沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 专题复习课——二次函数与锐角三角比教案
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案
二次函数复习
教学目标：
1、总结二次函数的有关概念、常见表达形式、图像与性质以及平移法则。
2、经历二次函数运用综合练习，进一步体会待定系数法确定函数解析式，理解数学与生活
的联系。
3、培养观察、分析、归纳的能力，感受数形结合的数学思想。
教学重点
二次函数的图像和性质
难点：
二次函数的综合运用
教学设计过程：
一、二、三象限，则
a __0,
b __0,
c ___0
5、二次函数综合运用
小强在一次投篮训练中，从距地 面高1.55米处的点O 投出一球向篮圈中心A 投去，球的飞行路线为抛物线，当球到达离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米，现以O 点为坐标原点，建立直角坐标系（如图）测得OA 与水平方向OC 夹角为30°，A 、C 两点相距1.5米.（1）求点A 的坐标；（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小强能否把球从O 点直接投入篮圈A 点（排除篮板球），如能，说明理由，如不能，那么前后移动多少米就能使刚才那一投直接命中篮圈A 点.（结果保留根号） 直面中考
15上海24）如图，已知在平面直
角坐标系中，抛物线 42
-=ax y 与x 轴的负半轴交于点A,与y 轴交于点B ，AB=52，点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴交于点D 。
常见表达式.
2、选择适当的方法求二次函数的解析式.
3、会求二次函数的顶点坐标、对称轴，根据图形求出最值.
使学生掌握不同
类型的二次函数的图像和性质.
附表1：。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 专题复习课——二次函数与锐角三角比教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比教学目标：1.能根据条件熟练运用求二次函数解析式及对称轴、顶点的方法.2.能运用二次函数背景下与角有关的锐角三角比问题求点的坐标，掌握通性通法.教学重点、难点：二次函数背景下有关锐角三角比的综合题 教学过程： 一、 概念复习：练习一：已知二次函数的图像过点A （0，5）B （1，0）、C （5，0），则此二次函数解析式是_____________________，其对称轴为_____________，顶点P 的坐标是________，=________________，tan OAB ∠=_________. 二、 例题讲解：例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B （1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，，当ABM α=∠时，求P 点坐标．BMAxyO例2：已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3，交y 轴于点C ，其图像顶点为D .（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD 与△BCO 是否相似？并证明你的结论；（3）若点P 是此二次函数图像上的点，且PAB ACB ∠=∠，试求点P 的坐标.思考：如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ，已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，联结BD .（1）求抛物线的解析式；（2）问在抛物线上是否存在点P ，使PBD 等于45度？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.三、 课堂小结：这节课你有哪些收获？ABCA BC四、练习二：1. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21(3)4y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ，平移后的抛物线交y 轴于点B ． （1）求∠OBA 的正切值；（2）点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结CA 、CB ，当∠=∠BCA OBA 时，求点C 坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上.（1）求b 与n 的值；（2）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数基础知识复习 教案
二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。
一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 二次函数复习 教案
⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。
二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。
探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。
探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。
探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。
探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。
知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。
1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。
三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。
2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。
沪科版九年级上册二次函数总复习PPT课件
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
20
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数 复习课 教案
《二次函数》复习课教案一、复习目标：（一）知识与技能目标：1、已知二次函数的解析式，能熟练的判断抛物线开口方向，写出对称轴方程和顶点坐标，巩固二次函数的图像性质及其平移规律。
2、熟练待定系数法求二次函数解析式，并能解决简单的实际问题。
3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系，为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。
（二）过程与方法目标：1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习，回顾二次函数的基础知识。
2、通过对典型例题的分析解答，培养分析问题和解决问题的能力；初步掌握数形结合的思想方法。
（三）情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，让学生学会整理所学知识，逐步学会自主学习、自主探索，并能在讨论交流中获益。
