高一数学教材分析—直线与方程

31
上述指标各有怎样的特点呢？ 所有的直线都有倾斜角（几何角度），且是唯一的； 不是所有的直线都有斜率（代数角度），如果有斜率是 唯一的； 不是所有的直线都有坡度（代数角度），如果有坡度是 唯一的，但是不同方向的直线可能有相等的坡度； 所有的直线都有方向向量（代数角度），但方向向量不 唯一。
32
基于解析几何的学科方法是几何问题代数化，因此直 线的倾斜程度的研究从倾斜角开始入手，经坡度过度，建 立起斜率与倾斜角（不等于90度）的关系 k tan 。
4
B.
2 2
C.
6
4 源自文库4
2 2 7、 （2012 年文科）直线 y x 被圆 x ( y 2) 4 截得的弦长为__________。
27
（三）考题示例
（4）点与直线关系
x y 11 0 8、 （2010 年）设不等式组 3 x y 3 0 5 x 3 y 9 0
29
（三）考题示例
（6）参数方程 10、 （2012 年理科）直线 （7）曲线的公切线 11、 （2012 年文理科）已知函数 f ( x) ax 1(a 0) ， g ( x) x bx 。
2 3
(t 为参数)与曲线
(α 为参数)的交点个数为
（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 与曲线 y g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线，求 a , b 的值。
6
《几何学》作为《方法论》的附录，意味着解析几何
及他的其它发明是在其方法论原理的指导下获得的.
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法， 他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设 想的一般方法为“通用数学”.
7
笛卡尔设想的“通用数学”方法
任 何 问 题
数 学 问 题
代 数 问 题
高一教材分析——直线与方程
1
通过我们的教，让我们的学生学会什么？
生存与生活：认识世界、适应社会、实现价值
理性地、科学地认识世界 合理地、充分地融入社会 有效地、全面地实现价值 而不是接受无用的结论和仅会做人为编造的题目！
2
我们为什么要学习解析几何？
一是数学学科本身的需要。它能把几何元或形之间的关系数字化，
11
（三）解析几何的主要思想方法
学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基 本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论. 苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解 析几何》前言中说：“解析几何没有严格确定的内 容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而 是方法．”
12
解析几何与欧氏几何研究方法之异同
19
如何入手，展开对“直线与方程”的学习？
（2005年北京市高中生数学应用知识竞赛）2005年第19号热 带风暴“龙王”于9月26日在西北太平洋洋面生成，27日上午加强 为台风，10月2日05：30在台湾省花莲市附近沿海登录，登陆时最 大风速50m/s，随后继续向西运动，向福建沿海靠近。 如果我们可以粗略地把这时台风影响区域看成是一个半径为 300km的圆。福建厦门在花莲市西340km。如果台风中心在福建 厦门登录后，将向西偏北45度方向运动，（并不断衰减，）运动速 度下降为18km/h，（它的影响半径1h平均减少4km）。
几何问题研究
代数 方法 逻辑 演绎
解析几何
欧氏几何
13

在平面解析几何中，所用的研究方法与欧氏几何不 同.它是在直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程
表示曲线(包括直线)，通过方程研究曲线的性质，通过
方程组的解研究几何图形之间的位置关系.
14
(直角)坐标系 定 点
一 一对应
有序常数对(a，b)
33
2、关于直线的方程与方程的直线
直线——>点——>坐标——>解——>方程 直线<——点<——坐标<——解<——方程
34
3、直线的方程从哪儿开始研究？ 通常有这样几种处理方法： （1）从两点间斜率公式入手，先研究点斜式方程； （2）从初中的一次函数入手，先研究斜截式方程； （3）从直线的方向向量入手，先研究点向式方程。 考虑到解决解析几何问题的方法模型： 几何问题——>代数问题 所以课本采取的是第(1)种处理方法。
10
18世纪法国著名数学家拉格朗日曾 说:“只要代数同几何分道扬镰，它 们的进展就缓慢，它们的应用就狭 窄.但是，当这两门科学结合成伴侣 时，它们就互相吸取新鲜的活力， 从那以后，就以快速的步伐走向完 善.”随着解析几何的诞生，历史掀 开了新的一页—近代数学的序幕拉 开了.
