沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 专题复习课——二次函数与锐角三角比教案

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沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案

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二次函数复习
教学目标:
1、总结二次函数的有关概念、常见表达形式、图像与性质以及平移法则。

2、经历二次函数运用综合练习,进一步体会待定系数法确定函数解析式,理解数学与生活
的联系。

3、培养观察、分析、归纳的能力,感受数形结合的数学思想。

教学重点
二次函数的图像和性质
难点:
二次函数的综合运用
教学设计过程:
一、二、三象限,则
a __0,
b __0,
c ___0
5、二次函数综合运用
小强在一次投篮训练中,从距地 面高1.55米处的点O 投出一球向篮圈中心A 投去,球的飞行路线为抛物线,当球到达离地面最大高度3.55米时,球移动的水平距离为2米,现以O 点为坐标原点,建立直角坐标系(如图)测得OA 与水平方向OC 夹角为30°,A 、C 两点相距1.5米.(1)求点A 的坐标;(2)求篮球飞行路线所在抛物线的解析式;(3)判断小强能否把球从O 点直接投入篮圈A 点(排除篮板球),如能,说明理由,如不能,那么前后移动多少米就能使刚才那一投直接命中篮圈A 点.(结果保留根号) 直面中考
15上海24)如图,已知在平面直
角坐标系中,抛物线 42
-=ax y 与x 轴的负半轴交于点A,与y 轴交于点B ,AB=52,点P 在抛物线上,线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ,线段BP 与x 轴交于点D 。

常见表达式.
2、选择适当的方法求二次函数的解析式.
3、会求二次函数的顶点坐标、对称轴,根据图形求出最值.
使学生掌握不同
类型的二次函数的图像和性质.
附表1:。

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沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 专题复习课——二次函数与锐角三角比教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。

——高斯课题:九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比教学目标:1.能根据条件熟练运用求二次函数解析式及对称轴、顶点的方法.2.能运用二次函数背景下与角有关的锐角三角比问题求点的坐标,掌握通性通法.教学重点、难点:二次函数背景下有关锐角三角比的综合题 教学过程: 一、 概念复习:练习一:已知二次函数的图像过点A (0,5)B (1,0)、C (5,0),则此二次函数解析式是_____________________,其对称轴为_____________,顶点P 的坐标是________,=________________,tan OAB ∠=_________. 二、 例题讲解:例题1:如图,在平面直角坐标系中,顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的,它与y 轴负半轴交于点A ,点B (1)求点M 、A 、B 坐标;(2)联结AB 、AM 、BM ,求ABM ∠的正切值;(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点,,当ABM α=∠时,求P 点坐标.BMAxyO例2:已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3,交y 轴于点C ,其图像顶点为D .(1)求此二次函数的解析式;(2)试问△ABD 与△BCO 是否相似?并证明你的结论;(3)若点P 是此二次函数图像上的点,且PAB ACB ∠=∠,试求点P 的坐标.思考:如图,抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A (﹣1,0)、C (0,4)两点,与x 轴交于另一点B ,已知点D (m ,m+1)在第一象限的抛物线上,联结BD .(1)求抛物线的解析式;(2)问在抛物线上是否存在点P ,使PBD 等于45度?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.三、 课堂小结:这节课你有哪些收获?ABCA BC四、练习二:1. 在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线21(3)4y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ,平移后的抛物线交y 轴于点B . (1)求∠OBA 的正切值;(2)点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限,联结CA 、CB ,当∠=∠BCA OBA 时,求点C 坐标.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1-,3)、B (2,n )两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上.(1)求b 与n 的值;(2)若点P (不与点A 重合)在题目中已经求出的二次函数的图像上,且︒=∠45POB ,求点P 的坐标.。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数基础知识复习 教案

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二次函数基础知识复习(一)教学设计本节课是二次函数的复习课,主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识,从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发,概括相关知识点,训练学生的解题思维方式,能够快速解决相关填空和选择题。