二、复习重难点：重点：根据题意求解二次函数的解析式。
难点：应用二次函数的有关知识，以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。
复习方法：自主探究、合作交流三、复习过程：一、知识梳理（一）学生独立练习（同桌互改）1、函数+2x-5是二次函数时，m的值为。
2、①二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
②二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
③二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是最点(填高,低)。
④二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，对称轴侧的部分下降。
3、①把二次函数的图像向上平移3个单位，所得图像的解析式为：，再向左平移1个单位，则所得图像的解析式为：。
②将抛物线向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。
4、①抛物线开口方向，对称轴是，最低点坐标是，函数有最（填大，小）值是。
②抛物线的对称轴是，在对称轴右侧的部分是__________的。
（填“上升”或“下降”）5、抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为。
（二）学生整理知识点（老师板书，投影）1、二次函数定义：形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 复习 -二次函数 教案
第一轮复习 二次函数（1）难点：二次函数知识的实际应用 【教学流程】 1. 知识回顾2. 通过例题讲解，巩固知识的掌握3. 通过训练，对二次函数的知识熟练应用4. 总结知识要点.5. 拓展思维，锻炼能力. 【学习导航】 一、知识梳理1、二次函数的定义：形如 2y ax bx c =++（b a 、是常数，且0≠a ） （1）定义要点：①0a ≠ ②最高次数2 ③代数式一定是整式 （2）自变量取值范围2、二次函数的图像和性质3、二次函数图像的平移 图像顶点的平移 平移二次函数图像的方法概括为:左 右 、上 下4、用待定系数法求二次函数的解析式（1）已知二次函数图像上三个点的坐标，设一般式 （2）已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标，设交点式 （3）已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，设顶点式二、典型例题例1.,2)1(,523,5100,22,232222x x a y x x y x y xx y x y +-=+-=-=-=-=其中二次函数有_______个.例2.当m =_________时，函数13)1(1++-=+x x m y m 是二次函数. 例3、根据下列条件，求二次函数解析式 （1）图像经过原点，且过（2,5），（-1,3）两点； （2）图像经过点（2,0），（-1,0），与y 轴交点的纵坐标为2； （3）图像顶点在x 轴上，对称轴是直线1=x ，且经过点（2,3）.例4、如图,抛物线2y ax bx c =++,请判断下列各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③24b ac - 0; ④b 0;小结：a 决定 ，c 决定 ，24b ac -决定 ，a 、b 结合决定 .变式1、若抛物线1322-+-=a x ax y 的图像如图所示， 则a =变式2、若抛物线342+-=x x y 的图像如图所示，则△ABC 的面积是三、巩固练习1.抛物线y=3x 2，y=-3x 2，y=31x 2+3共有的性质是（ ）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 值的增大而增大2、二次函数21y mx x =+-的图像与x 轴有交点，则m 的取值范围是 .3、二次函数2244y x x =--+，当x 时y 随x 的增大而减小; 当x 时函数图像呈上升趋势.4、二次函数22y x =-的图像是由二次函数22(4)y x =-+的图像向 平移 ____个单位得到的.5、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则a 、b 、c 满足（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0xy oxyo四、课内小结五、思维拓展如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A-、B-和(0,1)C三点，顶点为P．(3,2)（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）联结PC、BC，求BCP∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案
二次函数复习【教学目标】1、了解二次函数解析式的基本性质；2、会用待定系数法求二次函数的解析式；3、能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。
【知识梳理】⑴一般式： ，顶点坐标：对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑵顶点式：k m x a y ++=2)(()0≠a (，顶点坐标：（ ， ）对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑶两根式： ，其中21,x x 是c bx ax ++2=0()0≠a 的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ）)0≠a2ax y =的图象 （ ）2)(m x a y +=的图象 （ ）km x a y ++=2)(的图象【例题探究】（1）、下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 、y=(x+2)(x-2)-(x-1)2C 、D 、y=x(x —1) （2）、当k= 时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数。
（3）、若二次函数y=（a-1）x 2+x+a 2－1的图像如图所示，则a 的值是________．（4）、求满足下列条件的二次函数解析式⑴图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）；⑵图象与x 轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）；⑶当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）； ⑷已知经过（4，-2）的二次函数的对称轴为直线x=3，且与x 轴的一个交点为（6，0）， 例2、与二次函数的平移有关的问题： 1、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
2、把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是3、把抛物线y ＝12212-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位就得到抛物线23212--=x x y 。
