高一数学教材分析—直线与方程

坐标法
代数 问题
代数 运算
三步曲
还原
几何结论 代数结论
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二、直线与方程
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学习解析几何为什么从学习“直线与方程”入手？
一方面，直线是最简单，而又可以体现解析 几何基本研究方法的几何图形； 另一方面，以直线为载体，既可以很好的研 究斜率、距离和中点等解析几何的基本方法工具， 又可以很好的体现曲线与方程的理念与思想。
动 点
连 续 地 运 动 平面曲线
有序变数对(x，y)
一 一对应 二元方程
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解析几何 核心概念
点在曲线上 点的坐标适用于此曲线方程
曲线上所有点的集合
曲线和方 曲线方程的解集 程的概念
研究方程 的 代数问题
研究曲线 的 几何问题
由对方程研究 得知曲线的几 何性质
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解析几何解决问题的一般方法
几何 问题
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（四）自己开展教学的几点想法
1、关于直线的倾斜程度的认识 什么是直线的倾斜程度？ 实际上就是直线的方向性，这一点与其它几个研究平 面问题的工具是一致的，它们分别是平面向量、复数和极坐 标。其中平面向量的内容学生已经学过了，所以刻画直线倾 斜程度的指标除了课本上提到的倾斜角、斜率、坡度之外， 还可以提一下方向向量。
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（三）考题示例
（2）直线的方程 3、 （2012 年理科）在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y2 4 x 的焦点 F.且与该撇物线相 交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为
x2 y 2 1 .过点（m,0）作圆 x2 y 2 1的切线 l 交椭圆 G 于 A， 4、 （2011 年）已知椭圆 G : 4
4
B.
2 2
C.
6
4 4
2 2 7、 （2012 年文科）直线 y x 被圆 x ( y 2) 4 截得的弦长为__________。
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（三）考题示例
（4）点与直线关系
x y 11 0 8、 （2010 年）设不等式组 3 x y 3 0 5 x 3 y 9 0
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条
平行直线间的距离。
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（二）高考说明
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从几何直观到代数表示 （建立直线的方程） 点 倾斜角 坐标 斜率 点斜式 两点式
直线
二元一次方程
一般式
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从代数表示到几何直观 （通过方程研究几何性质和度量）
两条直线 的位置关系 相交 平行 平行和垂直 的判定 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
由此估计，这个台风对相距厦门500km,北偏西30度的南昌是 否产生影响，如果有影响，估计影响时间为多久？
由实际需求所产生的学习动机，更加有效，更加持久！
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（一）课标要求
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何 要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 （点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
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（三）解析几何的主要思想方法
学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基 本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论. 苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解 析几何》前言中说：“解析几何没有严格确定的内 容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而 是方法．”
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解析几何与欧氏几何研究方法之异同
B 两点.
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （II）将 AB 表示为 m 的函数，并求 AB 的最大值.
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（三）考示例
（3）两点距离、点到直线的距离
0 x 2 6、 （2012 年文理科）设不等式组 表示的平面区域为 D。在区域 D 内随机取 0 y 2
一个点.则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ A. ） D.
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2、关于直线的方程与方程的直线
直线——>点——>坐标——>解——>方程 直线<——点<——坐标<——解<——方程
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3、直线的方程从哪儿开始研究？ 通常有这样几种处理方法： （1）从两点间斜率公式入手，先研究点斜式方程； （2）从初中的一次函数入手，先研究斜截式方程； （3）从直线的方向向量入手，先研究点向式方程。 考虑到解决解析几何问题的方法模型： 几何问题——>代数问题 所以课本采取的是第(1)种处理方法。
精确表示出不同几何元和形之间的位置关系；
二是生活实践的需要。比如在信息技术高速发展的今天，大量图 形都通过计算机处理和存储。例如要存放一个红色虚细线描绘的三 角形，只要存储三个顶点的坐标，线型、色别码及连线顺序，计算 机根据这些信息，会算出连接这三点的直线方程，然后在计算机坐 标系内按要求的线型和色别，逐点描绘直线上的点，三角形就会再 现于显示屏上．这种存储方式相对于全息存储不但信息量少，而且
y y0 k ( x x0 )
斜截式的变式 （横纵角色）
x x0 m( y y0 )
y kx b
x my n
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5、关于直线方程的变式 两点式的变式 （对称整式）
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
）
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笛卡尔创立解析几何有着深刻的背景.他于1637年发 表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理 的方法论》，该书有三个附录，解析几何的发明就包含 在其中之一的《几何学》中.