一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质,并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理:(1) 二次函数的定义:c bx ax ++=y 2(,0≠a c b a 都是常数,且、、)条件:0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练:1、试判断以下哪些是二次函数:(1)c bx ax ++=y 2(2)x x y +3+1=2(3)22-)1+(=x x y (4)23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数,求m 的值(2) 二次函数的图像和性质练一练:1)、试在箭头上方(或下方)写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2)(x21+2=y )(x 5+2-2=y 2)(x 1+4-2=y 2)(x思考:1+4-2=y 2)(x 1+4+2=y 2x x 2)、已知点A (-1,a )、B (1,b )是二次函数22-2=y )(x 图像上的两点, 则a___b (填“>”“<”或“=”)练一练:判断a 、b 、c 的正负性(3) 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标:设一般式c bx ax ++=y 2(,0≠a c b a 都是常数,且、、)已知抛物线的顶点坐标:设顶点式k m x a y +)+(=2(0≠a )练一练:根据下列条件,求二次函数的解析式 1、 图像经过(0,0),(1,-2),(2,3) 2、 图像的顶点是(2,3),且经过点(3,1) 变式练习:1)、图像对称轴为直线x=2,且经过(2,1),(3,2)2)、已知二次函数对称轴为直线x=2,且最小值为4,图像与y 轴交于(0,6)2、课堂小结3、教学反思:二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型,也是某些单变量最优化问题的数学模型,还是一种非常基本的初等函数,对二次函数的研究学习和复习,将为学生进一步学习函数,利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 二次函数复习 教案

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期   二次函数复习 教案

⑴当1=x 时,cb a y ++=⑵当1-=x 时,cb a y +-=⑶当2=x 时,cb a y ++=24⑷当2-=x 时,cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0,ac b 42->0和ac b 42-<0时,图像与x 轴交点个数。

二、知识点探究:探究1:二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______,对称轴是_________。

探究要求:学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。

探究2:根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图,研究函数性质。

探究要点:1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线;2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。

探究3:将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。

知识点:抛物线移动规律:上加下减,左加右减探究4:抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。

1、要点:关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究,教师根据学情进行指导。

三、探究体会:1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用,巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y =-x 2②y =2x 2-x 1+3③y =100-5x 2④y=-2x 2+5x 3-3中有个是二次函数。

2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数,则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是()A、y 轴,(0,-4)B、x=3,(0,4)C、x 轴,(0,0)D、y 轴,(0,3)4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为()A、(1,-2),x=1B、(1,2),x=1C、(-1,-2),x=-1D、(-1,2),x=-15、函数32212++=x x y 的开口方向,顶点坐标是,对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。

沪科版九年级上册二次函数总复习PPT课件

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例3:在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并 且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向:
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
20
(1)a确定抛物线的开口方向:
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(小)值,这个最大(小)值是多少?
(6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时,y随x的增大 而减小;
当x=-1时,y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例(5:1)求已抛知物二线次开函口数方y=向—12,x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数 复习课 教案

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《二次函数》复习课教案一、复习目标:(一)知识与技能目标:1、已知二次函数的解析式,能熟练的判断抛物线开口方向,写出对称轴方程和顶点坐标,巩固二次函数的图像性质及其平移规律。

2、熟练待定系数法求二次函数解析式,并能解决简单的实际问题。

3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系,为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。

(二)过程与方法目标:1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习,回顾二次函数的基础知识。

2、通过对典型例题的分析解答,培养分析问题和解决问题的能力;初步掌握数形结合的思想方法。

(三)情感态度和价值观目标:通过本节课的学习,让学生学会整理所学知识,逐步学会自主学习、自主探索,并能在讨论交流中获益。

二、复习重难点:重点:根据题意求解二次函数的解析式。

难点:应用二次函数的有关知识,以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。

复习方法:自主探究、合作交流三、复习过程:一、知识梳理(一)学生独立练习(同桌互改)1、函数+2x-5是二次函数时,m的值为。

2、①二次函数的图像开口方向,对称轴是,顶点坐标是。

②二次函数的图像开口方向,对称轴是,顶点坐标是。

③二次函数的图像开口方向,对称轴是,顶点坐标是,顶点是最点(填高,低)。

④二次函数的图像开口方向,对称轴是,顶点坐标是,对称轴侧的部分下降。

3、①把二次函数的图像向上平移3个单位,所得图像的解析式为:,再向左平移1个单位,则所得图像的解析式为:。

②将抛物线向右平移1个单位后,所得抛物线的解析式是____________.③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。

4、①抛物线开口方向,对称轴是,最低点坐标是,函数有最(填大,小)值是。

②抛物线的对称轴是,在对称轴右侧的部分是__________的。

(填“上升”或“下降”)5、抛物线的顶点坐标为,且经过点,则抛物线的解析式为。

(二)学生整理知识点(老师板书,投影)1、二次函数定义:形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 复习 -二次函数 教案

