含字母系数的方程(组)的解法

含字母系数的方程（组）的解法

✓ 知识梳理

说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。

回顾上次课的预习思考内容

➢ 形如ax b =的方程的解的情况讨论：

◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a

=（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数

◆ 当0,0a b =≠时，方程无解

➢ 二元一次方程组111222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性： ◆ 当1112

a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122

a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当

111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习：

1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ；

2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ；

3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨

-=⎩无解，则a 的值是（ ） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6 参考答案：1、5； 2、5324

m n =≠、； 3、D

✓ 题型分析

例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+

教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变

参考答案：

(3)2

23033

30305m x m m m m x m m m x -=++-≠≠=

--==⨯=解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，即时，原方程变为,所以原方程无解

试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-

(2)3

3

2022

203023203023a x b b a a x a a b a b a b a b -=---≠≠=

--=-≠=≠-=-===解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，，即，时，所以原方程无解当，，即，时，所以原方程有无数个解

例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n

m n nx y m +=⎧+≠⎨-=⎩

教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便

参考答案：

2222

22(1)(2)2(2)662(1)(2)(2)3326232m n x m n

m n x m n

n m m n y n m n m y m n

m n x m n n m

y m n +⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

解：得 得 所以原方程组的解为

试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2

ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨

+=⎩ 参考答案：

2222

2222

2222(1)(2)()22(1)(2)2()2222a b a b x a b

a b

x a b b a b y a b a b

y a b a b x a b a b

y a b ⨯+⨯+=++=

+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

解：得 得 所以原方程组的解为

例题3：若方程组223

x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．

教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数

参考答案： 解：解方程组得138

3m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以103803

m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >

所以m 的取值范围是8m >．

试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m

+=⎧⎨

-=⎩的解满足二元一次方程435x y -=，求m 的值。

参考答案： 解：解方程组得22x m y m =⎧⎨=⎩

将22x m y m

=⎧⎨=⎩代入435x y -= 得， 15m =

例题4：关于x 、y 的二元一次方程组 343232

x y mx y +=⎧⎨

+=⎩的解中关于x 与y 的和等于1，求m 的值。

教法说明：可先通过x 与y 的和等于1得 1x y +=再和343x y +=构成二元一次方程组 参考答案： 113430

12320

1

x y x x y y x mx y y m +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩=⎧+=⎨=⎩=解：由解得将代入得

试一试：如果方程组4232x y x y k -=⎧⎨-=⎩

的解满足0x y +>，求k 的取值范围． 参考答案： 方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得45645k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

再根据0x y +>得 464055

k k --+> 解不等式得2k < 方法二：由(1)(2)- 得，2x y k +=-

因为0x y +>，所以20k -> 解不等式得：2k <

✓ 达标检测

此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+20分钟互动讲解）。

1．已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，求a 、b 的取值范围