二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值

(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，

B y x f xy =),('00，

C y x f yy =),('00，则

当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；

02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。

注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论

例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．

【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数：

y x x z 232

-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂y

z ． 再求函数的驻点．令x z

∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x

求得驻点(0，0)、），（3

2

32． 利用定理2对驻点进行讨论：

(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．

(2)对驻点）

，（3

2

32，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.

【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。

【解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以

02262=∂∂-∂∂--x

z

z x z y

y x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-y

z

z y z y

z y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y

z x

z

得

⎩⎨

⎧

=-+-=-,

0103,03z y x y x 故 ⎩

⎨⎧==.,3y z y x

将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得

⎪⎩

⎪

⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-x

z

z x z x z y ，

,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--y

x z

z x z y z y x z y

x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-y

z

z y z y z y y z y z ，

所以 61

)3,3,9(2

2=∂∂=x z

A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x z

B ，3

5

)

3,3,9(2

2=

∂∂=y

z

C ， 故036

12>=-B AC ，又061

>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为

z(9,3)=3.

类似地，由

6

1

)3,3,9(2

2-=∂∂=---x

z

A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z

B ，3

5

)3,3,9(2

2-=∂∂=---y

z

C ， 可知03612>=-B AC ，又06

1

<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.

【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程。 2．二元函数的条件极值

拉格朗日数乘法：设在点),(),,(y x y x f ϕ),(00y x 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数

),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=

解联立方程组

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==+=∂∂=+=∂∂0),(0),('),('0),('),('y x y x y x f y

F

y x y x f x F

y y x x ϕλϕλϕ 得),(00y x 可能是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值点

例3经过点)1,1,1(的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．

【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。 【解】设所求平面方程为

)0,0,0(,

1>>>=++c b a c

z

b y a x ．

因为平面过点)1,1,1(，所以该点坐标满足此平面方程，即有