4、已知二次函数()2111y x bx b =-+-≤≤，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） Ａ．先往左上方移动，再往左下方移动Ｂ．先往左下方移动，再往左上方移动 Ｃ．先往右上方移动，再往右下方移动Ｄ．先往右下方移动，再往右上方移动 例3、与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质有关的问题:1、请研究二次函数23212++-=x x y 的图象和性质： ⑴开口方向：⑵对称轴：⑶顶点坐标：⑷图象与x 轴的交点坐标： 、⑸图象与y 轴的交点坐标：⑹图象与y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标：⑺用五点法画函数的草图⑻求这个函数的最值，当x= 时，⑼当 时；y=0，当 时，y>0；当 时，y<0。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数与相似三角形 教案
二次函数与相似三角形教案教学目标：1、会正确求解二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
教学重点：1、正确求解二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。
教学过程：一、快速反应1、已知二次函数的图象经过点（-5，-1）、（0，-4）和（1,1），求这个二次函数的解析式．2、已知抛物线的顶点坐标为（2,1），与y轴交于点（0,5），求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A（-2,0）、B（1，0）、C（0，2）三点。
求这条抛物线的解析式。
4、已知二次函数对称轴是x=1，过点（-3，0），与y轴交点为（0，5）5、已知二次函数图像顶点是（2，1），图像在x轴上截得的线段长2，求这个二次函数解析式。
二、小试牛刀1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________2、如图，已知A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．A.EB C三、例题解读例1：已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A 、B ，与 轴交于点C ，直线经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）动点M 在直线上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．（3）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），PQ//AO ，PQ=2AO ，求点P 、Q 坐标。
练习：已知抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是（3，0），tan ∠OAC =3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 是y 轴上一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标.四、课堂小结：二次函数与相似三角形综合题之解题策略1、 根据题意，先求相关点的坐标和相关线段的长度；2、 待定系数法求相关函数的解析式；3、 利用同角或等角找对应点，分类讨论；4、 根据题目条件，正确画图，注意数形结合；5、 利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案
二次函数的复习一、教学目标：1、复习二次函数的概念。
2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。
3、复习配方法与待定系数法。
4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。
难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。
三、教学过程：（一）、知识整理1（1）、二次函数的概念.（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。
练习：(1) 当m = 时， m m x m y -+=2)1(是二次函数。
(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 （高或低）点的坐标是 。
(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。
(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 ， 对称轴是 。
(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。
(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。
3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。
4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 （k 为常数），那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法（二）、综合运用探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。
沪教版初中数学九年级第一学期第章： 二次函数复习课 课件优秀课件资料
y
O
x y
O
x
（a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
与x轴没有
y
b2-4ac＜0 交点
没有实数根
O
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
△=b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
△= b2 – 4ac= 0 △= b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
△= b2 – 4ac≥0
例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4 × (-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
当 x 1 时,y有最 小值,是 25
2
4
（—12 ，-—245）
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
问：给出五个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0; ⑤a-b+c<1.其中正确的结论的序号是 （ ①④ ）
练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y
沪教版九年级_锐角三角比、二次函数知识点[1]
