102(),3101,3102(---++-B A ，故AB 中点)2,2(2121yy x x ++的坐标为)31,32(-．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算) 12．设P (x ，y )，则2510)5(||2222+-+=-+=y y x y x PA ，因为点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，所以x 2＝98－2y 2，－7≤y ≤7， 则148)5(2510298||222++-=+-+-=y y y y PA ， 因为－7≤y ≤7，所以，当y ＝－5时，372148|max ==PA ；当y ＝7时，｜P A ｜min ＝2． 13．圆的方程整理为(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径R ＝10．设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 则有⎩⎨⎧-==.||,||1r R CC r CP 消去r ，得CC 1｜＋CP ｜＝10，又C 1(－3，0)，P (3，0)，｜C 1P ｜＝6＜10，所以，由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1，P 为焦点的椭圆， 且半焦距c ＝3，2a ＝10，a ＝5，从而b ＝4，所以，所求的动圆的圆心C 的轨迹方程为1162522=+y x ．14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴1)(||32220==+-=b c c b F F ,12||2221=-=c b F F ， 于是47,432222=+==c b a c ， 所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ． (2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -， 设P (x ，y )，则12222=+c xb y ，即22222x c b b y -=，又222)2(||y c a x PM +=--=0,4)().()1(22222≤≤-+-+---=x c b c a x c a x c b ， ∵0122<-cb ∴|PM |2的最小值只能在x ＝0或x ＝－c 处取到．即当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处．(3)∵｜A 1M ｜＝｜MA 2｜，且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222≥=+x by a x和半椭圆)0(12222≤=+x c x b y 上，所以，由(2)知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆2222by a x +＝1(x ≥0)上的情形即可．22222222224)(4)(]2)([c c a a c a b c c a a x a c ---++--=． 当a c c a a x ≤-=222)(即a ≤2c 时，｜PM ｜2的最小值在222)(c c a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -当a cc a a x >-=222)(，即a ＞2c 时，由于｜PM ｜2在x ＜a 时是递减的， ｜PM ｜2的最小值在x ＝a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a ；若a ＞2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．测试七 双曲线Ⅰ 学习目标1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数形结合的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．双曲线117822=-x y 的焦点坐标为( )(A )(±5，0) (B )(±3，0) (C )(0，±3) (D )(0，±5)2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( ) (A )191622=-y x(B )1251622=-y x (C )116922=-y x (D )1162522=-y x3．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( )(A )m ＞－1 (B )A ＞－2 (C )m ＞－1，或m ＜－2(D )－2＜m ＜14．设动点M (x ，y )到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( )(A )116922=-y x(B )116922=-x y(C ))3(116922-≤=-x y x(D ))3(116922≥=-x y x5．若双曲线经过点)3,6(，且渐近线方程是x y 31±=，则双曲线的方程是( )(A )193622=-y x (B )198122=-y x(C )1922=-y x (D )131822=-y x二、填空题6．双曲线4x 2－9y 2＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是__________.7．与双曲线191622=-y x 共渐近线，且过点)3,32(-A 的双曲线的方程为________．8．椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则a ＝____________.9．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为_____________________.10．已知双曲线)2(12222>=-a y a x 两条渐近线的夹角为3π，则此双曲线的离心率为_________________. 三、解答题11．已知三点P (5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)．(1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．12．已知定圆O 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．13．以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e . 测试七 双曲线1．D 2．A 3．C 4．D 5．C6．x y 32,313),0,13()0,13(±=-、7．144922=-x y 8．－1或1 9．7或23 10．332 11．(1)521||,55211||222221=+==+=PF PF ，由椭圆定义，得6,56||||221==+=c PF PF a ，所以b 2＝a 2－c 2＝9，所以，椭圆的方程为194522=+y x ；(2)点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P '(2，5)，F 1'(0，－6)，F 2 '(0，6)，由双曲线定义，得2a ＝｜''1F P ｜－｜''2F P ｜＝54，c ＝6， 所以，b 2＝c 2－a 2＝16，所以，双曲线的方程为1162022=-x y ．12．圆O 1方程化为：(x ＋5)2＋y 2＝1，所以圆心O 1(－5，0)，r 1＝1，圆O 2方程化为：(x －5)2＋y 2＝16，所以圆心O 2(5，0)，r 2＝4， 设动圆半径为r ，因为动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，所以｜MO 1｜＝r ＋1，｜MO 2｜＝r ＋4， 则｜MO 2｜－MO 1＝3，由双曲线定义，得动点M 轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支(左支)， 所以491,5,2322=--===a c b c a ， 故双曲线的方程为)23(19149422>-≤=-x y x ． 13．(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ； (2)在双曲线C 中，半焦距22b ac +=，所以离心率ab a ace 221+==； 双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a x by α，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=． 所以，1112222222221=+++=+ba b b a a e e． 测试八 抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程． 2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( )(A )y 2＝20x(B )x 2＝20y(C )x y 2012=(D )y x 2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( )(A )(－4，0)(B )(0，－4)(C )(－2，0)(D )(0，－2)3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( )(A )(18，12)(B )(18，－12)(C )(18，12)，或(18，－12)(D )(12，18)，或(－12，18)4．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( )(A )一椭圆和一双曲线的离心率 (B )两抛物线的离心率 (C )一椭圆和一抛物线的离心率(D )两椭圆的离心率5．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )(A )x y 612= (B )y 2＝4x (C )y 2＝16x (D )y 2＝24x二、填空题6．准线为x ＝2的抛物线的标准方程是____________． 7．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是___________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝________. 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程． 12．求以抛物线2y ＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程．13．设P 是抛物线221x y =上任意一点，A (0，4)，求｜P A ｜的最小值． 测试八 抛物线A1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．x y 82-= 7．x y 342=或y x 292= 8．161-=y 9．4 10．②，④ 11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0) 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=知，可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由222b a c +=，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1， 所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ， 因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x 2＝2y ，y ≥0， 代入上式，得7)3(166|22+-=+-=y y y PA ， 因为y ≥0，所以当y ＝3时，｜P A ｜min ＝7， 即当点)3,6(±P 时，｜P A ｜有最小值7．测试九 抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( )(A )4x ＋1＝0(B )4y ＋1＝0(C )2x ＋1＝0(D )2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( ) (A )32(B )3(C )321(D )3413．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( ) (A )21+-(B )223-(C )21+ (D )223+4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )(A )34(B )57(C )58(D )35．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为( ) (A ))22,2(± (B )(1，2)(C )(1，±2)(D ))22,2(二、填空题6．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝_________．7．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为_________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝_________． 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，则｜AB ｜＝_________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则｜MA ｜＋｜MF ｜的最小值是_________． 