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法 国数学家、物理学家。
坐标法
代数 问题
代数 运算
三步曲
还原
几何结论 代数结论
17
二、直线与方程
18
学习解析几何为什么从学习“直线与方程”入手？
一方面，直线是最简单，而又可以体现解析 几何基本研究方法的几何图形； 另一方面，以直线为载体，既可以很好的研 究斜率、距离和中点等解析几何的基本方法工具， 又可以很好的体现曲线与方程的理念与思想。
更加精确．可见计算机存储离不开几何的数字化，也即离不开解析
几何．
3
一、解析几何定位
（一）解析几何的产生及其价值
由数学的发展史知，近代数学起源于解析几何与微积分 的发明. 17世纪的前半叶，一些优秀的数学家已经接近了解析几 何的观念，但是只有两位数学家才特别清楚地认识到创立新 的数学部门的可能性,这就是法国的笛卡尔和费马.他们分别 创立了解析几何.但主要的创立者无论如何总该是笛卡尔.唯 有作为哲学家的笛卡尔，才提出了它的全面推广问题.（参见 ：前苏联，亚历山大洛夫，数学的内容，方法和意义，197页
精确表示出不同几何元和形之间的位置关系；
二是生活实践的需要。比如在信息技术高速发展的今天，大量图 形都通过计算机处理和存储。例如要存放一个红色虚细线描绘的三 角形，只要存储三个顶点的坐标，线型、色别码及连线顺序，计算 机根据这些信息，会算出连接这三点的直线方程，然后在计算机坐 标系内按要求的线型和色别，逐点描绘直线上的点，三角形就会再 现于显示屏上．这种存储方式相对于全息存储不但信息量少，而且
35
4、直线的方程的几种形式之间的关系
点和倾斜角
特殊化
点和斜率
两个点
不变量
y kx b
y y0 k ( x x0 )
一般化
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
特殊化
Ax By C 0
x y 1 a b
36
5、关于直线方程的变式 点斜式的变式 （横纵角色）
2、 （2010 年）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于
1 . 3
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相 等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条
平行直线间的距离。
21
（二）高考说明
22
从几何直观到代数表示 （建立直线的方程） 点 倾斜角 坐标 斜率 点斜式 两点式
直线
二元一次方程
一般式
23
从代数表示到几何直观 （通过方程研究几何性质和度量）
两条直线 的位置关系 相交 平行 平行和垂直 的判定 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
x
表示的平面区域为 D，若指数函数
y= a 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
28
（三）考题示例
（5）直线与曲线的交点 9、 （2012 年理科）已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方） ，直线 y=kx+4 与 曲线 C 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G，N 三点共线。
（一个交点） （无交点）
24
（三）考题示例
（1）直线的斜率 1、 （2011 年）设 A 0,0 , B 4,0 ， C t 4, 4 , D t , 4 t R .记 N t 为平行四边形 ABCD 内 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N t 的值域为 （A） 9,10,11 （B） 9,10,12 （C） 9,11,12 （D） 10,11,12
B 两点.
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （II）将 AB 表示为 m 的函数，并求 AB 的最大值.
26
（三）考题示例
（3）两点距离、点到直线的距离
0 x 2 6、 （2012 年文理科）设不等式组 表示的平面区域为 D。在区域 D 内随机取 0 y 2
一个点.则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ A. ） D.
25
（三）考题示例
（2）直线的方程 3、 （2012 年理科）在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y2 4 x 的焦点 F.且与该撇物线相 交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为
x2 y 2 1 .过点（m,0）作圆 x2 y 2 1的切线 l 交椭圆 G 于 A， 4、 （2011 年）已知椭圆 G : 4
动 点
连 续 地 运 动 平面曲线
有序变数对(x，y)
一 一对应 二元方程
15
解析几何 核心概念
点在曲线上 点的坐标适用于此曲线方程
曲线上所有点的集合
曲线和方 曲线方程的解集 程的概念
研究方程 的 代数问题
研究曲线 的 几何问题
由对方程研究 得知曲线的几 何性质
16
解析几何解决问题的一般方法
几何 问题
）
5
笛卡尔创立解析几何有着深刻的背景.他于1637年发 表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理 的方法论》，该书有三个附录，解析几何的发明就包含 在其中之一的《几何学》中.
《几何学》这本书的内容不仅仅是几何，也有很多代 数的问题.它和现在的解析几何教科书有很大的差距.但 可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地 作出了贡献.
30
（四）自己开展教学的几点想法
1、关于直线的倾斜程度的认识 什么是直线的倾斜程度？ 实际上就是直线的方向性，这一点与其它几个研究平 面问题的工具是一致的，它们分别是平面向量、复数和极坐 标。其中平面向量的内容学生已经学过了，所以刻画直线倾 斜程度的指标除了课本上提到的倾斜角、斜率、坡度之外， 还可以提一下方向向量。
由此估计，这个台风对相距厦门500km,北偏西30度的南昌是 否产生影响，如果有影响，估计影响时间为多久？
由实际需求所产生的学习动机，更加有效，更加持久！
20
（一）课标要求
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何 要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 （点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
y y0 k ( x x0 )
斜截式的变式 （横纵角色）
x x0 m( y y0 )
y kx b
x my n
37
5、关于直线方程的变式 两点式的变式 （对称整式）
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
方 程 求 解
8
笛卡尔和费尔马都是对普适性方法的追求导致
了解析几何思想的产生.可以说解析几何具有浓厚的
“方法论”色彩.
9
（二）解析几何的科学价值
开创近现代数学的先河—— 将变量和坐标观念引入了数学；
开创机械化计算方法—— 提出一切问题都可以归结为解方程的“通用数学”方案； 科学方法论的突破—— 提出将数学作为一种方法科学的直观-演绎法的方法论.