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第一轮复习 二次函数(1)难点:二次函数知识的实际应用 【教学流程】 1. 知识回顾2. 通过例题讲解,巩固知识的掌握3. 通过训练,对二次函数的知识熟练应用4. 总结知识要点.5. 拓展思维,锻炼能力. 【学习导航】 一、知识梳理1、二次函数的定义:形如 2y ax bx c =++(b a 、是常数,且0≠a ) (1)定义要点:①0a ≠ ②最高次数2 ③代数式一定是整式 (2)自变量取值范围2、二次函数的图像和性质3、二次函数图像的平移 图像顶点的平移 平移二次函数图像的方法概括为:左 右 、上 下4、用待定系数法求二次函数的解析式(1)已知二次函数图像上三个点的坐标,设一般式 (2)已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标,设交点式 (3)已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程,设顶点式二、典型例题例1.,2)1(,523,5100,22,232222x x a y x x y x y xx y x y +-=+-=-=-=-=其中二次函数有_______个.例2.当m =_________时,函数13)1(1++-=+x x m y m 是二次函数. 例3、根据下列条件,求二次函数解析式 (1)图像经过原点,且过(2,5),(-1,3)两点; (2)图像经过点(2,0),(-1,0),与y 轴交点的纵坐标为2; (3)图像顶点在x 轴上,对称轴是直线1=x ,且经过点(2,3).例4、如图,抛物线2y ax bx c =++,请判断下列各式的符号: ①a 0; ②c 0; ③24b ac - 0; ④b 0;小结:a 决定 ,c 决定 ,24b ac -决定 ,a 、b 结合决定 .变式1、若抛物线1322-+-=a x ax y 的图像如图所示, 则a =变式2、若抛物线342+-=x x y 的图像如图所示,则△ABC 的面积是三、巩固练习1.抛物线y=3x 2,y=-3x 2,y=31x 2+3共有的性质是( )A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 值的增大而增大2、二次函数21y mx x =+-的图像与x 轴有交点,则m 的取值范围是 .3、二次函数2244y x x =--+,当x 时y 随x 的增大而减小; 当x 时函数图像呈上升趋势.4、二次函数22y x =-的图像是由二次函数22(4)y x =-+的图像向 平移 ____个单位得到的.5、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象,则a 、b 、c 满足( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0xy oxyo四、课内小结五、思维拓展如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数图像经过(1,2)A-、B-和(0,1)C三点,顶点为P.(3,2)(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点P的坐标;(2)联结PC、BC,求BCP∠的正切值;(3)能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似?若能,请确定符合条件的点Q共有几个,并请直接写出它们的坐标;若不能,请说明理由.。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案

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二次函数复习【教学目标】1、了解二次函数解析式的基本性质;2、会用待定系数法求二次函数的解析式;3、能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。

【知识梳理】⑴一般式: ,顶点坐标:对称轴:直线 当x= 时,值最..y =⑵顶点式:k m x a y ++=2)(()0≠a (,顶点坐标:( , )对称轴:直线 当x= 时,值最..y =⑶两根式: ,其中21,x x 是c bx ax ++2=0()0≠a 的两个实数根,图象与x 轴的两个交点坐标为( , )和 ( , ))0≠a2ax y =的图象 ( )2)(m x a y +=的图象 ( )km x a y ++=2)(的图象【例题探究】(1)、下列函数中,二次函数的是( )A .y=ax 2+bx+cB 、y=(x+2)(x-2)-(x-1)2C 、D 、y=x(x —1) (2)、当k= 时,函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数。

(3)、若二次函数y=(a-1)x 2+x+a 2-1的图像如图所示,则a 的值是________.(4)、求满足下列条件的二次函数解析式⑴图象过(1,0)、(0,-2)和(2,3);⑵图象与x 轴的交点的横坐标为-2和1,且过点(2,4);⑶当x=2时,y 最大值=3,且过点(1,-3); ⑷已知经过(4,-2)的二次函数的对称轴为直线x=3,且与x 轴的一个交点为(6,0), 例2、与二次函数的平移有关的问题: 1、将抛物线 y =2x 2 向下平移 2 个单位,所得的抛物线的解析式为 。

2、把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是3、把抛物线y =12212-+x x 先向 平移 个单位,再向 平移 个单位就得到抛物线23212--=x x y 。