三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求其抛物线的标准方程．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线C 上，且2x 2＝x 1＋x 3，求证：2|FP 2｜＝｜FP 1|＋｜FP 3｜． 13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△P AB 面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求｜BM |的最小值f (m )．测试九 抛物线B1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．6 7．)41,0(a -8．2 9．8 10．211 11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上， 所以(－3)2＝2pm ，即Pm 29=①因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+Pm ②由①②得，5229=+pp ，解得p ＝1或9， 所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ． 12．由抛物线定义，知2||11p x PF +=,2||22p x F P +=,2||33p x F P +=, 所以｜FP 1｜＋｜FP 3｜＝x 1＋x 2＋p ，2｜FP 2｜＝2x 2＋p ，又x 1＋x 3＝2x 2，所以2｜FP 2｜＝｜FP 1｜＋｜FP 3｜． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d , 故当)49,23(P 时，△P AB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S ． 14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为x y 42=；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)，∴20202020202)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=，∵20y ＝4x 0，∴44)]2([42||200202-+--=++-=m m x x m mx x BM ． ∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，｜BM ｜min ＝｜m ｜； 当m －2≥0时，44||min -=m BM ;综上，对于C 上的动点M ，｜BM ｜的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f ．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)Ⅰ 学习目标1．能熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系问题．2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．过点P (2，4)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( )(A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是( ) (A )348(B )324 (C )3916(D )3463．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( ) (A )1条(B )2条(C )3条(D )4条4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上总存在点P ，使021=⋅PF PF ，其中F 1，F 2是椭圆的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( ) (A )]21,12[-(B ))12,0(- (C )]22,21[ (D ))1,22[5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) (A )相切 (B )相交(C )相离(D )以上情况都有可能二、填空题6．直线y ＝x ＋1与抛物线y 2＝4x 的公共点坐标为____________．7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则m 的取值范围是___________．8．设P 是等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若=⋅212F F PF 0，｜PF 1｜＝6，则该双曲线的方程是_____________________．9．过椭圆192522=+y x 的焦点，倾斜角为45°的弦AB 的长是_______________．10．若过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x ab y =的垂线与双曲线左、右两支都相交，则此双曲线的离心率e 的取值范围是_______________． 三、解答题11．中心在原点，一个焦点为)50,0(F 的椭圆C ，被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为0.5，求椭圆C 的方程．12．已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若10||=AB ，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．13．正方形ABCD 在坐标平面内，已知其一边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形ABCD 的面积．Ⅲ 拓展性训练14．设点M 在x 轴上，若对过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 左焦点F 的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，都有MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”．(1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由；(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的“左特征点”定义，并指出该点坐标．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)1．B 2．A 3．C 4．D 5．A6．(1，2) 7．m ≥1且m ≠5 8．x 2－y 2＝4 9．179010．2>e 11．由题意，设椭圆150:2222=-+a x ay C ,把直线y ＝3x －2代入椭圆方程150222=-+a x ay ,得(a 2－50)(3x －2)2＋a 2x 2＝a 2(a 2－50)，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x －a 4＋54a 2－200＝0， 设直线与椭圆的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有45010)50(122221--=-a a x x ,?＝144(a 2－50)2－4(10a 2－450)(－a 4＋54a 2－200)＞0， 由题意，得2145010)50(622221=--=+a a x x ，解得a 2＝75， 所以椭圆方程为1257522=+x y ．12．(1)设直线l ：y ＝kx －1或x ＝0(舍去)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧-==-.1,1322kx y y x消去y ，得(3－k 2)x 2＋2kx －2＝0．由题意，得3－k 2≠0，?＝(2k )2－4·(3－k 2)·(－2)＝24－4k 2＞0， 且32,32221221-=-=+⋅k x x k kx x ， ∴||1)()(||212221221x x k y y x x AB -+=-+-=⋅2122124)(1x x x x k -++=⋅．∴10324)32(12222=-⨯--+⋅k k k k ， 解得k ＝±1，或733±=k ．验证知3－k 2≠0且?＞0，∴直线l 的方程为：y ＝±x －1，或1733-±=x y ； (2)由A 、B 在y 轴的同一侧，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=∆>-==/-0424032.0322212k k x x k ，解得：)3,6(--∈k ∪)6,3(．13．因为AB //CD ，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋t ，把y ＝x ＋t 代入y 2＝x ，消去y ，得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0， 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝1－2t ， x 1·x 2＝t 2，?＝(2t －1)2－4t 2＞0， 所以)41(2]4)21[(2)()(||22221221t t t y y x x CD -=--=-+-=， 又AB 与CD 间的距离为2|4|||-=t AD ，由正方形ABCD ，得｜AD ｜＝｜CD ｜，即2|4|)41(2-=-t t ， 解得t ＝－2，或t ＝－6， 从而，边长|AD |＝23或25，所以正方形面积为18)23(21==S 或50)25(22==S ．14．(1)判断：椭圆的“左特征点”存在，具体证明如下．方法1：设x 轴上点M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，F (－c ，0)， 其中c 2＝a 2－b 2(c ＞0)．设过F 与两坐标轴都不垂直的直线AB ： y ＝k (x ＋c )(k ≠0)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(12222c x k y b y a x ，消去y ，得：(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0，∴22222212ka b c k a x x +-=+， 2222222221.k a b b a c k a x x +-=， ?))((4)2(22222222222b a c k a k a b c k a -+-=＞0． 又∵直线AM 的斜率为：011011)(0x x c x k x x y k AM -+=--=， 直线BM 的斜率为：022022)(0x x c x k x x y k BM -+=--=． ∴))(())(())(()()(0201012021022011x x x x x x c x k x x c x k x x c x k x x c x k k k BM AM ---++-+=-++-+=+， 上式中的分子：k (x 1＋c )(x 2－x 0)＋k (x 2＋c )(x 1－x 0)＝k [2x 1·x 2＋c (x 1＋x 2)－x 0(x 1＋x 2)－2cx 0]∵M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF ＝∠BMF ． ∴k AM ＝－k BM ，即k AM ＋k BM ＝0， ∴分子0222220222222222222222222[cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯＝0，∵上式要对任意非零实数k 都成立， ∴02222202222202222222222222=-+-⨯-+-⨯++-⨯cx ka b c k a x k a b c k a c ab b ac k a k∴2a 2k 2c 2－2a 2b 2－2a 2k 2c 2＋2a 2k 2cx 0－2b 2cx 0－2a 2k 2cx 0＝0，∴0220222=--cx b b a ∴ca x 20-=．故对过F 与两坐标轴都不垂直的任意弦AB ，点)0,(2c a M -都能使MF 为△AMB的一条内角平分线，所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点)0,(2c a M -．方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB ，如斜率为1的直线)找出符合“左特征点”性质的一个点M (具体找的过程略，可找到点)0,(2c a M -，即为椭圆的左准线与x 轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，∠AMF＝∠BMF 都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方法证明)如图，椭圆的左准线与x 轴的交点为M ，过A 作AP 垂直左准线于P ，过B 作BQ 垂直左准线于Q ，由椭圆第二定义，得e AP AF BQ BF ==|||||||| (其中e 为椭圆离心率) ∴||||||||BF AF BQ AP =． 又∵AP //BQ //x 轴, ∴||||||||BF AF MQ MP =, ∴||||||||BQ AP MQ MP =． ∵∠APM ＝∠BQM ＝90°， ∴△APM ∽△BQM ． ∴∠P AM ＝∠QBM ，∵∠P AM ＝∠AMF ，∠QBM ＝∠BMF ，。

