数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。

3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点

0x 可导。

4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。

6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成

立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1

A f f

-

A. =

B. ≠

C. ⊃

D. ⊂

2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<

3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。 A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对

4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x

t t f x F 0d )()(，则)(x F 在区

间[0，2]上（ ）。

A. 连续

B. 不连续

C. 可导

D. 前三个结论都不对

5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。

A. 0)(>''x f

B. 最小值唯一

C. 0)(<''x f

D. 最大值唯一

6．

x x

x f sin )(=

定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数

A. 有界

B. 无界

C. 周期

D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）

1．已知2

cos tan )(x x f =，求)(x f '

2．求定积分

⎰2

d cos π

x

x x

3．已知

34)1(2

+-=+x x x f ，求)(x f 。 4．求30

sin lim

x x

x x -→

四、证明题（每小题8分，共32分）

1．设数列{n a }满足n a >0且1lim <=∞→r a n n n ，则级数∑∞

=1n n a 收敛

2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。

3．已知

2,0,0π

=

+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x

4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则

⎰

>b

a

x x f 0

d )(。

模拟试卷参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．等价关系

2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<0x

3．x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

000

4．)()()(y f x f xy f += 5．线性

6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）

1．解：

x x x x f 2sin )(cos cos 1)(2

2

2⋅⋅=

'

12

cos 2

d sin 2

d sin sin d cos .220

20

20

2020

-=

+=

-=-=⎰⎰⎰π

π

π

π

π

π

π

π

x

x x x x x

x x x x 解

3．解

34)1(2

+-=+x x x f 8)1(6)

1(2

++-+=x x

故86)(2

+-=x x x f

4．解

2030

3cos 1lim sin lim

x x

x x x x x -=-→→

=x x x x x x x 2sin lim

31cos lim 31020

→→=-

61sin lim 610==

→x x x

四、证明题（每小题8分，共32分）

1． 证明：因1

lim <=∞

→r a n n n ，故存在N ，当N n ≥时，

1210<+=

≤r

r a n

n

2． 即N n ≥时，有n

n r

a 0<

（4分） 因为级数∑∞

+=1

N n n r

收敛。

故有

∑∑∑∞

+==∞

=+

=1

1

1

N n n

N

n n n n

a

a a

。因∑∞

+=1

N n n

a

收敛（7分），故

∑∞

=1

n n

a

收敛。

2．证明：已知f(x)在（a,b ）内存在二阶导数，故f ′(x)在（a,b ）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1c a ∈ξ，使得

)

()()(1>--=

'c a c f a f f ξ

存在),(2b c ∈ξ，使得

)

()()(2<--=

'c b c f b f f ξ

故存在),(21ξξξ∈，使得

)

()()(1

212<-'-'=

''ξξξξξf f f

3．证明：已知x x f sin )(=在

]

2,0[π

上是上凸函数（2分），故对于)

1,0(21

),2,0(,∈∈πy x 有

)sin (sin 21

2sin

y x y x +≥+

故

24sin 22sin

2sin sin ==+≤+π

y x y x

4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在

),(0b a x ∈使0)(0>x f ，故存在0>δ，使得