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一 锐角三角比概念在Rt △ABC 中，邻边斜边对边ABCsin cos A A A A ∠∠==的对边的邻边，斜边斜边，tan cot A A A A A A ∠∠==∠∠的对边的邻边，的邻边的对边二 几个特殊角的锐角三角比 30°45°60°sin α1222 32cos α32 2212tan α331 3αcot3133 三 锐角三角比随角度的变化规律当角度在0°~ 90°间变化时，正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦、余切值随角度的增大而减小四 同角三角比的关系22sin sin cos 1,tan cot 1,tan cos ααααααα+===五 锐角三角比的取值范围0sin 1,0cos 1,tan 0,cot 0αααα<<<<>>六 解直角三角形及其应用1. 直角三角形角的关系∠A+∠B=90°2. 直角三角形边的关系222a b c += 3. 直角三角形边角的关系tan cot ,tan cot a b A B B A b a ====4. 解直角三角形的基本类型及解法：在Rt △ABC 中，∠C=90°类型 已知条件 图形解法两边两直角边,a bcbaCBA(1) 22c a b =+(2)由tan aA b =求出∠A(3) ∠B=90°-∠A一直角边a ，斜边c(1) 22b c a =-(2)由sin aA c =求出∠A(3) ∠B=90°-∠A一边一锐角一直角边a ,锐角A∠B=90°-∠A (2) cot b a A =(3)sin a c A =斜边c, 锐角A∠B=90°-∠A (2) sin a c A = (3) cos b c A =5．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．2．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离． 6．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即l h i =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即． 坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：l ha i ==tan .坡度越大，则α角越大，坡面越陡.α铅垂线 仰角 俯角 视线 水平线视线图1AB C 垂 直 距 离坡面距离 水平距离 图2 l h l h i = 图37．方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如右图，OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒20．二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
沪教版九年级第一学期 二次函数复习专题
初中数学二次函数复习专题〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案
课题：二次函数复习教学目标：1、梳理二次函数的概念、图像特征与图像平移规律，巩固待定系数法确定二次函数的解析式，能用二次函数的知识解决一些综合问题；2、在二次函数图像特征与图像平移规律运用等过程中，进一步体会函数思想、分类讨论思想、数形结合思想；体会解决问题方法的选择，提高分析问题和解决问题的能力 ． 教学重难点：重点：二次函数解析式的确定及其图像特征 难点：图像特征、与图形几何性质的综合运用． 教学过程：（一）问题引领，梳理探索 问题1 观察下列y 关于x 的函数：①y =3x －1 ②y =3x 2③y =2(x +1)(x －1) ④y=x 2－x (1+x )⑤y=ax 2+3x+1 ⑥32x x xy x++=其中一定是二次函数的有 （填序号） ． 追问：224x y +=是二次函数吗？ 【设计意图：复习二次函数的概念．】 问题2 已知抛物线21322y x x =-- （1）抛物线的开口方向 ,对称轴是 ；（2）抛物线的顶点坐标是____________,是最 点（填“高”或“低”）； （3）抛物线上有两点(2，y 1)和(3，y 2)，则y 1 y 2（填“＞”“＝”“＜”）； （4）将该抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位所得新抛物线的表达式 是问题3：（1）如果点A （2，m ）在抛物线2x y =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到点A’ ，那么点A’坐标为_________.（将上题中的“向右”改为“向上”这时点A’坐标为_________.）变式:1：已知抛物线y =x 2+2x －3经过上、下平移后过点M (2，2)，求平移后的抛物线的表达式； 变式2：已知抛物线y =x 2+2x －3经过左、右平移后过点N (-1，5)，求平移后的抛物线的表达式。
问题4 ：已知抛物线经过A (－3，0)、B （1，0）、C （0，－3）三点，顶点为D . （1）可用哪些方法求抛物线的表达式及顶点坐标， 哪种方法较为简便？（如果已知抛物线经过A (3，1)、B （1，1）、C （1，－3）三点，选哪种方法？） （2）联结AC 、AD 、CB 、CD ，你能得到怎样的结论？（3）若二次函数图像上有一点E ，且EAO CAD ∠=∠,求点E 的坐标；（4）在抛物线上是否存在一点F ，使△ABF 的面积等于四边形ADCO 面积的 45 ？若存在，请指出满足条件的点F 有几个？若不存在，请说明理由.（5）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．（二） 课堂小结（三） 布置作业课后练习一．选择题1、下列函数中，有几个二次函数？ （ ） （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y A.0个 B.1个 C. 2个 D. 3个 2、二次函数y ＝－（x －1）2+3图像的顶点坐标是 （ ）A. （－1，3）B. （1，3）C. （－1，－3）D. （1，－3）3、已知函数y=ax+b 的图像经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图像大致为（ ）4、已知：抛物线y=ax 2+bx+c ，当x =1时有最小值，若x =2，－2，－4时对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系为 ( )A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＞y 2＞y 3C.y 1＞y 3＞y 2D.y 2＞y 3＞y 1yx二．填空题5、抛物线5)3(22+-=x y 的顶点坐标是 ．6、抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 7、将抛物线y ＝x 2向右平移4个单位后，再向上平移2个单位， 则此时抛物线的解析式是 ．8、抛物线y =3x 2可以看成由抛物线y =3(x ﹣2)2+5向____平移___个单位，再向 平移 个单位所得．9、抛物线y ＝2x 2+4x +5的对称轴是 ．10、抛物线4)3(22+-=x y 在对称轴 侧部分上升．11、如图，抛物线2y ax bx c =++，请判断下列各式的符号： a 0； b 0； c 0．12、已知二次函数的图像开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上， 请你写出一个满足条件的二次函数的表达式 ．13、如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像，那么a 的值是 ． 14、如果抛物线h x a y +-=2)1(经过点A （0，4）、B （2，m ），那么m 的值是 ． 15、已知二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧，且在对称轴的右侧函数y 的值随x 的增大而减小．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式 ．