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋1 2i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】 可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.【答案】 －314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由.【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】 令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2 15.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a －b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n（n－3）2＝n（n＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n（n－3）2·(n－2)＝n（n－1）（n－2）2.【答案】n（n＋1）212n（n－1）（n－2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ­ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ， 则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ， 所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12 D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1 D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】 －4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )， 同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14， 因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e ＋2e ＋2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1， 故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3) 【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】 因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0， 设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1， 由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)，∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3] 【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4.∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.。

北京市西城区2012年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区2012年7月高二数学(理科)试题选修2-3+选修2-2

北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（理科） 2012.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数2i1i-+等于（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i 22+ D ．13i 22- 2．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与 否相互独立. 那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ） A. 0.06 B. 0.24C. 0.56D ．0.943．函数()f x =4x =处的切线方程是（ ）A. 20x y -=B. 20x y --=C. 440x y -+=D ．440x y +-=4．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ） A.8个 B ．10个 C. 18个D. 24个5．如图，阴影区域是由函数sin y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）A.1B ．2C ．π2D.π6．已知函数2()()af x x a x=+∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ） A. (,4)-∞B ．(,4]-∞C. (,8)-∞D. (,8]-∞7．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（ ） A ．564B.1564C.532D.5168．设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数)，使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ∈，()g x ax =是函数()e xkf x =的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（ ）A. 1e ,e M M -∉∉B ． 1e ,e M M -∉∈C ．1e ,e M M -∈∉D ．1e ,e M M -∈∈二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于_________.(用数字作答) 10．已知某随机变量X 的分布列如下（a ∈R ）：X 1 2 3P12 13a则随机变量X 的数学期望()E X =_______，方差()D X =____________.11．设函数()ln f x x x =，2[e ,e]x -∈，则()f x 的最大值为____________，最小值为___________.12. 若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答） 13．已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间 [－2，2]上存在零点，那么实数a 的取值范围是_________. 14．如图，设0P 是抛物线2y x =上一点，且在第一象限. 过点0P 作抛物线的切线，交x 轴于1Q 点，过1Q 点作x 轴的垂线，交抛物线于1P 点，此时就称0P 确定了1P .依此类推，可由1P 确定2P ，.记(,)n n n P x y ，0,1,2,n =.给出下列三个结论： ○1 0n x >；○2 数列{}n x 为单调递减数列； ○3 对于n ∀∈N ，01x ∃>，使得0122n y y y y ++++<.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11a =，131nn n a a a +=+，1,2,3,n =.（Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是31，假设每次射击是否命中相互之间没有影响.（Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；（Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分） 设0a >，函数22()xf x a x =+的导函数为()f x '.（Ⅰ）求(0),(1)f f ''的值，并比较它们的大小； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值.18．（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等.（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字分别为1，2，3的概率； （Ⅱ）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率； （Ⅲ）用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求(4)P X ≥的值.19．（本小题满分14分）请先阅读：设可导函数()f x 满足()()()f x f x x -=-∈R . 在等式 ()()f x f x -=-的两边对x 求导， 得 (())(())f x f x ''-=-，由求导法则，得 ()(1)()f x f x ''-⋅-=-， 化简得等式 ()()f x f x ''-=．（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式0122(1+)=C C C C n n nn n n n x x x x ++++ （x ∈R ， 整数2n ≥），证明：1232431[(1)1]2C 3C 4C C n n n n n n n n x x x x n x --+-=++++；（Ⅱ）当整数3n ≥时，求1231C 2C 3C (1)C n nn n n nn --+-+-的值； （Ⅲ）当整数3n ≥时，证明：23422C 32C 43C (1)(1)C 0n n n n n n n n --⋅+⋅++--=.20．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x a x =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若(1)0f '=，求a 的值；（Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)()nk n k k=+>-∑都成立.北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（理科）参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. D ；2. A ；3. C ；4. A ；5. B ；6. B ；7. C ；8.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 40； 10. 55,39； 11. 1e,e-； 12. 2880； 13. [22,5]-； 14. ○1、○2、○3. 注：第10，11题第一个空2分，第二个空3分；第14题多选、少选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得214a =，317a =，4110a =. ………………………… 3分 （Ⅱ）解：由1a ，2a ，3a ，4a ，猜想132n a n =-. ………………………… 5分以下用数学归纳法证明：对任何的*n ∈N ，132n a n =-.证明：① 当1n =时，由已知，左边1=，右边11312=⨯-，等式成立. ………………… 7分 ② 假设当()n k k =∈*N 时，132k a k =-成立， ………………………… 8分则1n k =+时，111132131313(1)23132k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以 当1n k =+时，猜想也成立. ………………………… 12分根据 ① 和 ②，可知猜想对于任何n ∈*N 都成立. ………………………… 13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“在3次射击中，甲至少有1次命中目标”为事件A ． ………………………… 1分则A 表示事件“在3次射击中，甲没有命中目标”. ………………………… 2分 故 1118()(1)(1)(1)33327P A =-⨯-⨯-=， ………………………… 4分所以19()1()27P A P A =-=． ………………………… 6分 （Ⅱ）解：记甲的射击次数为X ，则X 的可能取值为1，2，3． ………………………… 7分1(1)3P X ==，112(2)(1)339P X ==-⨯=，114(3)(1)(1)1339P X ==-⨯-⨯=． ………………………… 10分X 的分布列为：………………………… 11分12419()1233999E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为22222222222()2()()()a x x a x f x a x a x +--'==++. ………………………… 3分 所以222211(0),(1)(1)a f f a a -''==+. ………………………… 4分因为22222221131(0)(1)0(1)(1)a a f f a a a a -+''-=-=>++， 所以(0)(1)f f ''>. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由()0f x '=，得x a =±， ………………………… 7分x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(,)a -∞-和(,)a +∞内单调递减，在(,)a a -内单调递增. …………………… 12分所以当x a =时，()f x 有极大值1()2f a a =；当x a =-时，()f x 有极小值1()2f a a-=-. ………………………… 13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“取出的3个小球上的数字分别为1，2，3”的事件为A ， ………………………… 1分则111222310C C C 1()C 15P A ==.答：取出的3个小球上的数字分别为1，2，3的概率为115. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：记“取出的3个小球上的数字恰有2个相同”的事件为B ， ………………………… 5分则1158310C C 1()C 3P B ==.答：取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率为13. ………………………… 8分 （Ⅲ）解：由题意，X 可以取到2，3，4，5，所以(4)(4)(5)P X P X P X ≥==+=. ………………………… 9分又因为21126262310C C C C 3(4)C 10P X +===， ………………………… 11分 21128282310C C C C 8(5)C 15P X +===， 所以385(4)10156P X ≥=+=. ……………………… 13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在等式0122(1+)=C C C C n n nn n n n x x x x ++++两边对x 求导，得 11232121(1)C 2C 3C (1)C C n n n n n n n n n n n x x x n x n x----+=++++-+， （*） ……………… 2分 移项得 11232121(1)C 2C 3C (1)C C n n n n n n n n n n n x x x n x n x ----+-=+++-+，即 1232431[(1)1]2C 3C 4C C n n n n n n n n x x x x n x --+-=++++. ………………………… 4分（Ⅱ）解：在（*）式中，令1x =-，得 123210C 2C (1)3C (1)C (1)nn n n n n n -=+⨯-+⨯-++⨯-，即 1231C 2C 3C (1)C =0n nn n n n n --+-+-. ………………………… 9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知11232121(1)C 2C 3C (1)C C ,3n n n n n n n n n n n x x x n x n x n ----+=++++-+≥，两边对x 求导，得223422(1)(1)2C 32C 43C (1)C n n n n n n n n n x x x n n x ---+=+⋅+⋅++-，…… 12分在上式中，令1x =-，得 2342202C 32C (1)43C (1)(1)C (1)nn n n n n n n -=+⋅-+⋅-++--，即 23422C 32C 43C (1)(1)C 0n nn n n n n n --⋅+⋅-+--=. ………………………… 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域是{|1}x x >-. ………………………… 1分对()f x 求导，得222()211a x x af x x x x +-'=-=++. ………………………… 3分 由(1)0f '=，得402a-=. 解得 4a =. ………………………… 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知222()1x x af x x +-'=+.令222()01x x af x x +-'==+，得2220x x a +-=，则48a ∆=+. 所以当102a -<<时， 方程()0f x '=存在两根11x =>-，21x =>-.x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(-上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增； ………………………… 7分当12a =-时，因为22122(21)2()12(1)x x x f x x x +++'==++，所以()0f x '≥（当且仅当12x =-时，等号成立）， 所以函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； ………………………… 8分当12a <-时，因为2222(21)(21)()012(1)x x a x a f x x x +-+-+'==>++，所以函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.综上，当102a -<<时，函数()f x在1(1,2--上单调递增，在11()22-- 上单调递减，在)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.………………………… 9分（III ）证明：当1a =时，2()ln(1)f x x x =-+，令332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则323(1)()01x x h x x +-'=≥+在[0,)+∞上恒成立， 所以()h x 在[0,)+∞上单调递增， ………………………… 10分 则当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=. 即当(0,)x ∈+∞时，有32ln(1)0x x x -++>，整理，得 23ln(1)x x x +>-. ………………………… 11分对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n+>-， 所以23111ln n n n n +>-，整理得2311ln(1)ln n n n n+->-， ………………………… 12分 则有2311ln 2ln111->-，2311ln 3ln 222->-，2311ln(1)ln n n n n +->-， 所以232323111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]()()()1122n n n n -+-+++->-+-++-， 即23111ln(1)()nk n k k=+>-∑. ………………………… 14分。