4、已知二次函数()2111y x bx b =-+-≤≤,当b 从1-逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( ) A.先往左上方移动,再往左下方移动B.先往左下方移动,再往左上方移动 C.先往右上方移动,再往右下方移动D.先往右下方移动,再往右上方移动 例3、与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质有关的问题:1、请研究二次函数23212++-=x x y 的图象和性质: ⑴开口方向:⑵对称轴:⑶顶点坐标:⑷图象与x 轴的交点坐标: 、⑸图象与y 轴的交点坐标:⑹图象与y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标:⑺用五点法画函数的草图⑻求这个函数的最值,当x= 时,⑼当 时;y=0,当 时,y>0;当 时,y<0。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数与相似三角形 教案

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数与相似三角形 教案

二次函数与相似三角形教案教学目标:1、会正确求解二次函数解析式;2、根据条件寻找或构造相似三角形,在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度,从而得出点的坐标。

教学重点:1、正确求解二次函数解析式;2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。

教学难点:根据条件构造相似三角形解决问题。

教学过程:一、快速反应1、已知二次函数的图象经过点(-5,-1)、(0,-4)和(1,1),求这个二次函数的解析式.2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1),与y轴交于点(0,5),求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A(-2,0)、B(1,0)、C(0,2)三点。

求这条抛物线的解析式。

4、已知二次函数对称轴是x=1,过点(-3,0),与y轴交点为(0,5)5、已知二次函数图像顶点是(2,1),图像在x轴上截得的线段长2,求这个二次函数解析式。

二、小试牛刀1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________2、如图,已知A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的正半轴上,若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似,试求点D的坐标.A.EB C三、例题解读例1:已知在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A 、B ,与 轴交于点C ,直线经过A 、C 两点.(1)求抛物线的表达式;(2)动点M 在直线上,且△ABC 与△COM 相似,求点M 的坐标.(3)如果点P 、Q 在抛物线上(P 点在对称轴左边),PQ//AO ,PQ=2AO ,求点P 、Q 坐标。

练习:已知抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,O 是坐标原点,已知点B 的坐标是(3,0),tan ∠OAC =3.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点D 是y 轴上一动点,若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似,求出符合条件的点D 的坐标.四、课堂小结:二次函数与相似三角形综合题之解题策略1、 根据题意,先求相关点的坐标和相关线段的长度;2、 待定系数法求相关函数的解析式;3、 利用同角或等角找对应点,分类讨论;4、 根据题目条件,正确画图,注意数形结合;5、 利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案

二次函数的复习一、教学目标:1、复习二次函数的概念。

2、复习二次函数的图像与性质:开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。

3、复习配方法与待定系数法。

4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用,提升解决数学综合问题的能力。

二、教学重点与难点:重点:复习二次函数的图像与性质,复习配方法与待定系数法。

难点:培养学生从图像中获取信息的能力,从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。

三、教学过程:(一)、知识整理1(1)、二次函数的概念.(2)、怎样判断一个函数是否是二次函数?2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。

练习:(1) 当m = 时, m m x m y -+=2)1(是二次函数。

(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 (高或低)点的坐标是 。

(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。

(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。

(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。

(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴,则m=_________。

3、二次函数的上下、左右平移练习:将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后,使它的顶点移到点(3,-1)的位置,平移的方法可以是先向______平移______个单位,再向______平移______个单位。

4、二次函数的图像信息:会根据图像判断a 、b 、c 的符号;根据图像上的点求函数解析式;判断y 随x 的增大与减小等练习1:二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示,则下列结论正确的是( )A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 (k 为常数),那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法(二)、综合运用探讨:二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。

沪教版初中数学九年级第一学期第章: 二次函数复习课 课件优秀课件资料

沪教版初中数学九年级第一学期第章: 二次函数复习课 课件优秀课件资料

y
O
x y
O
x
(a≠0)的根
有两个不同的 解x=x1,x=x2
有两个相等的

x1=x2=
b 2a
与x轴没有
y
b2-4ac<0 交点
没有实数根
O
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
△=b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
△= b2 – 4ac= 0 △= b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
△= b2 – 4ac≥0
例2:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4 × (-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
当 x 1 时,y有最 小值,是 25
2
4
(—12 ,-—245)
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
1、根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;
(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;
问:给出五个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0; ⑤a-b+c<1.其中正确的结论的序号是 ( ①④ )
练习: 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y