《几何学》这本书的内容不仅仅是几何，也有很多代 数的问题.它和现在的解析几何教科书有很大的差距.但 可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地 作出了贡献.
x
表示的平面区域为 D，若指数函数
y= a 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
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（三）考题示例
（5）直线与曲线的交点 9、 （2012 年理科）已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方） ，直线 y=kx+4 与 曲线 C 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证：A，G，N 三点共线。
高一教材分析——直线与方程
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通过我们的教，让我们的学生学会什么？
生存与生活：认识世界、适应社会、实现价值
理性地、科学地认识世界 合理地、充分地融入社会 有效地、全面地实现价值 而不是接受无用的结论和仅会做人为编造的题目！
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我们为什么要学习解析几何？
一是数学学科本身的需要。它能把几何元或形之间的关系数字化，
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如何入手，展开对“直线与方程”的学习？
（2005年北京市高中生数学应用知识竞赛）2005年第19号热 带风暴“龙王”于9月26日在西北太平洋洋面生成，27日上午加强 为台风，10月2日05：30在台湾省花莲市附近沿海登录，登陆时最 大风速50m/s，随后继续向西运动，向福建沿海靠近。 如果我们可以粗略地把这时台风影响区域看成是一个半径为 300km的圆。福建厦门在花莲市西340km。如果台风中心在福建 厦门登录后，将向西偏北45度方向运动，（并不断衰减，）运动速 度下降为18km/h，（它的影响半径1h平均减少4km）。
方 程 求 解
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笛卡尔和费尔马都是对普适性方法的追求导致
了解析几何思想的产生.可以说解析几何具有浓厚的
“方法论”色彩.
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（二）解析几何的科学价值
开创近现代数学的先河—— 将变量和坐标观念引入了数学；
开创机械化计算方法—— 提出一切问题都可以归结为解方程的“通用数学”方案； 科学方法论的突破—— 提出将数学作为一种方法科学的直观-演绎法的方法论.
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《几何学》作为《方法论》的附录，意味着解析几何
及他的其它发明是在其方法论原理的指导下获得的.
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法， 他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设 想的一般方法为“通用数学”.
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笛卡尔设想的“通用数学”方法
任 何 问 题
数 学 问 题
代 数 问 题
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4、直线的方程的几种形式之间的关系
点和倾斜角
特殊化
点和斜率
两个点
不变量
y kx b
y y0 k ( x x0 )
一般化
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
特殊化
Ax By C 0
x y 1 a b
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5、关于直线方程的变式 点斜式的变式 （横纵角色）
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18世纪法国著名数学家拉格朗日曾 说:“只要代数同几何分道扬镰，它 们的进展就缓慢，它们的应用就狭 窄.但是，当这两门科学结合成伴侣 时，它们就互相吸取新鲜的活力， 从那以后，就以快速的步伐走向完 善.”随着解析几何的诞生，历史掀 开了新的一页—近代数学的序幕拉 开了.
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法 国数学家、物理学家。
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上述指标各有怎样的特点呢？ 所有的直线都有倾斜角（几何角度），且是唯一的； 不是所有的直线都有斜率（代数角度），如果有斜率是 唯一的； 不是所有的直线都有坡度（代数角度），如果有坡度是 唯一的，但是不同方向的直线可能有相等的坡度； 所有的直线都有方向向量（代数角度），但方向向量不 唯一。