2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：6.1 推理与证明 含解析

2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：6.1 推理与证明 含解析

模块复习课MOKUAIFUXIKE第1课时推理与证明课后训练案巩固提升A组1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时,假设的内容应为() A。

假设至少有一个钝角B。

假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D。

假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”的否定为“至少有两个”.答案:B2.下列推理是归纳推理的是（)A。

A，B为定点,动点P满足｜PA|+|PB|=2a>｜AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1，a n=3n—1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积为S=πr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πabD.以上均不正确解析：从S1，S2，S3猜想出数列前n项和S n，是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理。

答案:B3。

由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（)A。

各正三角形内一点B。

各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D。

各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案：C4.已知a>0,b〉0，1a +3b=1，则a+2b的最小值为（）A.7+2√6B.2√3C.7+2√3D.14解析：a+2b=(a+2b）(1a +3b)=7+2b a+3a b≥7+2√6，当且仅当2b2=3a2，即a=√63b时取等号.答案:A5.某个与正整数有关的命题:如果当n=k（k∈N+）时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立，那么可以推得(）A.当n=4时命题不成立B。

当n=6时命题不成立C。

当n=4时命题成立D.当n=6时命题成立解析：因为当n=k （k ∈N +）时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

北京西城区学习探究诊断高中数学选修2- 1第一章 常用逻辑用语测试一 命题与量词Ⅰ 学习目标会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义． Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列语句中不是命题的是( )(A )团结就是力量 (B )失败乃成功之母(C )世上无难事 (D )向雷锋同志学习2．下列语句能作为命题的是( )(A )3＞5 (B )星星和月亮 (C )高一年级的学生 (D )x 2＋｜y ｜＝03．下列命题是真命题的是( )(A )y ＝sin ｜x ｜是周期函数 (B )2≤3(C )空集是集合A 的真子集 (D )y ＝tan x 在定义域上是增函数4．下列命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x ∈{x ｜x 是无理数}，x 2是有理数．(A )0 (B )1 (C )2 (D )35．下列语句中表示真命题的是( )(A )x ＞12(B )函数21x y =在(0，＋∞)上是减函数 (C )方程x 2－3x ＋3＝0没有实数根 (D )函数222++=x x x y 是奇函数 6．已知直线a ，b 和平面α ，下列推导错误的是( )(A )b a a b a ⊥⇒⊂∀⊥⎪⎭⎪⎬⎫α(B )b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂∃αα (C )αα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥∃a b b a 或α//a (D )b a b a ////⇒⎭⎬⎫⊂αα 7．下列命题是假命题的是( )(A )对于非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b(B )若｜a ｜＝｜b ｜，则a ＝b(C )若ab ＞0，a ＞b ，则ba 11< (D )a 2＋b 2≥2ab8．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0对x ∈R 恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是( )(A )0≤a ＜3 (B )0≤a ≤3 (C )0＜a ＜3 (D )0≤a ＜3二、填空题9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对于∀x ∈R 均成立，则实数a 的取值范围是______．10．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B②A ⊆/B ⇔A ∩B ＝∅ ③A ⊆/B ⇔A ⊇B ④A ⊆/B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题11．判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；(3)两直线平行则斜率相等；(4)△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；(5)余弦函数是周期函数吗？12．用符号“∀”、“ ∃”表达下列命题：(1)实数的平方大于等于0；(2)存在一个实数x ，使x 3＞x 2；(3)存在一对实数对，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0．参考答案第一章 常用逻辑用语测试一 命题与量词1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A9．2321<<-a ； 10．④ 11．(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)是命题，是假命题(4)是命题，是真命题 (5)不是命题12．(1)∀x ∈R ，x 2≥0．(2)∃x ∈R ，使x 3＞x 2．(3)∃(x ，y )，x 、y ∈R ，使2x ＋3y ＋3＜0成立．13．(1)全称命题，真命题． (2)存在性命题，真命题． (3)存在性命题，真命题．测试二 基本逻逻辑联结词Ⅰ 学习目标1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A )简单命题 (B )“非p ”形式的命题(C )“p 且q ”形式的命题 (D )“p 或q ”形式的命题2．下列结论中正确的是( )(A )p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题(B )p 是假命题时，“p 且q ”不一定是假命题(C )“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题(D )“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题3．如果“p 或q ”与“非p ”都是真命题，那么( )(A )q 一定是真命题 (B )q 不一定是真命题(C )p 不一定是假命题 (D )p 与q 的真假相同4．“xy ≠0”是指( )(A )x ≠0且y ≠0 (B )x ≠0或y ≠0(C )x ，y 至少一个不为零 (D )x ，y 不都为零5．命题5:p 的值不超过2，命题2:q 是无理数，则( )(A )命题“p 或q ”是假命题(B )命题“p 且q ”是假命题 (C )命题“非p ”是假命题(D )命题“非q ”是真命题 6．下列命题的否定是真命题的是( )(A )∀x ∈R ，x 2－2x ＋2≥0(B )所有的菱形都是平行四边形 (C )∃x ∈R ，｜x －1｜＜0(D )∃x ∈R ，使得x 3＋64＝0 7．下列命题的否定是真命题的是( )(A )∃x ∈R ，x 2＝1(B )∃x ∈R ，使得2x ＋1≠0成立 (C )∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0 (D )∃x ∈R ，x 是x 3－2x ＋1＝0的根8．已知U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题A p ∈2:∪B ，则命题∈“⌝p ”是( )(A )2∉A(B )2∈U B (C )2∉A ∩B (D )2∈(U A )∩(U B )9．由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真、“p 且q ”为假、“非p ”为真的是( )(A )p ：11不是质数，q ：6是18和15的公约数(B )p ：0∈N ，q ：{0}{－1，0}(C)p：方程x2－3x＋1＝0的两根相同，q：方程2x2－2＝0的两根互为相反数(D)p：矩形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直10．命题p：∃a∈R，使方程x2＋ax＋1＝0有实数根，则“⌝p”形式的命题是( )(A)存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(B)不存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(C)对任意实数a，使方程x2＋ax＋1＝0没有实数根(D)至多有一个实数a，使方程x2＋ax＋1＝0有实数根二、填空题11．命题“∀x∈A，x∈A∪B”的命题的否定是________________．12．“l⊥α ”的定义是“若∀g⊂α ，l⊥g，则称l⊥α ”，那么“直线l不垂直于平面α ”的定义是_____________________________．13．已知命题：“非空集合A的元素都是集合B的元素”是假命题．那么给出下列命题：①“A中的元素都不是集合B的元素”；②“A中有不属于B的元素”；③“A中有B的元素”；④“A中的元素不都是B的元素”．其中真命题的序号是______．(将正确命题的序号都填上)14．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A，都有x∈B，则称A⊆B”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题15．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)质数都是奇数；(2)∀x∈R，3x－5＞2x；(3)∀A⊆U(U为全集)，∅是集合A的真子集．16．命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断其真假．测试二基本逻辑联结词1．C2．D3．A4．A5．B6．C7．C8．D9．C10．C11．∃x∈A，但x∉A∪B12．