沪教版九年级_锐角三角比、二次函数知识点[1]

沪教版九年级_锐角三角比、二次函数知识点[1]

一 锐角三角比概念在Rt △ABC 中,邻边斜边对边ABCsin cos A A A A ∠∠==的对边的邻边,斜边斜边,tan cot A A A A A A ∠∠==∠∠的对边的邻边,的邻边的对边二 几个特殊角的锐角三角比 30°45°60°sin α1222 32cos α32 2212tan α331 3αcot3133 三 锐角三角比随角度的变化规律当角度在0°~ 90°间变化时,正弦、正切值随角度的增大而增大,余弦、余切值随角度的增大而减小四 同角三角比的关系22sin sin cos 1,tan cot 1,tan cos ααααααα+===五 锐角三角比的取值范围0sin 1,0cos 1,tan 0,cot 0αααα<<<<>>六 解直角三角形及其应用1. 直角三角形角的关系∠A+∠B=90°2. 直角三角形边的关系222a b c += 3. 直角三角形边角的关系tan cot ,tan cot a b A B B A b a ====4. 解直角三角形的基本类型及解法:在Rt △ABC 中,∠C=90°类型 已知条件 图形解法两边两直角边,a bcbaCBA(1) 22c a b =+(2)由tan aA b =求出∠A(3) ∠B=90°-∠A一直角边a ,斜边c(1) 22b c a =-(2)由sin aA c =求出∠A(3) ∠B=90°-∠A一边一锐角一直角边a ,锐角A∠B=90°-∠A (2) cot b a A =(3)sin a c A =斜边c, 锐角A∠B=90°-∠A (2) sin a c A = (3) cos b c A =5.仰角、俯角如图1所示,当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在不平线下方的角叫做俯角.2.水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示,BC 代表水平距离,AC 代表垂直距离,AB 代表坡面距离. 6.坡度、坡角如图3所示,把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i 表示,即l h i =,坡度一般写成l h :的形式,如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即. 坡面与水平的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间有如下关系:l ha i ==tan .坡度越大,则α角越大,坡面越陡.α铅垂线 仰角 俯角 视线 水平线视线图1AB C 垂 直 距 离坡面距离 水平距离 图2 l h l h i = 图37.方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角,叫方向角,如右图,OA ,OB ,OC ,OD 的方向角分别表示北偏东︒60,北偏西︒30,西南方向,南偏东︒20.二次函数知识点汇总1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是原点,对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系:①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 越小,抛物线的开口越大,a 越大,抛物线的开口越小。

沪教版九年级第一学期 二次函数复习专题

沪教版九年级第一学期  二次函数复习专题

初中数学二次函数复习专题〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗1. 理解二次函数的概念;2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;3. 会平移二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y =a(ax +m)2+k 的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式;5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容(1)二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0),那么,y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。

(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --,对称轴是ab x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。

抛物线y=a (x+h )2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2)x 2+m 2-m -2额图像经过原点, 则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数y =kx 2+bx -1的图像大致是( )3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x =53,求这条抛物线的解析式。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案

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课题:二次函数复习教学目标:1、梳理二次函数的概念、图像特征与图像平移规律,巩固待定系数法确定二次函数的解析式,能用二次函数的知识解决一些综合问题;2、在二次函数图像特征与图像平移规律运用等过程中,进一步体会函数思想、分类讨论思想、数形结合思想;体会解决问题方法的选择,提高分析问题和解决问题的能力 . 教学重难点:重点:二次函数解析式的确定及其图像特征 难点:图像特征、与图形几何性质的综合运用. 教学过程:(一)问题引领,梳理探索 问题1 观察下列y 关于x 的函数:①y =3x -1 ②y =3x 2③y =2(x +1)(x -1) ④y=x 2-x (1+x )⑤y=ax 2+3x+1 ⑥32x x xy x++=其中一定是二次函数的有 (填序号) . 追问:224x y +=是二次函数吗? 【设计意图:复习二次函数的概念.】 问题2 已知抛物线21322y x x =-- (1)抛物线的开口方向 ,对称轴是 ;(2)抛物线的顶点坐标是____________,是最 点(填“高”或“低”); (3)抛物线上有两点(2,y 1)和(3,y 2),则y 1 y 2(填“>”“=”“<”); (4)将该抛物线向左平移3个单位,再向下平移1个单位所得新抛物线的表达式 是问题3:(1)如果点A (2,m )在抛物线2x y =上,将此抛物线向右平移3个单位后,点A 同时平移到点A’ ,那么点A’坐标为_________.(将上题中的“向右”改为“向上”这时点A’坐标为_________.)变式:1:已知抛物线y =x 2+2x -3经过上、下平移后过点M (2,2),求平移后的抛物线的表达式; 变式2:已知抛物线y =x 2+2x -3经过左、右平移后过点N (-1,5),求平移后的抛物线的表达式。