（只需写一个） 16、二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 部分对应值如下表：x… 3-2- 0 1 3 5 … y…7 0 8- 9- 5- 7…那么1-=x 时，对应的函数值y = ▲ ． 三．解答题17．已知二次函数的图像经过一次函数y =－x －4的图像与x 轴、y 轴的交点A 、C ，并且经过点 B （2，- 4），求这个二次函数的解析式；18、已知二次函数的图像经过A (－3，0)、B （1，0）、C （0，－3）三点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，求 CAD 与 OBC 的和；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△O BC 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．Oyx（第13题图）19、如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O 、且经过点A （3，3），一次函数的图像经过点A 和点B （6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图像与y 相交于点C ，点D 在线段AC 上，与y 轴平行的直线DE 与二次函数图像相交于点E ，∠CDO =∠OED ，求点D 的坐标．AOxy（第19题图）CBDE。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习课 教案
《二次函数复习课》【教学目标】1、掌握特殊二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高点或最低点等特征，了解图像上升或下降的情况。
2、会用待定系数法确定二次函数的解析式，能用二次函数的知识解决简单的实际问题。
【教学重难点】特殊二次函数图像的性质，特殊二次函数图像的平移，求二次函数解析式。
【新课】一、复习引人练习，引人二次函数定义。
二、知识回顾一：二次函数的概念及定义域1、什么样的函数是二次函数？它的定义域是怎样的？2、从特殊到一般，我们学过哪几种特殊类型的二次函数？写出它们的表达式.三、知识点回顾二：研究这些特殊二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y 随x 变化情况的一些性质.巩固练习12y ax =2y ax k=+()2y a x m k=++2y ax bx c=++四、知识点回顾三：二次函数的图象的平移1、二次函数图象平移规律：顶点式中看平移，上下左右看仔细.左加右减自变量，上加下减常数项.2、巩固练习23、思考：小明在做二次函数的作业时，遇到了这么一道题目：请问：抛物线122+-=x x y 与抛物线342+-=x x y 的图象的形状和大小一样吗？为什么？如果是一样的，那么，把第一条抛物线通过怎么样的平移，可以与第二个抛物线的图象重合？小明的解答：因为两个抛物线的解析式二次项系数相同，所以这两条抛物线的形状、大小相同，它们只是位置不同。
又因为第一条抛物线与y 轴交点为（0，1），第二条抛物线与y 轴的交点为（0，3）所以只要把第一条抛物线向上平移2个单位就可以与第二条抛物线的图象重合。
考虑小明的解答完全正确吗？五、知识点回顾四：二次函数一般式与顶点式的转化把抛物线c bx ax y ++=2化为km x a y ++=2)(1、例题：把抛物线212212+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及y 随x 的变化情况.2、巩固练习3：把抛物线3422+-=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及y 随x 的变化情况.六、知识回顾五：待定系数法求二次函数解析式议一议：如果一条抛物线过点（1,0）（3,0）（0,3），你有几种办法求出抛物线的解析式。
沪科版九年级数学上册知识点总结
沪科版九年级数学上册知识点总结二次函数基本知识一．二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．二．二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.4. 一次项系数bab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 5. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．相似三角形基本知识一．比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 二．黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBC AB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
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课题：九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比
教学目标：1.
2.教学过程：
一、 概念复习：
练习一：
已知二次函数的图像过点A （0，5）B （1，0）、C （5，0）次函数解析式是_____________________，其对称轴为点P 的坐标是________， =________________， tan OAB ∠=_________.
二、 例题讲解：
例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B （1）求点M 、A 、B 坐标；
（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；
（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，当ABM α=∠时，求P 点坐标．
例2：已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3，交y 轴于点C ，其图像顶点为D .
（1）求此二次函数的解析式；
（2）试问△ABD 与△BCO 是否相似？并证明你的结论；
（3）若点P 是此二次函数图像上的点，且PAB ACB ∠=∠，试求点P 的坐标.
A B
C
思考：如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ，已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，联结BD
.
（1）求抛物线的解析式； （2）问在抛物线上是否存在点P ，使
PBD 等于45度？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
三、 课堂小结：
这节课你有哪些收获？
四、练习二： 1. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21(3)4
y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ，平移后的抛物线交y 轴于点B ．
（1）求∠OBA 的正切值；
（2）点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结CA 、CB ，当∠=∠BCA OBA
A
B
C
时，求点C 坐标．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数43
12++-=bx x y 的图像上.
（1）求b 与n 的值；
（2）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.。