∃g⊂α，l不垂直g，则称直线l不垂直于平面α13．②④14．若∃x∈A但x∉B，则称A不是B的子集15．解：(1)命题的否定：质数不都是奇数，真命题(2)命题的否定：∃x∈R，使3x－5≤2x，真命题(3)命题的否定：∃A⊆U，∅不是集合A的真子集，真命题16．答：p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题)p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)非p：正方形不是菱形．(假命题)测试三 充分条件、必要条件与四种命题Ⅰ 学习目标1．了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )(A )它们的面积相等 (B )它们的三边对应成比例(C )这两个三角形全等 (D )这两个三角形有两个对应角相等2．已知a 为正数，则“a ＞b ”是“b 为负数”的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件3．条件p ：ac 2＞bc 2是条件q ：a ＞b(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件4．若条件甲：“DC AB =”，条件乙：“ABCD 是平行四边形”，则甲是乙的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件5．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 是r 的( )(A )逆命题 (B )否命题(C )逆否命题 (D )非四种命题关系6．原命题的否命题为假，可判断( )(A )原命题为真 (B )原命题的逆命题为假(C )原命题的逆否命题为假 (D )都无法判断7．已知集合A ＝{x ｜x 2－5x －6≤0}，B ＝x ｜x 2－6x ＋8≤0，则x ∈A 是x ∈B 的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是( )(A )命题“若ac ＞bc ，则a ＞b ”(B )命题“若a n 是n 的一次函数，则数列{a n }是等差数列”的逆命题(C )命题“若x ＝3，则x 2－4x ＋3＝0”的否命题(D )命题“若x 2＝4，则x ＝2”的逆命题9．设x ，y ∈R ，｜x －1｜＋(y －2)2≠0等价于( )(A )x ＝1且y ＝2 (B )x ＝1或y ＝2(C )x ≠1或y ≠2 (D )x ≠1且y ≠210．下列4组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是( )(A )甲：a ＞b ，乙：ba 11< (B )甲：ab ＜0，乙：｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜(C )甲：a ＝b ，乙：ab b a 2=+(D )甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a二、填空题11．原命题“若x ＜3，则x ＜4”的逆否命题是_________________________.12．“直线l ∥平面α ”是“直线l 在平面α 外”的__________________条件．13．命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题是__________________.14．“函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[1，＋∞)是单调函数”的充要条件是__________________．15．举一个反例，说明命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是假命题：____________________________________.16．给出下列命题：①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题②“圆内接四边形的对角互补”的否命题③“若ac ＞bc ，则a ＞b ”的逆命题④“若a ＋5∈Q ，则a ∈Q ”的逆命题其中正确的命题是______(请填入正确命题的序号)．17．①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若a ≤－1，则方程x 2－2ax ＋a 2⊆＋a ＝0有实数根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中正确的命题是______．(填上你认为正确的命题序号)18．设全集为S ，集合A ，B ⊆S ，有下列四个命题：①A ∩B ＝A ； ②s A ⊇s B ； ③(s B )∩A ＝∅； ④(s A )∩B ＝∅．其中是命题A ⊆B 的充要条件的命题序号是______．测试三 充分条件、必要条件与四种命题1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D11．若x ≥4，则x ≥312．充分不必要13．若x ≠0且y ≠0，则xy ≠014．b ≥－215．2,2-==b a 都是无理数，但a ＋b ＝0是有理数；也可举例2,21-=+=b a 等．16．①②④17．①③18．①②③第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程Ⅰ 学习目标1．了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2．初步掌握求曲线方程的基本方法．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在点A (4，4)，B (3，4)，C (－3，3)，)62,2(D 中，有几个点在方程x 2－2x ＋y 2＝24的曲线上( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个2．方程x 2＋3(y －1)2＝9的曲线一定( )(A )关于x 轴对称 (B )关于y 轴对称(C )关于原点对称 (D )以上都不对3．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( )(A )y ＝x (B )y ＝x (x ≠2) (C )y ＝－x (D )y ＝－x (x ≠2)4．方程log (2x )y ＝1与下列方程表示同一曲线的是( )(A )y ＝2x (x ≥0) (B )y ＝2x (x ＞0且21=/x ) (C )y ＝2x (x ＞0) (D )y ＝2x (y ＞0)5．方程(2x －y －1)(3x ＋2y ＋1)＝0与方程(2x －y －1)2＋(3x ＋2y ＋1)2＝0的曲线是( )(A )均表示两条直线 (B )前者是两条直线，后者表示一个点(C )均表示一个点 (D )前者是一个点，后者表示两条直线二、填空题6．直线x ＋2y －9＝0与曲线xy ＝10的交点坐标为______．7．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)经过坐标原点的充要条件是______．8．到两平行线l 1：3x ＋2y －4＝0，l 2：3x ＋2y －8＝0距离相等的点的轨迹方程是______．9．若动点P 到点(1，1)的距离等于它到y 轴的距离，则动点P 的轨迹方程是______．10．已知两定点A (－1，0)，B (3，0)，动点P 满足21||||=PB PA ，则动点P 的轨迹方程是 ________________________．三、解答题11．已知动点P 到两定点M (1，3)，N (3，1)的距离平方之和为20，求动点P 的轨迹方程．12．试画出方程｜x ＋｜y ｜＝1的曲线，并研究其性质．13．如图，设D 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0的圆心，若P 为圆C 外一动点，过P 向圆C作切线PM ，M 为切点，设2=PM ，求动点P 的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．如图，已知点P (-3，0)，点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且0=⋅AQ PA ，AQ QM 2=．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．第二章 圆锥曲线与方程测试四 曲线与方程1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．(5，2)，)25,4( 7．F ＝0 8．3x ＋2y －6＝09．)21(2)1(2-=-x y 10．3x 2＋3y 2＋14x －5＝011．x 2＋y 2－4x －4y ＝0．12．方程的曲线如图．(1)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；(2)曲线与坐标轴的交点：四个交点分别是(1，0)、(0，1)、(－1，0)、(0，－1)；(3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称13．圆C 化简为：(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，∴圆心D (2，－2)，半径2=r ，设点P (x ，y )，由题意，得DM ⊥PM ，∴｜PD ｜2＝｜PM ｜2＋｜DM ｜2， ∵2=PM ,2||=DM ,6||=PD , ∴6)2()2(22=++-y x ，故动点P 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6．14．设动点M (x ，y )，A (0，b )，Q (a ，0)，∵P (－3，0)， ∴),(),,(),,3(y a x QM b a AQ b PA -=-==，∵0=⋅，∴(3，b )·(a ，－b )＝0，即3a －b 2＝0． ① ∵2=，∴(x －a ，y )＝2(a ，－b )，即x ＝3a ，y ＝－2b ． ②由①②，得y 2＝4x ．∴轨迹E 的方程为y 2＝4x ．测试五 椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，目焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A )1422=+y x (B )1422=+y x (C )11622=+y x (D )11622=+y x 2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( ) (A )(0，3)，(0，－3)(B )(3，0)，(－3，0) (C )(0，5)，(0，－5) (D )(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( ) (A )4 (B )194 (C )94 (D )144．已知F 1，F 2是定点，821=F F ，动点M 满足｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝8，则动点M 的轨迹是( )(A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )(A )k ＜1 (B )k ＞1 (C )0＜k ＜1 (D )k ＞1，或k ＜0二、填空题6．