问题4 :已知抛物线经过A (-3,0)、B (1,0)、C (0,-3)三点,顶点为D . (1)可用哪些方法求抛物线的表达式及顶点坐标, 哪种方法较为简便?(如果已知抛物线经过A (3,1)、B (1,1)、C (1,-3)三点,选哪种方法?) (2)联结AC 、AD 、CB 、CD ,你能得到怎样的结论?(3)若二次函数图像上有一点E ,且EAO CAD ∠=∠,求点E 的坐标;(4)在抛物线上是否存在一点F ,使△ABF 的面积等于四边形ADCO 面积的 45 ?若存在,请指出满足条件的点F 有几个?若不存在,请说明理由.(5)若点P 是线段AC 上一个动点,联结OP .问:是否存在点P ,使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.(二) 课堂小结(三) 布置作业课后练习一.选择题1、下列函数中,有几个二次函数? ( ) (1)02=-x y (2)2)1()2)(2(---+=x x x y(3)xx y 12+= (4)322-+=x x y A.0个 B.1个 C. 2个 D. 3个 2、二次函数y =-(x -1)2+3图像的顶点坐标是 ( )A. (-1,3)B. (1,3)C. (-1,-3)D. (1,-3)3、已知函数y=ax+b 的图像经过第一、二、三象限,那么y=ax 2+bx+1的图像大致为( )4、已知:抛物线y=ax 2+bx+c ,当x =1时有最小值,若x =2,-2,-4时对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3,则y 1、y 2、y 3的大小关系为 ( )A.y 1<y 2<y 3B.y 1>y 2>y 3C.y 1>y 3>y 2D.y 2>y 3>y 1yx二.填空题5、抛物线5)3(22+-=x y 的顶点坐标是 .6、抛物线9412-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的. 7、将抛物线y =x 2向右平移4个单位后,再向上平移2个单位, 则此时抛物线的解析式是 .8、抛物线y =3x 2可以看成由抛物线y =3(x ﹣2)2+5向____平移___个单位,再向 平移 个单位所得.9、抛物线y =2x 2+4x +5的对称轴是 .10、抛物线4)3(22+-=x y 在对称轴 侧部分上升.11、如图,抛物线2y ax bx c =++,请判断下列各式的符号: a 0; b 0; c 0.12、已知二次函数的图像开口向上,且顶点在y 轴的负半轴上, 请你写出一个满足条件的二次函数的表达式 .13、如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像,那么a 的值是 . 14、如果抛物线h x a y +-=2)1(经过点A (0,4)、B (2,m ),那么m 的值是 . 15、已知二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧,且在对称轴的右侧函数y 的值随x 的增大而减小.请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式 .(只需写一个) 16、二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 部分对应值如下表:x… 3-2- 0 1 3 5 … y…7 0 8- 9- 5- 7…那么1-=x 时,对应的函数值y = ▲ . 三.解答题17.已知二次函数的图像经过一次函数y =-x -4的图像与x 轴、y 轴的交点A 、C ,并且经过点 B (2,- 4),求这个二次函数的解析式;18、已知二次函数的图像经过A (-3,0)、B (1,0)、C (0,-3)三点. (1)求这个二次函数的解析式;(2)若抛物线的顶点为D ,求 CAD 与 OBC 的和;(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△O BC 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.Oyx(第13题图)19、如图,二次函数图像的顶点为坐标原点O 、且经过点A (3,3),一次函数的图像经过点A 和点B (6,0). (1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)如果一次函数图像与y 相交于点C ,点D 在线段AC 上,与y 轴平行的直线DE 与二次函数图像相交于点E ,∠CDO =∠OED ,求点D 的坐标.AOxy(第19题图)CBDE。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习课 教案

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《二次函数复习课》【教学目标】1、掌握特殊二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高点或最低点等特征,了解图像上升或下降的情况。