经过点)2,3(-M ，)1,32(-N 的椭圆的标准方程是______．7．设a ，b ，c 分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a 、b 、c 的大小关系是______． 8．设P 是椭圆14522=+y x 上一点，若以点P 和焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为_______．9．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的△ABF 2的周长是_______．10．已知△ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________．三、解答题11．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥，F 1F 2，34||1=PF ，314||2=PF ，求椭圆C 的方程．12．已知椭圆164100:221=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．13．设椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上的动点，若021<⋅PF 求点P 的横坐标的取值范围测试五 椭圆A1．C 2．A 3．D 4．D 5．B6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6，所以a ＝3．在Rt △PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ， 故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x ．12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e ； (2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④离心率：53=e ． 13．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，则),5(),,5(21y x PF y x --=---=，所以052221<+-=⋅y x PF PF ，由14922=+y x ，得94422x y -=，代入上式，得094122<--x x ，解得553553<<-x ． 测试六 椭圆BⅠ 学习目标1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．椭圆)2(12522>=-++m m y m x 的焦点坐标是( )(A )(±7，0)(B )(0，±7)(C ))0,7(±(D ))7,0(±2．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )(A )1101522=+y x (B )110522=+y x (C )1151022=+y x(D )1202522=+y x3．曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 有相同的( ) (A )短轴(B )焦点(C )长轴(D )离心率4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( ) (A )20<<e(B )220<<e (C )210<<e (D )122<<e 5．已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN ｜＝4的点P 有( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个 二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______.7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为________. 8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是________.9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则ON ＝________.10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1、F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 三、解答题11．求出直线y ＝x ＋1与椭圆12422=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求线段AB 中点的坐标．12．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一个动点，A (0，5)，求｜P A ｜的最值．13．求过点P (3，0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．Ⅲ 拓展性训练14．我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；(2)设P 是“果圆”的半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 上任意一点．求证：当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处；(3)若P 是“果圆”上任意一点，求｜PM ｜取得最小值时点P 的横坐标．测试六 椭圆B1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364 提示：9．设F 2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义｜MF 2｜＋MF 1｜＝2a ，得｜MF 2｜＝10－2＝8，在△MF 1F 2中，∵｜MN ｜＝NF 1｜，｜OF 1｜＝｜OF 2｜， ∴4||21||2==MF ON ． 10．设｜PF 1｜＝r 1，｜PF 2｜＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20……①由余弦定理，得60cos 2)2(2122212r r r r c -+=，即② 144212221=-+r r r r ， 由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴33642332562160sin 212121=⨯⨯==∆ r r S F PF ．11．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x ＋1代入椭圆方程12422=+y x ，得3x 2＋4x －2＝0，解得3102,310221--=+-=x x ， 所以)3101,3102(),3101,3102(---++-B A ，故AB 中点)2,2(2121y y x x ++的坐标为)31,32(-．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算) 12．设P (x ，y )，则2510)5(||2222+-+=-+=y y x y x PA ，因为点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，所以x 2＝98－2y 2，－7≤y ≤7， 则148)5(2510298||222++-=+-+-=y y y y PA ，因为－7≤y ≤7，所以，当y ＝－5时，372148|max ==PA ；当y ＝7时，｜P A ｜min ＝2． 13．圆的方程整理为(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径R ＝10．设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，则有⎩⎨⎧-==.||,||1r R CC r CP 消去r ，得CC 1｜＋CP ｜＝10，又C 1(－3，0)，P (3，0)，｜C 1P ｜＝6＜10，所以，由椭圆的定义知圆心C 的轨迹是以C 1，P 为焦点的椭圆， 且半焦距c ＝3，2a ＝10，a ＝5，从而b ＝4，所以，所求的动圆的圆心C 的轨迹方程为1162522=+y x ．14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴1)(||32220==+-=b c c b F F ,12||2221=-=c b F F ，于是47,432222=+==c b a c ， 所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ．(2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -，设P (x ，y )，则12222=+c x b y ，即22222x c b b y -=，又222)2(||y c a x PM +=--=0,4)().()1(22222≤≤-+-+---=x c b c a x c a x cb ，∵0122<-cb ∴|PM |2的最小值只能在x ＝0或x ＝－c 处取到．即当｜PM ｜取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处．(3)∵｜A 1M ｜＝｜MA 2｜，且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222≥=+x by a x和半椭圆)0(12222≤=+x c x b y 上，所以，由(2)知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆2222by a x +＝1(x ≥0)上的情形即可． 222)2(||y c a x PM +--=22222222224)(4)(]2)([c c a a c a b c c a a x a c ---++--=．当a c c a a x ≤-=222)(即a ≤2c 时，｜PM ｜2的最小值在222)(c c a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a - 当a cc a a x >-=222)(，即a ＞2c 时，由于｜PM ｜2在x ＜a 时是递减的， ｜PM ｜2的最小值在x ＝a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若a＞2c ，当｜PM ｜取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．测试七 双曲线Ⅰ 学习目标1．理解双曲线的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数形结合的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．双曲线117822=-x y 的焦点坐标为( )(A )(±5，0)(B )(±3，0)(C )(0，±3)(D )(0，±5)2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( ) (A )191622=-y x (B )1251622=-y x(C )116922=-y x (D )1162522=-y x3．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( )(A )m ＞－1 (B )A ＞－2(C )m ＞－1，或m ＜－2 (D )－2＜m ＜14．设动点M (x ，y )到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( )(A )116922=-y x(B )116922=-x y(C ))3(116922-≤=-x y x(D ))3(116922≥=-x y x5．若双曲线经过点)3,6(，且渐近线方程是x y 31±=，则双曲线的方程是( )(A )193622=-y x (B )198122=-y x(C )1922=-y x (D )131822=-y x二、填空题6．双曲线4x 2－9y 2＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是__________.7．与双曲线191622=-y x 共渐近线，且过点)3,32(-A 的双曲线的方程为________．8．椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则a ＝____________. 9．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为_____________________.10．已知双曲线)2(12222>=-a y a x 两条渐近线的夹角为3π，则此双曲线的离心率为_________________.三、解答题11．已知三点P (5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)．(1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．12．已知定圆O 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆O 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．13．以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e .测试七 双曲线1．D 2．A 3．C 4．D 5．C6．x y 32,313),0,13()0,13(±=-、7．144922=-x y 8．－1或1 9．7或23 10．332 11．(1)521||,55211||222221=+==+=PF PF ，由椭圆定义，得6,56||||221==+=c PF PF a ，所以b 2＝a 2－c 2＝9，所以，椭圆的方程为194522=+y x ；(2)点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P '(2，5)，F 1'(0，－6)，F 2 '(0，6)，由双曲线定义，得2a ＝｜''1F P ｜－｜''2F P ｜＝54，c ＝6，所以，b 2＝c 2－a 2＝16，所以，双曲线的方程为1162022=-x y ．12．圆O 1方程化为：(x ＋5)2＋y 2＝1，所以圆心O 1(－5，0)，r 1＝1，圆O 2方程化为：(x －5)2＋y 2＝16，所以圆心O 2(5，0)，r 2＝4， 设动圆半径为r ，因为动圆M 与定圆O 1，O 2都外切，所以｜MO 1｜＝r ＋1，｜MO 2｜＝r ＋4， 则｜MO 2｜－MO 1＝3，由双曲线定义，得动点M 轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支(左支)，所以491,5,2322=--===a cbc a ， 故双曲线的方程为)23(19149422>-≤=-x y x ．13．(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b ac +=，所以离心率ab a ace 221+==； 双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a x by α，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=． 所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e． 测试八 抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( ) (A )y 2＝20x(B )x 2＝20y(C )x y 2012=(D )y x 2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( ) (A )(－4，0) (B )(0，－4) (C )(－2，0) (D )(0，－2) 3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( ) (A )(18，12) (B )(18，－12) (C )(18，12)，或(18，－12) (D )(12，18)，或(－12，18) 4．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( ) (A )一椭圆和一双曲线的离心率 (B )两抛物线的离心率(C )一椭圆和一抛物线的离心率 (D )两椭圆的离心率5．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( ) (A )x y 612=(B )y 2＝4x (C )y 2＝16x (D )y 2＝24x二、填空题6．准线为x ＝2的抛物线的标准方程是____________． 7．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是___________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝________. 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线2y ＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程．13．设P 是抛物线221x y =上任意一点，A (0，4)，求｜P A ｜的最小值． 测试八 抛物线A 1．B 2．D 3．C 4．A 5．C6．x y 82-= 7．x y 342=或y x 292= 8．161-=y 9．4 10．②，④ 11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0) 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=知，可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由222b a c +=，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1， 所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ，因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x 2＝2y ，y ≥0， 代入上式，得7)3(166|22+-=+-=y y y PA ，因为y ≥0，所以当y ＝3时，｜P A ｜min ＝7， 即当点)3,6(±P 时，｜P A ｜有最小值7．测试九 抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( ) (A )4x ＋1＝0 (B )4y ＋1＝0 (C )2x ＋1＝0 (D )2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( ) (A )32(B )3(C )321(D )3413．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( ) (A )21+-(B )223- (C )21+(D )223+ 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) (A )34 (B )57 (C )58 (D )35．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为( ) (A ))22,2(±(B )(1，2)(C )(1，±2)(D ))22,2(二、填空题6．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝_________．7．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为_________．8．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝_________． 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3， 则｜AB ｜＝_________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则｜MA ｜＋｜MF ｜的最小值是_________．三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求其抛物线的标准方程．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线C 上，且2x 2＝x 1＋x 3，求证：2|FP 2｜＝｜FP 1|＋｜FP 3｜．13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△P AB 面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求｜BM |的最小值f (m )．测试九 抛物线B1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．6 7．)41,0(a -8．2 9．8 10．211 11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上，所以(－3)2＝2pm ，即Pm 29=① 因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+Pm②由①②得，5229=+pp ，解得p ＝1或9， 所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ． 12．由抛物线定义，知2||11p x PF +=,2||22p x F P +=,2||33px F P +=, 所以｜FP 1｜＋｜FP 3｜＝x 1＋x 2＋p ，2｜FP 2｜＝2x 2＋p ，又x 1＋x 3＝2x 2，所以2｜FP 2｜＝｜FP 1｜＋｜FP 3｜． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d , 故当)49,23(P 时，△P AB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S ． 