2、会用待定系数法确定二次函数的解析式,能用二次函数的知识解决简单的实际问题。

【教学重难点】特殊二次函数图像的性质,特殊二次函数图像的平移,求二次函数解析式。

【新课】一、复习引人练习,引人二次函数定义。

二、知识回顾一:二次函数的概念及定义域1、什么样的函数是二次函数?它的定义域是怎样的?2、从特殊到一般,我们学过哪几种特殊类型的二次函数?写出它们的表达式.三、知识点回顾二:研究这些特殊二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y 随x 变化情况的一些性质.巩固练习12y ax =2y ax k=+()2y a x m k=++2y ax bx c=++四、知识点回顾三:二次函数的图象的平移1、二次函数图象平移规律:顶点式中看平移,上下左右看仔细.左加右减自变量,上加下减常数项.2、巩固练习23、思考:小明在做二次函数的作业时,遇到了这么一道题目:请问:抛物线122+-=x x y 与抛物线342+-=x x y 的图象的形状和大小一样吗?为什么?如果是一样的,那么,把第一条抛物线通过怎么样的平移,可以与第二个抛物线的图象重合?小明的解答:因为两个抛物线的解析式二次项系数相同,所以这两条抛物线的形状、大小相同,它们只是位置不同。

又因为第一条抛物线与y 轴交点为(0,1),第二条抛物线与y 轴的交点为(0,3)所以只要把第一条抛物线向上平移2个单位就可以与第二条抛物线的图象重合。

考虑小明的解答完全正确吗?五、知识点回顾四:二次函数一般式与顶点式的转化把抛物线c bx ax y ++=2化为km x a y ++=2)(1、例题:把抛物线212212+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式,并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及y 随x 的变化情况.2、巩固练习3:把抛物线3422+-=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式,并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及y 随x 的变化情况.六、知识回顾五:待定系数法求二次函数解析式议一议:如果一条抛物线过点(1,0)(3,0)(0,3),你有几种办法求出抛物线的解析式。

沪科版九年级数学上册知识点总结

沪科版九年级数学上册知识点总结

沪科版九年级数学上册知识点总结二次函数基本知识一.二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.二.二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).4. 一次项系数bab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 5. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.相似三角形基本知识一.比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.合比性质:ddc b b ad c b a ±=±⇒=(分子加(减)分母,分母不变) 3.等比性质:(分子分母分别相加,比值不变.)如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ,那么b a n f d b m e c a =++++++++ . 二.黄金分割1)定义:在线段AB 上,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC ),如果ACBC AB AC =,即AC 2=AB ×BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。

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课题:九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比
教学目标:1.
2.教学过程:
一、 概念复习:
练习一:
已知二次函数的图像过点A (0,5)B (1,0)、C (5,0)次函数解析式是_____________________,其对称轴为点P 的坐标是________, =________________, tan OAB ∠=_________.
二、 例题讲解:
例题1:如图,在平面直角坐标系中,顶点为M 单位后得到的,它与y 轴负半轴交于点A ,点B (1)求点M 、A 、B 坐标;
(2)联结AB 、AM 、BM ,求ABM ∠的正切值;
(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点,当ABM α=∠时,求P 点坐标.
例2:已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3,交y 轴于点C ,其图像顶点为D .
(1)求此二次函数的解析式;
(2)试问△ABD 与△BCO 是否相似?并证明你的结论;
(3)若点P 是此二次函数图像上的点,且PAB ACB ∠=∠,试求点P 的坐标.
A B
C
思考:如图,抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A (﹣1,0)、C (0,4)两点,与x 轴交于另一点B ,已知点D (m ,m+1)在第一象限的抛物线上,联结BD
.
(1)求抛物线的解析式; (2)问在抛物线上是否存在点P ,使
PBD 等于45度?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
三、 课堂小结:
这节课你有哪些收获?
四、练习二: 1. 在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线21(3)4
y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ,平移后的抛物线交y 轴于点B .
(1)求∠OBA 的正切值;
(2)点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限,联结CA 、CB ,当∠=∠BCA OBA
A
B
C
时,求点C 坐标.
2.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1-,3)、B (2,n )两点在二次函数43
12++-=bx x y 的图像上.
(1)求b 与n 的值;
(2)若点P (不与点A 重合)在题目中已经求出的二次函数的图像上,且︒=∠45POB ,求点P 的坐标.。

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