14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为x y 42=；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)， ∴2020*******)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=，∵20y ＝4x 0， ∴44)]2([42||2002020-+--=++-=m m x x m mx x BM ．∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，｜BM ｜min ＝｜m ｜； 当m －2≥0时，44||min -=m BM ;综上，对于C 上的动点M ，｜BM ｜的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f ．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)Ⅰ 学习目标1．能熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系问题．2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．过点P (2，4)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) (A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是( ) (A )348(B )324(C )3916(D )3463．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( ) (A )1条(B )2条(C )3条(D )4条4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上总存在点P ，使021=⋅，其中F 1，F 2是椭圆的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是( ) (A )]21,12[-(B ))12,0(- (C )]22,21[ (D ))1,22[5．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( )(A )相切 (B )相交 (C )相离 (D )以上情况都有可能 二、填空题6．直线y ＝x ＋1与抛物线y 2＝4x 的公共点坐标为____________．7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是___________． 8．设P 是等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若=⋅212F F PF 0， ｜PF 1｜＝6，则该双曲线的方程是_____________________．9．过椭圆192522=+y x 的焦点，倾斜角为45°的弦AB 的长是_______________．10．若过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x ab y =的垂线与双曲线左、右两支都相交，则此双曲线的离心率e 的取值范围是_______________．三、解答题11．中心在原点，一个焦点为)50,0(F 的椭圆C ，被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为0.5，求椭圆C 的方程．12．已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若10||=AB ，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．13．正方形ABCD 在坐标平面内，已知其一边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形ABCD 的面积．Ⅲ 拓展性训练 14．设点M 在x 轴上，若对过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 左焦点F 的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，都有MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”．(1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由；(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给出双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的“左特征点”定义，并指出该点坐标．测试十 圆锥曲线综合练习(选学)1．B 2．A 3．C 4．D 5．A6．(1，2) 7．m ≥1且m ≠5 8．x 2－y 2＝4 9．179010．2>e 11．由题意，设椭圆150:2222=-+a x ay C , 把直线y ＝3x －2代入椭圆方程150222=-+a x ay , 得(a 2－50)(3x －2)2＋a 2x 2＝a 2(a 2－50)，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x －a 4＋54a 2－200＝0， 设直线与椭圆的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有45010)50(122221--=-a a x x ,∆＝144(a 2－50)2－4(10a 2－450)(－a 4＋54a 2－200)＞0， 由题意，得2145010)50(622221=--=+a a x x ，解得a 2＝75， 所以椭圆方程为1257522=+x y ． 12．(1)设直线l ：y ＝kx －1或x ＝0(舍去)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧-==-.1,1322kx y y x消去y ，得(3－k 2)x 2＋2kx －2＝0．由题意，得3－k 2≠0，∆＝(2k )2－4·(3－k 2)·(－2)＝24－4k 2＞0， 且32,32221221-=-=+⋅k x x k kx x ， ∴||1)()(||212221221x x ky y x x AB -+=-+-=⋅2122124)(1x x x x k -++=⋅．∴10324)32(12222=-⨯--+⋅k k k k， 解得k ＝±1，或733±=k ．验证知3－k 2≠0且∆＞0，∴直线l 的方程为：y ＝±x －1，或1733-±=x y ； (2)由A 、B 在y 轴的同一侧，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=∆>-==/-0424032.0322212k k x x k ，解得：)3,6(--∈k ∪)6,3(．13．因为AB //CD ，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋t ，把y ＝x ＋t 代入y 2＝x ，消去y ，得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0， 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝1－2t ， x 1·x 2＝t 2，∆＝(2t －1)2－4t 2＞0，所以)41(2]4)21[(2)()(||22221221t t t y y x x CD -=--=-+-=，又AB 与CD 间的距离为2|4|||-=t AD ， 由正方形ABCD ，得｜AD ｜＝｜CD ｜，即2|4|)41(2-=-t t ， 解得t ＝－2，或t ＝－6， 从而，边长|AD |＝23或25，所以正方形面积为18)23(21==S 或50)25(22==S ．14．(1)判断：椭圆的“左特征点”存在，具体证明如下．方法1：设x 轴上点M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，F (－c ，0)， 其中c 2＝a 2－b 2(c ＞0)．设过F 与两坐标轴都不垂直的直线AB ： y ＝k (x ＋c )(k ≠0)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(12222c x k y b y a x ，消去y ，得：(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2k 2cx ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0，∴22222212k a b c k a x x +-=+， 2222222221.k a b b a c k a x x +-=，∆))((4)2(22222222222b ac k a k a b c k a -+-=＞0． 又∵直线AM 的斜率为：011011)(0x x c x k x x y k AM -+=--=，直线BM 的斜率为：022022)(0x x c x k x x y k BM -+=--=．∴))(())(())(()()(0201012021022011x x x x x x c x k x x c x k x x c x k x x c x k k k BM AM ---++-+=-++-+=+，上式中的分子：k (x 1＋c )(x 2－x 0)＋k (x 2＋c )(x 1－x 0)＝k [2x 1·x 2＋c (x 1＋x 2)－x 0(x 1＋x 2)－2cx 0]0222220222222222222222222[cx ka b c k a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯= ∵M (x 0，0)是椭圆的“左特征点”，∴∠AMF ＝∠BMF ．∴k AM ＝－k BM ，即k AM ＋k BM ＝0， ∴分子0222220222222222222222222[cx ka b c k a x k a b c k a c ab b ac k a k k-+-⨯-+-⨯++-⨯＝0， ∵上式要对任意非零实数k 都成立， ∴02222202222202222222222222=-+-⨯-+-⨯++-⨯cx ka b ck a x k a b c k a c ab b ac k a k∴2a 2k 2c 2－2a 2b 2－2a 2k 2c 2＋2a 2k 2cx 0－2b 2cx 0－2a 2k 2cx 0＝0，∴0220222=--cx b b a ∴ca x 20-=．故对过F 与两坐标轴都不垂直的任意弦AB ，点)0,(2c a M -都能使MF 为△AMB的一条内角平分线，所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点)0,(2c a M -．方法2：先用特殊值法(可用一条特殊直线AB ，如斜率为1的直线)找出符合“左特征点”性质的一个点M (具体找的过程略，可找到点)0,(2c a M -，即为椭圆的左准线与x 轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，∠AMF ＝ ∠BMF 都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方法证明)如图，椭圆的左准线与x 轴的交点为M ，过A 作AP 垂直左准线于P ，过B 作BQ 垂直左准线于Q ，。

相关文档
最新文档